8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta

Transkriptio

1 8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun /lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu /lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö/lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk/o kolmiulo*eisessa avaruudessa ψ = ψ(x,y,z) = ψ(r,θ,ϕ) Kaikki hiukasen paikasta riippuvat funk/ot ovat kolmen muu*ujan funk/oita

2 Usean muu*ujen funk/on piirtäminen Z = f(x,y) kuvaaja on pinta Tässä kuvassa Z = sin(x) + y f(x,y) Käsin piirtäminen vaikeaa, ja > 3 ulo*uvuudessa y mahdotonta x

3 Usean muu*ujen funk/on piirtäminen Voidaan lukita yhden muu*ujan arvo ja piirtää Z = f(x,y 0 ) Tässä esim sin(x) + y, y:n arvoilla 1,0,1,2 f(x,y) y x

4 Useamman muu*ujan funk/on differen/aalilaskennan käsi*eitä Skalaariarvoisten (= ei vektori) funk/oiden f(x,y,z...) osi*aisderivaatat Skalaari ja vektoriarvoisten funk/oiden erilaiset "vektoriderivaatat" (ei käsitellä tällä kurssilla): grad(f) = f = f x i + f y x, y, 2 x y, jne f j + k z div( v ) = v = v x x + v y y + v z z curl( v ) = v = ( v z y - v y z ) i + ( v x z - v z x ) j + ( v y x - v x y ) k

5 Useamman muu*ujan funk/on integraalilaskennan käsi*eitä Funk/on f viivaintegraali käyrää C pitkin f(x,y) ds C Sulje*u viivaintegraali (C:n alku ja loppupiste samat) C f(x,y) ds Moninkertaiset integraalit (integroidaan useamman koordinaa/n yli), tärkeimpänä /lavuusintegraali: y 2 x 2 z 2 y 2 x 2 f(x,y,z)dxdydz = f(x,y,z)dx dy dz z 2 z 1 y 1 x 1 z 1 y 1 x 1

6 Osi*aisderivaa*a Esim. f(x,y)=2x 3 y 2 2x 2 y + 7 ( f(x,y) ) y = 6x 2 4xy x ( f(x,y) ) x = 2y 2x 2 y Vakiona pide*ävä muu*uja(t) merkitään alaindeksillä. Se on tärkeä! Esim. Sisäenergian U derivaa*a lämpö/lan T suhteen riippuu siitä, pidetäänkö /lavuus V vai paine p vakiona. ( U T ) V ( U T ) p

7 Muita osi*aisderivaatan merkintätapoja ovat esim: ( f x ) y = f x (x,y) = D x f(x,y) Esimerkki: ideaalikaasulain paineen osi*aisderivaa*a kolmen muun muu*ujan suhteen: p = nrt V ( p n ) V,T = RT V ( p T ) V,n = nr V ( p V ) n,t = nrt V 2

8 Korkeammat osi*aisderivaatat Esim. f(x,y): x ( f x ) = ( 2 f x 2 ) = f xx y ( f x ) = ( 2 f y x ) = f yx x ( f y ) = ( 2 f x y ) = f xy y ( f y ) = f ( 2 y 2 ) = f yy Jos funk/o f(x,y) on "siis/s/ käy*äytyvä", osi*aisderivaatat f yx ja f xy ovat samoja. ( 2 f y x ) = ( 2 f x y )

9 Testataan esimerkkisysteemillä ovatko ris/derivaatat samat. p = nrt V Lasketaan p TV = T ( p V ), p VT = V ( p T ) 2 p T V = T ( p V ) = nrt ( T V 2 ) = -nr V 2 2 p V T = V ( p T ) = V (nr V ) = -nr V 2 Kyllä, ris/derivaatat ovat samat.

10 Sta/onääriset pisteet = pisteet joissa derivaatat ovat nollia. Kertausta: 1 ulo*eisen funk/on f(x) mahdolliset minimit ja maksimit löytyvät kodista joissa df(x)/dx = 0. minimi: f'(x) + maksimi: f'(x) + Toinen tapa olisi: minimi: maksimi: d 2 f(x) dx 2 > 0 d 2 f(x) dx 2 < 0

11 Otetaan seuraavaksi 2 ulo*einen funk/o f(x,y). Mahdolliset minimit ja maksimit löytyvät tässäkin tapauksessa derivaatan nollakohdista f(x,y) x = 0 ja Minimin ja maksimin paljastavat toiset derivaatat. f xx < 0 ja Maksimi, kun Minimi, kun f yy < 0 ja f xx f yy (f xy ) 2 > 0 f xx > 0 ja f yy > 0 ja f(x,y) y f xx f yy (f xy ) 2 > 0 = 0 yhtälöpari Jos f xx f yy (f xy ) 2 < 0, kyseessä on satulapiste: minimi yhden muu*ujan suhteen ja maksimi toisen suhteen. Maksimi:

