Kopulafunktiot. Joonas Ollila 12. lokakuuta 2011

Transkriptio

1 Kopulafunktiot Joonas Ollila 12. lokakuuta 2011 Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

2 Kopula-sanan alkuperä Kopula tarkoittaa alun perin riippuvuutta kahden lauseenjäsenen välillä. lat. copula = side, yhdysside Kopulafunktio kuvaa jakaumafunktioiden välistä riippuvuussuhdetta.

3 Esityksen rakenne Kopulafunktion määritelmä Erilaisia kopulafunktioita Kopulafunktioiden simulointi Kotitehtävät

4 Kopulafunktioiden matematiikkaa

5 Kopulafunktiot: määritelmä Kopulafunktio on moniulotteinen kertymäfunktio : 0,1 0,1, jonka reunajakaumat ovat tasajakaumia (Uniform(0,1)) ja 2. Kaksiulotteisessa tapauksessa tämä tarkoittaa, että 0, =, 0 = 0, kaikille, [0,1]. 1, = ja,1 = kaikille, [0,1]. Olkoot < ja < mielivaltaisia pisteitä välillä 0,1. Tällöin,, +,, 0.

6 Sklarin lause Olkoon kertymäfunktio, jonka reunajakaumat ovat,,,. Tällöin on olemassa kopula siten, että kaikille,,,,, =,,. Myös käänteinen toteamus pätee, eli jos on kopula ja,, yksiulotteisia kertymäfunktioita niin on moniulotteinen kertymäfunktio, jonka reunajakaumat ovat,,.

7 Kopulafunktioiden ylä- ja alarajat Kaikille kopulafunktioille pätee max 1+,0 min {,, }. Näitä ylä- ja alarajoja kutsutaan Fréchet tai Fréchet- Hoeffding -rajoiksi. Yläraja saavutetaan komonotonisella kopulafunktiolla.

8 Komonotonisuus, vastamonotonisuus Komonotonisuus = täydellinen riippuvuus =, monotonisesti kasvava ja = 2,, toteuttaa yhtälön,, = min {,, }. Vastamonotonisuus = täydellinen negatiivinen riippuvuus (tapaus d=2) =, monotonisesti vähenevä, toteuttaa yhtälön, = max { + 1,0}.

9 Lyhyesti metajakaumista, esimerkki Otetaan (, ), tämän reunajakaumat,, ovat normaalijakaumia. Yhteisjakauma (, ) saadaan reunajakaumista Gauss-kopulan avulla, =,,. Meta-normaalijakauma,, saadaan Gauss-kopulan avulla, nyt reunajakaumat eivät ole samat kuin aikaisemmin.

10 Erilaisia kopulafunktioita

11 Alkeiskopulafunktioita Riippumaton kopula:,, = Komonotoninen kopula:,, = min {,, } Vastamonotoninen kopula kaksiulotteisessa tapauksessa (countermonotonicity):, = max + 1,0

12 Implisiittisiä kopulafunktioita Eli kopulafunktioita, jotka liittyvät johonkin tunnettuun moniulotteiseen jakaumaan. Gauss-kopula: =,,,,. Student t -kopula on toinen esimerkki tällaisesta kopulafunktiosta.

13 Eksplisiittisiä kopulafunktioita Eli kopulafunktioita, joille on olemassa eksplisiittinen lauseke. Esim. kaksiulotteinen Gumbel-kopula:, = exp ln + ln, [1, )

14 Kopulafunktioiden simulointi

15 Kopulafunktiot: simuloinnin aputuloksia Kvantiilimuunnos: Olkoon (0,1) ja. Tällöin () siten, että =. Todennäköisyysmuunnos: Olkoon, jatkuva. Tällöin (0,1). Tämä johtaa siihen, että = = =.

16 Reunajakaumien simulointi Otetaan tasajakautuneita satunnaismuuttujia 0,1. Oletetaan että tunnetaan funktioiden,, käänteisfunktiot,,. Simuloidaan reunajakaumista realisaatioita,, =,, (kvantiilimuunnos)

17 Yhteisjakauman simulointi Simuloidaan reunajakaumista realisaatioita,, Simuloidaan yhteisjakaumasta,, =,, havaintoja (Sklarin lause). Todennäköisyysmuunnoksen periaatteen mukaisesti voidaan yhtä hyvin ottaa 0,1 realisaatioita,, ja saadaan niillä yhteisjakaumasta havaintoja,, =,,

18 Yhteisääriarvot (tail dependence) Annetuilla reunajakaumilla voidaan muuttaa jakaumien välistä riippuvuutta (kopula) siten, että saadaan yhteisiä ääriarvoja. Eli muutetaan :tä lausekkeessa,,

19 Yhteisääriarvot (tail dependence) Reunajakaumat N(0,1), korrelaatio 0.7

20 Kotitehtävät

21 Kotitehtävä 1 Olkoon (0,1) ja (2,10). Eli =, [0,1] ja =1, [10, ). Näiden kahden satunnaismuuttujan yhdistetty kertymäfunktio on, = (, ) jollain kopulafunktiolla. Mitä voidaan sanoa todennäköisyydestä (0.5,20)? Vinkki: Katso Fréchet-rajoja.

22 Kotitehtävä 1, ratkaisu 0.5 = 0.5, 20 =1 = 0.5,20 = 0.5,20 = 0.5,0.75 Fréchet-rajat: max + 1,0, min, Eli 0.5, ,0.5

23 Kotitehtävä 2 Tunnetaan, = exp Osoita että tämän kopulafunktio on, = exp [ log + log ]. ;, 0; 1. Vinkki:, =,, laske siis reunajakaumat ja.

24 Kotitehtävä 2, ratkaisu Reunajakaumat,0 = 0, = exp 0 exp Eli = exp ja = exp Näiden käänteisfunktiot ovat = = log. = Yhteisjakauman kopulafunktio saadaan siis laskemalla, =, = exp log + log