2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa B. harjotukset / Ratkasut Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, F-jakauma, F-test, Frekvess, Keskhajota, Normaaljakauma, Odotusarvo, Odotusarvoje vertalutest, Otos, Otoskoko, Otosvarass, Parvertalutest, Rppumattomat otokset, Rppumattomuus, Rppuvat otokset, Stadardotu ormaaljakauma, Suhteelle frekvess, Suhteelle osuus, Suhteellste osuukse vertalutest, Testt odotusarvolle, Test suhteellselle osuudelle, Testt varasslle, t-jakauma, t-test, Todeäkösyys, Varass, Varasse vertalutest, Ykskertae satuasotos, z-test Tlastollset testt Yhde otokse t-test Testausasetelma yhde otokse t-testssä odotusarvolle Olkoo X, =,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(µ,σ ). Tällö satuasmuuttujat X, =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(µ,σ ): X, X,, X X N( µσ, ), =,,, Asetetaa ormaaljakauma N(µ,σ ) odotusarvo- el pakkaparametrlle µ ollahypotees H :µ = µ Testausogelma: Ovatko havaot sopusoussa ollahypotees H kassa? Ogelma ratkasua o yhde otokse t-test odotusarvolle. Hypoteest yhde otokse t-testssä odotusarvolle Ylee hypotees H : X, X,, X X ~N( µσ, ), =,,, Nollahypotees: H :µ = µ Vahtoehtoset hypoteest: H: µ > µ H: µ < µ H : µ µ -suutaset vahtoehtoset hypoteest -suutae vahtoehtoe hypotees TKK @ Ilkka Mell (8) /43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Parametre estmot yhde otokse t-testssä odotusarvolle Olkoot ja X X = = s X X = ( ) = tavaomaset harhattomat estmaattort ormaaljakauma parametrelle µ ja σ. Tuusluku X o havatoje X, =,,, artmeette keskarvo ja s o havatoje X, =,,, otosvarass. Testsuure yhde otokse t-testssä odotusarvolle Määrtellää t-testsuure X µ t = s/ Jos ollahypotees H :µ = µ pätee, testsuure t oudattaa Studet t-jakaumaa vapausaste ( ): t t( ) Testsuuree t ormaalarvo =, koska ollahypotees H pätessä E(t) = Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree t arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. e määrääme yhde otokse t-testssä odotusarvolle Valtaa test merktsevyystasoks. () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:µ > µ krtte arvo +t saadaa ehdosta Pr( t + t ) = jossa t t( ). Test hylkäysalue o tällö muotoa ( + t, + ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:µ < µ krtte arvo t saadaa ehdosta Pr( t t ) = TKK @ Ilkka Mell (8) /43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset jossa t t( ). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, t ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:µ µ krttset arvot t / ja +t / saadaa ehdosta Pr( t t /) = / Pr( t + t ) = / / jossa t t( ). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, t ) ( + t, + ) / / Nollahypotees hylätää, jos testsuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuvot havaollstavat test hylkäysaluee määräämstä: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ t ( ) t ( ) t ( ) t + t t / +t / p-arvo määrääme yhde otokse t-testssä odotusarvolle Olkoo t-testsuuree havattu arvo t. Alla olevat kuvot havaollstavat test p-arvo määräämstä: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ t ( ) t ( ) t ( ) p p p p p p p t + t t t Test p-arvo = p Test p-arvo = p Test p-arvo = p TKK @ Ilkka Mell (8) 3/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Nollahypotees hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. Yhde otokse test varasslle Olkoo X, =,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(µ, σ ). Tällö satuasmuuttujat X, =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(µ,σ ): X, X,, X X N( µσ, ), =,,, Asetetaa ormaaljakauma N(µ,σ ) varassparametrlle σ ollahypotees H :σ = σ Testausogelma: Ovatko havaot sopusoussa ollahypotees H kassa? Ogelma ratkasua o yhde otokse χ -test varasslle. Hypoteest yhde otokse testssä varasslle Ylee hypotees H : X, X,, X X ~N( µσ, ), =,,, Nollahypotees: H :σ = σ Vahtoehtoset hypoteest: H: σ σ σ σ σ H: H : > σ -suutaset vahtoehtoset hypoteest < -suutae vahtoehtoe hypotees Parametre estmot yhde testssä varasslle Olkoot ja X X = = s X X = ( ) = tavaomaset harhattomat estmaattort ormaaljakauma parametrelle µ ja σ. Tuusluku X o havatoje X, =,,, artmeette keskarvo ja s o havatoje X, =,,, otosvarass. TKK @ Ilkka Mell (8) 4/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Testsuure yhde otokse testssä varasslle Määrtellää χ -testsuure Jos ollahypotees ( ) s χ = σ H :σ = σ pätee, testsuure χ oudattaa χ -jakaumaa vapausaste ( ): χ χ ( ) Testsuuree χ ormaalarvo = ( ), koska ollahypotees H pätessä E(χ ) = Ste sekä peet että suuret testsuuree χ arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. e määrääme yhde otokse testssä varasslle Valtaa test merktsevyystasoks. () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:σ > σ krtte arvo χ saadaa ehdosta Pr( ) χ χ = jossa χ χ ( ). Test hylkäysalue o tällö muotoa () ( χ, + ) Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:σ < σ krtte arvo χ saadaa ehdosta Pr( χ χ ) = jossa χ χ ( ). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, ) χ () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:σ σ krttset arvot χ / ja χ / saadaa ehdosta Pr( χ χ ) = / / / Pr( χ χ ) = / TKK @ Ilkka Mell (8) 5/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset jossa χ χ ( ). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, χ ) ( χ, + ) / / Nollahypotees hylätää, jos testsuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuvot havaollstavat test hylkäysaluee määräämstä: H:σ > σ H:σ < σ H:σ σ χ ( ) χ ( ) χ ( ) χ χ χ χ p-arvo määrääme yhde otokse testssä varasslle Olkoo χ -testsuuree havattu arvo χ. Alla olevat kuvot havaollstavat test p-arvo määräämstä, ku vahtoehtoe hypotees o ykssuutae: H:σ > σ H:σ < σ χ ( ) χ ( ) p p p p H:σ σ tapauksessa test p-arvo o χ χ Test p-arvo = p Test p-arvo = p Kakssuutase vahtoehtose hypotees { } p = m Pr( χ χ ),Pr( χ χ ) jossa χ χ ( ) TKK @ Ilkka Mell (8) 6/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Nollahypotees hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. Kahde rppumattoma otokse t-test Testausasetelma kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Olkoo X, =,,, satuasotos ormaaljakaumasta N( µ, σ ). Tällö satuasmuuttujat X, =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa X, X,, X X N( µ, σ ), =,,, Olkoo X j, j =,,, satuasotos ormaaljakaumasta rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa X, X,, X Oletetaa lsäks, että otokset X N( µ, σ ), j =,,, j N( µ, σ ) : N( µ, σ ). Tällö satuasmuuttujat X j, j =,,, ovat N( µ, σ ) : ja X, =,,, X j, j =,,, ovat rppumattoma tosstaa. Asetetaa ormaaljakaume N( µ, σ) ja N( µ, σ ) odotusarvo- el pakkaparametrelle µ ja µ ollahypotees H :µ = µ = µ Testausogelma: Ovatko havaot sopusoussa ollahypotees H kassa? Ogelma ratkasua o kahde rppumattoma otokse t-test odotusarvolle. Hypoteest kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Ylee hypotees H : () X ~N( µ, σ ), =,,, () X ~N( µ, σ ), j =,,, j () Havaot X ja X j ovat rppumattoma kaklle ja j TKK @ Ilkka Mell (8) 7/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Nollahypotees: H :µ = µ = µ Vahtoehtoset hypoteest: H: µ > µ H: µ < µ H : µ µ -suutaset vahtoehtoset hypoteest -suutae vahtoehtoe hypotees Parametre estmot kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Olkoot ja k X = X, k =, k k = k k k k k = k s = ( X X ), k =, tavaomaset harhattomat estmaattort ormaaljakauma parametrelle µ k ja σ k. Tuusluku X k o havatoje X k, =,,, k, k =, artmeette keskarvo ja s k o havatoje X k, =,,, k, k =, otosvarass. Testsuure ylesessä tapauksessa kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Määrtellää t-testsuure t A = X X s s + Jos ollahypotees H :µ = µ = µ pätee, testsuure t A oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa N(,): t N(,) A a Testsuuree t A ormaalarvo =, koska ollahypotees H pätessä E(t A ) = Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree t A arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. TKK @ Ilkka Mell (8) 8/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Pessä otoksssa testsuuree t A jakaumalle saadaa paremp approksmaato käyttämällä approksmovaa jakaumaa t-jakaumaa vapausaste (s. Satterthwate approksmaato) ν = s s + s + s Jos ν e ole kokoasluku, ν: arvo o tapaa pyörstää alaspä lähmpää kokoaslukuu. Hema huoomp approksmaato testsuuree t A jakaumalle (mutta, joka o paremp ku ormaaljakauma-approksmaato) saadaa käyttämällä approksmovaa jakaumaa t-jakaumaa vapausaste ν = m(, ) e määrääme kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Valtaa test merktsevyystasoks. Kästtelemme tässä krttste rajoje määräämstä va, ku testsuuretta t A approksmodaa ormaaljakaumalla. Krttste rajoje määrääme, ku testsuuretta t A approksmodaa t- jakaumalla, tapahtuu täsmällee samalla tavalla ku yhde otokse t-test tapauksessa. () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:µ > µ krtte arvo +t saadaa ehdosta Pr( t + t ) = jossat N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa ( + t, + ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:µ < µ krtte arvo t saadaa ehdosta Pr( t t ) = jossat N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, t ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:µ µ krttset arvot t / ja +t / saadaa ehdosta Pr( t t /) = / Pr( t + t ) = / / TKK @ Ilkka Mell (8) 9/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset jossat N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, t ) ( + t, + ) / / Nollahypotees hylätää, jos testsuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuvot havaollstavat test hylkäysaluee valtaa: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ N(,) N(,) N(,) t + t t / +t / p-arvo määrääme kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Olkoo t-testsuuree t A havattu arvo t. Kästtelemme tässä test p-arvo määräämstä va, ku testsuuretta t A approksmodaa ormaaljakaumalla. p-arvo määrääme, ku testsuuretta t A approksmodaa t-jakaumalla, tapahtuu täsmällee samalla tavalla ku yhde otokse t-test tapauksessa. Alla olevat kuvot havaollstavat test p-arvo määräämstä: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ N(,) N(,) N(,) p p p p p p p t + t t t Test p-arvo = p Test p-arvo = p Test p-arvo = p Nollahypotees hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. TKK @ Ilkka Mell (8) /43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Testsuure kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle, jos varasst vodaa olettaa yhtä suurks Oletetaa, että edellä estettyje oletuste lsäks hypotees σ = σ = σ pätee. Määrtellää t-testsuure X X tb = sp + jossa s ( ) s + ( ) s p = + o s. yhdstetty (egl. pooled) varass. Jos ollahypotees H :µ = µ = µ pätee, testsuure t B oudattaa t-jakaumaa vapausaste ( + ): t t( + ) B Testsuuree t B ormaalarvo =, koska ollahypotees H pätessä E(t B ) = Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree t B arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. e määrääme kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle, jos varasst vodaa olettaa yhtä suurks Krttste arvoje määrääme tapahtuu täsmällee samalla tavalla ku yhde otokse t-test tapauksessa. p-arvo määrääme kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle, jos varasst vodaa olettaa yhtä suurks Test p-arvo määrääme tapahtuu täsmällee samalla tavalla ku yhde otokse t-test tapauksessa. Kahde rppumattoma otokse test varasselle Testausasetelma kahde rppumattoma otokse testssä varasselle Olkoo X, =,,, satuasotos ormaaljakaumasta N( µ, σ ). Tällö satuasmuuttujat X, =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa N( µ, σ ) : TKK @ Ilkka Mell (8) /43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Olkoo X, X,, X X N( µ, σ ), =,,, X j, j =,,, ykskertae satuasotos ormaaljakaumasta N( µ, σ ). Tällö satuasmuuttujat X j, j =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa X, X,, X Oletetaa lsäks, että otokset X N( µ, σ ), j =,,, j N( µ, σ ) : ja X, =,,, X j, j =,,, ovat tosstaa rppumattoma. Asetetaa ormaaljakaume N( µ, σ ) ja N( µ, σ ) varassparametrelleσ jaσ ollahypotees H :σ = σ = σ Testausogelma: Ovatko havaot sopusoussa ollahypotees H kassa? Ogelma ratkasua o kahde rppumattoma otokse F-test varasselle. Hypoteest kahde rppumattoma otokse testssä varasselle Ylee hypotees H : () X ~N( µ, σ ), =,,, () X ~N( µ, σ ), j =,,, j () Havaot X ja X j ovat rppumattoma kaklle ja j Nollahypotees: Vahtoehtoset hypoteest: H :σ = σ = σ H: σ > σ -suutaset vahtoehtoset hypoteest H: σ < σ H : σ σ -suutae vahtoehtoe hypotees Parametre estmot kahde rppumattoma otokse testssä varasselle Olkoot k X = X, k =, k k = k TKK @ Ilkka Mell (8) /43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset ja s = ( X X ), k =, k k k k k = tavaomaset harhattomat estmaattort ormaaljakauma parametrelle µ k ja σ k. Tuusluku X k o havatoje X k, =,,, k, k =, artmeette keskarvo ja s k o havatoje X k, =,,, k, k =, otosvarass. Testsuure ylesessä tapauksessa kahde rppumattoma otokse testssä varasselle Määrtellää F-testsuure Jos ollahypotees s F = s H :σ = σ = σ pätee, testsuure F oudattaa F-jakaumaa vapausaste ( ) ja ( ) : F F(, ) Suurlle testsuuree o F ormaalarvo, koska ollahypotees H pätessä E( F) = 3 Ste sekä peet että suuret testsuuree F arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. e määrääme kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Valtaa test merktsevyystasoks. () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:σ > σ krtte arvo F saadaa ehdosta Pr( F F ) = jossa F F(, ). Test hylkäysalue o tällö muotoa ( F, + ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:σ < σ krtte arvo F saadaa ehdosta Pr( F F ) = jossa F F(, ). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, ) F TKK @ Ilkka Mell (8) 3/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:µ µ krttset arvot F / ja F / saadaa ehdosta Pr( F F /) = / Pr( F F ) = / / jossa F F(, ). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, F / ) ( F/, + ) Nollahypotees hylätää, jos testsuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuvot havaollstavat test hylkäysaluee valtaa: H:σ > σ H:σ < σ H:σ σ F (, ) F (, ) F (, ) F F F F p-arvo määrääme kahde rppumattoma otokse testssä varasselle Olkoo F-testsuuree F havattu arvo F. Alla olevat kuvot havaollstavat test p-arvo määräämstä, ku vahtoehtoe hypotees o ykssuutae: H:σ > σ F (, ) H:σ < σ F (, ) p p p p F Test p-arvo = p Test p-arvo = p TKK @ Ilkka Mell (8) 4/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Kakssuutase vahtoehtose hypotees H:σ σ tapauksessa test p-arvo o jossa { } p = m Pr( F F ),Pr( F F ) F F(, ) Nollahypotees hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. t-test parvertalulle Testausasetelma t-testssä parvertalulle Oletetaa, että havaot muodostuvat muuttujaa X koskevsta tosstaa rppumattomsta mttaustulokse paresta (X, X ), =,,, Tavotteea o verrata mttauksa X ja X tossa: Atavatko mttaukset ja keskmäär sama tulokse? Muodostetaa mttaustulokse X ja X erotukset,,,, = X X = Mttaukset ja atavat keskmäär sama tulokse, jos erotukset saavat keskmäär arvo olla. Parvertaluogelma ratkasua o tavaomae yhde otokse t-test mttaustulokse X ja X erotukse odotusarvolle. Hypoteest t-testssä parvertalulle Ylee hypotees H :,,, ~N( µ, σ ), =,,, Nollahypotees: H : µ = Vahtoehtoset hypoteest: H: µ > H: µ < -suutaset vahtoehtoset hypoteest H : µ -suutae vahtoehtoe hypotees TKK @ Ilkka Mell (8) 5/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Parametre estmot t-testssä parvertalulle Olkoot ja = = s = ( ) = tavaomaset harhattomat estmaattort ormaaljakauma parametrelle µ ja σ. Tuusluku o erotuste,,,, = X X = artmeette keskarvo ja s o erotuste,,,, = X X = otosvarass. Testsuure t-testssä parvertalulle Määrtellää t-testsuure t = s / Jos ollahypotees H : µ = pätee, testsuure t oudattaa Studet t-jakaumaa vapausaste ( ): t t( ) Testsuuree t ormaalarvo =, koska ollahypotees H pätessä E(t) = Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree t arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. e määrääme t-testssä parvertalulle Krttste arvoje määrääme tapahtuu täsmällee samalla tavalla ku yhde otokse t-test tapauksessa. p-arvo määrääme t-testssä parvertalulle Test p-arvo määrääme tapahtuu täsmällee samalla tavalla ku yhde otokse t-test tapauksessa. Test suhteellselle osuudelle Testausasetelma testssä suhteellselle osuudelle Olkoo A perusjouko S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Pr(A c ) = p = q TKK @ Ilkka Mell (8) 6/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Määrtellää satuasmuuttuja, jos tapahtuma A sattuu X =, jos tapahtuma A e satu Tällö satuasmuuttuja X oudattaa Beroull-jakaumaa parametraa p: X Ber(p) ja E( X) = p Var( X ) = ( X) = pq Oletetaa, että tapahtuma A o muotoa A = Perusjouko S alkolla o omasuus P Tällö p = Pr(A) o todeäkösyys poma perusjoukosta S satuasest alko, jolla o omasuus P. Jos perusjoukko S o äärelle, todeäkösyys p kuvaa de perusjouko S alkode suhteellsta osuutta, jolla o omasuus P. Olkoo X, X,, X satuasotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroull-jakaumaa Beroull(p). Tällö X, X,, X X Beroull( p), =,,, Asetetaa Beroull-jakauma odotusarvoparametrlle p ollahypotees H : p = p Testausogelma: Ovatko havaot sopusoussa ollahypotees H kassa? Ogelma ratkasua o test suhteellselle osuudelle. Hypoteest testssä suhteellselle osuudelle Ylee hypotees: X, X,, X