Matematiikan koe, Maa0 Todennäköisyys ja tilastot RATKAISUT Sievin lukio Maanantai 6.4.208 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN SITEN, ETTÄ OLET VASTANNUT TEHTÄVIIN JA 2. AINEISTOT-OSION TAULUKKOTIETOJA JA LASKINOHJELMISTOJA SAA KÄYTTÄÄ!. a) Aineistot -osiosta löytyy kuntasektorin kuukausipalkat ammateittain vuonna 206 (tehtavaa.ods). Määritä miesten 20 suurimman kuukausipalkan keskiarvo, moodi ja mediaani. (Huom. Muista lajitella/valita oikeat tiedot ja hyödyntää Calc:n taulukkolaskentakomentoja =KESKIARVO, =MOODI, =MEDIAANI jne.) Muodosta lisäksi naisten 20 pienimmästä kuukausipalkasta (tehtavaa2.ods). histogrammi siten, että muodostat kuusi tasalevyistä luokkaa. Piirrä siis pylväät niin, että pylvään korkeus kuvaa ko. luokkaan kuuluvien työntekijöiden lukumäärää sekä pylvään keskikohtana on luokkakeskus. Ennen varsinaista kaavion tekoa tulisi näyttää oikealla olevan kuvan mukaisesti. b) Suunnistusseurassa on miestä ja 8 naista. Kuinka monella eri tavalla he voivat valita seitsenhenkisen viestijoukkueen, jonka juoksujärjestyksessä sukupuolet vuorottelevat? a) Ratkaisut riittää tehdä Libre Officen Calc ohjelmalla. Tai jollakin muulla. Lajittelu ja valinta helpointa tehdä Librellä. Keskiarvo 6952,8, moodia ei ole ja mediaani 647,5. Katso kuva alla. Tarkemmin: Voisi ottaa frekvenssit mukaan eli laskea lukumäärät, jolloin saisi myös moodin jne mutta tämä riittää.
Naisten tapauksessa saadaan luokat ja luokkakeskukset sekä frekvenssit. Huomaa, että osaan luokkiin kuuluu vain yksi ammatti! b) Löytyy kaksi eri tapaa tehdä joukkue:. tapa: miespuolinen aloittaa viestin. Tällöin - ensimmäisen osuuden mies voidaan valita eri tavalla - toisen osuuden nainen voidaan valita 8 eri tavalla - kolmannen osuuden mies voidaan valita 2 eri tavalla (koska yksi mies on jo valittu.osuudelle) - neljännen osuuden nainen voidaan valita 7 eri tavalla (yksi nainen on jo valittu 2.osuudelle) - jne., jolloin tuloperiaatetta hyödyntäen saadaan vaihtoehtoja yhteensä (kun mies aloittaa)
8 2 7 6 0 = 5 765 760 2. tapa: naispuolinen aloittaa viestin. Tällöin - ensimmäisen osuuden nainen voidaan valita 8 eri tavalla - toisen osuuden mies voidaan valita eri tavalla - kolmannen osuuden nainen voidaan valita 7 eri tavalla (yksi nainen on jo valittu.osuudelle) - neljännen osuuden mies voidaan valita 2 eri tavalla (yksi mies on jo valittu 2.osuudelle) - jne., jolloin tuloperiaatetta hyödyntäen saadaan vaihtoehtoja yhteensä (kun nainen aloittaa) 8 7 2 6 5 = 2 882 880 Yhteensä eri vaihtoehtoja muodostaa seitsenhenkinen viestijoukkue 5 765 760 + 2 882 880 = 8 648 640. 2. a) Selitä lyhyesti käsitteet permutaatio ja satunnaismuuttuja. Voit antaa myös esimerkkejä. b) Laaduntarkastuksessa on todettu, että tuotantolaitoksen valmistamista tuotteista, 2 % on vääränvärisiä. Millä todennäköisyydellä 50 kappaleen rasiassa on ainakin kaksi tuotetta vääränvärisiä? Ilmoita laskukaava ja tulos. Eli laskut saat tehdä TI:n avulla tai Geogebran todennäköisyyslaskurin avulla (kunhan olet valinnut oikean jakauman). c) Pakattaessa tavaraa rasioihin on tavaran massa normaalijakautunut odotusarvona 200 g ja keskihajonnan ollessa g. i) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitussa rasiassa tavaran massa on välillä [99,20] (yksikkönä gramma)? ii) Mikä on todennäköisyys, että tavaran massa on pienempää kuin 95 g? Liitä vastaukseesi kuvia, joissa kohtien i) ja ii) todennäköisyyksiä vastaavat tiheysfunktion pinta-alat on merkittynä. Saat hyödyntää konetta. a) Permutaatio Permutaatio on tarkasteltavan joukon alkioista saatu järjestetty jono. Satunnaismuuttuja Satunnaismuuttuja on otosavaruudessa määritelty reaaliarvoinen funktio x: E R.