12 f(x) = (x 2 +y 2 ); maksimi

13 f(x) = x 2 +y 2 ; minimi

14 f(x) = x 2 y 2 ; satulapiste

15 Esim. f(x,y) = x 3 + 6xy 2 2y 3 12x. Etsi funk/on maksimit ja minimit. Ratkaisu: etsitään derivaa*ojen nollakohdat f(x,y) = 3x 2 + 6y 2-12 x f(x,y) = 12xy - 6y 2 y Saadaan yhtälöpari: 3x 2 + 6y 2-12 = 0 (1) 12xy - 6y 2 = 0 (2) Yhtälöstä 2: 12xy - 6y 2 = 6y(2x y) = 0 y = 0 tai y = 2x Maksimi:

16 Tapaus y=0: sijoitetaan yhtälöön 1: 3x 2 + 6y 2-12 = 3x 2-12 = 0 3x 2 =12 x 2 = 4 x = ±2 Mahdollisia minimejä tai maksimeja ovat siis (2,0) ja ( 2,0) Tapaus y=2x, sijoitetaan yhtälöön 1: 3x 2 + 6y 2-12 = 3x (2x) 2-12 = 0 27x 2 12 = 0 27x 2 =12 x 2 = = 4 9 x = ± 2 3 Maksimi: Mahdollisia minimejä tai maksimeja ovat siis (2/3, 4/3) ja ( 2/3, 4/3)

17 Sta/onääristen pisteiden luonne selviää laskemalla toisten derivaa*ojen arvot. Annetulle funk/olle f xx = 6x f yy =12x 12y f xy = f yx =12y x y f xx f yy f xy f xx f yy f xy 2 luonne >0 minimi >0 maksimi Maksimi: 2/3 4/ <0 satulapiste 2/3 4/ <0 satulapiste

18 Kokonaisdifferen/aali = muu*ujan hyvin pieni muutos kun yhtä tai useampaa toista muu*ujaa muutetaan 1 ulo6einen tapaus: y = f(x) y:n hyvin pientä muutosta kun x muu*uu hyvin vähän kuvaa kokonaisdifferen/aali dy = df(x) dx = f'(x)dx dx 2 ulo6einen tapaus: z = f(x,y) z:n hyvin pientä muutosta kun x ja y muu*uvat hyvin vähän kuvaa kokonaisdifferen/aali: dz = ( f(x,y) x ) y dx + ( f(x,y) y ) x dy

19 Kokonaisdifferen/aali 3 ulo6einen tapaus: u = f(x,y,z) du = ( f(x,y,z) ) y,z dx + ( f(x,y,z) ) x,z dy + ( f(x,y,z) ) x,y dz x y z Ja vastaavas/ myös enemmän kuin 3 muu*ujan funk/oille...

20 Kokonaisdifferen/aali & integroin/ 1 ulo6einen tapaus: y = f(x) dy = f'(x)dx Δy = 2 ulo6einen tapaus: z = f(x,y) dz = ( f(x,y) x ) y Δz = z 1 y 2 dy = f'(x)dx y 1 dx + ( f(x,y) y ) x dy z 2 f(x,y) dz = ( x ) y dx + ( f(x,y) y ) x dy C x 2 x 1 reih viivaintegraali (tästä lisää myöhemmin)

21 Kokonaisdifferen/aali: esimerkkejä Laske funkaoiden kokonaisdifferenaaalit a) 1 r(x,y,z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 dr = ( r x ) y,z dx + ( r y ) x,z dy + ( r z ) x,y dz = 1 2 (x2 + y 2 + z 2 ) 1 2 [ 2xdx + 2ydy + 2zdz] b) x(r,θ,ϕ) = rsinθcosϕ dx = ( x r ) θ,ϕ dr + ( x θ ) r,ϕ dθ + ( x ϕ ) r,θ dϕ = sinθcosϕdr + rcosθcosϕdθ - sinθsinϕdϕ

22 Kokonaisdifferen/aali: esimerkkejä Laske funkaoiden kokonaisdifferenaaalit c) T(p,V,n) = pv nr dt = ( T p ) V,n dp + ( T V ) p,n dv + ( T n ) p,vdn = V nr dp + p nr dv - PV n 2 R dn

23 Kokonaisdifferen/aali: esimerkkejä Termodynamiikan perusyhtälö sanoo: du = TdS - pdv (1) U = sisäenergia, S = entropia, V = /lavuus, T = lämpö/la U:n riippuma*omat muu*ujat ovat S ja V, siis U = U(S,V) joten U:n kokonaisdifferen/aali on: du = ( U S ) VdS+ ( U V ) SdV (2) Vertaamalla yhtälöitä 1 ja 2 saadaan seuraavat /edot: ( U S ) V = T ( U V ) S = -P

