Mat Matematiikan peruskurssi L4, osa II, todistuksia ym

Mat-.4 Matematiikan peruskurssi L4, osa II, todistuksia ym G. Gripenberg Aalto-yliopisto 4. maaliskuuta 2 G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 / 68 Poissonin yhtälö................... 3 Perusratkaisu.................... 3 Greenin funktio................... Energia- ja variaatioperiaate.............. 5 2 Lämpöyhtälö..................... 22 Perusratkaisu.................... 22 Laplace-operaattorin ominaisarvot........... 25 Duhamelin periaate................. 32 Maksimiperiaate.................. 36 Lämpöyhtälön ratkaisun säännöllisyys.......... 39 Lämpöyhtälön energia-arvio.............. 44 3 Aaltoyhtälö...................... 47 4 Schrödingerin yhtälö.................. 62 5 Säilymislait...................... 65 G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 2 / 68

Jos Poissonin yhtälö R d :ssä ja perusratkaisu niin eli Φx = 2π ln x, d = 2 d 2aS d x d 2, d 3 u = δ, ux = Φx yf y dy R n u = f. Tässä as d on R d :n yksikköpallon B, reunan pinta-ala ja väite pätee ainakin oletulksella f C 2 c R d. Huomaa lisäksi, että Φ on harmoninen kaikkialla paitsi origossa. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 3 / 68 Kaksi perusratkaisua koskevaa aputulosta Jos f on jatkuvasti derivoituva joukossa Bx, ɛ niin lim Φx ydf y n dsy = lim ΦyDf y+x n dsy =, ɛ ɛ Bx,ɛ ja jos f on jatkuva joukossa Bx, ɛ niin B,ɛ lim f ydφx y n dsy ɛ Bx,ɛ = lim f x + ydφy n dsy = f x. ɛ B,ɛ G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 4 / 68

Kaksi aputulosta, todistus Muuttujan vaihdoilla todetaan että eri lausekkeet ovat samat. Nyt ΦyDf y + x n dsy B,ɛ sup Df y Φy dsy y Bx,ɛ B,ɛ sup Df y ɛ lnɛ, y Bx,ɛ jos ɛ, ɛ ja saadaan ensimmäinen väite. Määritelmästä seuraa, että DΦy = as d y d+ y y, joten jos y B, ɛ niin DΦy n = as d y d+ = as d ɛ d+. Koska B,ɛ dsy = as d ɛ d niin f x + ydφy n dsy f x B,ɛ as d ɛ d f x + y f x dsy B,ɛ sup f x+y f x, y B,ɛ ja väite seuraa f :n jatkuvuudesta. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 5 / 68 Poissonin yhtälö R d :ssä ja perusratkaisu, todistus Oletetaan, että f Cc 2 R d, eli f x = kun x r f ja määritellään u kaavalla ux = R d Φx yf y dy. Koska Φ on intgeroituva rajoitetuissa joukoissa ja f on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva, niin myös u on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva ja u = Φ y f x + y dy = Φy f x + y dy R d B,ɛ + Φy f x + y dy, R d \B,ɛ missä ɛ, e on mielivaltainen. Nyt Φy f x + y dy B,ɛ sup f y y R d joten tämä termi suppenee kohti kun ɛ. B,ɛ Φy dy sup y R d f y ɛ 2 lnɛ, G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 6 / 68

Poissonin yhtälö R d :ssä ja perusratkaisu, todistus jatkuu Nyt R d \B,ɛ Φy f x + y dy = B,R\B,ɛ Φy f x + y dy jollakin R koska f x + y = kun y on riittävän iso ja kun suoritetaan osittaisintegrointi niin sijoitustermi pallon B, R reunalla on nolla ja Φy f x + y dy = ΦyDf x + y n dsy R d \B,ɛ B,ɛ R d \B,ɛ DΦyDf x + y dy. Aputuloksen nojalla pätee lim ɛ B,ɛ ΦyDf x + y n dsy =. Osittaisintegroinnilla saadaan R d \B,ɛ DΦyDf x + y dy = B,ɛ + DΦy nf x + y dsy R d \B,ɛ koska sijoitustermi äärettömyydessä on taas nolla. div DΦyf x + y dy, G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 7 / 68 Poissonin yhtälö R d :ssä ja perusratkaisu, todistus jatkuu Tässä n on pallon B, ɛ reunan normaali ulospäin. Koska Φ on harmoninen kaikkialla paitsi origossa, niin jälkimmäinen termi häviää. Aputuloksen jälkimmäisen osan perusteella tiedetään, että lim ɛ B,ɛ Näin olle väite on todistettu. DΦy nf x + y dsy = f x. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 8 / 68

Reunan säännöllisyys Avoimella joukolla R d on on jatkuvasti derivoituva reuna eli on C jos jokaisella x on olemassa r >, avoin joukko U R d ja bijektio Ψ : Bx, r U siten, että Ψ Bx, r = U { x R d : x d > } ja siten että, Ψ : Bx, r U ja Ψ : U Bx, r ovat jatkuvasti derivoituvia G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 9 / 68 Greenin funktio Jos R d avoin ja rajoitettu ja sen reuna on C ja u C 2 on yhtälön ratkaisu niin ux = missä ux = f x, ux = gx, Gx, yf y dy x x D y Gx, y ngy dsy, x, Gx, y = Φx y φ x y edellyttäen, että löytyy funktio φ y x siten, että φ x y =, y, φ x y = Φx y, y. jolloin lisäksi pätee Gx,y = Gy, x ja erikoisesti φ x y = φ y x kun x y. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 / 68

