SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa lämötilajakaumaa ratkaistaa lämövirra suuta o tarkasteltavaa solmua kohti Siksi P out meee ollaksi Täte jatkuvuustila tehotasaaioksi saadaa P + P = P jossa P i g st i edustaa tarkasteltavaa solmuu liittyvää tilavuutee tulevaa lämötehoa P g o tarkasteltavaa solmuu liittyvässä tilavuudessa geeroituva lämöteho ja P st edustaa tarkasteltava tilavuude omiaislämökaasiteettii varastoituvaa tehoa Ku kirjoitetaa yhtälöitä imlisiittisee differessimeetelmää lämmöjohtumista lämökovektiota ja lämmö geeroitumista tarkastellaa ajahetkellä + jolla solmuje lämötilat ovat tutemattomia Ajahetki jolla tarkasteltava solmu lämötila o tuettu esiityy vai omiaislämökaasiteettii varastoituvaa eergiaa liittyvässä lämötila aikaderivaattatermissä Vasemmauoleise kuva tilae: Kirjoitetaa solmuu ( johtuva lämöteho: + + Tm m q( ( = λ( m m q = λ m + m q ( m ( m = λ T + + ( ( ( q ( m+ ( m = λ Kirjoitetaa solmuu ( kovektiolla tuleva lämöteho: qcov( h x ( T T + = qcov( = h y ( T T + T + + + T + + m+ Kirjoitetaa tarkasteltavaa solmuu liittyvässä tilavuudessa geeroituva lämöteho: 3 Pg = qg = qg 4 Kirjoitetaa omiaislämökaasiteettii varastoituva teho: + 3 Tm Pst = 4 t Oletetaa että = Tehotasaaio yhtälöö sijoittamalla saadaa tällöi: + + + + λ + + λ + + λ( Tm Tm + λ( Tm + Tm + ( Tm Tm + ( Tm + Tm + ( ( ( 3q x 3 x h( T T + = T 4 4 t + g +
Sijoitetaa tutemattomattomat termit eli solmuje lämötilat ajahetkellä + yhtälö vasemmalle uolelle ja lout termit yhtälö oikealle uolelle Saadaa: 3 ( + + + λ + λ + + 3λ + h Tm λ( Tm λ( Tm + ( Tm ( Tm + 4 t ( ( ( 3 x 3q g x 3 = Tm + h xt + : 4 t 4 4 t 4 4h t + + T T 3 x 3 + T + T + T 4h tt qg t = Tm + + 3 + ( ( ( + + + + m m m + m m+ h α t Merkitää: Bi = Fo = = λ 4 3 3 4 qg t = Tm + BiFo T + 3 ( ( h h t BiFo = = λ + + + + + + 4Fo + BiFo Tm Fo( Tm + Tm + + Tm + Tm + Oikeauoleise kuva tilae: Kirjoitetaa solmuu ( johtuva lämöteho: + + Tm m q( ( = λ ( m m q( m ( m = λ + + Tm + m q( ( = λ m + m T Kirjoitetaa solmuu ( kovektio kautta tuleva lämöteho: q = h T T + ( x ( ( cov + + ( Kirjoitetaa tarkasteltavaa solmuu liittyvässä tilavuudessa geeroituva lämöteho: Pg = qg = qg Kirjoitetaa omiaislämökaasiteettii varastoituva teho: + x y Tm T E st = t Oletetaa että = Tehotasaaio yhtälöö sijoittamalla saadaa tällöi: ( + + λ + + λ + + + λ ( Tm Tm + ( Tm Tm + ( Tm + Tm + h ( T Tm + qg ( + Tm = t
Sijoitetaa tutemattomattomat termit eli solmuje lämötilat ajahetkellä + yhtälö vasemmalle uolelle ja lout termit yhtälö oikealle uolelle Saadaa: ( + + λ + λ + + λ + h Tm λtm Tm Tm + t ( ( ( = Tm + h x( T + qg : t t 4 h t + + T T T + T x h t qg t = Tm + T + Merkitää: + + ( ( ( ( + + m m m m + h Bi = λ α t Fo = = ( ( h h t BiFo = = λ ( q t + 4Fo + BiFo Tm Fo Tm + Tm + Tm + = Tm + BiFo T + + + + + g ( ( Harjoitustyö malli raketamisessa kaattaa hyödytää symmetriaa Tehtäväao kuvasta käy ilmi että tilae o symmetrie sekä vaaka- että ystyakseli suhtee Tästä seuraa että voidaa tarkastella yhtä eljäsosaa alkueräisestä mallista Samalla tämä tarkoittaa sitä että ratkaistavie yhtälöide määrä ieeee eljäsosaa kokoaiselle mallille kirjoitettuje yhtälöide määrästä Ku käytetää eliöverkkoa jossa verko särmä ituus o 5 m mallista saadaa seuraava kuva mukaie 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 3 3 33 34 35 36 37 38 39 40 4 4 43 44 45 46 47 48 49 5 mm 5 mm muovi kuari vesi muovi kuari vesi 3
Huomatkaa että oheisessa mallissa solmuje 4 4 48 ja 49 lämötilat tuetaa aja fuktioa sillä kyseiset solmut sijaitsevat vedessä Se sijaa solmuje jotka sijaitsevat kuari ja vede rajaialla lämötila ei ole tuettu Täte mallii jää 45 solmua joide lämötila o tutemato Ku kirjoitatte differessimeetelmie mukaisia yhtälöitä malli solmuille tarvitsette Bioti (Bi ja Fourier' (Fo lukuja Kyseiset termit määriteltii seuraavasti: h Bi = λ Fo = ( Bioti lukua esiityy aia sellaise solmu differessiyhtälössä joho liittyy lämökovektiota Huomaa että mallissa o kovektiota sekä muovii että kuarii liittye jote tarvitset työssäsi kaksi erilaista Bioti lukua: toie muoville ja toie kuarille Myös Fourier' luku riiuu materiaalista jossa tarkasteltava