1 Kertausta geometriasta

Transkriptio

1 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x x x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuria, joten suunnikkaassa on kaksi 65 :n kulmaa ja kaksi x kulmaa. Suunnikkaan kulmien summa on 360, joten voidaan laskea: x x x x 30 : x 115

2 c) Tasakylkisen kolmien kantakulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiossa on kaksi x kulmaa. Kolmion kulmien summa on 180, joten voidaan laskea: x x x x 140 : x 70 d) Tasakylkisen puolisuunnikkaan kantakulmat ovat keskenään yhtä suuria, samoin kannan vastaiset kulmat, joten puolisuunnikkaassa on kaksi 15 :n kulmaa ja kaksi x kulmaa. Tasakylkisen puolisuunnikkaan kulmien summa on 360, joten voidaan laskea: x x x x 110 : x 55

3 . Kolmio BC on tasakylkinen kolmio. Tasakylkisen kulmien summa on C α B Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan α

4 Tarkastellaan tasakylkistä kolmiota EDC. 55 D b 55 C β 55 α E B Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan b. b b b 70

5 Tarkastellaan kolmiota DBC. 55 D b 55 C β 55 α α 1 E B Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä β

6 3. a) Piirretään suunnikas BCD. D α γ C β B Tarkastellaan suunnikkaan sisällä olevaa tasasivuista kolmiota ED. D α γ C β E B Tasasivuisen kolmion kulmat ovat yhtä suuret. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan α :3 60 Tarkastellaan suunnikasta BCD. Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret. D α γ 60 C 60 E β B

7 Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä β : 10 Nyt voidaan laskea γ

8 b) Piirretään suorakulmainen kolmio BC. B 30 β C Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä β Tarkastellaan suorakulmaisen kolmion sisällä olevaa tasasivuista kolmiota BDE. B 30 D α E β C

9 Tasasivuisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan α Kulma γ ja kulma x muodostavat oikokulman. B 30 D α x γ E β C Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan γ. x 180 x

10 4. a) Merkataan kantakulmia α:lla, tällöin huippukulmaa kuvaava lauseke on 30. Kolmion kumien summa on 180. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan α : 3 50 Kantakulmat ovat 50 ja huippukulma on b) Merkataan suorakulmaisen kolmion teräviä kulmia x ja 7x. Suorakulmaisessa kolmiossa yksi kulma on 90. Kolmion kulmien summa on 180. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x. x 7x x 7x x 90 :9 x 10 Terävät kulmat ovat 10 0 ja

11 5. a) Muodostetaan yhtälö ratkaistaan siitä x. 3x 4x 5x 48cm 1x 48cm :1 x 4cm Sivut ovat 3 4cm 1cm, 44cm 16cmja 5 4cm 0cm. b) Kolmion pinta-ala voidaan laskea kaavalla: kanta korkeus 16cm 1cm 96cm.

12 6. a) Merkataan kolmion lyhyempää kateettia kirjaimella x, tällöin pidempää kateettia kuvaa lauseke x + 7 cm. Muodostetaan piirin yhtälö ja ratkaistaan x. x ( x 7 cm)+13cm 30 cm x x 30 cm 7 cm 13cm x 10cm : x 5cm Kateettien pituudet ovat 5 cm ja 5 cm + 7 cm = 1 cm.

13 b) Kolmion pinta-ala on 4,0 cm. Muodostetaan pinta-alan avulla yhtälö ja ratkaistaan se. x x ( x 7) 4 x ( x 7) 8 x 7x 8 7x 8 0 x ( 8) 7 81 x x x 1 tai x 8 Koska sivun pituus on aina positiivinen, x = 1 (cm). Kateettien pituudet ovat 1 cm ja 1 cm + 7 cm = 8 cm.

14 7. a) Tasakylkisen kolmion kylkien pituudet ovat yhtä suuret. Merkataan sivun pituutta kirjaimella x, tällöin kantaa kuvaa lauseke x + 3 cm. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x x ( x 3cm) 18cm x x x 18cm 3cm 3x 15cm :3 x 5cm Kolmion sivut ovat 5 cm, 5 cm ja 5 cm + 3cm = 8cm. b) Merkataan kannan pituutta kirjaimella x, tällöin korkeus on 6x. Muodostetaan pinta-alan avulla yhtälö ja ratkaistaan se. x (6 x) 1 x 6 4 :6 x 4 x Koska kannan pituus on aina positiivinen, x = (cm). Korkeus on 6 cm 1cm.