24 Kokonaisdifferen/aali: esimerkkejä Esim: V= V(p,T,n) α = 1 V ( V T ) p,n terminen laajenemiskerroin κ = - 1 V ( V p ) T,n isoterminen puristuvuuskerroin V m = ( V n ) p,t moolinen tilavuus Esitä V:n kokonaisdifferen/aali näiden (mita*avien) parametrien avulla. dv = ( V p ) T,n dp + ( V T ) p,n dt + ( V n ) T,p dn = -κvdp +αvdt + V m dn

25 Funk/on virheen arvioiminen kokonaisdifferen/aalin avulla 1 ulo*einen tapaus: on vain yksi virhelähde. y = f(x) dy = f'(x)dx Δy = f'(x 0 )Δx 1)Mitataan x = x 0 x:n mi*auksen tarkkuus on Δx 2)Määritetään y sekä y:n esitystarkkuus Δy x 0 on x:n mi*austulos.

26 Esim: liuoksen ph:n mi*aus ph = log[h 3 O + ] ph:n mi*auksen virhe on tyypillises/ ± Arvioi sen vaikutusta [H 3 O + ]:n arvoon, kun ph = Ratkaisu: [ H 3 O + ] =10 ph = (e ln10 ) ph = e -ln10 ph [ ] = d [ H 3 O+ ] Δ H 3 O + dph ph=1.000 ΔpH = de-ln10 ph dph ph=1.000 ΔpH = -ln10 e -ln10 ph ph=1.000 ΔpH

27 -ln10 e -ln10 ph ΔpH ph=1.000 = -ln10 e -ln = M [H 3 O + ] = (0.100 ± 0.023)M Laske*u arvo ph = Lasketun arvon virhe ph:ta ei siis voi ilmoi*aa kuin 2 desimaalin tarkuudella koska virhe on yli [H 3 O + ] = (0.10 ± 0.02) M

28 Funk/on virheen arvioiminen kokonaisdifferen/aalin avulla Useampiulo*einen tapaus: monta virhelähde*ä. Olkoon halu*u suure u, joka riippuu mitatuista muu*ujista x 1, x 2, x 3,...,x n. u = u(x 1, x 2, x 3,...,x n ) Olkoon kutankin muu*ujaa i vastaava mi*austulos x i,0 ja k.o. muu*ujan mi*ausvirhe Δx i. Nyt saadaan suureen u maksimivirheeksi: Δu = n i=1 ( U x i x i =x i,0 Δx i )

29 Esim: ideaalikaasun /lavuus on V = (2.0 ± 0.1)dm 3 ja paine on p = (754.7 ± 0.2) torr. Mikä on kaasun lämpö/la kun n = 0.1 mol (tarkka)? Ratkaisu: pv = nrt T = pv nr Sijoitetaan arvot, saadaan T = K. T:n maksimivirhe (MP = mi*auspiste): ΔT = T V MP ΔV + T p MP Δp = torr = 0.1 mol R 0.1 dm 3 + = K T = (242 ± 12 )K 2.0 dm mol R p nr MP ΔV + V nr MP Δp 0.2 torr

30 Eksak/t ja epäeksak/t differen/aalit f = f(x,y) f:n kokonaisdifferen/aali on: df = ( f(x,y) x ) y dx + ( f(x,y) y ) x dy f yx = 2 f(x,y) y x = 2 f(x,y) x y ) = f xy Koska ris/derivaatat ovat samat Tästä saadaan tes/ sille onko differen/aalimuotoinen lauseke kokonaisdifferen/aali. Kokonaisdifferen/aali = eksak/ differen/aali

31 Eksak/t ja epäeksak/t differen/aalit Differen/aalilauseke df = G(x,y)dx + H(x,y)dy on eksak/ jos G(x,y) y = H(x,y) x Esim: onko eksak/ differen/aali? df = (x 2 + y 2 )dx + 2xydy Ratkaisu: G(x,y) = (x 2 + y 2 ) ja H(x,y) = 2xy G(x,y) on eksaka. = 2y, H(x,y) = 2y y x

32 Esim: onko eksak/ differen/aali? dv = RT dp + R p dt p 2 Ratkaisu (muu*ujat ovat nyt x:n ja y:n sijaan p ja T): dv = G(p,T)dp + H(p,T)dT G(p,T) = -RT p 2, H(p,T) = R p dv on eksaka. G(p, T) = -R H(p,T) T p 2 = -R p p 2 Esim: onko eksak/ differen/aali? dw = pdv = RT dp + RdT p Ratkaisu: G(p,T) = -RT p, H(p,T) = R G(p, T) = -R H(p, T) = 0 dw ei ole eksaka. T p p

