/5/ z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegoin f(x,y,z)dxdydz z 2 # y 2 # x 2 & & = % % f(x,y,z)dx( dy( dz $ $ ' ' z y x Tyypillises kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massaheys, jolloin integaalin avo on massa alueella, jota integoinajat kuvaavat. Muita vaihtoehtoja: f = konsentaao, integaali = ainemäää f = lukumäääheys, integaali = lukumäää f = todennäköisyysjakauma, integaali = todennäköisyys Tilavuusintegoin Huom: integoimisjäjestyksen määihely voi olla myös toinen: x 2 y 2 z 2 x y z f(x,y,z)dxdydz Vamista aina, mitä mekintää käytetään...
/5/ Esim: laske kokonaismassa alueella x, y, z, kun massaheys on ρ(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (kg) Ratkaisu: M = ρ(x,y,z)dxdydz = (x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz = ( x + xy 2 + xz 2 )dydz = ( + y2 + z 2 )dydz ( + y2 + z 2 )dydz = ( y + y + yz 2 )dz = ( + + z2 )dz = ( z + z + z ) = = (kg) 2
/5/ Pallokoodinaat Ei tapoja mekitä - uloheisen avauuden piste Kateesiset koodinaat (x,y,z) Pallokoodinaat Ei tapoja mekitä - uloheisen avauuden piste Y Pallokoodinaat (R,θ,φ) tai (,θ,φ) X
/5/ Pallokoodinaat R (tai ) = pisteen P etäisyys oigosta O θ = OP- vektoin ja z- akselin välinen kulma φ = OP- vektoin pojeko xy- tasoon ja x- akselin välinen kulma Huom: määitelmät saahavat vaihdella kijasta iippuen; takista aina mitä käytetään! Muunnoskaavat Pallokoodinaateista kateesisiin: x = sin(θ)cos(φ) y = sin(θ)sin(φ) z = cos(θ) 4
/5/ Muunnoskaavat x = sin(θ)cos(φ) Kateesisista pallokoodinaaheihin y = sin(θ)sin(φ) z = cos(θ) x 2 + y 2 + z 2 = 2 sin 2 (θ)cos 2 (φ) + 2 sin 2 (θ)sin 2 (φ) + 2 cos 2 (θ) = 2 sin 2 (θ)(cos 2 (φ) + sin 2 (φ)) + 2 cos 2 (θ) = 2 sin 2 (θ) + 2 cos 2 (θ) = 2 (sin 2 (θ) + cos 2 (θ)) = 2 = (x 2 + y 2 + z 2 ) y x = sin(θ)sin(φ) sin(θ)cos(φ) = tan(φ) φ = actan( y x ) jos x > φ = actan( y x ) + π jos x < x = sin(θ)cos(φ) y = sin(θ)sin(φ) z = cos(θ) z = cos(θ) cos(θ) = z θ = accos( z ) 5
/5/ Integoin pallokoodinaateissa Pallokoodinaa]en määihelyalueet: : θ: 8 φ: 6 Integoinnin lavuuselemen]: dxdydz= 2 sin(θ)ddθdφ HUOM! Esim: muuta pallokoodinaaheihin: (x,y,z) = (,2, ) Ratkaisu: = x 2 + y 2 + z 2 = ( ) 2 + (2) 2 + ( ) 2 = 4 θ = accos( z Muuta kateesisiin koodinaaheihin (,θ,φ) = (,π/,π/2) Ratkaisu: x = sin(θ)cos(φ) = )=accos( 4 )=4. φ = actan( y x )+8 =actan( 2 )+8 =6.6 y = sin(θ)sin(φ) = 2 z = cos(θ) = 2 6
/5/ Esim: Esitä funko x 2 y 2 pallokoodinaateissa. Ratkaisu: x 2 -y 2 =(sin(θ)cos(φ)) 2 (sin(θ)sin(φ)) 2 = 2 (sin 2 (θ)cos 2 (φ) sin 2 (θ)sin 2 (φ)) = 2 sin 2 (θ)(cos 2 (φ) sin 2 (φ)) = 2 sin 2 (θ)cos(2φ) Integoin pallokoodinaateissa Halutaan integoida jokin funko f(x,y,z) pallokoodinaateissa. Ennen integaalin laskemista pitää tehdä kolme asiaa: )Muunna funk,o pallokoodinaaheihin f(x,y,z) f(,θ,φ) 2)Muunna,lavuuselemen2 pallokoodinaaheihin: dxdydz 2 sin(θ) ddθdφ )Mikäli kyseessä on määähy integaali, muunna integoin,ajat pallokoodinaahehin 7
/5/ Integoin pallokoodinaateissa Myös integoinalueen ajat muunnehava pallokoodinaaheihin! z 2 y 2 x 2 z y x f(x,y,z)dxdydz φ 2 θ 2 2 = f(,θ,φ) 2 sin(θ)ddθdφ φ θ Täkeää! Integoinnin lavuuselemen] muuhuu: dxdydz= 2 sin(θ) ddθdφ Integoin yli koko avauuden + + + f(x,y,z)dxdydz 2π π = f(,θ,φ) 2 sin(θ)ddθdφ Integoina yli koko avauuden mekitään usein lavuuselemenllä dτ, muha tämä ei vielä määihele, mitä koodinaaheja käytetään... 8