15 8. Merkataan erisuuntaisia sivuja 3x ja 4x. Muodostetaan piirin yhtälö ja ratkaistaan siitä x. 3x 4x 3x 4x 4cm 14x 4 cm :14 x 3cm Suorakulmion erisuuntaiset sivut ovat: 33cm 9cm 4 3cm 1cm Lasketaan suorakulmion pinta-ala. 9cm 1cm 108cm.

16 9. Merkataan suorakulmion lyhyempää sivua kirjaimella x, tällöin pidempää sivua kuvaa lauseke x + cm. Muodostetaan pinta-alan avulla yhtälö ja ratkaistaan se. x x x 35 x 35 0 x 1 x 4 1 ( 35) x 1 1 x 5 tai x 7 Koska sivun pituus on aina positiivinen, x = 5 (cm). Pidemmän sivun pituus on tällöin 5 cm + cm. Lasketaan piiri. 5 cm 7 cm 5 cm 7 cm 4 cm

17 10. a) Tasakylkisen puolisuunnikkaan kantakulmat ovat yhtä suuria, samoin kannan vastaiset kulmat. Merkataan kantakulmia kirjaimella x, tällöin kannan vastaisia kulmia kuvaa lauseke x + 0. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x. x x ( x 0 ) ( x 0 ) 360 x x x x x 30 : 4 x 80 Kantakulmat ovat 80 ja kannan vastaiset kulmat ovat = 100. b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuria. Merkataan kulmia 4x ja 5x. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x. 4x 5x 4x 5x x 360 :18 x 0 Suunnikkaan kulmat ovat ja

18 11. Merkataan korkeutta kirjaimella h. Muodostetaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan sen avulla korkeus h h 30 : 4 8 h :30 h h 5 1 Tasakylkisen puolisuunnikkaan korkeus on 5 cm.

19 1. Merkataan yhdensuuntaisia sivuja x ja 3x. Muodostetaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x 3x : 3 x 3x 1: 4x 1 3 4x 8 :4 x (cm) Yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat cm ja 3cm 6cm.

20 13. a) α b) α c) α

21 14. a) B C b) a c B b C

22 15. a) B C b) B C

23 c) B C d) C B

24 16. a) B h C b) B h C

25 c) B h C d) C B h

26 17. a) h b) h c)

27 18. a) Lasketaan liikkeen aurinkosuojan pinta-ala. 3,6 3,1 5,58 (m ) Lasketaan liikkeen B aurinkosuojan pinta-ala.,8 4, 5,88 (m ) Nyt voidaan laskea, kuinka paljon liikkeen B aurinkosuojan pinta-ala on suurempi kuin liikkeen aurinkosuojan pinta-ala. 5,88 5,58 0, ,4 % 5,58 Liikkeen B aurinkosuoja varjostaa 5,4 % suuremman pinta-alan verrattuna liikkeen aurinkosuojaan.

28 b) Merkataan liikkeen B aurinkosuojan toista kateettia kirjaimella x. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x.,8 x 5,58 x 3, x 4,0 Toisen kateetin tulisi olla 4,0 m pitkä.

29 19. Lasketaan yhden puolisuunnikkaan pinta-ala. 15,0 7,0 6,0 66 (m ) 1 Lasketaan yhden tasasivuisen kolmion pinta-ala. 8,0 6,0 4 (m ) Nyt voidaan laskea koko katon pinta-ala. 66 m 4 m 180 m 1 Koska tiiliä tilataan 5 % katon pinta-alaa suuremmalle määrälle, kerrotaan tämä vielä prosenttikertoimella 1, m 1, m Nyt voidaan laskea kuinka paljon 189 m kattotiiliä tulee maksamaan. 189 m 9, 0 /m 1738,8 1739

30 0. a),5 km = 500 m. Lasketaan nurmialueen piiri. p 335 m 40 m 335 m 40 m 750 m Merkataan kierroksien määrää kirjaimella x. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x. 750 x 500 x 3, Nurmialue tulee kiertää vähintään 4 kertaa, jotta kävelymatkan pituus olisi yli,5 km. b) Lasketaan nurmialueen pinta-ala. 335 m 40 m m 134 a Lasketaan, kuinka paljon siemeniä tarvitaan nurmikon kylvämiseen. 134 a 1,8 kg/a 41, kg 40 kg Siemeniä tarvitaan 40 kg.

