Differentiaali- ja integraalilaskenta 3

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Differentiaali- ja integraalilaskenta 3"

Transkriptio

1 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Riikka Kangaslampi May 24, 217

2 2

3 Esipuhe Tämä on Aalto-yliopiston Matematiikan ja systeemianalyysin laitoksen kurssin ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 luentomoniste. Kurssi käsittelee avaruusintegraaleja ja vektorikenttiä. Esitietoina oletetaan, että opiskelija osaa laskea kaksiulotteisia integraaleja ja derivoida usean muuttujan funktioita. Moniste perustuu osin aiemman kurssin Matematiikan peruskurssi 2 luentomonisteeseen, jota olivat koonneet lisäkseni Matias ahl ja Aappo Pulkkinen. Pallokoordinaatiston yksikkövektoreita käsittelevä alaluku on peräisin Pekka Alestalon luentomuistiinpanoista, kiitos siitä. uurin osa materiaalista on kuitenkin uutta, tätä kurssia varten laatimaani. Kuvat ovat minun piirtämiäni, suurin osa käsin, loput Mathematialla. Moniste on tarkoitettu luentojen tueksi, ei itseopiskeluun, sillä se on paikoin hyvin lyhytsanainen. Luentomonisteen rinnalla on tarkoitus lukea kirjaa Adams-Essex: Calulus, A Complete Course, joka avaa asioita laajemmin. Tähdellä merkityt luvut ovat lisämateriaalia, joihin voi perehtyä, mikäli aikaa ja kiinnostusta on. Tervetuloa avaruuksiin ja vektorikentille! Otaniemessä, 24. toukokuuta 217, Riikka Kangaslampi 3

4 Esipuhe 4

5 isältö Esipuhe 3 isältö 5 1. Usean muuttujan funktioiden integrointi Avaruusintegraali ylinterikoordinaatisto Pallokoordinaatisto Pinnan ala * Massat ja momentit * Vektorikentät Vektorikentät ja kenttäviivat Vektorikenttä napakoordinaateissa Konservatiiviset kentät Tasapotentiaalipinnat ja -käyrät Lähde, nielu ja dipoli Viiva- ja pintaintegraalit Käyrät Funktion viivaintegraali Vektorikentän viivaintegraali Parametrisoidut pinnat Funktion pintaintegraali uunnistetut pinnat Vektorikentän pintaintegraali eli vuointegraali Vektorianalyysi Gradientti, divergenssi ja roottori Laskusääntöjä gradientille, divergenssille ja roottorille

6 isältö 4.3 Gaussin lause Greenin lause tokesin lause Maxwellin yhtälöt * Käyräviivaiset koordinaatistot , ja ortog. käyräviivaisissa koordinaatistoissa Hakemisto 93 6

7 1. Usean muuttujan funktioiden integrointi 1.1 Avaruusintegraali Olkoon R 3 kappale ja f : R funktio. Halutaan määritellä f(x, y, z)dv = avaruusintegraali kappaleen yli. Idea: Tasointegraali osataan jo laskea, joten lisätään vain yksi dimensio mukaan samalla tavalla kuin edelliset. Vaihe 1: Oletetaan, että on suorakulmainen särmiö = {(x, y, z) R 3 x [x 1, x 2 ], y [y 1, y 2 ], z [z 1, z 2 ]} = [x 1, x 2 ] [y 1, y 2 ] [z 1, z 2 ]. Jaetaan :n kaikki särmät tasavälisesti n osaan, jolloin jakautuu n 3 suorakulmaiseen särmiöön. Tällöin integraali saadaan raja-arvona f(x, y, z)dv = lim f(x n i, yi, zi ) V i, missä (x i, y i, z i ) in i:nnen suorakulmaisen särmiön keskipiste ja V i on i:nnen särmiön tilavuus. Vaihe 2: Jos R 3 on rajoitettu (mutta ei suorakulmainen särmiö), niin määritellään n 3 i=1 f(x, y, z)dv = f(x, y, z)dv, 7

8 Usean muuttujan funktioiden integrointi missä on suorakulmainen särmiö ja ja f(x, y, z), kun (x, y, z) f(x, y, z) =, muulloin. Huom. Vastaavasti kuin yksi- ja kaksiulotteisessa tapauksessa (kun R 3 on rajoitettu) 1 dv = :n tilavuus. Huom. Jos f(x), niin b a f(x)dx = käyrän y = f(x) ja x-akselin rajoittama pinta-ala välillä [a, b]. Jos f(x), niin f(x, y)da on pinnan z = f(x, y) ja (x, y)-tason alueen rajoittama tilavuus. amoin f(x, y, z)dv on sen neliulotteisen kappaleen tilavuus, jota rajoittaa hyperpinta w = f(x, y, z) ja kolmiulotteinen pohja. Käytännöllisempiä tulkintoja seuraa kuitenkin sovelluksista. Esim. 1. Jos f(x, y, z) on kappaleen massajakauma (paikallinen tiheys, yksikkönä kg/m 3 ) jossakin kappaleessa, niin f(x, y, z)dv on :n kokonaismassa. Huom. Avaruusintegraalille pätee samat laskukaavat kuin tasointegraalille, esim. Cf(x, y, z)dv = C f(x, y, z)dv, kun C on vakio. Huom. Avaruusintegraali voidaan laskea myös iteroituna integraalina! 8

9 Usean muuttujan funktioiden integrointi Esim. 2. Olkoon = {(x, y, z) R 3 x [, a], y [, b], z [, ]} ja f : R funktio. Tällöin f(x, y, z)dv = a b f(x, y, z) dz dy dx = a b f(x, y, z) dy dx dz =... Integroinnin voi suorittaa 3! = 6 eri järjestyksessä. Integroimisjärjestyksellä ei ole lopputuloksen kannalta väliä, mutta laskujen vaikeuteen se voi vaikuttaa ratkaisevastikin. Huom. Iteroituna integraalina voidaan laskea tätäkin korkeampiulotteiset integraalit... f(x 1, x 2,..., x n )dx 1 dx 2... dx n vastaavalla tavalla, muuttuja kerrallaan edeten. Esim. 3. Lasketaan pintojen z =, x 2 + y 2 = 1 ja z = y rajoittaman kappaleen tilavuus. Kappale koostuu kahdesta samanmuotoisesta kiilasta, joten riittää laskea näistä toisen tilavuus ja kertoa kahdella. Toisen kiilan pohja on z = tasossa alue {(x, y) R 2 x [ 1, 1], y [, 1 x 2 ]} ja katto on pinta z = y. Kiila on siis kappale = {(x, y, z) R 3 x [ 1, 1], y [, 1 x 2, z [, y]}. 9

10 Usean muuttujan funktioiden integrointi Koko kappaleen tilavuus on siten 2 1 y 1 dv = dz dy dx 1 x 2 1 = 2 1 ( y)dy dx = 2 1 x = x 2( 1 2 y2 ) dx 2 (1 x2 ) dx = (x 1 3 x3 ) = 4 3. Esim. 4. Lasketaan sen kappaleen tilavuus, jota rajaavat pinnat z = x 2 + 3y 2 ja z = 8 x 2 y 2. Kappale näyttää tältä: itä rajaavat ala- ja yläpinnat: Etsitään ensin integrointirajat. Pinnat leikkaavat toisensa, kun x 2 + 3y 2 = 8 x 2 y 2 x 2 + 2y 2 = 4 x2 4 + y2 2 = 1. Leikkauskäyrän projektio (x, y) -tasoon on siis ellipsi ja koko kappaleen projektio (x, y)-tasoon on tämän ellipsin sisäpuoli R = {(x, y) R 2 x 2 + 2y 2 4} = {(x, y) R 2 x [ 2, 2], y [ 2 x 2 /2, 2 x 2 /2]}. Tämä R on siten alue, jonka yli integroidaan muuttujien x ja y suhteen. 1

11 Usean muuttujan funktioiden integrointi Jokaisessa pisteessä (x, y) R kappale ulottuu nyt siis pinnalta z = x 2 + 3y 2 pinnalle z = 8 x 2 y 2 ja siten kappaleen tilavuus on = V = 2 2 = 1 dz dy dx = x 2 /2 2 x 2 /2 2 x 2 /2 (8 2x 2 4y 2 )dy dx = 2 x 2 / = 2 8 x 2 y 2 2 x 2 +3y x 2 /2 2 x 2 /2 1 dz dy dx (2(8 2x 2 ) 2 x 2 /2 83 (2 x2 /2) 3/2 ) dx (8(2 x 2 /2) 3/2 83 (2 x2 /2) 3/2 ) dx = 2 (8y 2x 2 y 43 y3 ) dx (4 x2 ) 3/2 dx. Tehdään nyt muuttujanvaihto x = 2 sin(u), jolloin dx = 2 os(u)du ja integrointirajat muuttuvat x = 2 u = π/2 ja x = 2 u = π/2. Tällöin V = π/2 pi/2 = /2 2 (4 4 sin 2 (u)) 3/2 2 os(u)du π/2 π/2 (1 sin 2 (u)) 3/2 os(u)du = Nyt kaksinkertaisen kulman kaavalla saadaan π/2 π/2 os 4 (u)du. os 4 (u) = (1 + os(2u))2 = 1 4 (1 + 2 os(2u) + os2 (2u)) ja siten = 1 4 (1 + 2 os(2u) (1 + os(4u))) = 1 (3 + 4 os(2u) + os(4u)) 8 V = π/2 π/2 (3 + 4 os(2u) + os(4u))du = π = 8 2π. Muuttujanvaihto avaruusintegraaleissa Muuttujanvaihto yleistyy tasointegraaleista suoraan avaruusintegraaleihin ja vielä korkeampiulotteisiin integraaleihinkin. Olkoon, R 3 kappaleita ja T : bijektio. Merkitään T (u, v, w) = x(u, v, w)i+y(u, v, w)j+z(u, v, w)k. Jos f on funktio R, niin muuttujanvaihtokaava avaruusintegraalille on f(x, y, z)dv = f T (u, v, w) (x, y, z) (u, v, w) du dv dw. 11