Greenin funktio, todistus Valitaan mielivaltainen x ja ɛ > siten, että Bx, ɛ. Suorittamalla osittaisintegrointi todetaan, että uy Φy x Φy x uy dy \Bx,ɛ = \Bx,ɛ uy DΦy x n Φy x Duy n dsy. Nyt Φy x = kun y x ja perusratkaisuun liittyvien aputulosten nojalla todetaan, että Φy x Duy n dsy =, lim ɛ Bx,ɛ ja lim uy DΦy x n dsy = ux. ɛ Bx,ɛ G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 / 68 Greenin funktio, todistus jatkuu Näin ollen saadaan, ottamalla huomioon, että normaali ulospäin joukon Bx, ɛ reunalla on normaali sisäänpäin joukon \ Bx, ɛ reunalla, ux = Φy xduy n uydφy x n dsy Φy x uy dy. Jos nyt φ x on harmoninen :ssa ja φ x y = Φy x kun y niin osittaisintegroinnilla saadaan toteuttaa ehdot φ x y = kun y niin saadaan taas osittaisintegroimalla φ x y uy dy = φ x yuy φ x y uy dy = uydφ x y n φ x yduy n dsy = uydφ x y n Φy xyduy n dsy G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 2 / 68

Greenin funktio, todistus jatkuu Tästä voidaan ratkaista Φy xyduy n dsy ja kun se sijoitetaan edellä olevaan yhtälöön saadaan haluttu esitys ux:lle. Osoitetaan lopuksi, että Gx, y = Gy, x kun x ja y ja x y. Määritellään funktiot vz = Gx, z ja wz = Gy, z. Funktion G määritelmän nojalla v on harmoninen joukossa \ {x} ja w on harmoninen joukossa \ {y} ja v = w = reunalla. Samanlaisella osittaisintegroinnilla kuten edellä saadaan kun ɛ > on riittävän pieni wzdvz n vzdwz n dsz Bx,ɛ = By,ɛ vzdwz n wzdvz n dsz. Osoitetaan seuraavaksi, että vasemman puolen raja-arvo kun ɛ on wx jolloin vastaavanlaisella päättelyllä todetaan, että oikean puolen raja-arvo on vy ja väite seuraa. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 3 / 68 Greenin funktio, todistus jatkuu φ x on jatkuvasti derivoituva :ssa ja funktio w on jatkuvasti derivoituva joukossa Bx, ɛ missä ɛ on niin pieni, että Bx, ɛ \ {y} ja näin ollen lim wzdφ x z n φ x zdwz n dsz = ɛ Bx,ɛ Väite seuraa nyt funkioden v ja G määritelmistä perusratkaisuja koskevien aputulosten nojalla. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 4 / 68

Energia- ja variaatioperiaate I Jos R d on avoin ja rajoitettu, ja sen reuna on paloittain C, g C, f C, u C 2 ja u = g reunalla niin seuraavat ehdot ovat ekvivalentteja: u = f joukossa. Ju Jv kaikilla v C joilla v = g reunalla missä Jv = 2 Dvx 2 vxf x dx. Du Dv fv dx = kaikilla v C joilla v = reunalla. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 5 / 68 Energia- ja variaatioperiaate, todistus Oletetaan ensin, että u = f joukossa ja että v C ja v = g reunalla. Silloin saadaan osittaisintegroinnilla = u f u v dx = Du nu v ds + Du Du Dv f u v dx. Koska u = v reunalla ja Du Dv Du Dv 2 Du 2 + 2 Dv 2 niin Du 2 uf dx = Du Dv vf dx 2 Du 2 dx + 2 Dv 2 vf dx, ja vähentämällä termi Ju Jv. 2 Du 2 dx molemmilta puolilta saadaan G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 6 / 68

Energia- ja variaatioperiaate, todistus jatkuu Oletetaan seuraavaksi, että Ju Jv kaikilla v C joilla v = g reunalla ja valitaan mielivaltainen v C 2 siten, että v = reunalla. Jos nyt jt = Ju + tv niin j saavuttaa minimin pisteessä t = josta seuraa, että j = ja koska jt = 2 Du + tdv Du + tdv u + tvf dx = 2 Du 2 uf dx + t Du Dv vf dx + t 2 2 Dv 2 dx, niin ehto j = on Du Dv fv dx =. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 7 / 68 Energia- ja variaatioperiaate, todistus jatkuu Lopuksi oletetaan, että Du Dv fv dx = kaikilla v C joilla v = reunalla. Osittaisintegroinnilla saadaan nyt = Du nv ds u f v dx = u f v dx, koska v = reunalla. Koska v on mielivaltainen, niin tästä seuraa, että u = f. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 8 / 68

Céan lauseen todistus Oletuksen mukaan au, w = Lw kaikilla w H ja erityisesti kaikilla w H h. Samoin pätee au h, w = Lw kaikilla w H h. Nyt u h H h joten jos v H h voidaan valita w = v u h jolloin saadaan au u h, v u h = au, v u h au h, v u h = Lv u h Lv u h =. Tämän tulkosen avulla nähdään, että Lax-Milgramin lauseen oletuksista seuraa, että u u h 2 H α au u h, u u h = α au u h, u u h v + v = α au u h, u v + α au u h, v u h β α u u h H u v H Jakamalla u u h H :lla saadaan u u h H β α u v H ja koska v H h oli mielivaltainen saadaan väite. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 9 / 68 Lax-Milgramin lauseen todistus Tässä todistuksessa oletetaan tunnetuksi että jos H on Hilbert-avaruus ja L : H R on lineaarinen ja jatkuva niin on olemassa b H siten, että Lv = v, b ; Jos V H on suljettu aliavaruus ja V H niin on olemassa w H \ {} siten, että w, v = kaikilla v V. Oletuksista seuraa, että funktio v H au, v on lineaarinen ja jatkuva kaikilla u H joten löytyy Au H siten, että au, v = v, Au. Bilineaarisuudesta ja ehdosta au, v β u H v H seuraa, että A on jatkuva. Oletuksista ja A:n määritelmästä seuraa, että α u 2 H au, u = u, Au, ja tästä epäyhtälöstä seuraa, että α u H Au H. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 2 / 68