31 1. Kuvan kolmio BC on tasakylkinen kolmio, koska kolmion sivut ovat yhtä pitkät. Tasakylkisessä kolmiossa kantakulmat ovat yhtä suuret. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan α : 71 Kolmion sisällä on tasakylkinen puolisuunnikas. Tasakylkisen puolisuunnikkaan kantakulmat ovat keskenään yhtä suuria, samoin kannan vastaiset kulmat. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan β : 109

32 . a) Tasakylkisen kolmion kyljet ovat yhtä pitkiä. Merkataan kolmion kyljen pituutta kirjaimella x. Muodostetaan piirin yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x x ( x 4) 64 x x x x 60 :3 x 0 (cm) Kolmion kyljet ovat 0 cm ja kolmion kanta on 0 cm + 4 cm = 4 cm. b) Merkataan kolmion korkeutta kirjaimella h. Muodostetaan panta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä h. 4 h 4 19 : 4 h 19 : h 19 4 h 16 (cm)

33 3. Merkataan tasakylkisen puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituuksia x ja 5x. Koska puolisuunnikkaan korkeus on yhtä pitkä kuin lyhyempi yhdensuuntaisista sivuista, merkataan sitäkin kirjaimella x. Muodostetaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x 5x x 1 6x x 4 6x 4 :6 x 4 x Koska pituus on aina positiivista, x =. Puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat cm ja 5 cm 10cm.

34 4. a) h B C b) B h C

35 c) B C h D d) D C h 60 B

36 5. Magneettitaulun leveys on 180 cm = 1,80 m ja korkeus 110 cm = 1,10 m. Lasketaan magneettitaulun pinta-ala. 1, 80 m 1,10 m 1, 98 m Koska magneettitaulu maalataan kolmeen kertaan, niin maalia tulee ostaa 31,98m 5,94m pinta-alalle. Litralla saadaan maalattua 1,4 neliömetriä. Lasketaan, kuinka monta litraa magneettimaalia menee yhteensä. 5,94 m 1, 4 m / l 4,485...l Koska maalia myydään 0,5 litran purkissa purkkeja tulee ostaa 4,485...l 8, kpl. 0,5l Lasketaan kuinka paljon 9 purkkia maalia maksaa. 5, ,10 Maalaamista varten ostettava magneettimaali maksaa 476 euroa.

37 1. Ympyrä 6. a) 4 8 b) c)

38 7. a) Kun halkaisijan pituus on 14, säteen pituus on 14 : 7. Ympyrän pinta-ala on b) Kun halkaisijan pituus on 1, säteen pituus on : Ympyrän pinta-ala on c) Kun halkaisijan pituus on, säteen pituus on :. 4 3 Ympyrän pinta-ala on

39 8. a) Lasketaan ympyrän kehän pituus. p 10 0 Lasketaan ympyrän pinta-ala b) Merkataan ympyrän sädettä kirjaimella r. Muodostetaan ympyrän pintaalan yhtälö ja ratkaistaan siitä r. r r 36 : 36 r 36 6 Koska pinta-ala on aina positiivista, 6 r. Lasketaan ympyrän halkaisija. 6 1 d r

40 9. O a) O b) B O

41 30. a) 3 b) Lasketaan ympyrän halkaisija säteen avulla. d r 3 c) Kehän pituus on halkaisijan ja piin tulo: p d 6 6 d) Lasketaan ympyrän pinta-ala. 3 r 3 9

42 31. r R

43 3. a) Lasketaan ympyrän kehän pituus. p 13, cm 8, cm 8,9 cm b) Lasketaan ympyrän pinta-ala. (13, cm) 547, cm 547 cm