solmu sijaitsee Ku solmuu liittyvä tilavuus o kokoaisuudessaa muovissa Fourier' lukuu sijoitetaa luoollisesti muovi lämmöjohtavuus ja omiaislämökaasiteetti Vastaavasti käytetää kuari arvoja jos solmuu liittyvä tilavuus o kokoaisuudessaa kuarissa Mutta jos solmu sijaitsee kahde materiaali rajaialla site että osa solmuu liittyvästä tilavuudesta o muovissa ja osa kuarissa käytetää tilavuusosuuksilla aiotettua Fourier' lukua Kyse o siis siitä että rajaialla oleva solmu Fourier' luku lasketaa lausekkeesta: Fo V Fo + V Fo kuari kuari muovi muovi = V tot jossa V viittaa tilavuutee Jos siis solmuu liittyvästä tilavuudesta ¾ o muovia ja ¼ kuaria Fourieri luvuksi tässä esimerkkitaauksessa saadaa ( 3( Fokuari + Fomuovi Fokuari 3Fomuovi Fo = 4 4 = + 4 4 ( Vaihe (akollie osa harjoitustyötä: Kirjoita ekslisiittise differessimeetelmä mukaiset yhtälöt tarkasteltavalle mallille ja ratkaise johtime lämötilajakauma ajahetkellä t = s Tehtävä eteee samalla tavalla kui harjoitukse viisi tehtävässä eljä Tuossa harkkatehtävässä solmuje alkulämötilat ladattii H4T: ratkaisusta mutta tässä harjoitustyössä kaikkie solmuje alkutilatee lämötila o 98 K Huomaa että harjoitustyö akollisessa osassa kuarii ei syötetä sähkövirtaa mikä tarkoittaa malli kaalta sitä että yhteekää solmuu ei tule lämmökehitystermiä Huomaa että alautuksesta tulee käydä ilmi eri solmutaauste stabiilisuusehdot joide avulla olet ratkaissut käyttämäsi aika-askelee 4
Palautukseksi kelaa arhaite Matlabi m-tiedosto (samaa tyylii kui H5T4:ssä joka iirtää kuva johtime lämötilajakaumasta ajahetkellä t = s Työtä ei tietekää voida akottaa Matlabilla tehtäväksi jote voitte halutessae käyttää jotai muutaki ohjelmaa Vaihe osa : Ratkaise vaihee tehtävä ekslisiittisellä differessimeetelmällä ku kuarissa kulkee sähkövirta Ohjeet lämmökehitystermie lisäämisee löydät harjoitustehtävä tehtäväao kakkossivulta Vaihe osa : Ratkaise tehtävä imlisiittisellä differessimeetelmällä ku kuarissa kulkee sähkövirta Kommetoikaa vaihee alautukse yhteydessä kuika suuri ekslisiittise meetelmä aika-askelee o oltava jotta ratkaisu alkaa huomattavasti oiketa imlisiittise meetelmä ratkaisusta Tällä o tarkoitus havaiollistaa ekslisiittise meetelmä "eästabiilisuutta" jos aika-askel o liia suuri Kokeilkaa louksi imlisiittise meetelmä toimivuutta aika-askeleella t = s Tuloksesta itäisi tulla oikea vaikka lasketakierroksia o yt siis vai yksi Huomatkaa kuiteki että jos jotaki tilaetta halutaa mallitaa tarkasti materiaaliomiaisuuksie lämötilariiuvuudet o otettava huomioo mikä rajoittaa myös aika-askelee ituutta Kakkosvaihe kaattaa alauttaa kahtea erilliseä tiedostoa joista esimmäie iirtää ekslisiittisellä differessimeetelmällä lasketu kuva virrallise johtime lämötilajakaumasta ajahetkellä t = s Toie tiedosto iirtää vastaava kuva imlisiittisellä differessimeetelmällä laskettua Louksi voisi ihmetellä sitä miksi tarvitaa kaksi differessimeetelmää: ekslisiittie ja imlisiittie Miksei tällä kurssilla käsitelty vai jomaa kumaa meetelmää? Vastaus o että molemmissa o etusa Molemmissa meetelmissä ratkaistaa matriisiyhtälöä AT = b jossa A o -matriisi jossa o malli solmuje lukumäärä Ekslisiittie meetelmä o siiä mielessä laskeallisesti kevyt että matriisista A tulee yksikkömatriisi joka lävistäjällä o ykkösiä ja muualla ollia Jos tarkastellaa suurta mallia jossa voi olla esimerkiksi satojatuhasia solmuja yleisesti ottae yhtälö AT = b ratkaisemise ylivoimaisesti aikaavievi vaihe o matriisi A kääteismatriisi ratkaisemie Koska ekslisiittisellä meetelmällä A o yksikkömatriisi A: kääteismatriisia ei varsiaisesti edes tarvita vaa saadaa suoraa että T = b Ekslisiittise meetelmä huoo uoli o se että aika-askel o yleesä valittava melko lyhyeksi jotta ratkaisu ysyy stabiilia Imlisiittise meetelmä hyvä uoli o taattu stabiilisuus Tämä tarkoittaa sitä että jos tarkasteltavat lämötila muutokset ovat ii ieiä että materiaaliomiaisuudet voidaa olettaa vakioiksi loutuloksee äästää yhdellä lasketakierroksella Imlisiittise meetelmä huoo uoli o laskeallie raskaus Jos esimerkiksi A o 0 5 0 5 -matriisi se kääteismatriisi muodostamie o aikaavievää uuhaa 5