Lax-Milgramin lauseen todistus jatkuu Tämän epäyhtälön perusteella voidaan osoittaa että { Au : u H } on suljettu ja että A on injektio. Jos w H on sellainen, että w, Au = kaikilla niin valitsemalla u = w saadaan edellä olevista epäyhtälöistä, että w =. Tästä seuraa, että { Au : u H } = H Näin ollen A on bijektio eli löytyy u H siten, että Au = b ja tästä seuraa väite. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 2 / 68 Lämpöyhtälön perusratkaisu Yhtälön u t x, t = x ux, t, x R d, t >, ux, = u x, x R d, missä u on esimerkiksi jatkuva ja rajoitetun ja integroituvan funktion summa on ux, t = Φx y, tu y dy, R d x R d, t >, missä lämpöyhtälön perusratkaisu Φx, t on Φx, t = 4πt d 2 e x 2 4t, x R d, t >. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 22 / 68

Lämpöyhtälön perusratkaisu, johto Oletetaan, että u on lämpöyhtälön ratkaisu, joka on integroituva ensimmäisen muuttujan suhteen kaikilla t >. Olkoon ûω, t = R d e i2πω x ux, t dx sen Fourier-muunnos muuttujan x suhteen. Osittaisintegroinnilla eli käyttämällä derivaatan Fourier+muunnosta koskevaa tulosta todetaan, että F uω, t = i2πω i2πωûω, t = 4π ω 2 ûω, t. Jos nyt otetaan Fourier-muunnos yhtälön u t = u molemmilta puolilta, niin saadaan, olettaen, että voidaan derivoida integraalimerkin sisäpuolella, û t ω, t = 4π 2 ω 2 ûω, t, t >. Tämä on differentiaaliyhtälö ja sen ratkaisu on ûω, t = e 4π2 ω 2tûω, = e 4π2 ω 2tû ω, ω R d. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 23 / 68 Lämpöyhtälön perusratkaisu, johto jatkuu Tunnetusti funktion h x = e π x 2 Fourier-muunnos on h joten funktio e 4π2 ω 2t = h ω 4πt on funktion h 4πt d x = Φx, t 2 4πt Fourier-muunnos. Koska konvoluution Fourier-muunnos on Fourier-muunnosten tulo niin saadaan väite. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 24 / 68

Laplace-operaattorin ominaisarvoista Olkoon V avaruuden H ääretönulotteinen suljettu aliavaruus missä on avoin ja rajoitettu, käytännössä joko H itse tai H, olkoon a symmetrinen bilineaarinen funktio V V R siten että α v 2 H av, v ja au, v β u H v H. Nyt λ on funktion a määräämän operaattorin ominaisarvo jos on olemassa ominaisfunktio ϕ V \ {} siten, että aϕ, v = λ ϕ, v L 2, v V, Jos nyt λ λ 2 ovat ominaisarvoja ja ϕ ja ϕ 2 ovat vastaavat ominaisfunktiot niin a:n ja sisätulon symmetrisyydestä seuraa, että λ ϕ, ϕ 2 = aϕ, ϕ 2 = aϕ 2, ϕ = λ 2 ϕ, ϕ 2. Edellisestä yhtälöstä seuraa, että λ λ 2 ϕ, ϕ 2 = ja koska λ λ 2 niin ϕ, ϕ 2 = eli eri ominaisarvoihin kuuluvat ominaisfunktiot ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 25 / 68 Laplace-operaattorin ominaisarvoista, jatkuu Seuraavaksi osoitetaan, että on olemassa äärettömän monta ominaisarvoa < λ λ 2... ja lim m λ m = ja ominaisfunktiot voidaan valita siten että ϕ m m= on L2 :n ortonormaali kanta. Määritellään induktiivisesti V m = { v V : v, ϕ j L 2 =, j =,..., m } λ m = inf { av, v : v V m, v L 2 = }, ja sitten osoitetaan, että löytyy funktio ϕ m V m siten, että aϕ m, ϕ m = λ m ja ϕ m L 2 =, eli minimi λ m saavutetaan funktiolla { ϕ m. Huomaa, että } λ m voidaan myös määritellä kaavalla λ m = inf : v V m \ {}. av,v v 2 L 2 Luvut λ m ovat selvästikin hyvin määriteltyjä ja ei-negatiivisia ja koska V on ääretönulotteinen niin V m {}. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 26 / 68

Laplace-operaattorin ominaisarvoista, jatkuu Oletetaan seuraavaksi, että ominaisfunktiot ϕ j, j =,... m on löydetty ja että ϕ m on sellainen että aϕ m, ϕ m = λ m ja ϕ m L 2 =. Jos v V m niin λ m :n määritelmän mukaan aϕ m + tv, ϕ m + tv λ m ϕ m + tv 2 L 2. Tästä seuraa ϕ m :n ominaisuuksien ja a:n symmetrisyyden nojalla, että λ m + 2taϕ m, v + t 2 av, v λ m + 2t ϕm, v L 2 + t2 v 2 L 2. Valitsemalla t = sign aϕ m, v λ m ϕ m, v L 2 s missä s < ja jakamalla s:lla saadaan raja-arvona kun s tulokseksi aϕ m, v ϕ m, v L 2 joten aϕ m, v λ m ϕ m, v L 2, v V m. Jos v V \ V m niin v on lineaarikombinaatio ominaisfunktioista ϕ j, J =,..., m ja koska ϕ m, ϕ j L 2 = ja aϕ j, ϕ m = λ j ϕ m, ϕ j L 2 = niin nähdään, että ϕ m on ominaisarvoon λ m liittyvä ominaisfunktio. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 27 / 68 Laplace-operaattorin ominaisarvoista, jatkuu Olkoon nyt v n n= jono elementtejä avaruudessa V m siten, että av n, v n λ m ja v n L 2 =. Koska v n 2 H 2 av n, v n λ m < niin ns. Rellichin lemman perusteella löytyy osajono v nk k= ja funktio v L 2 siten, että lim k v nk v L 2 =. Poistamalla turhat termit voidaan olettaa, että alkuperäinenkin jono v n n= suppenee. Nyt v L 2 = ja ϕ j, v L 2 = kun j =,..., m joten on vain osoitettava että v H ja v n v tässäkin avaruudessa koska silloin seuraa myös, että v V m, ja av, v = λ m. Funkion a bilinearisuuden nojalla av n v k, v n v k = 2av n, v n + 2av k, v k 4a 2 v n + v k, 2 v n + v k. Luvun λ m määritelmän nojalla joten a 2 v n + v k, 2 v n + v k λ m 2 v n + v k 2 L 2, G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 28 / 68