X Beroull( p), =,,, Nollahypotees: H : p = p Vahtoehtoset hypoteest: H: p > p H: p< p H : p p -suutaset vahtoehtoset hypoteest -suutae vahtoehtoe hypotees TKK @ Ilkka Mell (8) 7/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Parametre estmot testssä suhteellselle osuudelle Olkoo pˆ = X = tavaomae harhato estmaattor Beroull-jakauma parametrlle p. Huomaa, että = X = f o tapahtuma A frekvess sä -kertasessa rppumattome Beroull-kokede sarjassa, jota ykskertase satuasotokse pomta Beroull-jakaumasta Beroull(p) merktsee. Ste f pˆ = o tapahtuma A suhteelle frekvess ja f = X B(, p) = Testsuure testssä suhteellselle osuudelle Määrtellää z-testsuure pˆ p z = p( p) Jos ollahypotees H : p = p pätee, testsuure z oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa N(,): z a N(,) Testsuuree z ormaalarvo =, koska ollahypotees H pätessä E(z) = Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree z arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. e määrääme testssä suhteellselle osuudelle Valtaa test merktsevyystasoks. () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p> p krtte arvo +z saadaa ehdosta Pr( z + z ) = jossa z N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa TKK @ Ilkka Mell (8) 8/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset ( + z, + ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p< p krtte arvo z saadaa ehdosta Pr( z z ) = jossa z N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, z ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p p krttset arvot z / ja +z / saadaa ehdosta Pr( z z /) = / Pr( z + z ) = / / jossa z N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, z ) ( + z, + ) / / Nollahypotees hylätää, jos testsuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuvot havaollstavat test hylkäysaluee valtaa: H : p > p H : p < p H:p p N(,) N(,) N(,) + z z z / +z / p-arvo määrääme testssä suhteellselle osuudelle Olkoo z-testsuuree z havattu arvo z. TKK @ Ilkka Mell (8) 9/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Alla olevat kuvot havaollstavat test p-arvo määräämstä: H : p > p H : p < p H:p p N(,) N(,) N(,) p p p p p p p z + z z z p-arvo = p p-arvo = p p-arvo = p Nollahypotees hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. Suhteellste osuukse vertalutest Testausasetelma suhteellste osuukse vertalutestssä Olkoo A perusjouko S k, k =, tapahtuma ja olkoot Pr(A) = p k, k =, Pr(A c ) = p k = q k, k =, Määrtellää satuasmuuttujat X k, k =, :, jos A tapahtuu perusjoukossa Sk X k =, jos A e tapahdu perusjoukossa S Tällö ja X k ~ Beroull(p k ), k =, E( X ) = p k k Var( X k) = ( Xk) = pkqk Oletetaa, että tapahtuma A o muotoa Tällö A = Perusjouko alkolla o omasuus P p k = Pr(A) o todeäkösyys poma perusjoukosta S k, k =, satuasest alko, jolla o omasuus P. Jos perusjoukko S k, k =, o äärelle, todeäkösyys p k kuvaa de perusjouko S k alkode suhteellsta osuutta, jolla o omasuus P. Olkoo X, X,, X k TKK @ Ilkka Mell (8) /43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset satuasotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroull-jakaumaa Beroull(p ). Tällö X, X,, X X Beroull( p ), =,,, Olkoo X, X,, X satuasotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroull-jakaumaa Beroull(p ). Tällö X, X,, X X Beroull( p ), =,,, Olkoot otokset lsäks tosstaa rppumattoma. Asetetaa Beroull-jakaume parametrelle p ja p ollahypotees H : p = p = p Testausogelma: Ovatko havaot sopusoussa ollahypotees H kassa? Ogelma ratkasua o suhteellste osuukse vertalutest. Hypoteest suhteellste osuukse vertalutestssä Ylee hypotees: X, X,, X () X Beroull( p ), =,,, () () X, X,, X X Beroull( p ), =,,, X, X,, X, X, X,, X Nollahypotees: H : p = p = p Vahtoehtoset hypoteest: H: p > p -suutaset vahtoehtoset hypoteest H: p < p H : p p -suutae vahtoehtoe hypotees Parametre estmot suhteellste osuukse vertalutestssä Olkoo k pˆ = X, k =, k k = k tavaomae harhato estmaattor Beroull-jakauma parametrlle p k, k =,. Huomaa, että TKK @ Ilkka Mell (8) /43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset k = X = f, k =, k k o tapahtuma A frekvess sä -kertasessa rppumattome Beroull-kokede sarjassa, jota ykskertase satuasotokse pomta Beroull-jakaumasta Beroull(p k ), k =, merktsee. Ste fk pˆ k =, k =, k o tapahtuma A suhteelle frekvess otoksessa k =, ja k k = k k k = f X B(, p ) Jos ollahypotees H : p = p = p pätee, vodaa otokset yhdstää ja parametr p harhato estmaattor o tapahtuma A suhteelle frekvess yhdstetyssä otoksessa: p ˆ+ p ˆ f+ f pˆ = = + + Jos ollahypotees H pätee, p( p) p( p) Var( pˆ pˆ ) = + = p( p) + Testsuure suhteellste osuukse vertalutestssä Määrtellää testsuure z = pˆ pˆ pˆ( pˆ) + Jos ollahypotees H : p = p = p pätee, testsuure z oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: z a N(,) Testsuuree z ormaalarvo =, koska ollahypotees H pätessä E(z) = Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree z arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. TKK @ Ilkka Mell (8) /43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset e määrääme suhteellste osuukse vertalutestssä Valtaa test merktsevyystasoks. () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p > p krtte arvo +z saadaa ehdosta Pr( z + z ) = jossa z N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa ( + z, + ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p < p krtte arvo z saadaa ehdosta Pr( z z ) = jossa z N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, z ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p p krttset arvot z / ja +z / saadaa ehdosta Pr( z z /) = / Pr( z + z ) = / / jossa z N(,). Test hylkäysalue o tällö muotoa (, z ) ( + z, + ) / / Nollahypotees hylätää, jos testsuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuvot havaollstavat test