ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa
Luentoviikko 1 Kurssin esittely Kurssin toteutus ja henkilökunta Kurssin sisältö Sähkövaraus ja sähkökenttä Oppimistavoitteet Sähkövaraus Johteet, eristeet ja indusoitunut varaus Coulombin laki Sähkökenttä ja sähköiset voimat Sähkökenttälaskut Kenttäviivat Sähködipoli Yhteenveto 2 (44)
Kurssin esittely Kurssin toteutus ja henkilökunta Kurssin toteutus Viikkoaikataulu (vko 8 13, 15 17, 19 20) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '!"#$%$$"& Mitoitus: 5 op on nimellisesti 133 h 13 viikkoa 10 h/vko Kurssin suoritus Esitehtävät Pohdintatehtävät Laskuharjoitukset Välikokeet Yhteensä 11 p 9 p 44 p 36 p 100 p Kurssilla on 2 välikoetta (ja uusinnat). Tenttiä ei ole. Tarkemmat tiedot: MyCourses/Kurssiesite 3 (44)
Kurssin esittely Kurssin toteutus ja henkilökunta Kurssin henkilökunta Luennoija TkT Henrik Wallén, Elektroniikan ja nanotekniikan laitos, TUAS 2139, henrik.wallen@aalto.fi, työpuh. 050 420 5860 Assistentit Tiu Aarnio, Zaeed Khan, Artur Kopitca, Tero Korkalainen, Tomi Penttilä, Maksym Yarmoshchuk, Robin Ångerman Laskuharjoitusvuorot MyCoursesissa Yleisistä asioista kannattaa kysyä luennoilla, harjoituksissa ja MyCoursesin keskustelupalstalla; yksityisemmissä kysymyksissä voi esim. lähettää sähköpostia luennoijalle. 4 (44)
Kurssin esittely Kurssin toteutus ja henkilökunta Esitiedot? Matematiikan peruskurssit (vektorit ja integraalit) Mekaniikka (Lukion sähköoppi) 5 (44)
Kurssin esittely Kurssin sisältö Sähkömagnetiikka ja kenttä On havaittu, että luonnossa esiintyy neljä perusvuorovaikutusta: gravitaatiovuorovaikutus arjesta tuttu painovoima heikoin, mutta merkittävin voima taivaankappaleiden välillä heikko vuorovaikutus vaikuttaa atomiytimien beetahajoamisessa sähkömagneettinen vuorovaikutus merkittävin arjessa koettava vuorovaikutus: atomien ja molekyylien rakenne, kemia, kitka (välittäjähiukkanen fotoni: valo laajassa mielessä) vahva vuorovaikutus pitää atomiytimet koossa Sähkömagnetiikka tutkii paikoillaan olevien tai liikkuvien varausten synnyttämiä sähkömagneettisia kenttiä Kenttä on fysikaalisen suureen avaruudellinen jakautuma; se voi olla ajasta riippuva tai aikariippumaton 6 (44)
Sähkövaraus ja sähkökenttä +q d A r q d A r F = 1 q 1 q 2 4πε 0 r 2 E = F = 1 q q 0 4πε 0 r 2 E V = 1 dq 4πε 0 r E E Φ E = E d A = Q encl ε 0 d +q F + = q E F = q E q p = q d
Virta ja magneettikenttä dl 1 dl 2 dl 3 Ampèren laki (lävistyslaki) B d l = µ 0 I encl magneettikenttää vain keltaisessa alueessa N S Φ B = B d A = B cos φ da = B da
Sähkömagneettinen induktio ja sähkömotorinen voima Metallinpaljastin Metallinpaljastimen, induktiolieden ja pyörrevirtajarrun toiminta perustuu muuttuvan magneettikentän indusoimiin pyörrevirtoihin Faradayn laki E = dφ B dt Induktioliesi Pyörrevirtajarru
1 0.1 Sähkömagneettiset aallot James Clerk Maxwell z/λ 1.5 1 0.5 0 0.5 E d A = Q encl (Gaussin laki) ε 0 B d A = 0 (Gaussin laki magnetismille) ) B dl dφ E = µ 0 (I encl + ε 0 (Ampèren laki) Ē( r); dt t = 4 jaksonaikaa E dl = dφ B 0.5 (Faradayn laki) dt 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15
Kurssin esittely Kurssin sisältö Sähkömagneettinen spektri Lähde: https://mynasadata.larc.nasa.gov/science-processes/electromagnetic-diagram/ 11 (44)