Laplace-operaattorin ominaisarvoista, jatkuu α v n v k 2 H av n v k, v n v k + 2av n, v n + 2av k, v k 4λ m 2 v n + v k 2 L 2. Jonon v n n= määritelmän perusteella ja koska lim n v n = v avaruudessa L 2 niin lim 2avn, v n + 2av k, v k 4λ m n,k 2 v n + v k 2 L 2 = 2λ m + 2λ m 4λ m v 2 L 2 = joten v n n= on Cauchy-jono H :ssa joten se suppenee ja raja-arvon täytyy olla v joka siten kelpaa funktioksi ϕ m koska V m on suljettu. Koska V m+ V m niin λ m λ m+. Jos nyt sup m λ m < niin epäyhtälösta α ϕ m 2 H aϕ m, ϕ m = λ m ja Rellichin lemmasta seuraa, että jonolla ϕ m m= löytyy osajono joka suppenee avaruudessa L 2. Mutta tämä on mahdotonta koska ϕ m, ϕ k L 2 = jos m k ja ϕ m, ϕ m L 2 =. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 29 / 68 Laplace-operaattorin ominaisarvoista, jatkuu Konstruktiosta seuraa, että ϕ m m= on ortonormaali jono L2 :ssa ja seuraavaksi osoitetaan, että se on myös ortonormaali kanta. Avaruudessa V voidaan määritellä sisätuloksi au, v jolloin saadaan ekvivalentti normi. Koska aϕ m, ϕ m = λ m > ja aϕ m, ϕ k = λ m ϕ m, ϕ k L 2 = jos m k niin λm ϕ m m= on ortonormaali jono avaruudessa V sisätulon a suhteen. Koska aϕ m, v = λ m ϕ m, v L 2 kaikilla v V niin jos v V on sellainen, että aϕ m, v = kaikilla m niin v = koska muussa tapauksessa sup λ m m av, v v 2 L 2 Näin ollen λm ϕ m m= on ortonormaali kanta V :ssa.. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 3 / 68

Laplace-operaattorin ominaisarvoista, jatkuu Näin ollen jokainen v V voidaan esittää muodossa v = n= av, ϕ m aϕ m, ϕ m ϕ m = m= λ v, ϕ m L 2 λ m ϕ m = v, ϕ m L 2 ϕ m. m= Tämä sarja suppenee V :ssa ja siten myös L 2 :ssa joten v, v = m= v, ϕ m 2 L 2 ja koska V on tiheä L 2 :ssa tästä seuraa, että ϕ m m= on ortonormaali kanta l 2 :ssa. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 3 / 68 Duhamelin periaate ja lämpöyhtälö R d :ssä Oletetaan, että f C 2, R d [, eli f x, t on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva x-muuttujan suhteen ja funktio ja osittaisderivaatat suppenevat kohti kun x jokaisella t. Nyt osoitetaan, että jos ux, t = t niin u C 2, R d [, ja R d Φy, sf x y, t s dy ds, x R d, t, u t x, t = ux, t + f x, t, x R d, t >. Koska f on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva ensimmäisen muuttujan suhteen voidaan osoittaa, että sama pätee funktiolle u ja lisäksi t ux, t = Φy, s f x y, t s dy ds. R d G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 32 / 68

Duhamelin periaate ja lämpöyhtälö R d :ssä, jatkuu Olkoon F x, t = t f x, s ds ja valitaan t > ja x Rd mielivaltaisesti jolloin myös nähdään, että että t t ux, s ds = Φy, s F x y, t s dy ds, x R d, t >. R d Olkoon ɛ, t mielivaltainen. Osittaisintegroinnilla y:n suhteen todetaan, että t t Φy, s F x y, t s dy ds = Φy, sf x y, t s dy ds. ɛ R d ɛ R d Koska Φ on lämpöyhtälön ratkaisu niin Φy, s = Φ s y, s ja t ɛ R d Φy, sf x y, t s dy ds= t ɛ R d Φ s y, sf x y, t s dy ds G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 33 / 68 Duhamelin periaate ja lämpöyhtälö R d :ssä, jatkuu Osittaisintegroinnilla nyt s:n suhteen saadaan t Φ s y, sf x y, t s dy ds = Φy, sf x y, t s dy ɛ R d ɛ R d t + Φy, sf x y, t s dy ds ɛ R d t = Φy, ɛf x y, t ɛ dy + Φy, sf x y, t s dy ds. R d ɛ R d Nyt / t t lim Φy, s F x y, t s dy ds ɛ ɛ R d t = Φy, s F x y, t s dy ds = R d t ux, s ds, G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 34 / 68