12 Usean muuttujan funktioiden integrointi Merkintä f T (u, v, w) tarkoittaa yksinkertaisesti funktiota kirjoitettu- na uusilla muuttujilla, ja muunnoksen suurennussuhde saadaan Jaobin determinantin avulla. (x, y, z) (u, v, w) = x u y u z u x v y v z v x w y w z w (x,y,z) (u,v,w) Esim. 5. Lasketaan integraali 3 4 y/2+1 y/2 ( 2x y 2 + z 3 ) dxdydz. Integraali voitaisiin toki laskea suoraankin, mutta muutetaan se harjoituksen vuoksi vielä yksinkertaisempaan muotoon: tehdään muuttujanvaihto u = 2x y 2, v = y 2 ja w = z 3. Nyt (x, y, z)-avaruuden integrointialue on = {(x, y, z) R 3 x [y/2, y/2 + 1], y [, 4], z [, 3]}. Uusi integrointialue saadaan tästä: x = y 2 2x y = u = x = y x y 2 y = v = y = 4 v = 2 z = w = z = 3 w = 1. ja siten uusi integrointialue on = 1 u = 1 = {(u, v, w) R 3 u [, 1], v [, 2], w [, 1]}. Muuttujanvaihdon Jaobin determinantti on 1 1 (x, y, z) (u, v, w) = 2 = 6. 3 iten haluttu integraali on 3 4 y/2+1 y/2 ( 2x y + z 2 3 = 6 ) dxdydz = (u + w)6dudvdw ( w)dvdw = 6 2( 1 + w)dw =

13 Usean muuttujan funktioiden integrointi 1.2 ylinterikoordinaatisto Kolmiulotteisessa sylinterikoordinaatistossa koordinaatit ovat r = pisteen etäisyys z-akselista = (x, y)-tasoon projisoidun pisteen etäisyys origosta. φ = (x, y)-tasoon projisoidun pisteen ja x -akselin välinen kulma. z = korkeus = etäisyys (x, y) -tasosta. ylinterikoordinaattien ja karteesisten koordinaattien välinen yhteys: x = r os(φ) y = r sin(φ) z = z r = x 2 + y 2, r [, ) φ = artan (y/x), φ [, 2π) z = z, z R. Huom. Pinnat z = vakio ovat tasoja, jotka ovat (x, y)-tason suuntaisia tasoja. Pinnat r = vakio ovat sylintereitä z-akselin ympärillä. Pinnat φ = vakio ovat (x, y) -tasoa vastaan kohtisuoria tasoja, jotka päättyvät z -akseliin. Lasketaan Jaobin determinantti sylinterikoordinaateille: (x, y, z) (r, φ, z) = x r y r z r x φ y φ z φ x z y z z z = Esim. 6. Lasketaan sylinterin tilavuus. os(φ) r sin(φ) = sin(φ) r os(φ) 1 os(φ) r sin(φ) sin(φ) r os(φ) = r(os2 (φ) + sin 2 (φ)) = r. 13

14 Usean muuttujan funktioiden integrointi ylinterikoordinaateissa :n esitys on = {(r, φ, z) R 3 r [, R], φ [, 2π], z [, h]}. Kappaleen tilavuus on siten h 2π R V = 1 dv = 1 r dr dφ dz = πhr 2. Yhteenveto: Integraali f(x, y, z)dv muunnetaan sylinterikoordinaatteihin seuraavasti: 1. Esitä f ja sylinterikoordinaateissa. 2. Korvaa dxdydz r drdφdz. 3. Aseta integroimisrajat (=:n esitys sylinterikoordinaateissa). Esim. 7. Pyörähdyskappale. Olkoon f : [, h] R funktio ja f(z). Tällöin f määrää pyörähdyskappaleen, joka saadaan kun käyrä y = f(z) pyörähtää z-akselin ympäri. Lasketaan seuraavaksi syntyvän kappaleen tilavuus. Kappaleen esitys sylinterikoordinaateissa on {(r, φ, z) R 3 r [, f(z)], φ [, 2π], z [, h]}. Tilavuus on tällöin h 2π f(z) V = 1dV = rdrdφdz = h 2π 1 2 f(z)2 dφdz = π Esim. 8. Jos tarkastellaan pyörähdyskappaletta, kun f(z) = 1 z ja h = 1, saadaan ympyräkartio. h f(z) 2 dz. 14

15 Usean muuttujan funktioiden integrointi en tilavuus on V = π 1 (1 z) 2 dz = π 1 (z z z3 ) = π 3. (Muistetaan, että ympyräkartion tilavuus on V = 1 3 πr2 h, joten oikein meni.) Harjoitus 9. Paraabelin y = 1 z 2 ja z-akselin rajoittama alue pyörähtää z-akselin ympäri. Mikä on näin syntyvän kappaleen tilavuus? (Vast π.) 1.3 Pallokoordinaatisto Pallokoordinaateissa koordinaatit ovat ρ = etäisyys origosta. (ρ = rho) φ = pisteen paikkavektorin ja positiivisen z -akselin välinen kulma. (φ = phi) θ = (x, y)-tasoon projisoidun pisteen paikkavektorin ja positiivisen x - akselin välinen kulma. (θ = theta) Pallokoordinaattien ja karteesisten koordinaattien välinen yhteys saadaan kahdesta kuvan suorakulmaisesta kolmiosta: sin(φ) = r ρ sin(θ) = y r ja os(φ) = z ρ os(θ) = x r. 15

16 Usean muuttujan funktioiden integrointi aadaan siis missä x = r os(θ) = ρ sin(φ) os(θ) y = r sin(θ) = ρ sin(φ) sin(θ) z = ρ os(φ), ρ [, ) φ [, π) θ [, 2π). Huom. Pallokoordinaateissa pinnat ρ = vakio ovat origokeskisiä pallonkuoria. Pinnat φ = vakio ovat äärettömien kartioiden kuoria. Pinnat θ = vakio ovat (x, y) -tasoa vastaan kohtisuoria tasoja, jotka päättyvät z -akseliin: Huom. Jaobin determinantti pallokoordinaateille on x x ρ φ (x, y, z) (ρ, φ, θ) = y y ρ φ z z ρ φ ρ os(φ) os(θ) = os(φ) ρ os(φ) sin(θ) x θ y θ z θ sin(φ) os(θ) ρ os(φ) os(θ) ρ sin(φ) sin(θ) = sin(φ) sin(θ) ρ os(φ) sin(θ) ρ sin(φ) os(θ) os(φ) ρ sin(φ) ρ sin(φ) sin(θ) sin(φ) os(θ) ρ sin(φ) sin(θ) +ρ sin(φ) ρ sin(φ) os(θ) sin(φ) sin(θ) ρ sin(φ) os(θ) = os(φ) ( ρ 2 sin(φ) os(φ) ) + ρ sin(φ) ( ρ sin 2 (φ) ) = ρ 2 sin(φ). aatiin siten (x, y, z) (r, φ, θ) = ρ2 sin(φ), sillä φ [, π) ja siten sin(φ). Tilavuuden muunnossuhteen voi toki selvittää myös geometrisesti tarkastelemalla, millaisen tilavuuden muutoksen muuttujien ρ, θ ja ϕ muutokset saavat aikaan. Huom. Käytetään jatkossa säteelle ρ:n sijaan kirjainta r. Esim. 1. Lasketaan onton kuulan = {(x, y, z) R 3 a x 2 + y 2 + z 2 b} 16

17 Usean muuttujan funktioiden integrointi tilavuus. Kappaleen esitys pallokoordinaateissa on = {(r, φ, θ) R 3 r [a, b], φ [, π), θ [, 2π)}. Kappaleen tilavuus on siten = 2π 1 dv = 2π π b π 1 dθ sin(φ) dφ a b a 1 r 2 sin(φ) dr dφ dθ ( r 2 π ) ( dr = 2π ( os(φ) b a 1 3 r3 ) = 4π 3 (b3 a 3 ). Huomataan, että tulokseksi saadaan tietysti b säteisen pallon tilavuus 4 3 πb3, josta on vähennetty a säteisen pallon tilavuus 4 3 πa3. Yhteenveto: Integraali f(x, y, z)dv muunnetaan pallokoordinaatteihin seuraavasti: 1. Esitä f ja pallokoordinaateilla. 2. Korvaa dv = r 2 sin(φ)dr dφ dθ. 3. Aseta integroimisrajat (= :n esitys pallokoordinaateissa). Esim. 11. Lasketaan jäätelötötterön tilavuus. Tarkastellaan kappaletta, jonka kartio ϕ = π 3 leikkaa pallosta r = 1. Kappaleen esitys pallokoordinaateissa on = {(r, φ, θ) R 3 r [, 1], φ [, π ], θ [, 2π)} 3 17

18 Usean muuttujan funktioiden integrointi ja siten kappaleen tilavuus on 1 dv = 2π π/3 1 r 2 sin(φ) dr dφ dθ = = 2π 1 3 π/3 2π π/3 1 sin(φ) dφ dθ 3 ( os(φ)) = 2π 3 (1 1 2 ) = π 3. Pallokoordinaatiston yksikkövektorit * Pallokoordinaatiston yksikkövektoreiksi halutaan kussakin pisteessä kolme vektoria e r, e θ ja e ϕ, jotka kukin osoittavat kyseisen muuttujan kasvusuuntaan. Projisoimalla xy-tasoon voidaan päätellä, että e θ = sin θi + os θj. Yksikkövektorin e r täytyy osoittaa suoraan poispäin origosta, joten e r = sin ϕ os θi + sin ϕ sin θj + os ϕk. Näiden vektoritulona saadaan kolmas yksikkövektori: e ϕ = e θ e r = os ϕ os θi + os ϕ sin θj sin ϕk. Nyt (e r, e ϕ, e θ ) on jokaisessa joukon R 3 \{} pisteessä ortonormaali kanta. Lisäksi tässä järjestyksessä lueteltuna kanta on oikeakätinen. Esim. 12. Helsinkin sijaitsee noin leveyspiirillä 6 ja pituuspiirillä 25, joten jos origo sijoitetaan maan keskipisteeseen, z-akseli napojen välille ja y = -taso Greenwihin läpi, saadaan Helsingin pallokoordinaattikulmiksi ϕ = 9 6 = 3 θ = 25. Jos nyt otetaan yksikkövektorin e θ suunta suoraan itään, milloin ollaan päiväntasaajalla? Idea: Kuljetaan Maan pinnalla pitkin isoympyrää, jonka normaali on e r e θ = e ϕ. Muodostetaan tason yhtälö normaalin avulla ja lasketaan tason ja päiväntasaajan (ϕ = π/2) leikkauspisteen θ-koordinaatti. Lasketaan siis ensin isoympyrän tason normaali e r e θ = e ϕ = os(3 ) os(25 )i + os(3 ) sin(25 )j sin(3 )k =, 785i +, 366j, 5k 18