b) Olkoon x rasiassa olevien väärän väristen tuotteiden lukumäärä. Tuotteiden pakkaaminen rasioihin voidaan mieltää toistokokeeksi, jossa toistojen lukumäärä on 50 ja väärän väristen tuotteiden todennäköisyys p = 0,02. Näin ollen x~bin(50; 0,02). Kun jakauma on saatu selville, voidaan todennäköisyys Ainakin kaksi tuotetta väärän väristä ratkaista: TAI koneella esim.. P(x 2) = P(x < 2) = P(x = 0) P(x = ) = ( 50 0 ) 0,020 0,988 50 0 + ( 50 ) 0,02 0,988 50 = 0,988 50 50 0,02 0,988 49 0,5468 0,20 0,8789 0,20 0,2
c) i) Nyt siis x~n(200, ) ja kun jakauma tiedetään, niin voidaan todennäköisyydet määrittää. Voidaan suorittaa ensin normitus x z: z = x 200, jolloin z~n(0, ). Tällöin normitus 99 200 x 200 P(99 x 20) = P ( 20 200 ) = P ( z ) = Φ ( ) Φ ( ) = Φ ( ) ( Φ ( )) = 2Φ ( ) 2 0,629 tark.0,606 0,2586. tark.0,26 ii) Samalla idealla kuin i)-kohdassa normitus x 200 P(x 95) = P ( 95 200 ) = P (z 5 ) = Φ ( 5 ) = Φ (5 ), 5,667 0,9525 tark.0,9520 0,0475. tark.0,048
. a) Satunnaismuuttujan X tiheysfunktion f kuvaaja on y-akselin suhteen symmetrinen. Kuvaaja rajaa x-akselin kanssa välillä [ 2, ] alueen, jonka pinta-ala 0, 4. Vastaavasti funktion f kuvaajan ja xakselin väliin jäävän alueen pinta-ala on 0, 68, kun x. Määritä i) P(X 0), ii) P(X ), iii) P( 2 < X 0) ja iv) P(X > 2)
b) Mikä on todennäköisyys saada alla olevan kuvion onnenpyörällä pisteluku 2 tai 6? 6 5 69 5 54 57 4 66 6 2 c) Eräässä satunnaiskokeessa tapahtuman A todennäköisyys on 5 ja tapahtuman B todennäköisyys on 7. Osoita, että 5 P(A B). a) Kuvaajaa hyödyntäen (symmetria ja annetut pinta-alat) saadaan i) 2 = 0,5, ii) 4 25 = 6 2 = 0,6, iii) 00 25 = 48 00 = 0,48, iv) 50 = 2 00 = 0,02 b) Olkoon tapahtuma A: Saadaan pisteluku 2 tai 6. Tällöin tapahtuman A todennäköisyys on c) Nyt siis P(A) = 66 + 5 60 = 7 60 = 0,25. P(A) = 5 ja P(B) = 7, joten yhteenlaskusäännöstä P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) saadaan P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Maksimissaan joukot A ja B ovat mahdollisimman erillään toisistaan ja koska P(A) + P(B) = 5 + 7 = 2 > niin maksimissaan joukot peittävät koko perusjoukon E, eli A B = E, jolloin
P(A B) = P(E) =. Minimissään joukot A ja B ovat mahdollisimman lähellä toisiaan. Koska P(A) = 5 ja P(B) = 7 niin joukko A voi kuulua kokonaan joukon B sisään eli A B, jolloin P(A B) = P(B) = 7. Näin ollen P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A) + P(B) = 5 + 7 = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A) + P(B) 7 = 5 + 7 7 = 5 eli P(A B) 5. 4. a) Elokuvateatterissa on vapaana 7 vierekkäistä numeroitua paikkaa. Kuinka monella eri tavalla 5 hengen seurue voi valita istumapaikkansa, kun Risto ja Kari eivät halua istua vierekkäisillä paikoilla? b) Teemu ja Maria olivat sopineet tapaavansa opettajanhuoneessa viimeisten tuntien päätyttyä kello 6:00-6:40. Molemmat saapuvat opettajanhuoneeseen sovittuna aikana satunnaiseen aikaan. Kuinka suurella todennäköisyydellä i) molemmat saapuvat vasta kello 6:5 jälkeen ii) Teemu joutuu odottamaan Mariaa yli puolituntia iii) kumpikaan ei joudu odottamaan toista 0 minuuttia kauempaa? a) Yhteensä erilaisia vaihtoehtoja 5 hengen seurueella istuutua seitsemälle vierekkäiselle paikalle saadaan jonoajattelun eli permutaatioiden kautta. 