Kurssin esittely Kurssin sisältö Luentoviikot 1. Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF 21) 2. Gaussin laki (YF 22) 3. Sähköpotentiaali (YF 23) 4. Kapasitanssi ja eristeet (YF 24); virta, resistanssi ja sähkömotorinen voima (YF 25) 5. Magneettikenttä ja magneettiset voimat (YF 27) 6. Magneettikentän lähteet (YF 28) (1. välikoe) 7. Sähkömagneettinen induktio (YF 29) ja induktanssi (YF 30) 8. Sähkömagneettiset aallot (YF 32) 9. Valon luonne ja eteneminen (YF 33) (Wapun takia luentotauko) 10. Geometrinen optiikka (YF 34) 11. Interferenssi (YF 35) ja diffraktio (YF 36) (2. välikoe) 12 (44)
Oppimistavoitteet Tavoitteena on oppia sähkövarauksen luonne ja varauksen säilyminen miten kappaleet tulevat sähköisesti varatuiksi miten Coulombin lakia käytetään sähkövarausten välisten voimien laskemiseen sähköisen voiman ja sähkökentän ero varausjoukon synnyttämän sähkökentän laskeminen miten sähkökentän kenttäviivojen ideaa käytetään sähkökenttien kuvaamiseen ja tulkitsemiseen laskemaan sähködipoleiden ominaisuuksia 14 (44)
Sähkövaraus Negatiivinen ja positiivinen sähkövaraus Aloitetaan sähkömagneettiseen vuorovaikutukseen tutustuminen tutkimalla meihin nähden liikkumattomien varausten välistä sähköstaattista voimaa Antiikin kreikkalaiset havaitsivat jopa 600 vuotta eaa., että villalla hangattu meripihka vetää esineitä puoleensa (kreikan sana elektron tarkoittaa meripihkaa [engl. amber]) Jos muovitankoja hangataan turkispalalla, tangot alkavat hylkiä toisiaan Jos lasitankoja hangataan silkkikankaalla, tangot alkavat hylkiä toisiaan Hangattu muovitanko vetää hangattua lasitankoa puoleensa Hankausmateriaali vetää puoleensa tankoa, jota sillä on hangattu Benjamin Franklinin perintönä sanomme, että muovitanko varautuu negatiivisesti ja lasitanko positiivisesti [merkit tavallaan väärin valittu... ] Havaitsemme, että samanmerkkiset varaukset hylkivät toisiaan ja vastakkaismerkkiset vetävät toisiaan puoleensa 15 (44)
Sähköstatiikan sovellus: lasertulostin 1. Kuvadata siirtyy tietokoneesta 2. Ohjauspiiri määrittää, miten data pitää esittää paperilla 3. Ohjauspiiri aktivoi koronalangan, joka... 4.... varaa valoherkän rummun pinnan tasaisesti positiivisella varauksella 5. Ohjauspiiri liikuttaa peiliä, josta heijastuva lasersäde vaihtaa osumiskohdistaan rummulla varauksen negatiiviseksi 6. Rumpua koskettava mustetela peittää rummun negatiiviset alueet positiivisesti varatuilla mustehiukkasilla; muste peittää nyt oikeat kohdat rummulla 7. Toinen koronalanka varaa paperilokerosta tulevan arkin vahvasti negatiiviseksi http://www.explainthatstuff.com/laserprinters.html 8. Kun paperi tulee rummun lähelle, positiivisesti varattu muste siirtyy negatiivisesti varatulle paperille; haluttu kuva on keveästi paperissa kiinni 9. Musteinen paperi kulkee kahden kuuman telan välistä (sulatusyksikkö): muste puristuu ja sulaa paperin kuituihin kiinni pysyvästi 10. Vielä lämmin tuloste poistuu kirjoittimesta