/5/ Esim: laske kokonaismassa a- säteiselle pallolle jonka keskipiste on oigossa ja jonka massaheys on ρ(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (kg) Ratkaisu: M = (x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz alue Pallonmuotoisen alueen määihely x,y,z koodinaateissa vaikeaa è käytetään pallokoodinaaheja! x 2 + y 2 + z 2 = 2 ρ(,θ,φ) = 2 dxdydz = 2 sin(θ)ddθdφ Integoimisajat: : a, θ: 8, φ: 6 M = (x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz alue π = 2 2 sin(θ)ddθdφ 2π a 2π π a = dφ sin(θ)dθ 4 d = 2π φ π ( cos(θ)) a 5 5 = (2π ) ( cos(π ) + cos()) ( 5 a5 5 5 ) = 2π 2 5 a5 = 4πa5 5 (kg) 9
/5/ Vetyatomiin liihyviä laskuja pallokoodinaateissa Vetyatomin la (aaltofunko) voidaan atkaista diffeenaaliyhtälöstä (Schödingein yhtälö) 2 2 ψ n e2 2m e 4πε ψ n = E nψ n Ψ n on lan n aaltofunko ja E n sen enegia Koska vetyatomi on pallosymmetinen (potenaalitemissä esiintyy etäisyys ymestä ), yhtälö on helpointa atkaista pallokoodinaateissa. Tällöin myös aaltounko esitetään myös pallokoodinaateissa. Vetyatomin atomiobitaalit Yhtälön takkaa atkaisumenetelmää ei tässä käydä läpi, muha atkaisuna saatavat ns atomiobitaalit ovat tämän näköisiä (tässä ensimmäiset 5): ψ s = ψ 2s = πa e a 4 2πa (2 - )e a 2a ψ 2 px = ψ 2 py = ψ 2 pz = 5 4 2πa e 2a sin(θ)cos(φ) 5 4 2πa e 2a sin(θ)sin(φ) 5 4 2πa e 2a cos(θ)
/5/ Tyypillisiä laskuja )Todennäköisyys löytää elektoni jostakin lavuudesta V: ψ * n ψ n 2 sin(θ)ddθdφ V φ 2 θ 2 2 = ψ * n ψ n 2 sin(θ)ddθdφ φ θ Ψ*on aaltofunkon kompleksikonjugaa]; edellä esitellyt atomiobitaalit ovat kaikki eaaliavoisia, eli Ψ* = Ψ 2)Nomitusvakion etsiminen eli lasku, jossa vaaditaan ehä elektoni on % todennäköisyydellä jossakin: 2π π Nψ * n Nψ n 2 sin(θ)ddθdφ = laske N Tyypillisiä laskuja )Elektonin etäisyyden ymestä odotusavo: = Yleises minkä tahansa opeaahoin odotusavo (huom: opeaahoi opeoi oikealla puolellaan olevaan aaltofunkoon): A = 2π π ψ * n ψ n 2 sin(θ)ddθdφ 2π π * ψ n A ˆ ψ n 2 sin(θ)ddθdφ
/5/ Vetyatomilaskuissa hyvin hyödyllinen taulukkointegaali e -a n d = n! a n+ Tämä osataan sinänsä laskea n ketaa osihaisintegoimalla, muha menee työlääksi, kun n on suui... Huom! Integoinajojen oltava ja, muuten ei päde! Toinen hyödyllinen taulukkointegaali e b n d = eb b (n nn- b + n(n -)n-2 b 2... ( )n n! b n ) n oltava posiivinen kokonaisluku, b mikä tahansa eaaliluku (yleensä b = - /a tai jotain vastaavaa) Huom: tämä on määäämätön integaali, äskeinen oli määähy Hyödyllinen esim. silloin, kun integoinajat ovat jotain muuta kuin ja 2
/5/ Esimekki: vetyatomin s- obitaali Integoi s- obitaalin todennäköisyysheys Ψ*Ψ yli koko avauuden: Ratkaisu: s- obitaali on ψ s = πa e Lasketaan integaali: ψ * s ψ s dτ = = πa 2π π 2π e a π 2 πa e a a 2 sin(θ)ddθdφ πa e a 2 sin(θ)ddθdφ πa 2π π = πa e e 2 2 a 2 a 2 sin(θ)ddθdφ π dφ d sin(θ)dθ 2π Lasketaan integaalit. Integaali :n suhteen edellyhää 2 ketaa osihaisintegoina, tai atkaisu voidaan katsoa taulukosta: e 2 a 2 2! d = ( 2 ) a 2π 2π dφ = φ = 2π = 2π π π sin(θ)dθ = - cos(θ) = -cos(π) - -cos() = 2
/5/ Sijoitetaan saadut tulokset: ψ * s ψ s dτ = πa 2! ( 2 2 2π ) a = Eli todennäköisyys ehä elektoni löytyy jostakin on %. 2π Esimekki: nomitusvakion lasku Laske vetyatomin 2p z - obitaalin nomitusvakio N: ψ 2 pz = Ne 2a cos(θ) Nomitusvakio lasketaan edellyhämällä ehä ψ 2 pz dτ = Ne π 2a cos(θ) Ne 2a cos(θ) 2 sin(θ)ddθdφ = 2π π = N 2 4 e a cos 2 (θ)sin(θ)ddθdφ = N 2 4 e a d cos 2 (θ)sin(θ)dθ π 2π dφ * ψ 2 pz 4
/5/ Lasketaan taas integaalit eikseen. Integaali :n suhteen otetaan taulukosta (tai osihaisintegoidaan 4 ketaa): e a 4 d = 4! 2π 2π ( dφ = φ = 2π = 2π ) 5 a π cos 2 π (θ)sin(θ)dθ = - cos (θ) = - (cos (π ) - cos ()) = - (--) = 2 Sijoitetaan: N 2 4! 5 # & 2 2π = N2 2πa 5 = % ( $ ' a N = 2πa 5 = 4 2πa 5 5