5-permutaatio, kun perusjoukko on 7, eli 7 npr 5. Laskin antaa 2 520 kappaletta. Kun Risto ja Kari eivät halua istua vierekkäisillä paikoilla, niin tarkastellaan tilannetta komplementin kautta. Eli määritetään ne vaihtoehdot, joissa Kari ja Risto istuvat vierekkäisillä paikoilla. Saadaan yhteensä 2 6 = 2 erilaista vaihtoehtoa miten Risto ja Kari voivat istua vierekkäin seitsemällä vierekkäisellä numeroidulla paikalla. Katso kuva alla
. 2.. 4. 5. 6. 7.. 2.. 4. 5. 6. 7. R K R K. 2.. 4. 5. 6. 7.. 2.. 4. 5. 6. 7. R K R K. 2.. 4. 5. 6. 7.. 2.. 4. 5. 6. 7. R K R K Yllä esitetty 6 vaihtoehtoa, mutta järjestys voisi olla yhtä hyvin Kari-Risto eli toiset 6 vaihtoehtoa lisää. Lopuksi muut voivat valita paikat vapaasti, eli seuraavalla on 5 vaihtoehtoa, sitä seuraavalla 4 jne. Loppujen lopuksi erilaisten vaihtoehtojen lukumäärä (joissa Risto ja Kari istuvat vierekkäin) on (2 6) 5 4 = 720. Näin ollen haluttujen vaihtoehtojen määrä on 2520 720 = 800. TAI Risto-Kari muodostaa yhden solun, jolloin erilaisia 4 solun jonoja kuudesta on npr(6,4) = 60. Koska Risto ja Karin muodostamassa solussa voi olla Risto-Kari tai Kari-Risto, niin 60 2 = 720 Näin ollen haluttujen vaihtoehtojen määrä on 2520 720 = 800. b) Olkoon x = Teemun tuloaika opehuoneeseen ja y = Mariann tuloaika opehuoneeseen.. Tällöin tarkasteltavan tapahtuman alkeistapaus on järjestetty pari, merk. (x, y), missä 0 x 40 ja samoin 0 y 40 arvot minuutteja. Perusjoukoksi E saadaan E = {(x, y) R 2 0 x 40, 0 y 40}.
i) Tapahtumalle A = molemmat saapuvat vasta kello 6:5 jälkeen. suotuisat alkeistapaukset toteuttavat ehdon 5 x 40 ja 5 y 40. Näin ollen tilanne vastaa tummennettua neliötä (katso kuva), joten Siis M(E) = 40 40 = 600 M(A) = (40 5)(40 5) = 25 5 = 625. P(A) = M(A) M(E) = 625 600 = 25 64 0,9. ii) Tapahtumalle B = Teemu joutuu odottamaan Mariaa yli puolituntia. suotuisat alkeistapaukset toteuttavat ehdon, kun edellisen kohdan lisäksi merkitään Teemun saapumista x:llä (vaaka-akseli) ja Marian saapumista y:llä (pystyakseli). y x + 0. Alue vastaa kuvassa olevaa tummennettua kolmiota. Siis P(B) = M(B) M(E) = 50 600 = 2 0,0. iii) Tapahtumalle C = kumpikaan ei joudu odottamaan toista 0 minuuttia kauempaa. suotuisat alkeistapaukset toteuttavat ehdon, kun b)-kohdan mukaisesti merkitään Teemun saapumista x:llä (vaaka-akseli) ja Marian saapumista y:llä (pystyakseli) Toisin sanoen (aukaistaan itseisarvot) y x 0 (tai yhtä hyvin x y 0)
0 y x 0 0 + x y 0 + x. Kaksoisepäyhtälöstä saadaan kaksi suoraa y = 0 + x ja y = 0 + x, joiden välissä sallittujen y:n arvojen on oltava, koska epäyhtälö. Alue vastaa kuvassa olevaa tummennettua kolmiota. Siis P(C) = M(C) M(E) = 600 2 ( 2 0 0) 600 = 700 600 = 7 6 0,44. 5. a) Määritä sellainen vakio a kymmenen desimaalin tarkkuudella, että funktio f: f(x) = { 2 ex, a, 2 e x, kun x ln 2 kun ln 2 < x ln 2 kun ln 2 < x on erään satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Totea samalla, että f todella on tiheysfunktio ( ehtoa) ja piirrä tiheysfunktion f kuvaaja koneella. Liitä kuvia ratkaisuusi. b) Muodosta a) -kohdan tiheysfunktion f kertymäfunktio F. Määritä sitten todennäköisyydet P(X ln 2), P( 4 < X 4) ensin tiheysfunktion kuvaajaa käyttäen (liitä kuvaajan lisäksi koneen laskemia arvoja mukaan). Geogebrassa kannattanee valita alarajaksi esim. 000 todennäköisyyttä P(X ln 2) määritettäessä kuvaajan avulla. Sekä sitten kertymäfunktion F arvoja käyttäen. Hyödynnä arvoja laskettaessa konetta, mutta lausekkeet, joihin arvot sijoitat, tulee olla näkyvissä. a) Käydään kolme ehtoa läpi ja samalla määritetään vakion a arvo:
. Funktion f tulee olla ei-negatiivista kaikilla x R, joten a 0. Lisäksi, koska lausekkeet 2 e x ja 2 e x ovat positiivisia kaikilla x R, niin -ehto OK. Siis f(x) 0 x R. 2. Funktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alan on oltava tasan, joten saadaan ln 2 f(x) dx = x e dx + 2 ln 2 ln 2 laskin = 4 + 2 ln 2 a + ehto 4 = a dx + ln 2 2 e x dx a = 4 4 2 ln 2 = 2 ln 4 = 0,606776022224 a 0,60 67 760 2. Funktiolla on kaksi epäjatkuvuuskohtaa, kohdat x = ln 2 ja x = ln 2, joten selvästi tämä kohta on OK. Kuvat alla.
Näin ollen tiheysfunktio f on muotoa f: f(x) = b) Muodostetaan kertymäfunktio F. 2 e x, kun x ln 2 0,60 67 760 2, kun ln 2 < x ln 2 { 2 e x, kun ln 2 < x F: F(x) = { x x 2 et dt = 2 e x 2 e = 2 e x, kun x ln 2 F( ln 2) + 0,60 67 dt = + 0,60 67 x, kun ln 2 < x ln 2 4 x ln 2 F(ln 2) + 2 e t dt = 4 2 e x + 2 e ln 2 = 2 e x, ln 2 kun ln 2 < x Eli F: F(x) = { 2 e x, kun x ln 2 + 0,60 67 x, kun ln 2 < x ln 2 4 2 e x, kun ln 2 < x Todennäköisyydet kuvaajan avulla hyödynnetään esim. Geogebraa. Ensin: P(X ln 2)
ja laskien P(X ln 2) = F( ln 2) = 2 e ln 2 = 4. Sitten P( 4 < X 4) ja laskien P( 4 < X 4) = F(4) F( 4) = 2 e 4 =F(4) 2 e 4 =F( 4) = 0,9868 0,98.
6. Pakkauksista 97, 7 % on massaltaan yli 460 grammaa ja alle 470 gramman pakkauksia on 5, 9 %. Tiedetään, että pakkausten massat noudattavat normaalijakaumaa. Määritä pakkausten keskimääräisen massan ja massan keskihajonnan i) likimääräiset arvot Geogebran todennäköisyyslaskurin avulla. Liitä kuvia mukaan ratkaisuusi. (2p) ii) viisidesimaaliset arvot laskien (välivaiheet) normittamalla satunnaismuuttuja X ="pakkauksen massa". (4p) Siis nyt sekä odotusarvo että keskihajonta ovat tuntemattomia. Eli X~N(μ, σ). Toisaalta tiedetään, että P(460 < X) = 0,977 ja P(X < 470) = 0,59 a) Koska annettu tiedot 460 ja 470 sekä vastaavat todennäköisyydet voidaan päätellä (suttupaperipiirrosten myötä, että μ > 470). Näin ollen tehdään kokeilua, jonka jälkeen (noin 0 min) havaitaan että μ 480 ja σ 0. Alla kuvat
b) Normitetaan satunnaismuuttuja X, jolloin Z = X μ ~N(0,) ja pätee 460 μ P(460 < X) = P ( < σ X μ P(X < 470) = P ( < σ σ X μ μ ) = P (460 < Z) = 0,977 σ σ 470 μ ) = P (Z < σ 470 μ ) = 0,59 σ Näin ollen saadaan todennäköisyyksistä (MAOL:n taulukkotiedot tai esim. TI:n invnorm(*,*,*)-komennolla) Tästä saadaan yhtälöpari muodostettua P(,9959222 < Z) = 0,977 P(Z < 0,9985762784545) = 0,59 460 μ =,9959222 { σ 470 μ = 0,9985762784545 σ x = 480,07648689 { y = 0,090864 Siis, pakkausten keskimääräinen massa n. 480 g ja massan keskihajonta 0 g.
7. a) Arvioidaan, että erään lajin huippu-urheilijoista 0 % käyttää dopingaineita suorituksensa parantamiseen. Arvioidaan lisäksi, että dopingaineita käyttäneistä 98 % jää kiinni testissä ja että testitulos on %:n todennäköisyydellä positiivinen, vaikka urheilija ei olisikaan käyttänyt dopingia. Kuinka monta prosenttia testituloksista on positiivisia? b) Sienikurssilla opetettiin tunnistamaan 78 erilaista sientä, joista kurssilainen oppi kuitenkin vain 49. Kuinka suurella todennäköisyydellä hän tunnisti oikein satunnaisesti esitetyt kuusi erilaista kurssilla opetettua sientä? [YO s996/7] a) Muodostetaan puumalli (esim TI:n virtapiiriä-widgettiä hyödyntäen.) Testitulos on positiivinen, jos urheilija käyttää ainetta ja jää kiinni testissä, sekä jos urheilija ei käytä ainetta, mutta testitulos on silti positiivinen. Nämä tapahtumat ovat erilliset. Yhteenlaskusäännön ja yleisen kertolaskusäännön avulla saadaan positiivisen testituloksen todennäköisyydeksi P("posit. tulos") = P("käyt. ") P("jää kiinni" " käyt. ") + P("ei käytä") P("testi pos. " "ei käytä") = 0,0 0,98 + 0,90 0,0 = 0,25 = 2,5 %. Testituloksista positiivisia on tämän perusteella 2,5 % %. b) Tarkastellaan vain osajoukkoja, ei sitä missä järjestyksessä sienet tulevat tunnistettavaksi. Näin ollen P("kuusi oikein") = (49 6 ) (78 49 ) 0 ( 78 6 ) = ( 49 6 ) (29 0 ) ( 78 6 ) = 0,054 44 0,054. TAI 49 78 48 77 47 76 46 75 45 74 44 7 = 8608 575 0,054.
8. a) Kuvassa on satunnaismuuttujan X kertymäfunktion kuvaaja (kaksi eri tapausta i) ja ii)). Määritä pistetodennäköisyydet ja havainnollista niitä xy-koordinaatistossa. Käytä esim. Geogebrassa komentoa Pylväskaavio( <Datalista>, <Frekvenssilista>, <Palkin leveys> ), eli esim. Pylväskaavio({4, 5, 6, 7}, {0., 0.4, 0.2, 0.}, 0) ja voit sitten ominaisuuksista -> objektin tyyli -> viivan paksuus laittaa viivan paksuutta tarvittaessa lisää. Muista vastata molempiin kohtiin i) ja ii). b) Arpajaisissa on jäljellä kymmenen arpaa, joista neljässä on voitto. Määritä satunnaismuuttujan X ="voittoarpojen lukumäärä" odotusarvo ja keskihajonta, kun ostetaan kolme arpaa. a) Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktion arvojen välisestä etäisyydestä saadaan vastaavan satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktion arvot. Siis i)-kohdassa arvot ovat: p =, p 8 2 =, p 8 = ja p 8 4 =. Vastaavasti ii)-kohdassa arvot ovat: p 8 =, 0 p 2 =, p 0 = 6 ja p 0 4 = 2. Kuvaajat ovat alla. 0
b) Muodostetaan ensin pistetodennäköisyydet ja määritetään odotusarvo sekä keskihajonta tietysti vasta sitten. Pistetodennäköisyyksien yleinen kaava johon sijoittamalla i = 0,,2 ja, saadaan p 0 = (4 0 ) ( 6 0 ) Jakauma ( 0 ) = 6, p = ( P(X(e i ) = x i ) = p i = ( 4 ) ( 6 ) x i x i ( 0 ) = ( 4 ) ( 6 x i 20 4 ) ( 6 ) ( 0 ) = 2, p 2 = ( 4 ) 2 ( 6 x i ) ) 2 ( 0 ) = 0, p = ( 4 ) ( 6 ) ( 0 ) = 0 Odotusarvo ja keskihajonta μ = E(X) = x i p i i=0 = 0 6 + 2 + 2 0 + 0 = 6 5 σ = D(X) = (x i μ) 2 p i i=0 = (0 6 2 5 ) 6 + ( 6 2 5 ) 2 + (2 6 2 5 ) 0 + ( 6 2 5 ) 0 = 4 25 = 4 5 0,749