19 Usean muuttujan funktioiden integrointi aadaan tasolle yhtälö, 785x +, 366y, 5z =. Päiväntasaajalla z =, joten y = 2, 145x, eli θ = artan y x Päiväntasaajalle saavutaan siis Borneossa. (Vastauksen voi myös päätellä: ymmetrian nojalla θ = θ + 9 = 115, sillä Helsinki on isoympyrän korkein kohta, joten päiväntasaaja leikataan neljänneskierroksen päässä.) 1.4 Pinnan ala * Olkoon R 2 alue ja f : R funktio. Tällöin f määrää pinnan F = {(x, y, z) R 3 (x, y), z = f(x, y)}. Mikä on pinnan F ala? Oletetaan ensin, että on pieni suorakulmio. Arvioidaan pinta-alaa vektorien p ja q avulla: p = ((x + x)i + yj + f(x + x)k) (xi + yj + f(x, y)k) ( = xi + (f(x + x, y) f(x, y)) k x i + f ) (x, y)k. x Vastaavasti saadaan ( q y j + f ) (x, y)k. y Arvio pinta-alalle saadaan näiden vektorien virittämän suunnikkaan pinta-alana: i j k p q = det f x x x f y y y = ( f x y)i ( f x y)j + x yk x y = 1 + ( ) f 2 + x ( ) f 2 x y y 19

20 Usean muuttujan funktioiden integrointi Jos siis on pieni suorakulmio jonka pinta-ala on x y, niin pinnan z = f(x, y) pinta-ala alueen yläpuolella on ( ) f 2 ( ) f 2 = x y. x y Arvio pinta-alalle yleisellä alueella saadaan jakamalla pieniin suorakulmioihin, soveltamalla y.o. kaavaa ja laskemalla nämä pienet pinta-alat yhteen, jolloin n 1 + i=1 ( ) f 2 ( ) f 2 x (x i, y i ) + y (x i, y i ) x y, missä pisteet (x i, y i ) ovat pienien suorakulmioiden kulmapisteitä ja summauksessa siis summataan kaikkia pieniä suorakulmioita vastaavat pintaalat yhteen. Kun x ja y, niin x y dxdy ja summauksesta pinta-alaelementtien yli tulee integraali. Tällöin siis ( ) f 2 ( ) f 2 = d = 1 + (x, y) + (x, y) dxdy. x y Pinta-alan differentiaali on siis d = 1 + ( f x (x, y) ) 2 + ( f y (x, y) ) 2dxdy, joka on infinitesimaalisen pinnan ala. Esim. 13. Jos f(x, y) = C = vakio, niin pinnan ala on dxdy = :n ala. Esim. 14. Pinnoilla Z = f(x, y) ja z = f(x, y) + C on sama pinta-ala. (Eli sillä, millä korkeudelle pinta on, ei tietenkään ole merkitystä pintaalaan.) Esim. 15. Lasketaan pinnan {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 1, z = x 2 + y 2 } pinta-ala. Pohjana on siis kiekko = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} ja pintana paraboloidi z = f(x, y) = x 2 + y 2. Pinta-ala on siten = 1 + f x + f y da = 1 + (2x) 2 + (2y) 2 da = 1 + 4(x 2 + y 2 )dxdy. 2

21 Usean muuttujan funktioiden integrointi Tehdään nyt muuttujanvaihto napakoordinaatteihin, jolloin x 2 + y 2 = r 2 ja integroitava alue on napakoordinaateissa {(r, φ) R 2 r [, 1], φ [, 2π)} ja da = rdrdφ. iten = 2π r 2 rdrdφ = 2π (1 + 4r2 ) 3/2 = π 6 (53/2 1). 1.5 Massat ja momentit * Olkoon kappaleen R 3 paikallinen tiheys ρ(x, y, z). Lasketaan kappaleen kokonaismassa. Ajatellaan, että kappale koostuu n kappaleesta pieniä kuutioita, joiden massat ovat m k. Tällöin m k ρ(x k, y k, z k ) V k, missä (x k, y k, z k ) on k:nnen kuution keskipiste ja V k sen tilavuus. Koko kappaleen massa on tällöin n n M = m k = ρ(x k, y k, z k ) V k ρ(x, y, z)dv, kun n. k=1 k=1 Momentit Massaelementillä m k = ρ(x k, y k, z k ) V k on tasojen x = x, y = y ja z = z suhteen momentit (x k x ) m k, (y k y ) m k ja (z k z ) m k. koko kappaleen momentit näiden tasojen suhteen ovat M x=x = (x x )ρ(x, y, z)dv = M x= x M M y=y = (y y )ρ(x, y, z)dv = M y= y M M z=z = (z z )ρ(x, y, z)dv = M z= z M, missä M = ρ(x, y, z)dv on kappaleen kokonaismassa. Kappaleen massakeskipiste on se piste P = (x, y, z), jossa kaikki momentit M x=x, M y=y ja M z=z ovat nollia. Massakeskipisteen koordinaatit ovat siten x = M x= M y = M y= M z = M z= M = 1 M = 1 M = 1 M xρ(x, y, z)dv yρ(x, y, z)dv zρ(x, y, z)dv. 21

22 Usean muuttujan funktioiden integrointi Esim. 16. Etsitään massakeskipiste kuution muotoiselle kappaleelle, x, y, z a, jonka tiheysfunktio on ρ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. Kappaleen kokonaismassa on M = a a a (x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz = = a Momentti tason x = suhteen on M x= = xρ(x, y, z)dv = = a = a x a a ( 1 3 a3 + y 2 a + z 2 a)dydz ( 1 3 a a4 + z 2 a 2 )dz = 1 3 (a5 + a 5 + a 5 ) = a 5. a a a a x(x 2 + y 2 + z 2 )dydzdx (x 2 a a3 + z 2 a)dzdx Massakeskipisteen x-koordinaatti on siten x(x 2 a a a4 )dx = 1 4 a a a6 = 7 12 a6. x = M x= M = 7 12 a. ymmetrian nojalla saadaan myös y = 7 12 a ja z = 7 12a. Massakeskipiste on siis piste ( 7 12 a, 7 12 a, 7 12a). (Huom. Jos massa olisi tasaisesti jakautunut, olisi massakeskipiste kuution keskipiste (a/2, a/2, a/2). Nyt kappaleen tiheys on suurempi kauempana origosta, joten massakeskipiste on myös kauempana origosta.) Hitausmomentti Etäisyydellä r k pyörimisakselista olevan pistemäisen massan m k hitausmomentti on J = m k rk 2. Koko kappaleen hitausmomentti saadaan integroimalla kaikki massaalkiot kappaleen yli J = lim n k=1 n rk 2 m k = lim n k=1 n rk 2 ρ(x k, y k, z k ) V k = r(x, y, z) 2 ρ(x, y, z)dv, missä r(x, y, z) on pisteen (x, y, z) etäisyys pyörimisakselista ja ρ(x, y, z) kappaleen tiheys pisteessä (x, y, z). 22

23 Usean muuttujan funktioiden integrointi Esim. 17. Hitausmomentit koordinaattiakselien suhteen ovat J x = (y 2 + z 2 )ρ(x, y, z)dv J y = (x 2 + z 2 )ρ(x, y, z)dv J z = (x 2 + y 2 )ρ(x, y, z)dv. Huom. Mitä suurempi on kappaleen hitausmomentti, sitä suurempi momentti tarvitaan, jotta kappale saataisiin pyörimään halutulla kulmakiihtyvyydellä. Esim. 18. Lasketaan vakiotiheyttä olevan ρ = 1 olevan kappaleen {(x, y, z) R 3 x [ a/2, a/2], y [ b/2, b/2], z [ /2, /2]} hitausmomentit koordinaattiakselien suhteen: J x = = 4a /2 b/2 a/2 = 8 /2 b/2 a/2 /2 b/2 a/2 /2 ( 1 3 (y 2 + z 2 )dxdydz (y 2 + z 2 )dxdydz = 4a /2 b/2 (y 2 + z 2 )dydz b 3 b 1 8 +z2 )dz = 4a( 2 48 b b) = ab 12 (b2 + 2 ) = M 12 (b2 + 2 ), missä M = ab on kappaleen kokonaismassa. Vastaavasti saadaan J y = M 12 (a2 + 2 ) ja J z = M 12 (a2 + b 2 ). Esim. 19. Jos edellisen esimerkin kappaleelle halutaan antaa kulmakiihtyvyys ω x-akselin ympäri, täytyy siihen kohdistaa momentti M = J x ω. Tässä momentti M = F r, jos kappaleeseen kohdistetaan voima F kohtisuorasti x -akselia vastaan etäisyydellä r akselista. Jos siis kappaletta pyöritetään x-akselin ympäri siitä päästä missä y = ja z = /2, on r = /2, jolloin kulmakiihtyvyyden ω aikaansaamiseksi x-akselin ympäri täytyy kappaletta pyörittää voimalla F = 2 J xω = ab 6 kokoajan x-akselia vastaan kohtisuorasti. Hitaussäde b ω = ab 6 (b2 + 2 ) Kappaleen hitaussäde on r g = J M, missä J on kappaleen hitausmomentti ja M on kappaleen massa. Hitaussäde kertoo millä etäisyydellä pyörimisakselista olevaa pistemäistä kappaletta kyseinen kappale vastaa. 23

24 Usean muuttujan funktioiden integrointi Esim. 2. Lasketaan putken (tiheys = ρ = vakio) {(x, y, z) a 2 x 2 + y 2 b 2, z [, z]} hitausmomentti ja hitaussäde z-akselin suhteen. kuva ylinterikoordinaateissa putki on {(r, φ, z) r [a, b], φ [, 2π), z [, ]}. Hitausmomentti on siten J z = 2π b a r 2 ρrdrdφdz = ρ2π 1 4 (b4 a 4 ) = πρ 2 (b4 a 4 ). Kappaleen hitaussäde on siten πρ(b r g = 4 a 4 )/2 1 ρπ(b 2 a 2 = ) 2 (b2 + a 2 ). 24