Sähkövaraus Aineen rakenne Tavallinen aine koostuu atomeista ja molekyyleistä Aineen rakenne ja ominaisuudet ovat pääsääntöisesti seurausta sähköisistä vuorovaikutuksista Atomit koostuvat keveistä negatiivisista elektroneista ja raskaammista positiivisista protoneista sekä sähköisesti neutraaleista neutroneista Protonit ja neutronit muodostavat tiiviin ytimen (jota vahva vuorovaikutus pitää koossa) Halkaisija luokkaa 1 fm = 10 15 m Ydintä ympäröi elektronipilvi (joka pysyy atomissa kiinni sähköisen vetovoiman ansiosta) Ulottuu noin 100 pm = 10 10 m:n päähän ytimestä Protonin tai neutronin massa on noin 2000 kertaa elektronin massa (gravitaation vaikutus ei silti atomin rakenteessa näy miksi?) 17 (44)
Sähkövaraus Varauksen säilyminen Neutraalissa atomissa on yhtä paljon elektroneja ja protoneja koska elektronin ja protonin varaukset ovat yhtäsuuret mutta vastakkaismerkkiset, neutraalissa atomissa nettovaraus on nolla Protonien lukumäärä ilmaisee alkuaineen järjestysluvun (atomiluvun, engl. atomic number) Jos poistetaan yksi tai useampi elektroni, saadaan positiivinen ioni [ioni] Negatiivisella ionilla taas on ylimääräisiä elektroneja Nettovarauksen määrä on hyvin pieni ( 10 12 ) osa varatun kappaleen kokonaisvarauksesta Varauksen säilymislaki (rikkumaton havainto): Sähkövarausten summa suljetussa järjestelmässä on vakio. Sähkövaraus on kvantittunut: havaittava varausmäärä on elektronin (tai protonin) varauksen monikerta (paitsi kvarkeilla, mutta... ) = elektronin tai protonin varauksen suuruus on luontainen varauksen yksikkö, alkeisvaraus 18 (44)
Johteet, eristeet ja indusoitunut varaus Johteet ja eristeet Johde Atomien uloimmat elektronit liikkuvat helposti paikasta toiseen materiaalissa (esim. kuparilanka). Tyypillisesti metallit ovat hyviä johteita. Siirtävät varausta paikasta toiseen. Eriste Aineessa ei ole lainkaan tai on niukasti vapaita elektroneja, jotka voisivat liikkua. Esimerkiksi posliini, muovit, lasi. Puolijohde Johteen ja eristeen välimuoto. Esimerkiksi galliumarsenidi (yhdiste) ja pii. Aineen seostamisella voi vaikuttaa sen sähköisiin ominaisuuksiin. 19 (44)
Johteet, eristeet ja indusoitunut varaus Sähköstaattinen induktio Varauksia voi siirtää koskettamalla kappaletta varatulla esineellä (esim. koskettamalla metallipalloa varatulla muovisauvalla) Entä jos tuodaan negatiivisesti varattu sauva johtavan (ja irrallisen ) metallipallon lähelle koskettamatta sitä? Samanmerkkiset varaukset hylkivät toisiaan pallon vapaita elektroneita siirtyy toiselle puolelle sauvan puolelle jää positiivinen nettovaraus = sähköstaattinen induktio tai varaaminen induktion avulla + + + + + Sähkömagneettinen induktio on eri ilmiö, johon palataan luentoviikolla 7. 20 (44)
Johteet, eristeet ja indusoitunut varaus Sähköstaattinen induktio (jatkoa) Metallipallon vapaat elektronit siirtyvät, kunnes syntyy tasapaino = pallon elektroneihin sauvan varauksesta aiheutuva voima on yhtä suuri kuin indusoituneiden varausten elektroneihin aiheuttama voima Maadoitetaan pallon oikea puoli elektronit siirtyvät pois (maa on loputon varausvarasto) Maadoituksen ja sauvan poiston jälkeen palloon jää positiivinen nettovaraus + + + + + + + + + + 21 (44)
Johteet, eristeet ja indusoitunut varaus Varauksien aiheuttama voima Varattu kappale aiheuttaa voiman neutraaliin kappaleeseen Esim. metallipallo ja negatiivisesti varattu sauva Pallon positiiviset varaukset lähempänä sauvaa kuin negatiiviset sauva vetää palloa puoleensa F F + + + + + 22 (44)