Duhamelin periaate ja lämpöyhtälö R d :ssä, jatkuu t lim Φy, ɛf x y, t ɛ dy = F x, t = f x, s ds, ɛ R d ja t lim Φy, sf x y, t s dy ds ɛ ɛ R d t = Φy, sf x y, t s dy ds = ux, t. R d Näin ollen ja tästä seuraa väite. ux, t = t ux, s + f x, s ds G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 35 / 68 Lämpöyhtälön maksimiperiaate rajoitetussa joukossa, todistus Oletetaan, että epäyhtälö ei päde vaan, että löytyy piste x, t, T siten, että ux, t > max y,s Γt uy, s. Jos nyt α > niin myös funktio vx, t = e αt ux, t max y,s Γt uy, s saavuttaa positiivisen maksiminsa joukossa [, t ] pistessä x, t, t ]. Tästä seuraa erityisesti että x on funktion x vx, t maksimipiste jolloin D 2 vx, t eli kaikki ominaisarvot ja siten myös niiden summa on ei-positiivinen, eli vx, t. Samoin funktion t vx, t suurin arvo välillä [, t ] saavutetaan pisteessä t joten v t x, t missä epäyhtälö tulee kyseeseen ainoastaan kun t = t. Nyt v t x, t = αvx, t + e αt u t x, t = αvx, t +e αt ux, t = αvx, t + vx, t αvx, t <, koska oletuksen mukaan vx, t >. Tästä ristiriidasta seuraa väite. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 36 / 68

Lämpöyhtälön maksimiperiaate rajoittamattomassa joukossa, todistus Olkoon T = 8a ja oletetaan, että väite pätee jos t, nt ] ja osoitetaan että se silloin pätee kun t, n + T ], jolloin tarkastelemalla funktiota x, t ux, t nt ja käyttämällä induktio-oletusta voidaan yhtä hyvin olettaa, että n =. Olkoon T 2 = 3 2 T, β >, y, τ, T ] ja vx, t = ux, t β T 2 t d 2 e x y 2 4T 2 t, x, t, T 2. Suora lasku osoittaa, että v on lämpöyhtälön ratkaisu joukossa, T 2. Seuraavaksi valitaan r > siten, että Ae a y +r2 β4a d 2 e 4 3 ar 2 sup z,s Γ τ uz, s. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 37 / 68 Lämpöyhtälön maksimiperiaate rajoittamattomassa joukossa, todistus jatkuu Kun x By, r ja t [, T 2 niin β vx, t Ae a x 2 β e T 2 t d 2 r 2 4T 2 t Ae a y +r2 β4a d 2 e 4 3 ar 2 sup z,s Γ τ uz, s, ja lisäksi vx, t ux, t kun x, t Γ τ. Tästä seuraa, että kun sovelletaan lämpöyhtälön maksimiperiaatetta joukossa By, r, T 2 funktioon vx, t niin saadaan uy, τ = vy, τ + β T 2 τ d 2 sup uz, s + β6a d 2. z,s Γ τ Koska β >, y ja τ, T ] olivat mielivaltaisia saadaan väite. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 38 / 68

Aputulos Jos R d on avoin, T >, V, T on avoin ja V, T ja u C 2,, T on lämpöyhtälön ratkaisu joukossa, T niin on olemassa jono funktioita u n C V siten, että u n on lämpöyhtälön ratkaisu joukossa V ja lim n sup x,t V u n x, t ux, t =. Aputuloksen todistus Olkoon ψx, t = ce x 2 t 2 kun x < ja t < ja muuten missä c on valittu niin, että R R d ψx, t dt dx =. Nyt valitaan n riittävän isoksi ja u n x, t = n d+ ψnx y, nt suy, s ds dy R d R = n d+ ψny, nsux y, t s ds dy. R d Edellisestä muodosta nähdään, että u n C V ja jälkimmäisestä, että se on lämpöyhtälön ratkaisu. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 39 / 68 R Lämpöyhtälön ratkaisun säännöllisyys, todistus Olkoon x, t, T mielivaltanen. Valitaan r > siten, että Bx, 5r ja t 5r > ja t + 5r < T ja ψx, t = η x x η t t missä, s 2r, ηs = + e 9r 2 s 2 + 4r 2 s 2, 2r < s < 3r,, s 3r. Aputuloksen nojalla on olemassa jono u n n= siten, että u n on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva joukossa R d R ja u n on lämpöyhtälön ratkaisu joukossa Bx, 4r t 4r, t + 4r joka suppenee kohti funktiota u tässä joukossa. Olkoon n mielivaltainen ja määritellään vx, t = ψx, tu n x, t, x, t R. Silloin v on yhtälön v t = v + f ratkaisu joukossa R d, missä G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 4 / 68

Lämpöyhtälön ratkaisun säännöllisyys, todistus f x, t = ψ t x, tu n x, t 2Dψx, t Du n x, t ψx, tu n x, t, koska u n on lämpöyhtälön ratkaisu joukossa missä ψx, t. Koska vx, = niin Duhamelin periatteen ja maksimperiaatteen nojalla vx, t = t R d Φx y, t sf y, s ds. Oletetaan nyt, että x, t Bx, r t r, t + r. Koska f y, s = kun y, s Bx, 2r t 2r, t + 2r se on nolla funktion Φ singulariteetin läheisyydessa ja osittaisintegroinnilla saadaan ψx, tu n x, t = t R d Φx y, t sψs y, s + ψy, s 2DΦx y, t s Dψy, s u n y, s ds. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 4 / 68 Lämpöyhtälön ratkaisun säännöllisyys, todistus Tässä voidaan ottaa raja-arvo kun n ja koska ψx, t = kun oletetaan, että x, t Bx, r t r, t + r ja kun otetaan huomioon missä joukossa ψ s, ψ ja Dψ on nolla niin todetaan, että ux, t = Kx, y, t, suy, s dy ds, t 3r x,3r missä K : Bx, r Bx, 3r t r, t + r t 3r, t + 3r R on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva funktio kaikkien muuttujien suhteen ja D m t D n x Kx, y, t, t = kaikilla m, n. Tästä voidaan päätellä, että u on äärettöman monta kertaa jatkuvasti dervoituva kun x, t Bx, r t r, t + r. Koska x, t oli mielivaltainen saadaan väite. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 42 / 68