25 2. Vektorikentät 2.1 Vektorikentät ja kenttäviivat Vektorikenttä on funktio, joka liittää määrittelyalueensa jokaiseen pisteeseen vektorin: Olkoon R 3. Tällöin F : R 3 on vektorikenttä :ssä. Vastaavasti, jos R 2, on tällöin F : R 2 vektorikenttä :ssä. Vertaa: 1) f : R R yhden muuttujan funktio 2) f : R 2 R useamman muuttujan funktio (eli skalaarikenttä) 3) : R R 2 käyrä 4) F : R 2 R 2 vektorikenttä. Jos F : R 3 on vektorikenttä, niin merkitään F(x, y, z) = F 1 (x, y, z)i + F 2 (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k, missä funktiot F 1, F 2 ja F 3 ovat F:n komponenttifunktiot. (Huom. Tässä alaindeksillä ei tarkoiteta derivaattaa!) Esim. 1. Olkoon f : R 3 R funktio. Tällöin sen gradientti määrää vektorikentän. f = f x i + f y j + f z k Esim. 2. (Gravitaatiokenttä) Tarkastellaan systeemiä, johon kuuluu origossa sijaitseva massa M ja massa m pisteessä r = xi + yj + zk. Tällöin massat vetävät toisiaan puoleensa voimalla, joka on verrannollinen massojen suuruuteen ja kääntäen verrannollinen niiden etäisyyden neliöön. iten massa M vetää massaa m puoleensa voimalla, joka on F(r) = kmm r r 3, 25

26 Vektorikentät missä k > on gravitaatiovakio. Kyseessä on vektorikenttä F : R 3 R 3. (Huom. F() ei ole määritelty, sillä m ja M eivät voi olla samassa pisteessä.) Puhutaan myös kappaleen aiheuttamasta gravitaatiokentästä, jolla tarkoitetaan kappaleen aiheuttamaa putoamiskiihtyvyyttä. Massan M aiheuttama gravitaatiokenttä on siis g(r) = km r r 3. Esim. 3. (ähkökenttä) Coulombin lain mukaan kahden pistemäisen varauksen välillä vaikuttaa voima, joka on verrannollinen varauksien suuruuteen ja kääntäen verrannollinen niiden etäisyyden neliöön. Varaus Q vetää siten varausta q puoleensa voimalla, joka on F(r) = 1 4πɛ Qqr r 3. Varauksen Q aiheuttama sähkökenttä on taas E = 1 4πɛ Qr r 3. Esim. 4. (Pyörivä levy) Tarkastellaan levyä, joka pyörii kulmanopeudella Ω (yksikkönä rad/s) vastapäivään. Olkoon (x, y) = (r os(φ), r sin(φ)) piste levyllä. Tällöin pisteen rata on josta saadaan r(t) = r os(ωt + φ)i + r sin(ωt + φ)j, r (t) = Ωr sin(ωt + φ)i + Ωr os(ωt + φ)j. iten pisteen (x, y) nopeusvektori on r () = Ωr sin(φ)i + Ωr os(φ)j = Ω( yi + xj) = Ωk r. Funktio F(x, y) = Ωk r määrää siten vektorikentän F : R 2, joka kuvaa pisteessä (x, y) olevan pisteen nopeusvektoria. 26

27 Vektorikentät Esim. 5. Muita vektorikenttiä ovat mm. magneettikenttä, nesteen/kaasun nopeuskenttä. Vektorikentän kenttäviivat Olkoon F : R 3 vektorikenttä, missä R 3. Tällöin käyrä r : (a, b) on kenttäviiva, jos r (t) = λ(t)f(r(t)), kun t (a, b), jollain funktiolla λ : (a, b) R, jolle λ(t) >, kun t (a, b). Huom. Tämä siis tarkoittaa sitä, että jokaisessa käyrän r(t) pisteessä sen tangentti r on samansuuntainen kuin vektorikenttä F siinä samassa pisteessä. Kenttäviivat siis kuvaavat vektorikentän mukaisesti kulkevien pisteiden ratoja. Esim. 6. Jos vektorikenttä tässä on esimerkiksi nesteen nopeuskenttä, niin kenttäviiva r(t) kuvaa pienen hiukkasen rataa nesteessä. Kysymys: Miten lasketaan kenttäviivat vektorikentälle? Merkitään F = F 1 i + F 2 j + F 3 k ja r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. Jos r(t) tällöin kenttäviiva, niin r (t) = λ(t)f(r(t)) ja siten dx dt (t) = λ(t)f 1(x(t), y(t), z(t)), dy dt (t) = λ(t)f 2(x(t), y(t), z(t)), dz dt (t) = λ(t)f 3(x(t), y(t), z(t)). aadaan siis kolme kappaletta ensimmäisen kertaluvun (epälineaarisia) differentiaaliyhtälöita dx dt (t) F 1 (x(t), y(t), z(t)) = dy dt (t) F 2 (x(t), y(t), z(t)) = dz dt (t) F 3 (x(t), y(t), z(t)). 27

28 Vektorikentät Yhtälöt voidaan formaalisti kertoa puolittain termillä dt, jolloin saadaan Adamsin käyttämä muoto dx F 1 (x, y, z) = dy F 2 (x, y, z) = dz F 3 (x, y, z). Tämä muoto on kätevä, jos yhtälöt voidaan separoida (kts. Adams 7.9), missä tapauksessa yhtälöt saadaan sopivalla funktiolla kertomalla muotoon P (x)dx = Q(y)dy = R(z)dz. Tällöin yhtälöt voidaan ratkaista yksinkertaisesti integroimalla. Tämä on mahdollista seuraavassa esimerkissä. Esim. 7. (Pyörivä levy) Lasketaan vektorikentän F(x, y) = Ω( yi + xj) kenttäviivat, Ω >. Yhtälö kenttäviivojen komponenteille on dx Ωy = dy xdx = ydy ( x)dx = Ωx joten saadaan ydy, 1 2 x2 = 1 2 y2 C x 2 + y 2 = 2C, jollakin C >. Kenttäviivat ovat siis ympyröitä. Harjoitus 8. Etsi kentän F(x, y) = i + os(x)j kenttäviivat. (Vast. y = sin(x) + C) 2.2 Vektorikenttä napakoordinaateissa Tason vektorikenttä F : R 2 R 2 voidaan esittää napakoordinaateissa F = F(r, φ) = F r (r, φ) r + F φ (r, φ) φ. Tässä F r (r, φ) = radiaalinen komponentti. F φ (r, φ) = kohtisuora komponentti. 28

29 Vektorikentät r = paikkavektorin suuntainen yksikkövektori, eli r = os(φ)i + sin(φ)j. φ = on kulman suuntainen yksikkövektori, eli paikkavektoria kohtisuorassa oleva yksikkövektori, eli φ = sin(φ)i + os(φ)j. (Huom. Nyt pätee φ r =.) Huom. pätee Nyt kummatkin kantavektorit r ja φ riippuvat kulmasta φ ja d r dφ = φ. Jos on annettu käyrä napakoordinaattimuodossa r = r(φ), se voidaan esittää vektorimuodossa r(φ) = r(φ) r = r(φ) os(φ)i + r(φ) sin(φ)j. Tämä käyrä on vektorikentän F kenttäviiva, mikäli sen tangenttivektori dr dr d r (φ) = (φ) r + r(φ) dφ dφ dφ = dr (φ) r + r(φ) φ dφ on yhdensuuntainen kenttävektorin F(r, φ) kanssa jokaisessa käyrän pisteessä. Tästä saadaan dr dφ (φ) = λ(φ)f r(r, φ), r(φ) = λ(φ)f φ (r, φ), dr dφ (φ) F r (r, φ) = r(φ) F φ (r, φ) Myös tämä yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa dr F r (r, φ) = rdφ F φ (r, φ), joka on hyödyllinen muoto jos yhtälöt voidaan separoida. dr dφ (φ) r(φ) = F r(r, φ) F φ (r, φ). illä d dx ln(x) = 1/x, saadaan tästä käyttämällä ketjusääntöä differentiaaliyhtälö myös muotoon d dφ ln(r(φ)) = F r(r, φ) F φ (r, φ). Esim. 9. Tarkastellaan vektorikenttää F(r, φ) = r+r φ. Tällöin siis F r = 1 ja F φ = r, josta saadaan kenttäviivoille yhtälö Tästä nähdään, että dr(φ) dφ r(φ) = 1 r(φ). dr(φ) dφ = 1 r(φ) = φ + C. 29

30 Vektorikentät Kenttäviivat ovat siis spiraaleita, jotka voidaan esittää napakoordinaattimuodossa yhtälöllä r = φ + C. 2.3 Konservatiiviset kentät Nyt siis tiedetään, että jos f : R on funktio ja R 3, niin f on vektorikenttä f : R 3. Päteekö tämä toisin päin? Jos F : R 3 on annettu vektorikenttä, niin voidaanko F esittää muodossa jollakin funktiolla Φ : R? F = Φ, Jos F voidaan esittää muodossa F = Φ, niin F on konservatiivinen vektorikenttä ja Φ on F:n skalaaripotentiaali. Esim. 1. Kenttä F(x, y) = 2xi + 2e 2y j on konservatiivinen, sillä F = Φ, kun Φ(x, y) = x 2 + e 2y. Esim. 11. (Gravitaatiokenttä) Origossa oleva massa M aiheuttaa gravitaatiokentän (putoamiskiihtyvyyden), joka on g(r) = km r r 3. Kenttä on konservatiivinen, sillä asettamalla Φ(r) = km 1 r, pätee Huom. Φ(r) = km 1 1 r r = km r 2 r 2 r = g(r). Gradienttia laskettaessa voidaan käyttää ketjusääntöä niinkuin muissakin derivaatoissa. Eli jos g(r) = f( r ), niin g = f ( r ) r, missä r = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 = 1 2x 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 i + 1 2y 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 j + 1 2z 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 k xi + yj + zk = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 = r r. 3