Johteet, eristeet ja indusoitunut varaus Polarisaatio Varattu kappale siirtää hieman neutraalin eristeenkin varauksia = polarisaatio vetovoima Vetovoima on sama riippumatta varatun kappaleen varauksen merkistä + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - 23 (44)
Coulombin laki Coulombin laki Charles Augustin de Coulomb 1784 5: Kahden pistemäisen varauksen välinen voima on verrannollinen varausten suuruksien tuloon ja kääntäen verrannollinen varausten etäisyyden neliöön. Aikaisemmin oli havaittu, että samanmerkkisten varausten välillä on hylkimisvoima ja erimerkkisten varausten välillä vetovoima Jos pistevaraukset q 1 ja q 2 ovat etäisyydellä r toisistaan, niihin vaikuttavan voiman suuruus F = 1 q1 q 2 4πε 0 r 2 verrannollisuuskerroin ε 0 8.854 10 12 C 2 /(N m 2 ) on tyhjiön permittiivisyys (ilma käy yleensä tyhjiöstä); 1/(4πε 0 ) 9.0 10 9 N m 2 /C 2 q 1,2 = n 1,2 e, missä alkeisvaraus e 1.6022 10 19 C (yleensä n 1,2 1) Coulombin voimalle pätee superpositioperiaate eli voimien vektorisummaus ja Newtonin III laki 24 (44)
Vektorisummaus [kertaus] Muista, että vektorilla on aina suuruus ja suunta. B B A A + B B A + B = B + A A B A B Komponenttimuodossa: A B = A + ( B) z A = A x î + A y ĵ + A z k B = B x î + B y ĵ + B z k ) (A x + B x î + A + B = (A y + B y ) ĵ + ( A z + B z ) k Tällä kurssilla karteesisen eli tavallisen (x, y, z)-koordinaatiston kantavektorit ovat î, ĵ, k. k î x ĵ y
Esimerkki Kaksi pistevarausta on y-akselilla: q 1 = 2.0 µc kohdassa y 1 = 0.30 m ja q 2 = 2.0 µc kohdassa y 2 = 0.30 m. Laske voima, jonka varaukset aiheuttavat varaukseen q 3 = 4.0 µc, kun x 3 = 0.40 m. y q 1 q 3 x q 2
Ratkaisu Kaksi pistevarausta on y-akselilla: q 1 = 2.0 µc kohdassa y 1 = 0.30 m ja q 2 = 2.0 µc kohdassa y 2 = 0.30 m. Laske voima, jonka varaukset aiheuttavat varaukseen q 3 = 4.0 µc, kun x 3 = 0.40 m. y q 1 F 23 Voima q 1 kohdistaa q 3 F 13 = 1 q 1 q 3 r 13 = F 13 r 13 = 0.29 N r 13 4πɛ 0 r 2 13 α q 3 x F 13x F Komponentit F 13x = F 13 cos(α) î = 0.23 N î q 2 F 13y = F 13 sin(α) ĵ = 0.17 N ĵ F 13y F 13 Symmetrian takia F 23y = 0.17 N ĵ, F 23x = 0.23 N î Kokonaisvoima F = F 13 + F 23 = 2 0.23 N î = 0.46 N î
Sähkökenttä ja sähköiset voimat Sähkökenttä Coulombin lain tulkintaa Varaus A aiheuttaa voiman F 0 pistevaraukseen B Kun B poistetaan, voidaan ajatella että varaus A tuottaa sähkökentän E pisteeseen P (varauksen B paikalle) F 0 q 0 F + 0 + B A + Jos nyt sijoitetaan pistemäinen testivaraus q 0 pisteeseen P, aiheuttaa sähkökenttä E varaukseen voiman, joka on verrannollinen kenttään ja varaukseen: F = q 0 E = F 0 A + A P P E def = F 0 q 0 28 (44)
Sähkökenttä ja sähköiset voimat Sähkökenttä (jatkoa) Varausten välinen vuorovaikutus (= voima) on todellinen sähkökenttä on matemaattinen apuneuvo Varattuun kappaleeseen kohdistuvan sähköisen voiman tuottaa muiden varattujen kappaleiden synnyttämä sähkökenttä Sähkökenttä E def = testivarauksen q 0 kokema sähköinen voima F 0 (jonka järjestelmän muut varaukset testivaraukseen kohdistavat) normalisoituna testivarauksella E = F 0 q 0 [E] = N C = V m Sähkökenttä ei riipu voimaa kokevasta varauksesta! Jos pisteessä P on sähkökenttä E, pisteeseen tuotu pistevaraus q 0 kokee voiman F 0 = q 0 E 29 (44)