44 33. a) Lasketaan ensin koko nelikulmion pinta-ala ja vähennetään siitä ympyröiden pinta-ala. Nelikulmion korkeus on 7, cm, joten ympyrän halkaisija on 7, cm. Koska nelikulmion sisällä on kaksi ympyrää, joiden halkaisija on 7, cm, nelikulmion leveys on 7, cm 14,4 cm. Lasketaan nelikulmion pinta-ala. 1 14,4 cm 7, cm 103,68 cm Koska ympyrän halkaisija on 7, cm, ympyrän säde on 7, cm : 3,6 cm. Lasketaan ympyrän pinta-ala. (3, 6 cm) 40, cm Lasketaan molempien ympyröiden pinta-ala. 40, cm 81, cm Nyt voidaan laskea väritetyn alueen pinta-ala ,68 cm 81, cm, cm cm

45 b) Lasketaan ensin koko nelikulmion pinta-ala ja vähennetään siitä ympyröiden pinta-ala. Nelikulmion leveys on 5,0 mm ja kahden ympyrän halkaisija on 5,0 mm, joten ympyrän halkaisija on 5, 0 mm : 1,5 mm. Nelikulmion korkeus on myös kaksi ympyrän halkaisijaa, joten nelikulmion korkeus on myös 5,0 mm. Lasketaan nelikulmion pinta-ala. 1 5,0 mm 5,0 mm 65 mm Ympyrän halkaisija on 1,5 mm, joten ympyrän säde on 1,5 mm : 6, 5 mm. Lasketaan yhden ympyrän pinta-ala. (6,5 mm) 1, mm Lasketaan kaikkien ympyröiden pinta-ala , mm 490, mm Nyt voidaan laskea väritetyn alueen pinta-ala mm 490, mm 134, mm 134 mm

46 34. Kuvio muodostuu neliöstä ja kahdesta puoliympyrästä. Neliön sivun pituus on 3,0 cm ja puoliympyröiden halkaisijat ovat 3,0 cm, joten puoliympyröiden säde on 3, 0 cm : 1,5 cm. Kuvion piiri muodostuu neliön kahdesta sivusta sekä puoliympyröiden kehistä. Lasketaan kahden puoliympyrän eli yhden ympyrän kehän pituus. p1 1,5 cm 9, cm Lasketaan koko kuvion pinta-ala. p p 1 3,0 cm 3,0 cm 15, cm 15 cm Kuvion pinta-ala muodostuu neliöstä ja ympyrästä. Lasketaan ympyrän pinta-ala. 1 (1,5 cm) 7, cm Lasketaan neliön pinta-ala. 3,0 cm 3,0 cm 9,0 cm Nyt voidaan laskea koko kuvion pinta-ala. 1 7, cm 9,0 cm 16, cm 16 cm

47 35. a) Maalauksen halkaisija on 130,8 cm, joten maalauksen säde on 130,8 cm : = 65,4 cm. Lasketaan maalauksen ympärysmitta eli kehän pituus. 65, 4 cm 410, cm 410,9 cm b) Lasketaan maalauksen pinta-ala. (65, 4 cm) , cm cm

48 36. a) Muodostetaan ympyrän kehän yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. r 75 cm r 11, cm Nyt voidaan laskea ympyrän halkaisija. d r 11, cm 3, cm 4 cm b) Nyt kun tiedetään ympyrän säde r, voidaan laskea ympyrän pinta-ala. r (11, cm) 447, cm 450 cm

49 37. Pöydän ympärysmitta eli kehän pituus on 314 cm. Muodostetaan kehän yhtälö ja ratkaistaan siitä r. r 314 cm 314 cm r Nyt voidaan laskea ympyrän pinta-ala. r 314 cm 7846, cm 7850 cm

50 38. Lasketaan kaula-aukon säde ja kauluksen säde. Merkitään kaula-aukon sädettä kirjaimella x ja kauluksen sädettä kirjaimella y. Muodostetaan kaula-aukon kehänpituuden yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x x Muodostetaan kauluksen kehänpituuden yhtälö ja ratkaistaan siitä y. y y Kauluksen leveys lasketaan vähentämällä kaula-aukon säde kauluksen säteestä y x cm cm 50 cm 7, cm 8,0 cm