31 Vektorikentät Huom. Jos funktio Φ on vektorikentän F skalaaripotentiaali, niin funktio CΦ on vektorikentän CF skalaaripotentiaali. Huom. Edellisen esimerkin fysikaalinen potentiaali on V (r) = Φ(r) = km 1 r, joka siis kasvaa kun loitotaan origosta. Laskettaessa kappaleen potentiaalienergiaa (voiman tekemä työ siirryttäessä jostakin referenssipisteestä toisaalle) maan pinnan tuntumassa, on putoamiskiihtyvyys suunnilleen vakio g(r) g r (missä g 9.81m/s 2 ) ja tällöin kappaleeseen (massa m) vaikuttava voima F(r) mg r. Kappaleen (massa m) potentiaalienergia korkeudella h maan pinnasta on siten E(h) = R+h R F(s r) ds mg R+h R ds = mgh. Esim. 12. Vektorikenttä F = Ω( yi + xj), (x, y) R 2, Ω >, ei ole konservatiivinen. Mikäli olisi olemassa Φ : R 2 R, jolle F = Φ, niin Φ x = Ωy, Φ y = Ωx, 2 Φ y x = Ω, 2 Φ x y = Ω. Koska F on sileä vektorikenttä, myös sen potentiaalifunktion pitää olla sileä. Erityisesti siis Φ on kahdesti derivoituva. Tästä kuitenkin seuraa, että ristiderivaattojen pitää olla samat, eli Ω = Ω, jolloin Ω =. Tämä on ristiriidassa oletuksemme kanssa ja siten potentiaalifunktiota Φ ei voi olla olemassa, eli F ei ole konservatiivinen. Yleisesti pätee: Olkoon F : R 3 vektorikenttä F(x, y, z) = F 1 (x, y, z)i + F 2 (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k. Jos F on konservatiivinen, niin F = Φ, jollakin Φ : R. Tällöin Φ x = F 1 ja Φ y = F 2 ja Φ z = F 3, jolloin F 1 y F 2 z F 3 x = 2 Φ y x = 2 Φ x y = F 2 x, = 2 Φ z y = 2 Φ y z = F 3 y, = 2 Φ x z = 2 Φ z x = F 1 z. aatiin siis: Jos vektorikenttä F : R 3 on konservatiivinen, niin F 1 y = F 2 x, F 2 z = F 3 y, F 3 x = F 1 z. 31

32 Vektorikentät Vastaavasti tasossa: Jos R 2 ja F : R 2 on konservatiivinen, niin F 1 y = F 2 x. Esim. 13. Tutkitaan, onko F : R 2 R 2, F(x, y) = yi + sin(x)j konservatiivinen. Koska ei kenttä ole konservatiivinen. F 1 y = 1 os(x) = F 2 x, (x, y) R2, Huom. erivaattaehdot F i x j = F j x i ovat siis välttämättömät, mutta eivät riittävät ehdot konservatiivisuudelle. euraava pätee yleisesti: Jos ehdot F i x j = F j x i toteutuvat yhdesti yhtenäisessä alueessa R n, niin vektorikentällä F on olemassa skalaaripotentiaali Φ : R. (Alue on yhdesti yhtenäinen, jos jokainen silmukka :ssä voidaan jatkuvalla tavalla kutistaa :n sisällä pisteeksi.) 2.4 Tasapotentiaalipinnat ja -käyrät Jos Φ(x, y, z) on vektorikentän F : R 3 skalaaripotentiaali, niin pinnat Φ(x, y, z) = C = vakio ovat F:n tasapotentiaalipintoja. Koska F = Φ on kohtisuorassa näitä pintoja vastaan, tasapotentiaalipinnat ja kenttäviivat leikkaavat aina suorassa kulmassa. Kaksiulotteisessa tapauksessa F : R 2 yhtälö Φ(x, y) = C = vakio määrää tasapotentiaalikäyrän. Esim. 14. Edellä todettiin gravitaatiokenttä g(r) = km r konservatiiviseksi ja sen kenttäviivat ovat origon kautta kulkevia suoria. r 3 Tasapotentiaalikäyrät ovat tällöin origokeskisiä ympyröitä. Esim. 15. Olkoon = {(x, y) R 2 x, y > } ja vektorikenttä F : R 2 annettu muodossa F(x, y) = xi + yj x 2 + y 2, jolloin F 1 = x/(x 2 + y 2 ) ja F 2 = y/(x 2 + y 2 ). Tällöin F 1 y = 2xy (x 2 + y 2 ) 2 = F 2 x, 32

33 Vektorikentät joten vektorikenttä F voi olla konservatiivinen. Jos nyt F = Φ, niin Tästä saadaan, että ja siten Φ x = x x 2 + y 2 ja Φ y = y x 2 + y 2. Φ(x, y) = 1 2 ln(x2 + y 2 ) + C 1 (y) Φ y (x, y) = y x 2 + y 2 + C 1(y) = y x 2 + y 2. iten C 1 (y) = ja saadaan C 1(y) = C = vakio. Tämä vakio ei millään tavalla vaikuta siihen, onko Φ skalaaripotentiaali ja voidaan valita C =, jolloin Φ(x, y) = 1 2 ln(x2 + y 2 ). Löydettiin siis koko alueessa määritelty skalaaripotentiaali, joten F todella on konservatiivinen. Tasapotentiaalikäyrät ovat nyt käyriä 1 2 ln(x2 + y 2 ) = C x 2 + y 2 = e 2C, eli ympyröiden neljänneksiä, onhan tarkastelualue vain eikä koko taso. (Origo olisikin tuottanut ongelman: vektorikenttä itse sen paremmin kuin potentiaalifunktiokaan eivät ole määriteltyjä origossa.) 2.5 Lähde, nielu ja dipoli Lähde Ajatellaan seuraavaa tilannetta: - Koko avaruus R 3 on täytetty kokoonpuristumattomalla nesteellä. - Origosta ilmestyy nestettä nopeudella dv dt = 4πm, missä m > on lähteen voimakkuus. (Nestettä siis ilmestyy esim. 4πm kuutiota sekunnissa.) - Neste leviää symmetrisesti ja tasaisesti ulospäin origosta. Nyt haluttaisiin tietää millä nopeudella neste liikkuu etäisyydellä r origosta? Olkoon r(t) pienen nestehiukkasen etäisyys origosta ajan funktiona. Nesteen tilavuus r(t) säteisen pallon sisäpuolella on V (t) = 4πr(t)3 3 33

34 Vektorikentät ja koska neste leviää tasaisesti eikä puristu kokoon, on tämän r(t) säteisen pallon sisäpuolelle jäävän nestemäärän muutosnopeus 4πm. iten dv dt (t) = 4πr(t)2 r (t) = 4πm r (t) = m r(t) 2. Nesteen nopeuskenttä on siten Huom. v(r) = m r 2 r r = m r r 3. Näin saatu kenttä on samaa muotoa kuin gravitaatiokenttä, joten nähdään, että myös lähteen nopeuskenttä on konservatiivinen: v(r) = Φ(r), kun Φ(r) = m r. Nielu Nyt käsitellään samaa tilannetta, mutta origossa on pumppu, joka imee nestettä nopeudella missä m on nielun voimakkuus. Nielun nopeuskenttä on tällöin ja se on konservatiivinen. dv dt = 4πm, v(r) = m r r 3 ipoli ipoli koostuu lähteestä ja nielusta, joiden kummankin voimakkuus on m >. Esim. magneetin vuoviivat: Kun lähteen ja nielun välinen etäisyys on l, dipolimomentti on µ = ml. Ideaalidipolissa lähteen ja nielun voimakkuus kasvaa m ja etäisyys pienenee l siten, että dipolimomentti µ pysyy vakiona. Esim. 16. Olkoon dipolin dipolimomentti µ, akseli z-akseli (eli nielu ja lähde ovat molemmat z-akselilla) ja olkoon sen keskipiste origossa. Lasketaan dipolin aiheuttama nopeuskenttä v(x, y, z). 34

35 Vektorikentät Kun lähde, jonka voimakkuus on m, sijaitsee pisteessä (,, l/2) ja nielu, voimakkuus m, pisteessä (,, l/2), saadaan potentiaaliksi ( ) 1 Φ(r) = m r 1 2 lk 1 r lk. Kun l ja ml = µ, saadaan tästä raja-arvona ideaalidipolille Φ id (r) =... = µz r 3. Nopeuskenttä saadaan gradienttina v(r) = Φ id (r) =... = µ r 5 (3xzi + 3yzj + (2z2 x 2 y 2 )k). 35

36 Vektorikentät 36

37 3. Viiva- ja pintaintegraalit Tavoitteena on integroida funktio/vektorikenttä annetun käyrän/pinnan yli. Olkoon r : [a, b] R 3 käyrän parametrisointi ja R 3 pinta. Jos f : R 3 R ja F : R 3 R 3, niin laskettavia integraaleja on tällöin: 1.) I = f ds = funktion viivaintegraali :n yli. 2.) I = F dr = vektorikentän viivaintegraali :n yli. 3.) I = f d = funktion pintaintegraali pinnan yli. 4.) I = F d = vektorikentän pintaintegraali pinnan yli. Esim. 1. Esimerkkejä edellisistä: 1.) f = ρ = langan tiheys, jolloin I = langan kokonaismassa. 2.) F = kappaleeseen kohdistuva voima, jolloin I = voiman tekemä työ. 3.) f = ρ = pinnan tiheys, jolloin I = pinnan kokonaismassa. 4.) F = nesteen nopeuskenttä, jolloin I = nesteen vuo pinnan läpi (= pinnan läpi virtaavan nesteen määrä/aikayksikkö). 3.1 Käyrät Avaruuskäyrän määrittelevät koordinaattifunktiot missä parametri t [a, b] tai t R. x = x(t), y = y(t), z = z(t), Käyrän paikkavektori on r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. 37

38 Viiva- ja pintaintegraalit anotaan: funktio r(t) on vektoriarvoinen funktio. Jos z(t) =, niin käyrä on tasokäyrä. Esim. 2. Tarkastellaan tasokäyrää x = os(t) y = sin(t), t R. Tiedetään, että sin 2 (t) + os 2 (t) = 1, joten käyrän pisteiden koordinaateille pätee x 2 + y 2 = 1. Kyseessä on siis (x, y) -tason yksikköympyrä. Kun t kasvaa, pyöritään yksikköympyrällä vastapäivään. Esim. 3. Tarkastellaan käyrää x = 2 + t 2 y = 3t, t R. Eliminoidaan parametri t: ratkaistaan t = y/3 ja sijoitetaan ensimmäiseen yhtälöön, jolloin x = 2 + t 2 = 2 + y 2 /9. Kyseessä on siis oikealle aukeava paraabeli. Olkoon r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k käyrän paikkavektori. Tällöin r:n derivaatta on anotaan, että dr dt dr dt (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k. on käyrän nopeusvektori. Vauhti on dr dt. Harjoitus 4. Taso x + y + z = 1 leikkaa pinnan z = x 2 pitkin erästä avaruuden paraabelia. Parametrisoi tämä paraabeli. (Vast. esim. r(t) = ti + (1 t t 2 )j + t 2 k, t R) Esim. 5. Tarkastellaan nousevaa spiraalia x = os(ωt) y = sin(ωt), t R. z = t, 38

39 Viiva- ja pintaintegraalit missä ω > on kulmanopeus ja > on nousunopeus. Käyrän paikkavektori on r(t) = os(ωt)i + sin(ωt)j + tk ja nopeusvektori on v(t) = ω sin(ωt)i + ω os(ωt)j + k. Vauhti on v(t) = ω 2 sin 2 (ωt) + ω 2 os 2 (ωt) + 2 = ω (= vakio) ja kiihtyvyys on a(t) = dv dt (t) = ω2 os(ωt)i ω 2 sin(ωt)j = ω 2 (x(t)i + y(t)j). Jos kappaleen massa on m ja se liikkuu edellä mainitulla spiraaliradalla sen paikkavektorin ollessa r(t), niin Newtonin II lain mukaan siihen kohdistuu voima F (t) = ma(t) = ω 2 m(x(t)i + y(t)j) (= keskeisvoima). Huom. Olkoon u(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ja v(t) = X(t)i + Y (t)j + Z(t)k vektoriarvoisia funktioita ja f : R R reaaliarvoinen funktio. Tällöin pätee 1.) 2.) 3.) 4.) Yllä siis esimerkiksi funktio du dt d du (u + v) = dt dt + dv dt d dt (fu) = f u + f du dt d du (u v) = dt dt v + u dv dt d du (u v) = dt dt v + u dv dt. v pisteessä t on ( du du v)(t) = dt dt (t) v(t) = (x (t)i + y (t)j + z (t)k) (X(t)i + Y (t)j + Z(t)k) = x (t)x(t) + y (t)y (t) + z (t)z(t). 39

40 Viiva- ja pintaintegraalit 3.2 Funktion viivaintegraali Olkoon R 3 (tai R 2 ) ja f : R funktio. Olkoon käyrä ja r : [a, b] käyrän parametrisointi siten, että dr dt, kaikilla t [a, b]. Tällöin funktion f viivaintegraali käyrän yli on f ds = b a f(r(t)) dr dt (t) dt. Esim. 6. Olkoon käyrä r : [a, b] R 3. Tällöin b 1 ds = 1 dr dt (t) dt = käyrän pituus. Esim. 7. Lasketaan tasokäyrän x = e t os(t), y = e t sin(t), kaarenpituus. a t [, τ], t [, τ], Käyrän paikkavektori on ja nopeusvektori on siten r(t) = e t os(t)i + e t sin(t)j dr dt (t) = ( e t os(t) e t sin(t))i + ( e t sin(t) + e t os(t))j Täten dr dt (t) 2 = e t (sin(t) + os(t))i + e t (os(t) sin(t))j. = e 2t (sin 2 (t)+2 sin(t) os(t)+os 2 (t))+e 2t (os 2 (t) 2 sin(t) os(t)+sin 2 (t)) = 2e 2t. Näin ollen kaarenpituus on τ s = 2e t dt = 2 τ e t = 2(1 e τ ). Huomataan myös, että s 2, kun τ. 4

41 Viiva- ja pintaintegraalit Esim. 8. Jos on ohut lanka R 3 :ssa, joka voidaan parametrisoida funktiolla r : [a, b] R 3, ja f(r(t)) on langan massatiheys (kg/m) pisteessä r(t), niin f ds on langan kokonaismassa. Perustellaan tämä seuraavaksi. Jos f on vakio, niin f ds = f ds = f langan kokonaispituus = langan kokonaismassa. Jos f ei ole vakio, niin jaetaan pieniin pätkiin 1, 2,..., n. Kussakin näistä lyhyistä pätkistä f on likimain vakio f f i. Tällöin f ds = n i=1 i f ds n f i ds = :n kokonaismassa, i i=1 sillä f i i ds on i:nnen pätkän kokonaismassa. Kun langan jakovälien pituus lähestyy nollaa, niin tilalle saadaan = merkki. Esim. 9. Lasketaan I = f ds, kun käyrä on yksikköympyrä, jonka parametrisoinniksi voidaan ottaa r(t) = os(t)i + sin(t)j, t [, 2π] ja f(x, y, z) = x 2. Tällöin dr dt (t) = sin(t)i + os(t)j ja siten dr dt (t) = 1. Nyt f(r(t)) = (os(t)) 2 ja siten määritelmän mukaan 2π I = f(r(t)) dr dt (t) 2π dt = os 2 (t)dt = Esim. 1. Lasketaan funktion 2π 1 (1 + os(2t))dt = π. 2 f(x, y, z) = x 3y 2 + z viivaintegraali yli janan, jonka päätepisteet ovat origo ja (2, 1, 2). Janan parametrisoinniksi voidaan ottaa r(t) = 2ti + tj + 2tk, t [, 1]. Tällöin dr dt (t) = 2i + j + 2k, joten dr dt = = 3, ja f(r(t)) = 2t 3t 2 + 2t = 4t 3t 2. iten 1 f ds = (4t 3t 2 ) 3dt = 3 1 (2t2 t 3 ) = 3(2 1) = 3. Esim. 11. Lasketaan saman funktion viivaintegraali yli murtojanan, joka koostuu janasta 1 = OP 1 ja 2 = P 1 P 2, missä P 1 = (2, 1, ) ja P 2 = (2, 1, 2). Murtoviivalla on siis sama alkupiste (origo) ja sama päätepiste (piste (2, 1, 2)) kuin edellisessä tehtävässä. 41

42 Viiva- ja pintaintegraalit Janan 1 parametrisoinniksi voidaan ottaa r 1 (t) = 2ti + tj, t [, 1] ja janan 2 parametrisoinniksi Tällöin dr 1 dt = 2i + j = 5 ja f ds = f ds + 1 f ds = 2 = 5 1 (2t 3t 2 )dt + 2 r 2 (t) = 2i + j + 2tk, t [, 1]. 1 dr 2 dt 1 = 2k = 2 ja siten f(2t, t, ) 5dt + aatiin siis eri tulos kuin edellisessä esimerkissä. Huom. 1 f(2, 1, 2t) 2dt ( t)dt = 5 1 (t2 t 3 ) ( t + t2 ) = 5(1 1) + 2( 1 + 1) =. Vaikka funktio olisi sama ja integroimispolun päätepisteet samat, voi integraalin tulos riippua käytetystä polusta. 3.3 Vektorikentän viivaintegraali Esim. 12. (Gravitaatiokenttä) Kun massa m putoaa matkan h lähellä maan pintaa, niin maapallon aiheuttama putoamiskiihtyvyys on likimain vakio ja siten kappaleeseen kohdistuva voima on F = mgk. Gravitaatiokentän tekemä työ on siten W = hmg = F r, missä r = hk on massan siirtymää vastaava vektori. Jos massa m ei putoakaan suoraan alas vaan liukuu matkan h kaltevaa tasoa pitkin, niin gravitaatiokentän tekemä työ on W = os(α) h mg = F r, missä r on massan siirtymää vastaava vektori. 42

43 Viiva- ja pintaintegraalit Mikä on yleisesti vektorikentän F tekemä työ, kun massa m liikkuu käyrää pitkin? Tarkastellaan tilannetta pienessä mittakaavassa. Olkoon r : [a, b] R 3 käyrän parametrisointi, jolloin voiman F tekemä työ matkalla dr on dw = F dr = F dr dt dt. Integroimalla välin [a, b] yli saadaan kokonaistyöksi W = b a F(r(t)) dr (t) dt dt Otetaan tämä vektorikentän viivaintegraalin määritelmäksi: Olkoon F : R 3 vektorikenttä, R 3, ja käyrä r : [a, b], jolle dr dt, kaikilla t [a, b]. Tällöin Huom. F dr = b a F(r(t)) dr dt (t)dt Jos on suljettu, eli r(a) = r(b), niin merkitään myös F dr = F dr. 43

44 Viiva- ja pintaintegraalit Esim. 13. (Gravitaatiokenttä) Jos kappaletta liikutetaan gravitaatiokentässä siten, että etäisyys maan pinnasta kasvaa huomattavasti, ei maapallon aiheuttama gravitaatiokenttä enää ole vakio vaan vektorikenttä g(r) = km r r 3. Tällöin massan m liikkuessa pitkin käyrää, jonka parametrisointi on r : [a, b] R 3, gravitaatiokenttä tekee työn W = b r(t) F(r) dr = m g(r) dr = kmm a r(t) 3 dr dt (t)dt. Harjoitus 14. Integroi F(x, y) = os(x)i yj origosta pisteeseen (π, ) pitkin käyrää y = sin(x). (Vast. ) Esim. 15. Lasketaan vektorikentän F(x, y, z) = (y x 2 )i + (z y 2 )j + (x z 2 )k tekemä työ yli käyrän r(t) = ti + t 2 j + t 3 k, t [, 1]. Nyt ja vektorikenttä käyrällä on dr dt (t) = i + 2tj + 3t2 k F(r(t)) = F(t, t 2, t 3 ) = (t 2 t 2 )i + (t 3 t 4 )j + (t t 6 )k = (t 3 t 4 )j + (t t 6 )k, joten F(r(t)) dr dt (t) = 2t(t3 t 4 ) + 3t 2 (t t 6 ) = 3t 3 + 2t 4 2t 5 3t 8. Kentän tekemä työ on siten W = Huom. 1 1 F(r(t)) dr dt (t)dt = (3t 3 + 2t 4 2t 5 3t 8 )dt = 1 (3 4 t t5 2 6 t6 3 9 t9 ) = = Tarkastellaan konservatiivista vektorikenttää F : R 3. Tällöin siis F = Φ, jollakin funktiolla Φ : R. Jos r : [a, b] on käyrä r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, 44