Sähkökenttä ja sähköiset voimat Pistevarauksen sähkökenttä q + q + r q r r r r O P q 0 P r P F 0 E Testivaraus q 0 pisteessä P kokee Coulombin lain mukaan sähköisen voiman F 0 = 1 qq 0 4πε 0 r 2 r joten pistevarauksen q sähkökenttä E pisteessä P on E = 1 q 4πε 0 r 2 r missä r on kenttäpisteen etäisyys pistevarauksesta ja r on yksikkövektori, joka osoittaa varauksesta kohti kenttäpistettä. Esim. kuvan paikkavektorien avulla r P r q r = r P r q, r = r P r q 30 (44)
Sähkökenttälaskut Pistejoukon sähkökenttä Edellä laskettiin yksittäisen pistevarauksen aiheuttamaa kenttää Useamman varauksen aiheuttama kokonaisvoima F 0 on vektorisumma yksittäisten varausparien Coulombin voimista F i Varausjakauman kenttä lasketaan olettamalla tai jakamalla varausjoukko pistelähteiksi Kokonaissähkökenttä E 0 lasketaan yksittäisten varausten kenttien E i vektorisummasta Jatkuvia varausjakautumia: Viivavaraustiheys λ [C/m] Pintavaraustiheys σ [C/m 2 ] Tilavuusvaraustiheys ρ [C/m 3 ] F 0 = F i = q 0 E i E 0 = E i i i i 31 (44)
Sähkökenttälaskut Esimerkki Viivavarauksen kenttä pisteessä P etäisyydellä x origosta y a dy, dq r 12 P d E x x d E y d E a Jaetaan tasainen viivavaraus λ = Q/(2a) paloihin dq = λ dy = Q 2a dy Pisteen P etäisyys palasesta on r 12 = x 2 + y 2 32 (44)
Sähkökenttälaskut Ratkaisu Viivavarauksen kenttä pisteessä P etäisyydellä x origosta Kentän voimakkuus (pistelähde) de = 1 dq 4πε 0 r12 2 = Q dy 4πε 0 2a(x 2 + y 2 ) Sähkökentän komponentit (trigonometrialla tai yhdenmuotoisilla kolmioilla) de x = Q x dy 4πε 0 2a(x 2 + y 2 ) 3/2, de y = Q y dy 4πε 0 2a(x 2 + y 2 ) 3/2 Integroidaan sauvan yli E x = 1 Q a 4πε 0 2a a E y = 1 Q a 4πε 0 2a a x dy (x 2 + y 2 ) 3/2 =... = Q 1 4πε 0 x(x 2 + a 2 ) 1/2 y dy (x 2 + y 2 = 0 symmetrian vuoksi ) 3/2 33 (44)
Sähkökenttälaskut Viivavarauksen kenttä Vektorimuodossa (huomaa suuntien määrittely) E = E x î E y ĵ = Jos x a, E = 1 Q î (kuten pistevarauksella) 4πε 0 x2 Jos Q = 2aλ, E = 1 λ 2πɛ 0 x (x/a) 2 + 1 î Ääretön lanka (tärkeä lähdeprototyyppi) Q 1 4πε 0 x x 2 + a î 2 a E = λ 2πε 0 x î λ E = 2πε 0 r r, missä r on etäisyys langasta ja yksikkövektori r osoittaa langasta poispäin 34 (44)
Kenttäviivat Sähkökentän kenttäviivat Sähkökenttää ei voi nähdä Kenttää voi havainnollistaa piirtämällä kenttävektoreita (punaiset) tai kenttäviivoja (virtausviivoja, siniset) Kenttäviivan tangentti osoittaa sähkökenttävektorin suuntaan joka pisteessä ja kenttäviivojen tiheys on verrannollinen kentän voimakkuuteen Kenttäviivat ovat yksikäsitteisiä: eivät leikkaa toisiaan Kenttäviiva ei ole vakiokenttäkäyrä eikä kuvaa kenttään päästetyn varauksen liikerataa! + (Katso myös kuva sivulla 2.) 35 (44)
Sähködipoli Sähködipoli Sähködipolissa on kaksi yhtäsuurta mutta vastakkaismerkkistä pistevarausta (+q ja q) etäisyydellä d toisistaan Tulo qd = p on dipolimomentti; dipolimomenttivektori p osoittaa [määritelmän mukaan] negatiivisesta varauksesta positiiviseen päin Dipoleilla voi mallintaa aineiden sähköistä vastetta Esim. vedellä on pysyvä dipolimomentti (p H2 O 6.13 10 30 C m) hyvä liuotin vesiliuosten kemia mahdollinen (elämä) Jos dipoli asetetaan tasaiseen ulkoiseen sähkökenttään E, sähködipoliin kohdistuu voima F = F + + F = 0 (ei nettovoimaa) F = q E E E E q d +q p = q d F + = q E 36 (44)