51 39. a) Merkitään ympyrän säteen pituutta kirjaimella r. Muodostetaan pintaalan yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. r 30 r 30 Koska pituus on aina positiivista, 30 r. Ympyrän halkaisija d on kaksi kertaa pitempi kuin säde. Lasketaan ympyrän halkaisija. d r 30 cm 17, cm 17 cm

52 b) Merkitään ympyrän säteen pituutta kirjaimella r. Muodostetaan pintaalan yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. r 1,6 r 1,6 Koska pituus on aina positiivista, 1,6 r. Ympyrän halkaisija d on kaksi kertaa pitempi kuin säde. Lasketaan ympyrän halkaisija. d r 1,6 cm 4, cm 4,01 cm

53 40. Merkitään ympyrän sädettä kirjaimella r. Muodostetaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä r. r 63,6 r 63,6 Koska pituus on aina positiivista, 63,6 r. Muodostetaan ympyrän kehäpituuden yhtälö ja ratkaistaan se. 63,6 r cm 8, cm 8,3 cm

54 41. Muutetaan Lehtijärven pinta-ala neliökilometreiksi. 700 ha 7 km Merkitään järven sädettä kirjaimella r. Muodostetaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä r. r 7 r 7 Koska pituus on aina positiivista, 7 r. Halkaisija d on kaksi kertaa suurempi kuin säde. Lasketaan halkaisijan pituus. d r, km 3,0 km

55 4. Merkitään ympyrän ja neliön piiriä kirjaimella p. Merkitään neliön sivun pituutta kirjaimella x. Lasketaan neliön sivun pituus. x x x x p x p 4 Lasketaan neliön pinta-ala. neliö p p p x x Merkitään ympyrän sädettä kirjaimella r. Muodostetaan ympyrän kehäpituuden yhtälö ja ratkaistaan r. r p p r Lasketaan ympyrän pinta-ala. p p p ympyrä r 4 4

56 Lasketaan, kuinka paljon neliön pinta-ala on pienempi kuin ympyrän pintaala. ympyrä ympyrä neliö p p 4 16 p , ,15 1,5%

57 b) Lasketaan kuinka paljon ympyrän pinta-ala on suurempi kuin neliön pinta-ala. ympyrä neliö neliö p p 4 16 p , ,73 7,3%

58 43. a) b) 140 c) 30

59 44. a) O b) α O c) b B α O

60 45. B α O

61 46. a) Lasketaan sektorin kaarenpituus. 70,87 b,9 cm 3, cm 3,6 cm 360 Lasketaan sektorin pinta-ala. 70,87 (,9 cm) 5, cm 5, cm 360 b) Lasketaan sektorin kaarenpituus. 300,94 b 1,55 m 8, m 8,14 m 360 Lasketaan sektorin pinta-ala. 300,94 (1,55 m) 6, m 6,31 m 360

62 47. a) Pitsanpalan säde on puolet pitsan halkaisijasta eli 34 cm : 17 cm. Pitsanpalan pinta-ala on 5 (17 cm) 63, cm 63 cm 360 b) Lasketaan pitsanpalan ulkoreunan eli kehänpituus. 5 p 17 cm 7, cm 7, 4 cm 360

63 48. a) Viuhkan pinta-ala on 75 (4 cm) 376, cm 380 cm 360 b) Lasketaan viuhkan ulkoreunan pituus eli sektorin kehänpituus. 75 b 4 cm 31, cm 31 cm 360

64 49. Lasketaan ensin sektorin pinta-ala ja vähennetään siitä suorakolmion pintaala. Koska keskuskulma on suorakulma, se on 90. Lasketaan sektorin pintaala. sektori 90 (13 cm) 13, cm 360 Lasketaan suorakolmion pinta-ala. kolmio 13 cm 13 cm 84,5 cm Nyt voidaan laskea väritetyn alueen pinta-ala. sektori 13, cm 84,5 cm kolmio 48, cm 48 cm