33 Esim: /edetään e*ä entalpian differen/aali dh = TdS + Vdp on eksak/ ( = kokonaisdifferen/aali). Kuten aiemmin du:n tapauksessa, tästä voidaan suoraan päätellä: dh = TdS+ Vdp ( H S ) p ds+ ( H p ) S dp T = ( H S ) p, V = ( H p ) S Toisekseen, dh:n eksak/uden takia täytyy päteä: ( T p ) S = ( V S ) p Tämä on yksi ns. Maxwellin relaaaoista (muut voidaan johtaa vastaavalla tavalla muista eksakteista differen/aaleista, esim du, dg, da), nämä ovat termodynamiikassa varsin keskeisiä.

34 Yhdistetyn funk/on derivoin/ 1 ulo6uvuudessa F = f(x) ja x = x(u) Tällöin f=f(u) df(x) du = df(x) dx dx du 2 ulo*uvuudessa f = f(x,y) ja x = x(u,v), y = y(u,v) Tällöin f = f(u,v) ( f u ) v = ( f x ) y( x u ) v + ( f y ) x( y u ) v

35 Esimerkki liuoskemian kurssilta: Liuoksen puskurikapasiteeh on Puskuriliuokselle joka on tehty hapon HA vesiliuoksesta lisäämällä emästä NaOH: c B = K HA c K HA + H 3 O + [ ] K HA = hapon HA happovakio, c = [HA] + [A ] c B = lisätyn emäksen määrä = [Na + ] P = dc B dph = d dph ( K HA c K HA + H 3 O + [ ] ) P = dc B dph [ H 3 O + ] = e -ln10 ph = d d[ H 3 O + ] ( K c HA K HA + H 3 O + [ ] ) d [ H 3 O + ] dph

36 P = d [ ] ( K HAc K HA + [ H 3 O + ] ) d [ H 3 O + ] dph d H 3 O + d = K HA c d H 3 O + (K HA + [ H 3 O + ]) ) d(e -ln10 ph ) dph [ ] ( 1-1 = K HA c -ln10 (K HA + [ H 3 O + e-ln10 ph 2 ]) [ ] K HAc H 3 O + (K HA + [ H 3 O + ]) 2

37 Z = Z(x,y) dz = ( Z x ) y dx + ( Z y ) x dy Tapaus 1 x = vakio, dx=0 dz = ( Z y ) x dy Tarpeellisia kaavoja "Jaetaan dz:lla ja muistetaan e*ä x on vakio" ( Z Z ) x =1 = ( Z y ) x( y Z ) x ( Z y ) x = 1 ( y Z ) x : ( y Z ) x Huom: molemmissa osi*aisderivaa/ossa x vakio

38 Z = Z(x,y) dz = ( Z x ) y dx + ( Z y ) x dy Tapaus 2 z = vakio, dz=0 ( Z x ) y dx + ( Z y ) x dy = 0 Tarpeellisia kaavoja "Jaetaan dy:lla ja muistetaan e*ä z on vakio" ( Z x ) y( x y ) z + ( Z y ) x( y y ) z = ( Z x ) y( x y ) z + ( Z y ) x 1 = 0 ( Z x ) y( x y ) z = ( Z y ) x Huom: kaikissa kolmessa osi*aisderivaatassa on eri muu*uja vakiona (epäintui/ivinen miinusmerkki tulee tästä)

39 Tarpeellisia kaavoja Yhdistetään edelliset 2 tulosta. ( Z y ) x = 1 ( y Z ) x ( Z x ) y( x y ) z =, toisaalta ( Z x ) y ( x y ) z = ( Z y ) x 1 ( y Z ) x ( Z x ) y( x y ) z( y Z ) x = 1 Huom: kaikissa kolmessa osi*aisderivaatassa on eri muu*uja vakiona (epäintui/ivinen miinusmerkki tulee tästä)

40 Esimerkki 1 : pv = nrt, n vakio lasketaan ( P V ) T( V T ) p( T p ) V p = nrt V, V = nrt p, T = pv nr ( P V ) T ( V T ) p ( T p ) V ( nrt = ( V ) ( nrt V ) T ( p ) pv ( T ) p ( nr ) p = nrt V 2 = - nrt nrt = -1 nr p V nr = nrt pv ) V pv = nrt

41 Esimerkki 2 : ilmaise ( p T ) V seuraavien vakioiden avulla : α = 1 V ( V T ) p, κ = - 1 V ( V p ) T Ratkaisu : ( p T ) V( T V ) p( V p ) T = 1 ( p T ) V( V p ) T = ( p T ) V = 1 ( V T ) p ( V p ) T 1 ( T V ) p = = 1( V T ) p 1 V ( V T ) p 1 V ( V p ) T = α κ