Sähködipoli Sähködipoliin kohdistuva vääntömomentti Voimapari F ± ei vaikuta samaa suoraa pitkin, joten dipoliin kohdistuu vääntömomentti Kummankin voiman varsi on (d/2) sin φ, jos φ on sähkökenttävektorin ja dipolimomenttivektorin välinen kulma (φ = 0 vektorit samansuuntaiset) Kummankin voiman vääntömomentti dipolin keskikohdan suhteen on τ ± = r F ± = (± d/2) (±q E) = 1 2 p E, joten kokonaisvääntömomentti τ = τ + + τ on τ = p E τ = pe sin φ Momentti pyrkii aina kääntämään dipolin sähkökentän suuntaiseksi 37 (44)
Ristitulo (= vektoritulo = ulkotulo) [kertaus] B A B = n AB sin θ AB = B A θ AB n A missä A B = A(B sin θ AB ) on harmaan suunnikkaan pinta-ala ja n on suunnikkaan normaalivektori oikean käden säännön mukaisesti (tässä kohti katsojaa) Komponenttimuodossa î ĵ k A B = A x A y A z = B x B y B z ) ) ( ) (A y B z A z B y î + (A z B x A x B z ĵ + A x B y A y B x k
Sähködipoli Sähködipolin potentiaalienergia Sähkökenttä tekee työn dw, kun dipoli kääntyy kulman dφ: dw = τ dφ = pe sin φ dφ (miinusmerkki: kenttä kääntää dipolia pienenevän kulman φ suuntaan) Kokonaistyö W = φ2 φ 1 ( pe sin φ ) dφ = pe cos φ2 pe cos φ 1 Työ on potentiaalienergian negatiivinen muutos: W = U 1 U 2 ; valitaan sähködipolin potentiaalienergiaksi U(φ) = pe cos φ ja tunnistetaan lausekkeessa pistetulo U = p E Esim. ruohonsiemenet ulkoisessa sähkökentässä polarisoituvat (saavat dipolimomentin) ja asettuvat pitkin kenttäviivoja (minimipotentiaalienergian asentoon) 39 (44)
Pistetulo (= skalaaritulo = sisätulo) [kertaus] A B = AB cos θ AB B θ AB (0 θ AB π) Komponenttimuodossa A A B = A x B x + A y B y + A z B z Vektorin pituus (= suuruus = itseisarvo) ja yksikkövektori A = A = A A, Â = A A Vektorin B komponentti vektorin A suunnassa C = Â (B cos θ AB ) = Â A B A (Â = Â A B) = B A A A (Muualla käytetään usein merkintää B A tälle ns. projektiovektorille.) B C θ AB A
Sähködipoli Kolmitulot [kertaus] Skalaarikolmitulo, eli vektorien A, B, C virittämän suuntaissärmiön suunnistettu tilavuus A x A y A z A ( B C) = B ( C A) = C ( A B) = B x B y B z C x C y C z Vektorikolmitulo ( ) ( ) ( ) A B C = B A C C A B ( bac-cab sääntö) 41 (44)
Sähködipoli Sähködipolin kenttä y-akselilla pisteessä P y d/2 y P y + d/2 p + x Sähkökenttä P:ssä on E = E x î + E y ĵ + E z k, nyt E x = E z = 0 (miksi?): E y = q [ ] 1 4πε 0 (y d/2) 2 1 (y + d/2) 2 ( q = 4πε 0 y 2 1 d ) 2 ( 1 + d ) 2 2y 2y 42 (44)
Sähködipoli Sähködipolin kenttä y-akselilla pisteessä P (jatkoa) Jos y d, voidaan approksimoida (1 + x) n n(n 1)x2 = 1 + nx + +... 2 ( 1 d ) 2 1 + d ( 2y y ja 1 + d ) 2 1 d 2y y [( q E y 4πε 0 y 2 1 + d ) ( 1 d )] 2p = y y 4πε 0 y 3 Siis E y 1/y 3, ja yleisesti etäisyydellä r kaukana dipolista E 1/r 3 Vertaa: pistevarauksen E 1/r 2 43 (44)
Yhteenveto Yhteenveto luvusta 21 Keskeisiä käsitteitä (sähkö)varaus [esim. pistevaraus q] varauksen säilymislaki johde ja eriste sähköinen voima F ja sähkökenttä E superpositioperiaate sähködipoli ja dipolimomentti p Tärkeitä kaavoja Coulombin laki (muista myös voiman suunta) F = 1 q1 q 2 4πε 0 r 2 Pistevarauksen sähkökenttä ja sähköinen voima E = 1 q 4πε 0 r 2 r, F 0 = q 0 E Sähködipolille p = qd, τ = p E, U = p E Muista tutustua kurssin kaavakokoelmaan... 44 (44)