45 Viiva- ja pintaintegraalit niin d Φ Φ(r(t)) = dt x (r(t))x (t) + Φ y (r(t))y (t) + Φ y (r(t))y (t) Integroimalla välin [a, b] yli saadaan b a F(r(t)) dr = b a = ( Φ)(r(t)) dr dr (t) = F(r(t)) dt dt (t). d Φ(r(t))dt = Φ(r(b)) Φ(r(a)). dt aatiin siis: Jos F = Φ on konservatiivinen vektorikenttä F : R 3 ja on käyrä r : [a, b], jolle dr (t), dt kaikilla t [a, b], niin F dr = Φ(r(b)) Φ(r(a)). Huom. Vertaa yksiulotteiseen tapaukseen: Jos f = F, missä f : R R ja F : R R, niin b a f(x)dx = F (b) F (a). Huom. 1. seuraus: Jos F on konservatiivinen vektorikenttä, niin F dr riippuu ainoastaa käyrän päätepisteistä. Huom. 2. seuraus: Jos F on konservatiivinen ja on suljettu, niin F dr =. Esim. 16. Olkoon F : R 2 R 2 funktio F(x, y) = yi + xj. Lasketaan I = F dr, kun on käyrä r(t) = ti + t k j, t [, 1], missä parametri k (, ) määrää käyrän muodon. 45

46 Viiva- ja pintaintegraalit Tapa 1. Huomataan, että F = Φ, kun Φ(x, y) = xy. Tällöin F dr = Φ(r(1)) Φ(r()) = 1 1 = 1. Tapa 2. Koska F(r(t)) = t k i + tj ja dr dt = i + ktk 1 j, saadaan määritelmän mukaan F dr = 1 F(r(t)) dr dt (t)dt = 1 t k + t kt k 1 dt = 1 (1 + k)t k = 1. Huomataan, että integraalin arvo ei riipu parametrista k, koska F on konservatiivinen. 3.4 Parametrisoidut pinnat Mikä on pinta? Esim. 17. Pinta on kaksiulottainen objekti, ja pinnalla olevat pisteet voidaan paikantaa kahden koordinaatin avulla. (Vrt. Käyrän pisteet voidaan esittää yhdellä koordinaatilla eli parametrilla.) Olkoon R 2 alue ja r : R 3 kuvaus r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v). Tällöin joukko r() = {r(u, v) R 3 (u, v) } on parametrisoitu pinta, mikäli vektorit r u (u, v) ja r (u, v) v ovat lineaarisesti riippumattomat kaikilla (u, v). (Tähän ehtoon palataan kohta.) 46

47 Viiva- ja pintaintegraalit Esim. 18. Pinta on r(u, v) = ui + u os(v)j + u sin(v)k, (u, v) R 2 on x- akselin suuntaan avautuva kartio. Tämä nähdään vaikkapa siitä, että parametrisointi x = u, y = u sin(v), z = u os(v) toteuttaa kartion yhtälön y 2 + z 2 = x 2. Esim. 19. Olkoon r : R 2 R 3 kuvaus r(u, v) = R 3. Tällöin r(r 2 ) = {} R 3 eli koko taso R 2 kuvataan origoon. Tällöin r r u = ja v = ovat lineaarisesti riippuvia ja r(r 2 ) ei täten ole parametrisoitu pinta. Esim. 2. Olkoon r : R 2 R 3 kuvaus r(u, v) = vk. Tällöin Vektorit r u r(r 2 ) = {r(u, v) (u, v) R 2 } = {vk v R} = z-akseli. parametrisoitu pinta. = ja r v = k ovat lineaarisesti riippuvia, joten r(r2 ) ei ole Esim. 21. Olkoon r : R 2 R 3 kuvaus r(u, v) = ui + vj + (u 2 + v 2 )k. Nyt r(r 2 ) on parametrisoitu pinta, sillä vektorit r u = i + 2uk ja r v = j + 2vk, ovat lineaarisesti riippumattomia kaikilla (u, v) R 2. Huom. Vektorit r r u (u, v) ja v (u, v) ovat parametrisoidun pinnan tangenttivektorit pisteessä r(u, v) (kts. Adams 12.3). iten ehto vektoreille r u ja r v takaa, että parametrisoidulla pinnalla on joka pisteessä 2-ulotteinen tangenttitaso. Huom. Oletetaan, että r : R 3, r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k 47

48 Viiva- ja pintaintegraalit määrää parametrisoidun pinnan. Asetetaan n : R 3, n(u, v) = r r (u, v) (u, v). u v Tällöin n(u, v) on kohtisuorassa vektoreihin r r u (u, v) ja v (u, v) nähden, joten se on kohtisuorassa pisteessä r(u, v) olevaa tangenttitasoa vastaan. Vektori n(u, v) on siis pinnan normaalivektori. Lauseke normaalivektorille n Koska saadaan r u = x u i + y u j + z u k ja r v = x v i + y v j + z v k, n(u, v) = r u r v = = y u y v i j k x u x v z u z v y u y v i z u z v x u x v z u z v = j + x u x v y u y v k (y, z) (x, z) (x, y) i j + (u, v) (u, v) (u, v) k. Funktion kuvaaja parametrisoituna pintana Olkoon R 2 alue ja r : R 3 kuvaus muotoa jollain funktiolla f : R. r(u, v) = ui + vj + f(u, v)k Tällöin r() on aina parametrisoitu pinta: r u = i + f u k ja r v = j + f v k ovat lineaarisesti riippumattomat. Pinnan normaalivektori on n(u, v) = r u r v =... = f u i f v j + k. 48

49 Viiva- ja pintaintegraalit Yleinen pinta Yleinen pinta saadaan liimaamalla yhteen äärellisen monta parametrisoitua pintaa. Esim. 22. Pallo ja kuutio ovat yleisiä pintoja: Huom. Pinnalla voi olla myös reuna. Jos pinnalla ei ole reunaa, niin pinta on suljettu. Edellisen esimerkin pallo ja kuutio ovat suljettuja pintoja. 3.5 Funktion pintaintegraali Oletetaan, että r : R 3, R 2, r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k määrää parametrisoidun pinnan = r(). Oletetaan, että g : R on pinnan massatiheys (yksikkönä kg/m 2 ). Otetaan tehtäväksi laskea pinnan massa. Määritellään p = r(u + du, v) r(u, v) = r u du q = r(u, v + dv) r(u, v) = r v dv d = p q = r u r v du dv = n du dv. Kaarevan suorakulmion massa on tällöin noin g(r(u, v))d = g(r(u, v)) n(u, v) du dv, 49

50 Viiva- ja pintaintegraalit joten pinnan kokonaismassa saadaan integroimalla = g(r(u, v)) n(u, v) du dv ( ) (y, z) 2 g(r(u, v)) + (u, v) ( ) (x, z) 2 + (u, v) ( ) (x, y) 2 da =: (u, v) g d. Tässä viimeinen yhtäsuuruus tarkoittaa määritelmää/merkintätapaa integraalille g d. anotaan, että g d on funktion g pintaintegraali pinnan yli. Huom. (Funktion kuvaaja) Jos r : R 3 on muotoa r(u, v) = ui + vj + f(u, v)k, jollain funktiolla f : R, niin pinnan normaalivektori on n(u, v) = f u i f v j + k. Tällöin g d = g(r(u, v)) n(u, v) da = ( f ) 2 g(r(u, v)) + u ( ) f da. v Huom. Jos g 1, niin 1 d = ( f ) 2 + u ( ) f da = :n ala. v Tulos pätee myös yleisesti pinnoille, eli 1 d = :n ala. Esim. 23. Lasketaan kokonaisvaraus pinnalla r(u, v) = e u os(v)i + e u sin(v)j + uk, u [, 1], v [, π], kun varaustiheys on δ(u, v) = 1 + e 2u. 5

51 Viiva- ja pintaintegraalit Nyt siis x(u, v) = e u os(v), y(u, v) = e u sin(v) ja z(u, v) = u, joten (y, z) (u, v) = e u sin(v) e u os(v) 1 = eu os(v) (x, z) (u, v) = e u os(v) e u sin(v) 1 = eu sin(v) (x, y) (u, v) = e u os(v) e u sin(v) e u sin(v) e u os(v) = e2u. Pintaelementti d saa siis muodon ( ) (y, z) 2 ( ) (x, z) 2 d = + + (u, v) (u, v) = Kokonaisvaraus on tällöin Huom. δ d = π 1 ( ) (x, y) 2 da (u, v) e 2u os 2 (u) + e 2u sin 2 (u) + e 4u da = e u 1 + e 2u da. 1 + e 2u e u 1 + e 2u du dv = π π 1 (e u + e 3u )dudv (e e3 1 3 )dv = π(e e3 4 3 ). Esimerkin normaalivektori voidaan laskea myös suoraan määritelmästä n(u, v) = r i j k r (u, v) (u, v) = u v e u os(v) e u sin(v) 1 =... e u sin(v) e u os(v) jollon d = n(u, v) da. Riippuu siis täysin omasta mielihalusta kumpaa lauseketta haluaa käyttää. 3.6 uunnistetut pinnat Mikä on nesteen vuo pinnan läpi? Miten kiinnitetään positiivinen kulkusuunta pinnan läpi? Määritelmä Pinta R 3 on suunnistuva jos löytyy jatkuva vektorikenttä N : R 3 siten, että kaikilla r pätee 51

52 Viiva- ja pintaintegraalit 1.) N(r) on pinnan normaali pisteessä r, 2.) N(r) = 1. Tällöin N on suunnistus pinnalle. Huom. Jos N on suunnistus, niin myös N on suunnistus. Muita suunnistuksia ei ole. Huom. uunnistuvalla pinnalla on kaksi puolta. Parametrisoidun pinnan suunnistukset Olkoon = r() parametrisoitu pinta, R 2, ja r : R 3. Tällöin n(u, v) = r u r = pinnan normaali ja n, v joten pinnan mahdolliset suunnistukset ovat N = ± n r n = ± r u r v u r v. Funktion kuvaajan suunnistukset Olkoon pinta = {(x, y, f(x, y) R 3 (x, y) }, missä R 2 ja f : R on funktio. Aiemmin laskettiin pinnan normaalivektoriksi n = f x i f y j + k, joten pinnan mahdolliset suunnistukset ovat N = ± n n = ± f ( f x x i f y j + k ) 2 ( ). 2 + f y