65 50. Lasketaan, kuinka paljon rimaa tarvitaan puoliympyrän alla olevaan nelikulmioon. Nelikulmiossa on 1 x:n suuntaista riman pätkää sekä 10 y:n suuntaista riman pitkää. Lasketaan, kuinka paljon rimaa nelikulmioon tarvitaan. 1x 10y 1 0cm 10 40cm 40cm 400cm 640cm Puoliympyrän säde on x. Puoliympyrässä on kolme säteen pituista rimaa. Lasketaan niiden pituus. x 3 0cm 3 10cm. Puoliympyrässä on käytetty rimaa kahteen kaareen. Pienemmän kaaren säde on x (0 cm) ja puolikaari on oikokulma eli 180. Lasketaan lyhyemmän kaaren pituus. 180 b 1 0 cm 6, cm 360 Suuremman kaaren pituus on x (x 0 cm 40 cm). Lasketaan suuremman kaaren pituus. b cm 15, cm 360 Lasketaan kaikki pituudet yhteen, niin saadaan, kuinka paljon rimaa tarvitaan kyseiseen kaari-ikkunaan. 640 cm 10 cm 6, cm 15, cm 948, cm 948 cm

66 51. Pinta-alan laskemiseen tarvitaan sektorin keskuskulma. Merkitään sitä kirjaimella α. ukon halkaisija on 3,4 cm, eli ananasrenkaan aukon säde on 3, 4 cm : 1, 7 cm. nanasrenkaan säde on aukon säde renkaan leveys 1,7 cm 3, cm 4,9 cm. Koska pienemmän sektorin kaaren pituus ja säteen pituus tunnetaan, α voidaan ratkaista yhtälön avulla. 4, 4 4, , Suuremman sektorin ala on 51, (4,9 cm) 10,78 cm 360 Pienemmän sektorin ala on 51, (1,7 cm) 1, cm 360 Leikatun palan pinta-ala on tällöin 1 10,78 cm 1, cm 9, cm 9,5 cm

67 5. Heittokehän halkaisija on,1 m, joten sen säde on,1 m : 1,05 m. Koska kuulantyönnön pituus mitataan heittoringin etuosasta, putoamisalue on 1,05 m 5 m 6,05 m:n päässä heittokehän keskipisteestä. Lasketaan sektorin pinta-ala. 34,9 1 (6,05 m) 06, m 360 Lasketaan heittoringin sektorin pinta-ala. 34,9 (1,05 m) 0, m 360 Putoamisalueen ala saadaan vähentämällä heittoringin sektorin ala ison sektorin alasta. 1 06, m 0, m 06, m 06 m

68 53. Lasketaan sektorin keskuskulma, merkitään sitä kirjaimella α. 5,5 5, ,95... Lasketaan sektorin pinta-ala. 57,95... (5,5 dm) 15,15 dm 15 dm 360

69 54. Lasketaan sektorin säteen pituus. Merkataan sitä kirjaimella r r 360 r 14, cm Koska pituus on aina positiivista, r 14, cm. Lasketaan sektorin kehänpituus. 65 b 14, cm 16, cm 360 Sektorissa on kaksi sädettä ja ulkokaari, joten paperin piiri on r b (14, cm) 16, cm 46,5... cm 47 cm

70 55. 1 O Lasketaan neliön pinta-ala. neliö 4 Lasketaan ympyrän pinta-ala. ympyrä 1 Lasketaan, kuinka paljon neliön pinta-ala on suurempi kuin ympyrän pintaala. neliö ympyrä ympyrä 4 0, , 7 7 % Neliön pinta-ala on 7 % suurempi kuin ympyrän pinta-ala.

71 56. Muodostetaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä ruokalautasen säde r. r 531 r 531 cm Koska pituus on aina positiivista, 531 r cm. Lautasen halkaisija on 531 d r cm 6, cm 6,0 cm Lasketaan lautasen ympärysmitta. 531 p r cm 81, cm 81,7 cm

72 57. Muodostetaan ympyräsektorin kaaren pituuden yhtälö ja ratkaistaan siitä keskuskulma α. 5,6 (8,0 3,5) 360 8, Lasketaan suuren ympyräsektorin pinta-ala. 8, (8,0 3,5) 3,315 cm 360 Lasketaan pienemmän ympyräsektorin pinta-ala. 8, ,0 15, cm 360 Väritetyn alueen ala saadaan vähentämällä suuren ympyräsektorin alasta pienen ympyräsektorin ala. 1 3,315 cm 15, cm 16, cm 17 cm

73 58. Muodostetaan ympyräsektorin kaaren pituuden yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. 9 5,1 r 360 r 3, m 3,5 m

74 59. CD-levyssä olevan aukon halkaisija on 15 mm, joten sen säde on 15mm : 7,5mm. Lasketaan CD-levyssä olevan aukon pinta-ala. 1 (7,5 mm) 176, mm Lasketaan koko CD-levyn pinta-ala mm 176, mm , mm Muodostetaan CD-levyn pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. r 11306, mm r 11306, mm Koska pituus on aina positiivista, , mm r. Lasketaan CD-levyn halkaisija , mm d r 119, mm 10 mm

75 1.3 varuuskappaleita 60. Suorakulmaisessa särmiössä on kaksi pohjaa ja vaippa. Pohjien pinta-alat ovat pohja 5,0 cm 6,0 cm 30 cm Lasketaan vaipan pinta-alaa varten pohjan piiri p. p 5,0 cm 6,0 cm cm Muodostetaan lieriön pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä korkeus h. lieriö pohja vaippa 104 cm 30 cm ph 104 cm 60 cm cm h 44 cm cm h : cm h 44 cm,0 cm cm

76 61. Merkataan pohjan sivua kirjaimella x, tällöin särmiön korkeus on h x 1. Lasketaan pohjien pinta-ala. x x x pohja Koska pohja on neliö, pohjan piiri on p 4 x 4x. Muodostetaan lieriön pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. lieriö pohja vaippa 10 x 4 x ( x 1) x x x x x Käytetään ratkaisukaavaa x ( 10) 4 56 x x x 1taix Koska pituus on aina positiivista, x 1. Pohjan sivut ovat 1 cm ja särmiön korkeus on 1 cm + 1 cm = cm.

77 6. a) b) c)

78 63. a) b) c)

79 64.

80 65. a) Lasketaan vaipan pinta-alaa varten pohjan piiri. p 4,0cm 8 cm Lasketaan vaipan pinta-ala. p h vaippa 8 cm 7,0cm 175,99... cm 180 cm b) Muutetaan arvot samoiksi yksiköiksi. 3, m = 30 cm. Lasketaan vaipan pinta-alaa varten pohjan piiri. p 46 cm 30 cm 73 cm Lasketaan vaipan pinta-ala. p h vaippa 73 cm 10 cm 730 cm 7300 cm 0,73 m

81 c) Muutetaan arvot samoiksi yksiköiksi. 1,1 m = 110 cm. Lasketaan vaipan pinta-ala. vaippa rs 110 cm 4 cm , cm cm 1,5 m d) Lasketaan vaipan pinta-ala. vaippa 5 cm 75 cm 3 81,5 cm 800 cm 8 dm

82 66. Lasketaan vaipan pinta-alaa varten pohjan piiri. p 3,5 m,5 m 1 m Lasketaan vaipan pinta-ala. vaippa p h 1 m 1,8 m 1,6 m Kasvihuoneen katto muodostuu kahdesta nelikulmiosta. Lasketaan niiden pinta-ala. katto 3,5 m 1,35 m 9,45 m Lasketaan vielä kahden kolmion pinta-ala. kolmiot 0,5 m,5 m 1,5 m Nyt voidaan laskea kaikki pinta-alat yhteen. vaippa katto kolmiot 1,6 m 9,45 m 1,5 m 3,3 m 3 m

83 67. a) Lasketaan lieriön pohjien pinta-alat. pohja (5, cm) 84, cm Lasketaan vaipan pinta-alaa varten pohjan piiri. p 5, cm 3,67... cm Lasketaan lieriön pinta-ala. lieriö pohja vaippa 84, cm 3,67... cm 15 cm 659,98... cm 660 cm b) Lasketaan lieriön pohjien pinta-alat. pohja 43 cm 43 cm 1849 cm Lasketaan vaipan pinta-alaa varten pohjan piiri. p 43 cm 4 17 cm Lasketaan lieriön pinta-ala. lieriö pohja vaippa 1849 cm 17 cm 65 cm cm cm 1,5 m