Lämpöyhtälön energia-arvio, todistus Kerrotaan yhtälön u t = u + f molemmat puolet funtiolla ux, t ja integroidaan x:n suhteen :n yli. Osittaisintegroinnilla saadaan silloin kaikilla t > d 2 dt ux, t 2 dx = Dux, t n ux, t dsx Dux, t 2 dx + f x, tux, t dx. Reunaehdoista ja oletuksessta, että αβ seuraa, että Dux, t n ux, t dsx. Hölderin epäyhtälön nojalla f x, tux, t dx f x, t 2 dx ux, t 2 dx, joten jos valitaan ɛ > ja määritellään yt = ux, t2 dx + 2 t Dux, s 2 dx ds + ɛ niin saadaan yhtälö G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 43 / 68 Lämpöyhtälön energia-arvio, todistus jatkuu 2 y s f x, s 2 dx ys, s, T. Jos nyt jaetaan yhtäl;ön molemmat puolet funktiolla yt joka on positiivinen koska ɛ > ja integroidaan välin, t yli, niin saadaan yt y + t f x, s 2 dx ds. Ottamalla raja-arvo kun ɛ saadaan väite. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 44 / 68

Lämpöyhtälö ja maksimaalinen säännöllisyys, todistus Kerrotaan yhtälön u t u = f molemmat puolet funktiolla ux, s ja integroidaan, t:n yli. Osittaisintegroinnilla saadaan u s x, s ux, s dx = u s x, sdux, s n dsx + 2 s Dux, s 2 dx. Jos ux, s = kun x niin myös u s x, s = joten reunaehdoista seuraa, että u sx, sdux, s n dsx = ja saadaan t 2 s Dux, s 2 dx ds + t ux, s 2 dx ds t = f x, s ux, s dx ds. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 45 / 68 Lämpöyhtälö ja maksimaalinen säännöllisyys, todistus jatkuu Koska ab 2 a2 + 2 b2 niin Hölderin epäyhtälön avulla saadaan t f x, s ux, s dx ds 2 t f x, s 2 dx ds t ux, s 2 dx ds, + 2 ja siten t 2 Dux, t 2 dx + 2 ja tästä seuraa väite. 2 ux, s 2 dx ds Dux, 2 dx + 2 t f x, s 2 dx ds, G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 46 / 68

F x ± ct on aaltoyhtälön ratkaisu distribuutiomielessä Olkoon F jatkuva funktio ja ux, t = F x + ct tapaus F x ct käsitellään samalla tavalla. Määritelmän mukaan u on yhtälön u tt = c 2 u xx ratkaisu distribuutiomielessä jos jokaisella φ C c R 2 pätee u tt c 2 u xx φ =. Distribuutioderivaatan märitelmän nojalla u tt c 2 u xx φ = uφ tt c 2 uφ xx = uφ tt c 2 φ xx = ux, tφ tt x, t c 2 φ xx x, t dx dt R 2 = F x ctφ tt x, t c 2 φ xx x, t dx dt. R 2 Seuraavaksi tehdään muuttujanvaihto x ct = 2τ, x + ct = 2σ jolloin x = σ + τ, t = c σ τ. dx dt = 2 c dτ dσ ja u tt c 2 u xx φ = 2 c R 2 F 2τ φ tt σ + τ, c σ τ c2 φ xx σ + τ, c σ τ dτ dσ. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 47 / 68 F x ± ct on aaltoyhtälön ratkaisu distribuutiomielessä, jatkuu Jos nyt ψσ, τ = φσ + τ, c σ τ niin jolloin ψ σ σ, τ = φ x σ + τ, c σ τ + c φ tσ + τ, c σ τ ψ στ σ, τ = φ xx σ + τ, c σ τ c φ xtσ + τ, c σ τ + c φ txσ + τ, c σ τ φ c 2 tt σ + τ, c σ τ, joten φ tt σ + τ, c σ τ c2 φ xx σ + τ, c σ τ = c2 ψ στ σ, τ, ja u tt c 2 u xx φ = 2c R F 2τ R = 2c ψ τσ σ, τ dσ / R F 2τ dτ ψ τ σ, τ koska ψσ, τ ja siten myös ψ τ σ, τ on kun σ on riittävän iso. dτ = G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 48 / 68

Aaltoyhtälö ja keskiarvofunktiot, todistus Voimme kirjoittaa Ur, t = jolloin saadaan U r r, t = = as d = r d as d r d ux + rz, t dsz, B, B, r d as d a Bx, r = = Dux + rz, t z dsz B, a Bx, r Bx,r a Bx, r r d Dux + rz, t z dsz Bx,r Duy, t y x dsy r Bx,r = Duy, t n dsy divduy, t dy r d as d Bx,r uy, t dy. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 49 / 68 Aaltoyhtälö ja keskiarvofunktiot, todistus jatkuu Koska u on aaltoyhtälön ratkaisu edellisen yhtälön perusteella r d U r r, t = u tt y dy a Bx, Bx,r r = a Bx, Tästä yhtälöstä taas seuraa, että r r d U r r, t = a Bx, = r d r d Bx, Bx,r Bx,r = r d a Bx, r Bx,ρ u tt y, t dsy u tt y, t dsy Bx,r u tt y, t dsy dρ. u tt y, t dsy. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 5 / 68