53 Viiva- ja pintaintegraalit Esim. 24. (Möbiuksen nauha) 1.) Leikkaa paperiliuska:. 2.) Käännä liuskaa puoli kierrosta:. 3.) Liimaa liuskan päädyt yhteen (nuolet vastakkain). Näin syntyy pinta, jolla on vain yksi puoli ja pinta ei täten ole suunnistuva. Piirretty Mathematialla: ParametriPlot3[{Cos[t](3+r Cos[t/2]), in[t](3+r Cos[t/2]), r in[t/2]},{r,-1,1},{t,,2 Pi}] Reunan suunnistus Olkoon pinta, jolla on suunnistus N. Jos on suljettu reunakäyrä pinnalle, niin suunnistetaan (eli kiinnitetään :n positiivinen kiertosuunta) säännöllä: Pinnan reunakäyrän positiivinen kiertosuunta on kiertosuunta, jossa jää vasemmalle puolelle, kun ollaan pinnan positiivisella puolella. Esim. 25. Esim. 26. Huom. uunnistettuja reunallisia pintoja voi liimata yhteen, kunhan liittymäkohdan suunnistukset menevät kohdakkain. 53

54 Viiva- ja pintaintegraalit 3.7 Vektorikentän pintaintegraali eli vuointegraali Esim. 27. Olkoon v = Cj nesteen nopeuskenttä, missä C > (yksikkönä m/s) on nesteen nopeus. Olkoon R-säteinen kiekko (x, z)-tasossa. Lasketaan nesteen virtausnopeus kiekon läpi (= nesteen vuo :n läpi). Yhden sekunnin aikana kiekon läpi virtaa tilavuus V = πr 2 C 1 (yksikkönä m 2 m/s s = m 3 ). Vuo on siten πr 2 C. Esim. 28. Lasketaan vuo kiekon läpi, kun kiekon normaalivektori on N (eli kiekko ei olekaan kohtisuorassa virtauskenttää vastaan), N = 1. Kirjoitetaan v kahdessa osassa: v = (v N)N + (v (v N)N) = v + v, missä v = (v N)N on vektorin N suuntainen osa ja v = v (v N)N on vektoria N kohtisuorassa oleva osa. iten v ei aiheuta vuota kiekon läpi ja vuo kiekon läpi on (v N)πR 2. Huomioi, että koska N = 1, on v N vektorin v projektio vektorin N suuntaan. 54

55 Viiva- ja pintaintegraalit Huom. N määrää nesteen positiivisen virtaussuunnan pinnan läpi. Vuo yleisen pinnan läpi Lasketaan nyt vuo pinnan läpi, kun pinta ei ole välttämättä tason osa ja nesteen nopeuskenttä ei ole vakio. Olkoon siis R 3 pinta ja N : R 3 sen suunnistus. Olkoon V : R 3 R 3 nesteen nopeuskenttä. Tarkastellaan vuota differentiaalisen pinta-ala-alkion d läpi: Vuo pinnan d läpi on V N d ja näin ollen kokonaisvuo pinnan läpi on integraali V N d. Määritellään: V d = V N d. anotaan, että V d on vektorikentän V pintaintegraali pinnan yli (eli vuointegraali :n yli). Huom. Jos V on yhdensuuntainen N:n kanssa, niin V d >. Huom. Jos :n suunnistus vaihtuu (N N), niin vastaavasti vuointegraalin merkki vaihtuu. Esim. 29. Olkoon F(x, y, z) = Ai + Bj + Ck, ja on laatikko, jonka tahkot ovat koordinaattitasojen suuntaisia. 55

56 Viiva- ja pintaintegraalit Lasketaan I = F d = F id + F ( i) d + F j d etusivu takasivu + F ( j) d + F k d + oikea sivu F ( k) d vasen sivu = Ad + kansi ( A) d + pohja B d etusivu + takasivu ( B) d + oikea sivu C d + ( C) d =. vasen sivu kansi pohja Tulkinta: Jos F on esim. nesteen nopeuskenttä, niin laatikkoon tulee yhtä paljon nestettä kuin siitä poistuukin. Huom. Jos on parametrisoitu pinta = r(), R 2, r : R 3, niin tällöin N = ± n n, r missä n = u r v, ovat :n mahdolliset suunnistukset. Tällöin ( ) V d = V N d = V(r(u, v)) N(r(u, v)) n(u, v) da = ± ( V(r(u, v)) n(u, v) n(u, v) ) n(u, v) da = ± missä ± riippuu pinnan suunnistuksesta. V(r(u, v)) n(u, v) da, Esim. 3. Lasketaan vektorikentän F(x, y, z) = xi + yj + z 2 k vuo ylöspäin läpi parametrisoidun pinnan r(u, v) = u os(v)i + u sin(v)j + uk, (u, v) = [, 2] [, π]. Lasketaan r = os(v)i + sin(v)j + k u r = u sin(v)i + u os(v)j, v 56

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Riikka Kangaslampi Marh 22, 216 2 Esipuhe Tämä on Aalto-yliopiston Matematiikan ja systeemianalyysin laitoksen kurssin ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 luentomoniste.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2. 13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitusviikko 5 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitusviikko 5 / M-A3x ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/217 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitusviikko 5 / 2. 24.3. Harjoitustehtäviä 1 6 lasketaan alkuviikon harjoituksessa. Harjoituksessa laskematta

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa

12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 6: Vektorikentän viivaintegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 6: Vektorikentän viivaintegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 6: Vektorikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 27 Esimerkki: funktion

Lisätiedot

Gaussin lause eli divergenssilause 1

Gaussin lause eli divergenssilause 1 80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R

Lisätiedot

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida: 15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 4: Taso- ja avaruuskäyrät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 4: Taso- ja avaruuskäyrät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 4: Taso- ja avaruuskäyrät Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Motivaatio Tässä tutustutaan

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 /

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

= ( F dx F dy F dz).

= ( F dx F dy F dz). 17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi S2

Mat Matematiikan peruskurssi S2 Mat-1.122 Matematiikan peruskurssi S2 Ratkaisuehdotuksia Harjoitus 12 alkuviikko Tehtävä 1 Hahmottele annetut vektorikentät sekä niiden kenttäviivat tapauksissa. a)f(x, y) xi + yj b)f(x, y) e x i + e -x

Lisätiedot

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Täydennetään ja kerrataan Fitzpatrickin lukujen 18 ja 19 esitystä.

Täydennetään ja kerrataan Fitzpatrickin lukujen 18 ja 19 esitystä. 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 009 Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa Täydennetään ja kerrataan Fitzpatrickin lukujen 18 ja 19 esitystä. Tasointegraali Tasointegraali f voidaan laskea kaksinkertaisena

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja

Lisätiedot

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain

Lisätiedot

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G: 7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ

kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ 58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali

Lisätiedot

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI. 39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja

Lisätiedot

Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: , ma 9-10 ja ke Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko).

Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: , ma 9-10 ja ke Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko). 1 VEKTORIANALYYSI FYSA114 (3 op), kevät 2017 Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: 63 35, ma 9-10 ja ke 12-14 Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko) Harjoitusassistentit: Petri Kuusela ja Tapani

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat

Lisätiedot

Sisältö Sisältö 14.Useamman muuttujan funktioiden integrointi

Sisältö Sisältö 14.Useamman muuttujan funktioiden integrointi Sisältö Sisältö 1 9.1 Lukujono.............................. 3 9.1 Suppeneminen ja raja-arvo................... 6 9.2 Sarjat................................ 9 9.3 Suppenemistestejä........................

Lisätiedot

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1 BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Riikka Kangaslampi Syksy 214 2 Esipuhe Tämä on Aalto-yliopiston Matematiikan ja systeemianalyysin laitoksen kurssin ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 tueksi

Lisätiedot

Potentiaali ja potentiaalienergia

Potentiaali ja potentiaalienergia Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali

Lisätiedot

edition). Luennot seuraavat tätä kirjaa, mutta eivät orjallisesti.

edition). Luennot seuraavat tätä kirjaa, mutta eivät orjallisesti. 1 VEKTORIANALYYSI FYSA114 (3 op), kevät 2014 Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: 53-55, ma 9-10 ja ke 12-14 Luentoja ei ole viikoilla 16 ja 17 eli 14 274 Harjoitusassistentti: Ville Kotimäki Laskuharjoitukset:

Lisätiedot

a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella

a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike

Lisätiedot

5 Kentät ja energia (fields and energy)

5 Kentät ja energia (fields and energy) 5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

4.3.7 Epäoleellinen integraali

4.3.7 Epäoleellinen integraali Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Todista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f,

Todista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f, 7. Taso- ja avaruusintegraali 7.1. Tasointegraalin määrittely 205. Tarkastellaan funktiota f (x,y) = x+y neliössä {(x,y) 0 x 1, 0 y 1}. Neliö jaetaan suorilla x = a ja y = b neljään osasuorakulmioon; 0

Lisätiedot

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Sijoitus integraaliin

Sijoitus integraaliin 1 / 32 Muunnetaan funktion f integraali yli joukon U integraaliksi yli joukon V tekemällä sijoitus x = g(y), missä g : V U on bijektio (ainakin), kun se rajoitetaan funktioksi g : V U. Uudeksi integroitavaksi

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Riikka Kangaslampi Versio 2. 2 Esipuhe Tämä on Aalto-yliopiston Matematiikan ja systeemianalyysin laitoksen kurssin ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 tueksi

Lisätiedot

(d) f (x,y,z) = x2 y. (d)

(d) f (x,y,z) = x2 y. (d) BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 2, Kevät 2017 Tässä harjoituksessa ja tulevissakin merkitään punaisella tähdellä sellaisia tehtäviä joiden tyyppisten osaamattomuus tentissä/välikokeessa

Lisätiedot

(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi

(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 17 1. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( k ) + 5 k, b) k 1 x 5 dx, e) ( ln(k + 1) k ), c) k 1 cos(πx) dx, f) k e x dx, 1 k e k k kx dx.. Olkoon

Lisätiedot

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot