HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva aiai 80 %. Neljä asiaasta ostaa ui pussillise eli 10 siemetä. He havaitsevat, että itäviä siemeiä oli 9, 5, 6 ja 8. a) Kui asiaas testaa itävyysväitettä oma havaitosa valossa tavallista biomijaaumamallia äyttäe. Mitä ovat asiaaide saamat p-arvot? Oo jollai heistä aihetta hylätä väite 5 %: meritsevyystasolla? b) Toie asiaas tulee valittamaa siemete laadusta auppiaalle ja ertoo oma p-arvosa. Mite auppias voi arvioida itävyysväitettä, u hä otasuu, että muut olme ovat olleet laatuu tyytyväisiä? Vihje. Valitaorjaus. c) Testaa itävyysväitettä ooaisaieisto (40 siemeestä 28 iti) valossa. (Voit äyttää ormaaliapprosimaatiota.) Rataisu: a) Tilastollisea mallia o siis Y Bi(10, θ), missä θ (0, 1) =: Ω. Nollahypoteesi muaa θ [0.8, 1) =: Ω 0. Oloo testisuureea itävie siemete luumäärä T = t(y ) = Y Bi(10, θ). Testisuuree pieet arvot ovat riittisiä ollahypoteesille. Nyt havaitoa y {0, 1,..., 10 vastaava p-arvo o p = p(y) = = ( 10 sup θ [0.8,1) ) P θ (T t(y)) = 0.8 (1 0.8) 10, sup θ [0.8,1) sillä supremum saavutetaa θ: arvolla 0.8. 1 Esimmäie asiaas havaiollaa y = 9 saa p-arvosi p(9) = 9 0.8 (1 0.8) 10 = 0.893, toie asiaas havaiollaa y = 5 vastaavasti p(5) = 0.0328, θ (1 θ) 10 1 Oletetaa, että θ 0.8. Oloo X 1,..., X 10 riippumattomia satuaismuuttujia, joilla P(X i = 2) = 0.8, P(X i = 1) = θ 0.8 ja P(X i = 0) = 1 θ. Nyt 10 1{X i = 2 Bi(10, 0.8) ja 10 1{X i 1 Bi(10, θ), jote ( ) ( 10 ) ( 10 ) 10 θ (1 θ) 10 = P 1{X i 1 y P 1{X i = 2 y = 0.8 (1 0.8) 10, sillä 1{X i 1 1{X i = 2 aiilla i ja site { 10 1{X i 1 y { 10 1{X i = 2 y.
olmas asiaas ja eljäs asiaas p(6) = 0.121 p(8) = 0.624. Asiaaista (vai) toie voi hylätä väittee 5 % meritsevyystasolla. b) Toie asiaas ertoo saaeesa p-arvo 0.0328. Kauppias voi tästä lasea todellise p-arvo teemällä valitaorjause, joa huomioi se, että sama testi o tehty eljää ertaa eljälle eri aieistolle. Olettamalla aieistot riippumattomisi todellisesi p-arvosi saadaa 1 (1 0.0328) 4 = 0.125. Ilma riippumattomuusoletustai Boferroi-orjatusi p-arvosi saadaa 4 0.0328 = 0.131. Kauppiaa ei siis tarvitse hylätä ollahypoteesia 5 % meritsevyystasolla toise asiaaa ilmoituse perusteella. c) Tilastollisea mallia o yt Y 1,..., Y 4 Bi(10, θ), missä θ (0, 1). Nollahypoteesi muaa θ [0.8, 1). Oloo testisuureea itävie siemete ooaismäärä T = t(y) = Y 1 +... + Y 4. Riippumattomie biomijaautueide satuaismuuttujie summaa T Bi(40, θ). Testisuuree pieet arvot ovat riittisiä ollahypoteesille. Aieistoa y = (9, 5, 6, 8) vastaava testisuuree arvo o t = t(y) = 9+5+6+8 = 28, ja tätä vastaava p-arvo o p = p(y) = = 0.0875, sup P θ (T t(y)) = P 0.8 (T 28) = θ [0.8,1) 28 ( ) 40 0.8 (1 0.8) 10 jote ooaisaieisto perusteella ollahypoteesia ei hylätä 5 % meritsevyystasolla. (Normaaliapprosimaatiolla ( ) jatuvuusorjause assa saadaa p Φ 28.5 40 0.8 = 0.0833.) 40 0.8 (1 0.8) 2. (Vertaa moistee tehtävä 5.8). Oloot Y 1,..., Y 15 Tas(0, θ), jossa θ > 0. Testataa hypoteesia H 0 : θ = 2 vastaa H 1 : θ < 2. Testisuureea äytetää suurita havaitoa t = y (15) = max(y 1,..., y 15 ) ja H 0 hylätää, jos t 1.5. Lase testi meritsevyystaso (eli hyläämisvirhee todeäöisyys) ja voimafutio. (Testisuuree T jaauma selvitettii Harjoituse 3A tehtävässä 3) Rataisu: Testi meritsevyystasosi saadaa ollahypoteesi pätiessä ollahypoteesi hyläämise todeäöisyys α = P H0 (H 0 hylätää) = P θ=2 (T 1.5) = ( ) 1.5 15 = 0.0134. 2 Voimafutio o 1, u θ < 1.5, π(θ) = P θ (H 0 hylätää) = P θ (T 1.5) = ( ) 15 1.5, u θ 1.5. 3. (Moistee tehtävä 5.6). Malli o Y 1,..., Y N(µ, σ 2 0), jossa σ 2 0 > 0 o tuettu luu. Testataa ollahypoteesia H 0 : µ = 0 vastaa vastahypoteesia H 1 : µ > 0 äyttämällä ysisuutaista z-testiä (s. moistee luu 5.4.1). Muodosta 0.05-tasoie θ
voimafutio ja hahmottele se uvaajaa. Vertaa sitä asisuutaise z-testi voimaa (moistee uva 5.2). Mite äide ero pitäisi ymmärtää, erityisesti jouossa µ > 0? Rataisu: Meritsevyystasoa α = 0.05 vastaava riittie alue o C 0.05 = {y : p(y) 0.05 = {y : P 0 (Z (ȳ 0)/σ 0 ) 0.05 = {y : 1 Φ( { 1 y i ȳ/σ 0 ) 0.05 = y : z 0.05 σ 0 { = y : y i σ 0 z 0.05. Ku Y 1,..., Y N(µ, σ0) 2, ii Y i N(µ, σ0). 2 Täte meritsevyystasoa α = 0.05 vastaavasi voimafutiosi saadaa ( π 0.05 (µ) = P µ (Y C 0.05 ) = P µ Y i ) σ 0 z 0.05 ( Y i µ = P µ σ0 ( = 1 Φ z 0.05 ) µ. σ 0 ) σ0 z 0.05 µ σ0 Voimafutio lauseeesta ähdää uvaaja hahmottelemista varte oleaisia havaitoia, että voimafutio π 0.05 o jatuva ja aidosti asvava, π 0.05 ( ) = 0 ja π 0.05 ( ) = 1. Kuvassa tavallisella viivalla o edellä lasettu ysisuutaise testi voimafutio π 0.05 ja atoviivalla vastaava asisuutaise testi voimafutio π 0.05. 2 Kuva perusteella ysisuutaise testi voima π 0.05 (µ) o suurempi ui vastaava asisuutaise testi voima π 0.05 (µ), u µ > 0. Tämä taroittaa sitä, että jos µ > 0, ii ysisuutaisella testillä ollahypoteesi H 0 : µ = 0 hylätää useammi/todeäöisemmi ui asisuutaisella testillä. 2 Vaiot ja σ 2 0 vaiuttavat uvaa aioastaa vaaa-aselia saalate, jote iide arvoilla ei ole väliä uva aalta.
4. Oloo Y 1,..., Y P(µ), missä µ > 0. Tiedämme, että seä Y että S 2 ovat parametri µ harhattomia estimaattoreita. Tarastellaa ollahypoteesia H 0 : µ = µ 0 ja vastahypoteesia H 0 : µ µ 0. Tällöi seä t 1 (Y) = Y µ 0 että t 2 (Y) = S 2 µ 0 ävisivät maiiosti asisuutaisia testisuureia (suuret itseisarvot t 1 (y) ja t 2 (y) ovat riittisiä H 0 :lle). Ogelmaa o, että testisuureita vastaavie satuaismuuttujie T 1 = t 1 (Y) ja T 2 = t 2 (y) jaaumat olisi hyvä tutea p-arvoje ja riittiste alueide määräämistä varte. Oletetaa, että o hyvi suuri seuraavassa a) Huomaamme, että T 1 o riippumattomie ja samoi jaautueitte satuaismuuttujie summa, jote se o asymptoottisesti ormaalijaautuut. Määrää se asymptoottie jaauma, u parametria o µ. b) Huomaamme, että T 2 ei ole aiva riippumattomie ja samoi jaautueitte satuaismuuttujie summa, sillä Y sotee asioita. Suurilla otosesiarvo Y o uitei taretuva, jote oletetaa, että piei pulijaus o sallittu ja voimme vaihtaa suurilla testisuuree liimai vastaavasi satuaismuuttujasi T 3 = 1 1 (Y i µ) 2 µ 0 Rataisu: u oletetaa, että parametria o µ. Kute a)-ohdassa, määrää pulijatu testisuuree T 3 asymptoottie jaauma ja site oletettavasti myös testisuuree T 2 asymptoottie jaauma. (T 3 ei itsessää ole testisuure, sillä se ei ole tuusluu :) a) Kosa EY i = µ = var Y i ja Y 1, Y 2,... ovat riippumattomia, ii eseise rajaarvolausee ojalla (Y i µ) w N(0, 1) µ eli Y i as N(µ, µ) ja T 1 = Y µ 0 = 1 (Y i µ 0 ) = 1 Y i µ 0 N(µ µ 0, µ/). as b) Poissojaautuee satuaismuuttuja Y P(µ) momettiemäfutio M Y (t) = E(e ty ) = e t µ µ e! = e µ (µe t )! = e µ e µet = e µ(et 1) derivaatoista ja saadaa mometit M Y (t) = e µ(et 1) µe t, M Y (t) = e µ(et 1) ((µe t ) 2 + µe t ), M (3) Y (t) = e µ(et 1) ((µe t ) 3 + 3(µe t ) 2 + µe t ) M (4) Y (t) = e µ(et 1) ((µe t ) 4 + 6(µe t ) 3 + 7(µe t ) 2 + µe t ) EY = M Y (0) = µ,
ja eli ja EY 2 = M Y (0) = µ 2 + µ, EY 3 = M (3) Y (0) = µ 3 + 3µ 2 + µ EY 4 = M (4) Y (0) = µ 4 + 6µ 3 + 7µ 2 + µ, E(Y µ) 2 = EY 2 2µEY + µ 2 = (µ 2 + µ) 2µµ + µ 2 = µ var(y µ) 2 = E(Y µ) 4 (E(Y µ) 2 ) 2 = EY 4 4µEY 3 + 6µ 2 EY 2 4µ 3 EY + µ 4 µ 2 = (µ 4 + 6µ 3 + 7µ 2 + µ) 4µ(µ 3 + 3µ 2 + µ) + 6µ 2 (µ 2 + µ) 4µ 3 µ + µ 4 µ 2 = 2µ 2 + µ. Kosa yt siis E(Y i µ) 2 = µ, var(y i µ) 2 = 2µ 2 + µ ja (Y 1 µ) 2, (Y 2 µ) 2,... ovat riippumattomia (sillä Y 1, Y 2,... ), ii eseise raja-arvolausee ojalla := ((Y i µ) 2 µ) 2µ2 + µ w N(0, 1) ja site myös T 3 (µ µ 0 ) 1 2µ2 + µ = 2µ 2 +µ 1 + µ µ 0 (µ µ 0 ) 1 2µ2 + µ = 1 Ö() w N(0, 1) (sillä P ( 1 Ö() x ) = P ( ( 1 x) = F 1 x) Φ(x) 3 aiilla x R). Siis T 3 N ( µ µ 0, (2µ 2 + µ)/ ). as 3 Oletetaa, että ε > 0. Tällöi o olemassa δ > 0 s.e. Φ(x+h) Φ(x) ( ε/2, ε/2) aiilla h [ δ, δ]. Nyt o olemassa N 1 N s.e. 1 x x ( δ, δ) aiilla > N 1, N 2 N s.e. F (x δ) Φ(x δ) ( ε/2, ε/2) aiilla > N 2 ja N 3 N s.e. F (x + δ) Φ(x + δ) ( ε/2, ε/2) aiilla > ( N 3. Nyt aiille > N := max{n 1, N 2, N 3 pätee ertymäfutioide F asvavuude ojalla F 1 ( x) F (x δ) Φ(x δ) ε/2 Φ(x) ε ja F 1 x) F (x + δ) Φ(x + δ) + ε/2 Φ(x) + ε.