Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 28.2. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1. Määrittele lyhyesti seuraavat käsitteet: a. normaalijännitys ja leikkausjännitys Normaalijännitys s (sigma) kuvaa pinnan normaalin suuntaisesta normaalivoimasta N aiheutuvaa materiaalin rasituksen suuruutta. Normaalijännitys saadaan normaalivoimasta yhteydellä: σ = N A, (1) missä A on poikkileikkauksen pinta-ala. Leikkausjännitys t (tau) kuvaa pinnan suuntaisesta leikkausvoimasta Q aiheutuvaa materiaalin rasituksen suuruutta. Keskimääräinen leikkausjännitys saadaan leikkausvoimasta yhteydellä: τ '()' = * +, (2) missä A on poikkileikkauksen pinta-ala. Suureiden SI yksiköt ovat N = N (newton), A = m - (neliömetri), σ =. = Pa (pascal). / 0 1
b. venymä ja liukuma Venymä ε (epsilon) kuvaa rakenteen muodonmuutoksen suuruutta. Venymä kuvaa suhteellista muodonmuutosta ja on siten yksikötön suure. Tällä kurssilla venymällä tarkoitetaan insinöörivenymää (vrt. todellinen venymä), joka määritellään yhtälöllä: ε 45) = 67 7 8 (3) eli pituuden suhteellisena muutoksena. Tässä siis ΔL on pituuden muutos alkuperäiseen pituuteen verrattuna. Venymä liittyy olennaisesti normaalivoimaan ja normaalijännitykseen. Leikkausvoimaan ja leikkausjännitykseen liittyvää venymää kutsutaan yleisesti liukumaksi γ (gamma). Liukuma eli liukukulma määritellään yhteydestä: γ ;< = γ = + γ -. (4) Tässä kulmat γ 1 ja γ 2 ovat eri koordinaattiakselien kanssa muodonmuutoksessa syntyneitä kulmia. Liukuman yksikkö on radiaani. Jos ei ole erityistä syytä erottaa (normaali)venymää ja liukumaa toisistaan, voidaan molempia kutsua venymiksi. c. Poissonin luku Poissonin luku ν (nu) on yksikötön materiaalin ominaisuus, joka kuvaa ohenemisen ja venymisen suhdetta, ja joka määritellään isotrooppiselle materiaalille yksiaksiaalisessa tapauksessa kaavalla: ν = A B A C, (5) 2
missä osoittaja on venymä kuormittavan voiman vaikutussuuntaan nähden kohtisuorassa suunnassa ja nimittäjä venymä kuormittavan voiman vaikutussuunnassa. Jos esimerkiksi ainetta puristetaan yksiaksiaalisella voimalla F, se puristuu kasaan voiman F vaikutussuunnassa ja leviää vaikutussuuntaan nähden kohtisuoriin suuntiin. Vastaavasti, jos ainetta venytetään yhdessä suunnassa, se kutistuu muissa suunnissa. Poissonin luku kuvaa siis muissa suunnissa tapahtuvan muodonmuutoksen suuruutta. d. vaihtosuuntainen väsytyskoe ja jännitysamplitudi Väsytyskokeella selvitetään materiaalin käyttäytyminen toistuvasti vaihtelevan kuormituksen alaisena. Vaihtosuuntaisen kokeen jännitys vaihtelee jakson aikana puristuksesta vetoon. Jännitysamplitudi s a on jännityksen dynaamisen osuuden maksimiarvo. 2. Kolme samankokoista puupalaa on liimattu yhteen kuvan 1 osoittamalla tavalla. Laske liimaliitosten keskimääräinen leikkausjännitys, kun keskimmäiseen puupalaan vaikuttaa voima F = 80 kn. Puupalojen pituus on 250 mm. (1p) Kuva 1 3