Aaltoyhtälö ja keskiarvofunktiot, todistus jatkuu Funktion U:n määritelmän mukaan pätee silloin eli r r d U r r, t = r d U tt r, t, U tt = U rr + d U r. r G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 5 / 68 Aaltoyhtälö ja keskiarvofunktiot, tekninen yksitysikohta Koska u on kahdesti jatkuvasti derivoituva funktio niin u on jatkuva ja lim r U r r, t =. Koska r uy, t dy = uz, t dsz dρ, Bx,r Bx,ρ niin Lisäksi r r Bx,r uy, t dy = Bx,r r d as d = d r d as d = d uy, t dsy. vbx, r, missä vbx, r = Bx,,r vbx, r = r d d as d. dx koska integroimalla todetaan, että G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 52 / 68

Aaltoyhtälö ja keskiarvofunktiot, tekninen yksitysikohta jatkuu Kaavasta U r r, t = r d as d Bx,r uy, t dy saadaan nyt derivoimalla U rr r, t = uy dsy a Bx, r Bx,r + d uy dy, vbx, r Bx,r ja erityisesti saadaan lim r U rr r, t = d ux, t. josta voidaan päätellä että U on todella kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva r:n suhteen. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 53 / 68 Aaltoyhtälö ja keskiarvofunktiot kun d = 3, perustelu Määritellään V r, t = rur, t. Silloin V tt = ru tt = r U rr + 2 r U r = ru rr + 2U r = U + ru r r = V rr. Oletuksista seuraa, että V, t = joten soveltamalla aikaisemmin laskettuja tuloksia -ulotteisesta aaltoyhtälöstä kun x, saadaan kun r < t jolloin ei siis tarvitse välittää siitä mitä V r, ja V t r, ovat kun r < eli V r, t = 2 r+t V r + t, V t r, + V t y, dy, 2 r+t Ur, t = r + tur + t, t rut r, 2r + 2r t+r t r yu t y, dy. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 54 / 68

Aaltoyhtälön ratkaisukaava R 3, :ssä, johto Olkoon x R 3 mielivaltainen. Edellisten tehtävien nojalla tiedämme, että jos merkitään Ur, t = uy, t dsy, a Bx, r Bx,r niin Ur, t = r + tur + t, t rut r, 2r Olettaen, että u on jatkuva pätee tietenkin + 2r t+r t r yu t y, dy. ux, t = lim Ur, t = tut, + tut t, r t = t uy, dsy t a Bx, t Bx,t t + u t y, dsy. a Bx, t Bx,t G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 55 / 68 Aaltoyhtälön ratkaisukaava R 3, :ssä, johto jatkuu Mutta koska niin a Bx, t t Bx,t a Bx, t = uy, dsy = Bx,t a B, = uy, dsy B, a Bx, t as d ux + tz dsz, B, Dux + tz, z dsz Bx,t Duy, y x t dsy. Näin ollen tulokseksi saadaan ux, t= uy, + Duy, y x + tu t y, dsy. a Bx, t Bx,t G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 56 / 68

Aaltoyhtälön ratkaisukaava R 2, :ssä, johto Määritellään funktio v : R 3 R + R kaavalla vx, x 2, x 3, t = ux.x 2, t. Silloin v on selvästikin aaltoyhtälön ratkaisu joukossa R 3, ja aikaisemman tehtävän nojalla tälle ratkaisulle löytyy ratkaisukaava jossa integroidaan 3-ulotteisen pallon pinnan yli. Jos pallon keskipiste on x = x, ja otetaan käyttöön pallokoordinaatteja niin pallon B 3 x, t pinnan B 3 x, t pinta-ala elementti on t 2 sinθ dθ dϕ missä ϕ 2π ja θ π. Jos nyt integroitava funktio k riippuu ainoastaan kahdesta ensimmäisestä koordinaatista, niin saadaan G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 57 / 68 Aaltoyhtälön ratkaisukaava R 2, :ssä, johto jatkuu B 3 x,t 2π π = = 2 ky dsy kx + t sinθ cosϕ, x 2 + t sinθ sinϕt 2 sinθ dθ dϕ 2π π 2 2π t t sinθ = s = 2 kx + t sinθ cosϕ, x 2 + t sinθ sinϕ t cosθ t sinθ dθ dϕ sinθ 2 t kx + s cosϕ, x 2 + s sinϕ s ds dϕ t 2 s2 t = 2 ky t 2 y x dy. 2 Bx,t G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 58 / 68

Aaltoyhtälön ratkaisukaava R 2, :ssä, johto jatkuu Kun nyt käytetään hyväksi kolme-ulotteisessa tapauksessa johdettua kaavaa ja muistetaan, että v x x, x 2, x 3, = u x x, x 2,, eli kolmas komponentti on niin saadaan ux, t = = t 2 2t 4πt 2 Bx,t vbx, t Bx,t t 2 y x 2 ux, + Dux, y x + tu t y, dy t 2 y x 2 ux, + Dux, y x + tu t y, dy. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 59 / 68 Energiaperiaate ja yksikäsitteisyys, todistus Määritellään et = 2 Nyt pätee tietenkin josta seuraa, että d dt joten saadaan e t = Bx,t t Bx,t t Bx,t t Bx,t t u t x, t 2 + Dux, t 2 dx, t t. kx dx = t t kx dx = Bx,r Bx,t t kx dsx dr, kx dsx, u t x, tu tt x, t + Dux, t Du t x, t dx 2 Bx,t t u t x, t 2 + Dux, t 2 dsx. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 6 / 68

Energiaperiaate ja yksikäsitteisyys, todistus jatkuu Koska divdux, tu t x, t = Dux, t Du t x, t + ux, tu t x, t niin saadaan divergenssilauseen nojalla e t = u t x, tu tt x, t ux, t dx = 2 Bx,t t 2 Bx,t t + ja koska n = niin Bx,t t Bx,t t u t x, tdux, t n dsx u t x, t 2 + Dux, t 2 dsx 2u t x, tdux, t n u t x, t 2 Dux, t 2 dsx, 2u t x, tdux, t n u t x, t 2 Dux, t 2, joten e t. Koska et niin ehdosta e = seuraa, että et = kun t [, t ] joten u t x, t = kun t t x x ja koska ux, = niin tästä seuraa, että myös ux, t = kun t t x x. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 6 / 68 Aputuloksen todistus Valitaan oikeastaan vain tapausta Re α = varten δ > siten, että Re αδ < ja määritellään h λ x = e α δαπx2. Oletuksista seuraa, että Re α δα > joten h δ SR. Funktion h δ Fourier-muunnos on ĥ δ ω = e i2πωx e α δαπx2 dx R = e α δαπx+ i α δα ω2 dx e π ω 2 α δα R = e πα δαx+a+ib2 dx e π ω 2 α δα, R missä a + ib = i α δα ω. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 62 / 68

Aputuloksen todistus jatkuu Jos f z = e πα δαz2 niin f on kompleksitasossa analyyttinen funktio ja koska Re α δα > niin lim Re z sup Im z b f z = josta Cauchyn integraalilauseen nojalla seuraa, että e πα δαx+a+ib2 dx = e πα δαx2 dx. R R Standardipäättelyn avulla saadaan 2π e πα δαx2 dx = R e πα δαr 2 r dr dθ = α δα. Funktion h δ Fourier-muunnos on siten ĥ δ ω = α δα e π ω 2 α δα, ω R, ja kertolaskukaavan nojalla saadaan väite kun otetaan raja-arvo kun δ. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 63 / 68 Schrödingerin yhtälö ja alkuarvo, todistus Oletetaan, että t >, muuten otetaan kompleksikonjugaatti. Muuttujanvaihdolla saadaan e i x y 2 i4πt d 4t gy dy = i d e iπ y 2 gx 4πty dy. 2 R d R d Koska funktio y gx 4πty on funktion 4πt d 2 e i2π 4πt ω xĝ 4πt ω Fourier-muunnos saadaan aikaisemman tuloksen ja muuttujanvaihdon avulla i d Rd e iπ y 2 gx 4πty dy = e iπ ω 2 4πt d i2π 2 e 4πt ω xĝ ω dω R d 4πt = e i2πω x ĝω dω. i4π2t ω 2 e R d G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 64 / 68

Rankine-Hugoniotin ehto, tekninen versio Olkoon δ > ja olkoon ht jatkuvasti derivoituva funktio välillä t δ, t + δ ja merkitään x = ht. Olkoot ax, t ja bx, t tasaisesti jatkuvia ja jatkuvasti derivoituvia joukoissa V = { x, t : x, t x, t < δ, x < ht } ja O = { x, t : x, t x, t < δ, x > ht } jolloin voidaan määritellä a V t = lim x ht ax, t, b V t = lim x ht bx, t, a V t = lim x ht ax, t ja b O t = lim x ht bx, t. Oletetaan lisäksi, että Silloin a t x, t + b x x, t =, x, t V O. ax, tφt x, t + bx, tφ x x, t dx dt, Bx,t,δ missä Bx, t, δ = { x, t : x, t st, t < δ }, kaikilla ei-negatiivisilla funktioilla φ C R 2 ; R + joiden kantaja sisältyy joukkoon Bx, t, δ jos ja vain jos aina kun ht, t ht, t < δ pätee b V t b O t h t a V t a O t. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 65 / 68 Rankine-Hugoniotin ehto, tekninen versio, todistus Olkoon φ mielivaltainen ei-negatiivinen jatkuvasti derivoituva funktio, joka on identtisesti joukon Bx, t, δ ulkopuolella missä δ < δ. Silloin pätee tietenkin myös a t x, tφx, t + b x x, tφx, t =, x, t V O, joten saadaan ax, tφt x, t + bx, tφ x x, t dx dt S ɛ = div b S x, tφx, t, a S x, tφx, t dx dt. S = V, O, S ɛ missä V ɛ = { x, t V : x < ht ɛ } ja O ɛ = { x, t O : x > ht + ɛ } Kun sovelletaan divergenssilausetta voidaan käyttää hyväksi tietoa, että φx, t = kun x, t x, t δ jollakin eli joukoissa V \ Γ ɛ ja O \ Γ +ɛ missä Γ ±ɛ = { x, t : x = ht ± ɛ, x, t Bx, t, δ }. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 66 / 68

Rankine-Hugoniotin ehto, tekninen versio, todistus Divergenssilauseen nojalla saadaan siten div bx, tφx, t, ax, tφx, t dx dt V ɛ = t +δ t δ bht ɛ, tφht ɛ, t, aht ɛ, tφht ɛ, t, h t dt, ja O ɛ = div bx, tφx, t, ax, tφx, t dx dt t +δ t δ bht + ɛ, tφht + ɛ, t, aht + ɛ, tφht + ɛ, t, h t dt. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 67 / 68 Rankine-Hugoniotin ehto, tekninen versio, todistus Laskemalla yhteen ja ottamalla raja-arvo kun ɛ saadaan Bx,t,δ t +δ = ax, tφt x, t + bx, tφ x x, t dx dt t δ φht, t b V t b O t h t a V t a O t dt. Nyt väite seuraa, siitä että b V t b O t h t a V t a O t kaikissa pisteissä t missä ht, t x, t < δ jos ja vain jos t +δ t δ φht, t b V t b O t h t a V t a O t dt kaikilla jatkuvasti derivoituvilla funktioilla φ, jotka ovat identtisesti nolla joukon Bx, t, δ ulkopuolella jollakin δ < δ. G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 68 / 68