hylkäysaluee valtaa: H:p > p H:p < p H:p p N(,) N(,) N(,) + z z z / +z / TKK @ Ilkka Mell (8) 3/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset p-arvo määrääme suhteellste osuukse vertalutestssä Olkoo z-testsuuree z havattu arvo z. Alla olevat kuvot havaollstavat test p-arvo määräämstä: H:p p H:p > < H:p p p N(,) N(,) N(,) p p p p p p p z + z z z p-arvo = p p-arvo = p p-arvo = p Nollahypotees hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. TKK @ Ilkka Mell (8) 4/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Tehtävä.. Koe valmstaa auloja, jode tavoteptuus o cm. Nauloje ptuus vahtelee kutek satuasest oudattae ormaaljakaumaa. Nauloje laatua tutktaa pommalla tasatue edellse tu akaa valmstettuje auloje joukosta ykskertae satuasotos, joka koko o 3 ja vertaamalla otoksee pomttuje auloje keskptuutta ptuude tavotearvoo. Erää kerra otoksee pomttuje auloje ptuukse artmeettseks keskarvoks saat 9.95 cm ja otosvarassks saat. cm. Testaa ollahypoteesa, että ko. tu akaa valmstettuje auloje todelle keskptuus o tavotearvo mukae, ku vahtoehtosea hypoteesa o, että keskptuus o tavotearvoa peemp. Käytä testssä %: merktsevyystasoa. Tehtävä.. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa yhde otokse t-testä. Tehtävä.. Ratkasu: Koe valmstaa auloja. Koee valmstame auloje joukosta pomtaa ykskertae satuasotos, joka koko = 3. Määrtellää satuasmuuttujat X = aula ptuus otoksessa, =,,, 3 Ylee hypotees H o muotoa: X, X,, X X N(, ), =,,,3 3 µσ Nollahypotees H o muotoa: H : µ = Vahtoehtoe hypotees H o muotoa. H : µ < Sovelletaa yhde otokse t-testä. Testsuureea o X µ t = s/ jossa X = X = s = ( X X) = Jos ollahypotees H pätee, testsuure t oudattaa Studet t-jakaumaa vapausaste ( ): t t( ) = t(9) Itsesarvoltaa suuret testsuuree t arvot johtavat ollahypotees hylkäämsee. TKK @ Ilkka Mell (8) 5/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Tehtävä tapauksessa = 3 X = 9.95 s =. µ = jote X µ 9.95 t = = =.739 s/./ 3 Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H : µ <, testsuuree t arvoa.739 vastaavaks p-arvoks saadaa esm. Mcrosoft Excel -ohjelmalla Pr(t.739) =.5 jossa t t(9). Ste ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla, koska p =.5 <. Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H : µ <, merktsevyystasoa. vastaava krtte raja o t. =.46 sllä t-jakauma taulukode mukaa Pr(t.46) =. ku t t(9). Koska t =.739 <.46 = t. testsuuree t arvo.46 o osuut hylkäysalueelle ja ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla ja vahtoehtoe hypotees H vodaa hyväksyä. Johtopäätös: Koe tekee auloja, jode keskmääräe ptuus o tlastollsest merktseväst tavotearvoa cm peemp. Tehtävä.. Kuulalaakertehtaassa o kaks samalasa kuulalaaker kuula valmstavaa koetta, K ja K. Koede valmstame kuule paot vahtelevat satuasest (ja tosstaa rppumatta) oudattae ormaaljakaumaa. Kummak koee valmstame kuule joukosta pomtaa tosstaa rppumattomat ykskertaset satuasotokset ja otokssta lasketaa otoksee pomttuje kuule paoje artmeettset keskarvot ja keskhajoat. Otokssta saadut tedot o aettu alla olevassa taulukossa. TKK @ Ilkka Mell (8) 6/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Testaa ollahypoteesa, että koeet K ja K valmstavat keskmäär samapaosa kuula, ku vahtoehtosea hypoteesa o, että koede K ja K valmstame kuule keskpaot eroavat tosstaa. Käytä testssä %: merktsevyystasoa. Koe Artmeette keskarvo (g) Keskhajota (g) Otoskoko K.. 3 K.. Tehtävä.. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa kahde rppumattoma otokse t-testä. Tehtävä.. Ratkasu: Tehtaalla valmstetaa kuulalaaker kuula kahdella koeella K ja K. Koee K valmstame auloje joukosta pomtaa ykskertae satuasotos, joka koko = 3. Koee K valmstame auloje joukosta pomtaa (edellsestä rppumato) ykskertae satuasotos, joka koko =. Määrtellää satuasmuuttujat X = koee K tekemä kuula pao otoksessa, =,,, 3 X j = koee K tekemä kuula pao otoksessa, j =,,, Ylee hypotees H o muotoa: () X N( µ, σ ), =,,, 3 () X N( µ, σ ), j =,,, j (3) Havaot X ja X j ovat rppumattoma kaklle ja j Nollahypotees H o muotoa: H : µ = µ = µ Vahtoehtoe hypotees H o muotoa: H : µ µ Määrtellää seuraavat otossuureet: k X = X, k =, k k k = k k k k k = ( ) s + ( ) s p = + s = ( X X ), k =, s Kahde rppumattoma otokse odotusarvoje vertaluu o tarjolla kaks erlasta testsuuretta. TKK @ Ilkka Mell (8) 7/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Testsuuretta t A = X X s s + vodaa käyttää kakssa tlatessa, jossa ylee hypotees H pätee. Jos ollahypotees H : µ = µ = µ pätee, testsuure t A oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: t A a N(,) Pessä otoksssa testsuuree t A jakaumalle saadaa paremp approksmaato käyttämällä approksmaatoa Studet t-jakaumaa, jossa vapausastede lukumäärää käytetää lukua ν = s s + s + s Itsesarvoltaa suuret testsuuree t A arvot sotvat ollahypoteesa H : µ = µ = µ vastaa. Jos ollahypotees σ = σ = σ pätee, vodaa käyttää testsuuretta X X tb = sp + Jos hypotees σ = σ = σ lsäks ollahypotees H : µ = µ = µ pätee, testsuure t B oudattaa Studet t-jakaumaa vapausaste ( + ): t B t( + ) = t(49) Itsesarvoltaa suuret testsuuree t B arvot sotvat ollahypoteesa H : µ = µ = µ vastaa. Huomautus: Tehtyje oletukse pätessä t A oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa (ta t-jakaumaa), ku taas testsuuree t B jakauma o tarkka. TKK @ Ilkka Mell (8) 8/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Jotta testsuuretta t B votas käyttää, o ss es testattava hypoteesa σ = σ = σ Tähä käytetää F-testsuuretta Jos hypotees s F = s σ = σ = σ pätee, testsuure F oudattaa Fsher F-jakaumaa vapausaste ( ) ja ( ): F F(, ) = F(3, 9) Sekä suuret että peet testsuuree F arvot sotvat hypoteesa σ = σ = σ vastaa. Huomautus: Käytettäessä F-jakauma taulukota kaattaa toma, että suuremp otosvarassesta asetetaa testsuuree osottajaa. Testataa ss es hypoteesa σ = σ = σ Tehtävä tapauksessa s =.4 s =. = 3 = jote = s.4 F = 4. = s Jos vahtoehtoseks hypoteesks valtaa -suutae vahtoehto σ > σ, testsuuree F arvoa 4 vastaavaks p-arvoks saadaa esm. Mcrosoft Excel -ohjelmalla Pr(F > 4) =.6 jossa F F(3, 9). Ste hypotees σ = σ = σ varasse yhtäsuuruudesta vodaa hylätä %: merktsevyystasolla, koska p =.6 <. Koska vahtoehtoseks hypoteesks valtt -suutae vahtoehto σ > σ, merktsevyystasoa. vastaava krtte raja o F. =.844 sllä F-jakauma taulukode mukaa Pr(F.844) =. ku F F(3, 9). Koska TKK @ Ilkka Mell (8) 9/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset F = 4 >.844 testsuuree F arvo 4 o osuut hylkäysalueelle ja hypotees σ = σ = σ varasse yhtäsuuruudesta vodaa hylätä %: merktsevyystasolla ja vahtoehtoe hypotees σ > σ vodaa hyväksyä. Koska varasse yhtä suuruutta koskeva hypotees σ = σ = σ hylätt, käytämme testsuuretta t A ollahypotees H : µ = µ = µ testaamsee. Tehtävä tapauksessa X =. X =. s =.4 s =. = 3 = jote t A X X.. = = =.363 s.4. s + + 3 Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H : µ µ, testsuuree t A arvoa.363 vastaavaks p-arvoks saadaa ormaaljakauma-approksmaatota käyttäe Pr(z >.363) = (.999) =.8 ku z N(,). Ste ollahypotees H jää vomaa %: merktsevyystasolla, koska p =.8 >. Jos käytämme t-jakauma-approksmaatota, vapausastede lukumääräks tulee s s + ν = = 46.69 s s + jote käytämme vapausastede lukumäärää alaspä pyörstettyä lukua 46. Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H : µ µ, testsuuree t A arvoa.363 vastaavaks p-arvoks saadaa t-jakauma-approksmaatota käyttäe esm. Mcrosoft Excel -ohjelmalla Pr(t >.363) =. =. ku t t(46). Ste ollahypotees H jää vomaa %: merktsevyystasolla, koska p =. >. TKK @ Ilkka Mell (8) 3/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H : µ µ, t-jakauma taulukosta saadaa %: merktsevyystasoa vastaavlle krttslle rajolle t.5 ja +t.5 saadaa arvot t.5 (.74,.678) +t.5 (+.678, +.74) Koska.678 < t A =.363 < +.678 testsuuree t A arvo.363 o osuut hyväksymsalueelle ja ollahypotees H jää vomaa %: merktsevyystasolla. Johtopäätös: Koede tekeme kuule keskmääräset paot evät pokkea tlastollsest merktseväst tosstaa. Huomaa kutek, että johtopäätös vahtus pävastaseks, jos test merktsevyystasoks ols valttu 5 %. Tehtävä.3. Eräässä kokeessa verratt kahta sademäärä mttauksee käytettävää latetta. Kummallak latteella mtatt sademäärät sadepävä akaa. Mttaustulokset (sademäärät mm:ä) o aettu alla olevassa taulukossa. Testaa hypoteesa, että mttart tuottavat keskmäär samoja mttaustuloksa, ku vahtoehtosea hypoteesa o, että mttart tuottavat keskmäär er mttaustuloksa. Käytä testssä %: merktsevyystasoa. Late 3 4 5 6 7 8 9 A.38 9.69.39.4.54 5.94.59.63.44.56 B.4.37.39.46.55 6.5.6.69.68.53 Tehtävä.3. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa t-testä parvertalulle. Huomaa, että tehtävässä.. sovellettu rppumattome otokse t-test e ole yt luvalle, koska mttaustuloksa samasta sateesta e voda ptää rppumattoma. Jos latteet tomvat edes jossak määr luotettavast, lattee A ja lattee B ptää ataa samalle sateelle tosaa lähellä oleva mttaustuloksa, mkä merktsee stä, että mttaustulokslla o postve korrelaato; ks. myös tehtävää.4. TKK @ Ilkka Mell (8) 3/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Tehtävä.3. Ratkasu: Jos sademäärä mttart A ja B tomvat edes jossak määr luotettavast, mttaustulokset rppuvat paretta tosstaa. Koska rppumattome otoste t-test soveltame e tällö ole luvallsta, tällasessa parvertaluasetelmassa tomtaa seuraavast: Määrätää havatoarvoje parkohtaset erotukset ja testataa ollahypoteesa, joka mukaa erotukset ovat keskmäär olla. Olkoot X A = satee sademäärä mttarlla A, =,,, X B = satee sademäärä mttarlla B, =,,, = X A X B, =,,, Ylee hypotees H o muotoa: () () µ σ, =,,, N(, ) Erotukset,,, ovat rppumattoma Nollahypotees H o muotoa: E( ) =, =,,, Sovelletaa yhde otokse t-testä mttaustuloste erotukslle. Testsuureea o t = s / jossa = = = ( ) = s Jos ollahypotees H pätee, testsuure t oudattaa Studet t-jakaumaa vapausaste ( ): t t( ) = t(9) Itsesarvoltaa suuret testsuuree t arvot johtavat ollahypotees hylkäämsee. Tehtävä tapauksessa = =.7 s =.46 Ste.7 t = = =.88 s /.4 / Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H: µ, testsuuree t arvoa.88 vastaavaks p-arvoks saadaa esm. Mcrosoft Excel -ohjelmalla TKK @ Ilkka Mell (8) 3/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Pr(t <.88) =.86 jossa t t(9). Ste ollahypotees H jää vomaa merktsevyystasolla., koska p =.86 >. Huomaa, että ollahypotees H jää vomaa jopa merktsevyystasolla.. Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H: µ, merktsevyystasoa. vastaavat krttset rajat ovat t.5 = 3.5 +t.5 = +3.5 sllä t-jakauma taulukode mukaa Pr( t 3.5) =.5 ku t t(9). Koska 3.5 < t =.88 < +3.5 testsuuree t arvo.88 o osuut hyväksymsalueelle ja ollahypotees H jää vomaa %: merktsevyystasolla. Johtopäätös: Mttart A ja B äyttävät keskmäär samoja arvoja. Huomautus: Vodaa osottaa, että Cor(A-mttaus, B-mttaus) =.9997 mkä selväst osottaa otoste rppuvuude tosstaa. Tehtävä.4. Testattaessa erästä verepaelääkettä samoje potlade (8 kpl) verepae (s. yläpae) mtatt ee ja jälkee lääkkee auttmse. Koetulokset (verepaeet mm/hg) o estetty alla olevassa taulukossa. Testaa hypoteesa, että lääke e keskmäär alea verepaetta, ku vahtoehtosea hypoteesa o, että lääke keskmäär aletaa verepaetta. Käytä testssä %: merktsevyystasoa. 3 4 5 6 7 8 Jälkee 8 76 49 83 36 8 58 Ee 34 74 8 5 87 36 5 68 Tehtävä.4. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa t-testä parvertalulle. TKK @ Ilkka Mell (8) 33/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Huomaa, että tehtävässä.. sovellettu rppumattome otokse t-test e ole yt luvalle, koska verepaemttauksa ee ja jälkee lääkkee atamse e voda ptää rppumattoma. O luultavaa, että potlalla, jolla o keskmäärästä korkeamp (matalamp) verepae ee lääkkee atoa o keskmäärästä korkeamp (matalamp) verepae myös lääkkee ao jälkee; ts. mttaustulokslla ee ja jälkee lääkkee atamse o luultavast postve korrelaato; ks. myös tehtävää.3. Tehtävä.4. Ratkasu: O todeäköstä, että verepaemttaukset ee ja jälkee lääkkee atamse rppuvat tosstaa. Koska rppumattome otoste t-test soveltame e tällö ole luvallsta, tällasessa parvertaluasetelmassa tomtaa seuraavast: Määrätää havatoarvoje parkohtaset erotukset ja testataa ollahypoteesa, joka mukaa erotukset ovat keskmäär olla. Olkoot X E = potlaa verepae ee lääkkee atamsta, =,,, 8 X J = potlaa verepae ee lääkkee atamsta, =,,, 8 = X E X J, =,,, 8 Ylee hypotees H o muotoa: () () µ σ, =,,, 8 N(, ) Erotukset,,, 8 ovat rppumattoma Nollahypotees H o muotoa: E( ) =, =,,, 8 Sovelletaa yhde otokse t-testä mttaustuloste erotukslle. Testsuureea o t = s / jossa = = = ( ) = s Jos ollahypotees H pätee, testsuure t oudattaa Studet t-jakaumaa vapausaste ( ): t t( ) = t(7) Itsesarvoltaa suuret testsuuree t arvot johtavat ollahypotees hylkäämsee. Tehtävä tapauksessa = 8 = 4.5 s = 6.6 TKK @ Ilkka Mell (8) 34/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Ste 4.5 t = = = 3.3 s / 4.7/ 8 Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H: µ >, testsuuree t arvoa 3.3 vastaavaks p-arvoks saadaa esm. Mcrosoft Excel -ohjelmalla Pr(t > 3.3) =.83 jossa t t(7). Ste ollahypotees H vodaa hylätä merktsevyystasolla., koska p =.83 <. Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H: µ >, merktsevyystasoa. vastaava krtte raja o +t. =.998 sllä t-jakauma taulukode mukaa Pr( t.998) =. ku t t(7). Koska t = 3.3 >.998 ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla ja vahtoehtoe hypotees H hyväksyä. Johtopäätös: Lääkkeellä o tlastollsest merktseväst keskmäärästä verepaetta aletava vakutus. Tehtävä.5. Tuottee valmstaja vättää, että se tuottesta korketaa 5 % o vallsa. Asakas pom slle tomtettuje tuottede joukosta otokse, joka koko o ja löytää 9 vallsta tuotetta. Oko valmstaja väte okeutettu? Testaa ollahypoteesa, että valmstaja väte o okeutettu, ku vahtoehtosea hypoteesa o, että vallste suhteelle osuus o suuremp ku valmstaja vättämä 5 %. Käytä testssä %: merktsevyystasoa. Tehtävä.5. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa testä suhteellselle osuudelle. Tehtävä.5. Ratkasu: Tuottee valmstaja vättää, että se tuottesta korketaa 5 % o vallsa. Asakas pom slle tomtettuje tuottede joukosta otokse, joka koko o ja löytää 9 vallsta tuotetta. Oko valmstaja väte okeutettu? Olkoo A = Tuote o valle TKK @ Ilkka Mell (8) 35/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Tuottee valmstaja mukaa Pr(A) = p =.5 Määrtellää rppumattomat satuasmuuttujat Tällö X X Ber(p) Asetetaa ollahypotees H : p = p =.5 Määrtellää testsuure pˆ p z = p( p) jossa, jos. tarkastettu tuote o valle =, jos. tarkastettu tuote e ole valle = Tarkastettavaks pomttuje tuottede lukumäärä ˆp = Vallste tuottede suhteelle osuus tarkastettuje joukossa Jos ollahypotees H pätee, testsuure z oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: z a N(,) Tehtävässä jote = pˆ = 9 / =.95 z pˆ p.95.5 = = = p( p).5(.5) Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H : p >.5, testsuuree arvoa z arvoa.9 vastaavaks p-arvoks saadaa ormaaljakauma taulukosta Pr(z >.9) =.8 Ste havaot ssältävät vomakasta evdessä ollahypoteesa H vastaa; ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla. Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H : p >.5, merktsevyystasoa. vastaava krtte raja o +z. = +.33 sllä ormaaljakauma taulukode mukaa.9 TKK @ Ilkka Mell (8) 36/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Koska Pr( z.33) =. z =.9 >.33 testsuuree z arvo.9 o osuut hylkäysalueelle ja ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla ja vahtoehtoe hypotees H vodaa hyväksyä. Johtopäätös: Vallste suhteelle osuus o tlastollsest merktseväst valmstaja lmottamaa arvoa suuremp. Tehtävä.6. 6 erääsee vakavaa taut sarastuutta potlasta jaett satuasest kahtee ryhmää A ja B, jossa kummassak ol 3 potlasta. Ryhmälle A aett taut kehtettyä uutta lääkettä ja ryhmälle B paljo käytettyä vahaa lääkettä. (a) Ryhmässä A taudsta para 95 potlasta ja ryhmässä B 5 potlasta. Suosttelstko uude lääkkee ottamsta käyttöö koetulokse perusteella? (b) Ryhmässä A taudsta para 5 potlasta ja ryhmässä B 95 potlasta. Suosttelstko uude lääkkee ottamsta käyttöö koetulokse perusteella? Tehtävä.6. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa suhteellste osuukse vertalutestä rppumattomlle otokslle. Tehtävä.6. Ratkasu: 6 erääsee vakavaa taut sarastuutta potlasta jaett satuasest kahtee ryhmää A ja B, jossa kummassak ol 3 potlasta. Ryhmälle A aett taut kehtettyä uutta lääkettä ja ryhmälle B paljo käytettyä vahaa lääkettä. (a) Ryhmässä A taudsta para 95 potlasta ja ryhmässä B 5 potlasta. Jos uus lääke parataa vähemmä potlata ku vaha lääke, e tlastollsta testausta tarvta se johtopäätökse tekemseks, että tämä kokee perusteella uutta lääkettä e kaata ottaa käyttöö. Se sjaa, jos uus lääke parataa eemmä potlata ku vaha lääke, o testaus tarpee, jotta saadaa selvlle oko paratuede määrä lsäätymstä pdettävä sattumavarasea el otosvahtelusta johtuvaa va e. (b) Ryhmässä A taudsta para 3:sta potlaasta 5 ja ryhmässä B para 3:sta potlaasta 95. Olkoo A = Potlas paraee TKK @ Ilkka Mell (8) 37/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset ja Pr(A) = p, jos potlas kuuluu ryhmää A Pr(A) = p, jos potlas kuuluu ryhmää B Määrtellää rppumattomat satuasmuuttujat jossa X k, jos. potlas paraee ryhmässä k =, jos. potlas e parae ryhmässä k =,,,, k =, k = ryhmä A k = ryhmä B Tällö X k Ber(p k ), k =, Asetetaa ollahypotees H : p = p Määrtellää testsuure z = pˆ pˆ pˆ( pˆ) + Testsuuree lausekkeessa ja k = Potlade lukumäärä ryhmässä A ˆp = Paratuede suhteelle osuus ryhmässä A = Potlade lukumäärä ryhmässä B ˆp = Paratuede suhteelle osuus ryhmässä B ˆp = Paratuede suhteelle osuus kakke potlade joukossa Huomaa, että ˆp = f / jossa ja ˆp = f / f = Paratuede lukumäärä ryhmässä A f = Paratuede lukumäärä ryhmässä B TKK @ Ilkka Mell (8) 38/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset f + f pˆ + pˆ pˆ = = + + Jos ollahypotees H pätee, testsuure z oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: z a N(,) Tehtävässä = 3 pˆ = 5/ 3 =.75 = 3 pˆ = 95/ 3 =.65 jote Ste pˆ + pˆ 5 + 95 p = = = ˆ.7 + 3 + 3 z pˆ pˆ.75.65 = = = pˆ( pˆ) +.7(.7) + 3 3 Jos vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H:p > p, testsuuree z arvoa.67 vastaavaks p-arvoks saadaa ormaaljakauma taulukosta Pr(z >.67) =.38 Ste aesto ssältää vomakasta evdessä ollahypoteesa H vastaa; ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla. Jos vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H:p > p, merktsevyystasoa. vastaava krtte raja o +z. = +.3 sllä ormaaljakauma taulukode mukaa Pr( z.33) =. Koska z =.67 >.33 testsuuree z arvo o osuut hylkäysalueelle ja ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla ja vahtoehtoe hypotees H vodaa hyväksyä..67 Johtopäätös: Uude lääkkee käyttööotto o perusteltua, koska paratuede suhteelle osuus o uutta lääkettä saaede joukossa tlastollsest merktseväst vahaa lääkettä saaede osuutta suuremp. TKK @ Ilkka Mell (8) 39/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Tehtävä.7. Alueella A 3:sta satuasotoksee pomtusta ääokeutetusta 56 % kaatt ehdokasta X, ku taas alueella B :sta satuasotoksee pomtusta ääokeutetusta 48 % kaatt ehdokasta X. Muodosta test ollahypoteeslle, että kaatukset evät aluella A ja B eroa tosstaa. Testaa ollahypoteesa 5 %: merktsevyystasolla, ku vahtoehtosea hypoteesa o (a) X: kaatus o alueella A suurempaa ku alueella B. (b) X: kaatus eroaa aluella A ja B. Tehtävä.7. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa suhteellste osuukse vertalutestä rppumattomlle otokslle. Tehtävä.7. Ratkasu: Alueella A ehdokasta X kaatt 3:sta ääokeutetusta 56 % ja alueella B ehdokasta X kaatt :sta ääokeutetusta 48 %. Olkoo A = Ääokeutettu kaattaa ehdokasta X ja Pr(A) = p, jos ääokeutettu kuuluu alueesee A Pr(A) = p, jos ääokeutettu kuuluu alueesee B Määrtellää rppumattomat satuasmuuttujat jossa Tällö X k, jos. ääokeutettu otoksessa kaattaa ehdokasta X alueella k =, jos. ääokeutettu otoksessa e kaata ehdokasta X alueella k =,,,, k =, k = alue A k = alue B X k Ber(p k ), k =, Asetetaa ollahypotees H : p = p Määrtellää testsuure z = pˆ pˆ pˆ( pˆ) + k TKK @ Ilkka Mell (8) 4/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Testsuuree lausekkeessa ja = Otoskoko alueella A ˆp = Ehdokas X: kaattaje suhteelle osuus otoksessa alueelta A = Otoskoko alueella B ˆp = Ehdokas X: kaattaje suhteelle osuus otoksessa alueelta B ˆp = Ehdokas X: kaattaje suhteelle osuus otoksessa, joka saadaa yhdstämällä otokset aluelta A ja B Huomaa, että ˆp = f / jossa ja ˆp = f / f = Ehdokas X: kaattaje lukumäärä otoksessa alueelta A f = Ehdokas X: kaattaje lukumäärä otoksessa alueelta B f + f pˆ + pˆ pˆ = = + + Jos ollahypotees H pätee, testsuure z oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: z a N(,) Tehtävässä A = 3 pˆa =.56 B = pˆ =.48 jote Ste B ApˆA + BpˆB 3.56 +.48 pˆ = = =.53 + 3 + A B pˆ A pˆ B.56.48 z = = =.76 pˆ( pˆ) +.53(.53) + 3 A B TKK @ Ilkka Mell (8) 4/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset (a) Jos vahtoehtosea hypoteesa o ykssuutae vahtoehto H : p > p, testsuuree z arvoa.76 vastaavaks p-arvoks saadaa ormaaljakauma taulukosta Pr(z >.76) =.39 <.5 jote ollahypotees H vodaa hylätä 5 %: merktsevyystasolla. Jos vahtoehtosea hypoteesa o ykssuutae hypotees vahtoehto H : p > p, merktsevyystasoa.5 vastaavaks krttseks rajaks saadaa +z.5 =.65 sllä ormaaljakauma taulukode mukaa Pr( z.65) =.5 Koska z =.76 >.65 testsuuree z arvo.76 o osuut hylkäysalueelle ja ollahypotees H vodaa hylätä 5 %: merktsevyystasolla ja vahtoehtoe hypotees H vodaa hyväksyä. Johtopäätös: X: kaatus o test mukaa suurempaa alueella A ku alueella B. (b) Jos vahtoehtosea hypoteesa o kakssuutae vahtoehto H : p p, testsuuree z arvoa.76 vastaavaks p-arvoks saadaa ormaaljakauma taulukosta Pr(z >.76) =.39 =.784 >.5 jote ollahypotees H jää vomaa 5 %: merktsevyystasolla. Jos vahtoehtosea hypoteesa o kakssuutae vahtoehto H : p p, merktsevyystasoa.5 vastaavaks krttseks rajaks saadaa +z.5 =.96 sllä ormaaljakauma taulukode mukaa Pr( z.96) =.5 Koska z =.76 <.96 testsuuree z arvo o osuut hyväksymsalueelle ja ollahypoteesa H e voda hylätä 5 %: merktsevyystasolla. Johtopäätös: Nollahypoteesa stä, että X: kaatus o aluella A ja B yhtä suurta e voda hylätä. Huomautus: Vahtoehtose hypotees muoto o tässä tapauksessa vakuttaut test tuloksee. TKK @ Ilkka Mell (8) 4/43

Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Huomautuksa tlastollsesta testauksesta: () Test tulos el se, hylätääkö test ollahypotees va jätetääkö se vomaa, rppuu sekä valtusta merktsevyystasosta että vahtoehtose hypotees muodosta. () Käytäö tutkmuksessa apuas e ole lueotsjaa, joka atas sulle ollahypotees ta vahtoehtose hypotees muodo ja testssä käytettävä merktsevyystaso. () Tlasto-ohjelmstot tulostavat ykyää tavallsest testsuuree arvo ja stä vastaava p-arvo (ta testsuuree arvoa vastaava hätätodeäkösyyde). Tällö tutkja joutuu päättämää suoraa test p-arvo perusteella hylkääkö hä ollahypotees va e. (v) Merktsevyystaso valta ta ollahypotees hylkäämsee johtava kyysarvo valta p- arvolle ovat valtoja, joh o aettava vakuttaa myös se, mtä seurauksa o ollahypotees hylkäämsestä ta ollahypotees jäämsestä vomaa. TKK @ Ilkka Mell (8) 43/43