Liimaliitoksessa vaikuttava leikkausjännitys t, leikkausvoima Q ja pinta-ala A liittyvät toisiinsa yhteydellä τ = * +. (1) Liimaliitoksen pinta-ala saadaan kertomalla liimaliitoksen korkeus puupalan pituudella. uomaa, että liitoksia on kaksi kappaletta. Pinta-alaksi saadaan siten A = 2 l a, (2) missä pituus l = 250 mm ja liimaliitoksen korkeus a = 50 mm. Sijoittamalla voima F ja pinta-alan lauseke (2) leikkausjännityksen kaavaan (1) saadaan tulos τ = - I J = KL '. - -ML // ML // = 3,2 MPa (3) 3. Kuvan 2 teräksestä valmistetun sauvan paksumman osan poikkileikkauksessa vallitsee voiman P aiheuttama normaalijännitys s = 60 MPa. Laske sauvan ohuemmassa osassa vaikuttava normaalijännitys. Mikä on suurin sallittu vetävä voima P, kun ohuemman sauvan halkaisija ei saa alittaa arvoa 29,98 mm? Teräksen kimmokerroin E = 210 GPa ja Poissonin luku ν = 0,3. (1p) Kuva 2 Sauvan poikkileikkauksessa vaikuttava normaalijännitys s, normaalivoima P ja poikkipintaalan A liittyvät toisiinsa yhteydellä σ = P +. (1) Merkitsemällä paksua sauvaa alaindeksillä 1 ja ohutta alaindeksillä 2 voidaan sauvoissa vaikuttaville normaalijännityksille kirjoittaa yhtälöt Kaavasta (2) saadaan ratkaistua voimaksi σ = = P + R = 60 MPa, (2) σ - = P + 0. (3) 4
joka kaavaan (3) sijoittamalla antaa P = σ = A =, (4) Pyöreän sauvan pinta-ala saadaan kaavalla σ - = σ = + R + 0. (5) joten kaavasta (5) saadaan A = = U πd-, (6) σ - = σ = X - R YL // = 60 MPa X 0 ZL // - = 240 MPa. (7) ooken lakia σ = Eε (8) käyttämällä saadaan sauvan venymä ε ; = ] 0 ^. (9) Poissonin luku n määrittelee voiman vaikutussuuntaan nähden kohtisuoran venymän Vastaavasti venymä on myös ε < = νε ;. (10) ε < = 6. (11) Yhdistetään yhtälöt (3), (6), (9), (10) ja (11), ja ratkaistaan suurin sallittu voima P Δd d = νp EA - P = ^+6_ b_. (12) Sijoitetaan numeroarvot (Dd = 29,98 mm 30,00 mm = - 0,02 mm) ja lasketaan P P = c ZL // 0R8888d ee0 (gl,l- //) 330,0 kn. gu L,Z 5
1. MotoGP-ratamoottoripyörä (Kuva 3) tulee pääsuoran jälkeen mutkaan nopeudella v 0 = 300 km/h ja jarruttaa tasaisesti nopeuteen 75 km/h 250 metrin matkalla niin, että takarengas on ilmassa koko jarrutuksen ajan. Laske kuinka iso leikkausjännitys eturenkaaseen kohdistuu, jos renkaan kosketuspinta rataan on keskimäärin 50 cm 2. Moottoripyörän massa on m m = 157kg, kuljettajan massa m k = 65 kg. (2p) Lähdetään liikkeelle Newtonin II yhtälöstä ja ratkaistaan siitä kiihtyvyys, josta integroidaan nopeuden ja matkan lausekkeet. F = ma, m = m / + m ' (1) a = / v t = adt = / t + C = (3) s t = vdt = = - Seuraavaksi määritetään alkuehdot ja ratkaistaan integrointivakiot (2) / t- + C = t + C - (4) s 0 = 0 C - = 0 v 0 = v L C = = v L Nyt nopeuden ja matkan lausekkeet saadaan muotoon v t = / t + v L (5) s t = = - / t- + v L t (6) Ajan hetkellä t 1 moottoripyörän nopeus v 1 on 75 km/h (20,8 m/s) ja sen kulkema matka s 1 on 250 m. Sijoittamalla nämä arvot yhtälöihin (5) ja (6) voidaan ratkaista jarrutusvoima F. v t = = / t = + v L = v = t = = r Rgr 8 / s t = = = t - / = - + v L t = = = - (r R gr 8 ) 0 / + r 8 r R gr 8 / = s = F = r R 0 gr 8 0 / -) R = 2890,6N Jarrutusvoiman ja renkaan kosketuspinnan alan avulla saadaan renkaaseen kohdistuva leikkausjännitys τ = J = g -KuL,Y-M. L,LLM/ 0 580kPa 6