84 68. Muodostetaan pohjan piirin yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. 75,4 r 75,4 r Lasketaan vaipan pinta-ala. rs vaippa 75,4 3,3 117,71 cm 10 cm

85 69. a) Vaipassa on 4 yhtä suurta tasasivuista kolmiota, joiden kanta on 16,0 cm ja korkeus on 3,0 cm. Lasketaan niiden ala. vaippa ,0 cm 3,0 cm 104 cm 100 cm b) Lasketaan pohjan piiri. p 16,0 cm 16,0 cm 16,0 cm 48 cm Muodostetaan vaipan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä korkeus h. vaippa p h h h 1, cm 1,3 cm

86 70. a) Muodostetaan vaipan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä pohjaympyrän säde r. vaippa rs r 17 dm 4,8 dm r 1,17... dm 1,1 dm b) Merkataan paketin mittoja x, 10x ja 15x. Paketin pohjan piiri on tällöin. p x 10 x 4x Muodostetaan lieriön pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. lieriö pohja vaippa 16 (x 10 x) (4x 15 x) 16 40x 360x x x 0, (dm) Koska pituus on aina positiivista, x 0, dm,0 cm. Muropaketin mitat ovat: x,0 cm 4,0 cm 10x 10,0 cm 0 cm 15x 15,0 cm 30 cm

87 71. Muutetaan arvot samoiksi yksiköiksi. 1,5 dm 150 cm Kartion pohjan halkaisija on 6,0 cm, joten sen halkaisija on 6,0 cm : = 3,0 cm. Muodostetaan kartion vaipan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä kartion sivujanan s pituus. vaippa rs 150 3,0 s s 15, cm 16 cm

88 7. Merkataan leivoslaatikon pohjan sivua kirjaimella x. Tällöin korkeus on (1 0,6) x 0, 4x. Lasketaan pohjan pinta-ala. x x x pohja Lasketaan pohjan piiri vaipan pinta-alaa varten. p 4 x 4x Muodostetaan leivoslaatikon pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. pohja vaippa x x x,6 4 0, 4 x 1 (dm) Koska pituus on aina positiivinen, x 1 dm. Laatikon leveys on 1 dm = 10 cm.

89 73. Merkitään pohjasärmää 4x ja sivutahkon korkeutta 7x. Lasketaan pohjan pinta-ala. pohja 4x 4x 16x Pyramidin vaippa koostuu 4 yhtä suuresta kolmiosta. Lasketaan vaipan pinta-ala. 1 vaippa 4 4x 7x 56x Kun pyramidin kokonaispinta-ala on 59 cm, saadaan yhtälö 59 16x 56x x 6 (cm) Koska pituus on aina positiivista, x 6 cm. Sivutahkon korkeus on 7 6 cm 4 cm.

90 74. Lasketaan sivujanan pituus s 180 ympyräsektorin pinta-alasta. 6, s 6,90 s, ,10 (dm) Koska pituus on aina positiivista, s,10 dm. Nyt voidaan laskea ympyräkartion pohjan säde r ympyräkartion vaipan pinta-alan yhtälöstä. rs 6,9,10 r r 1, r 1, 05 (dm)

91 75. a) Lasketaan suoran lieriön tilavuus. V h p (3,0) 6,0 169, cm 3 b) Lasketaan suoran särmiön tilavuus. V h p cm 1 dm 3 3 c) Lasketaan kartion tilavuus. p h V 3 4, , cm 3

92 d) Lasketaan pyramidin tilavuus. p h V , cm 6,5 dm 3 3

93 76. a) Lasketaan pallon tilavuus. 4 3 V r (6,8) , cm cm 1,3 dm 1,3 l 3 b) Pallon halkaisija d on 16,0 cm, joten pallon säde r on d r d 16,0 cm r 8 cm Lasketaan pallon tilavuus. 4 3 V r (8,0) 3 144, cm cm,1 dm,1 l 3

94 77. Helmen säde voidaan ratkaista helmen ympärysmitan avulla. Merkitään helmen sädettä kirjaimella r. r,4 r 0, (cm) Lasketaan yhden helmen tilavuus. V 4 3 r 3 4 (0, cm) 3 3 0, cm 3 Pallon tiheys ρ lasketaan massan m ja tilavuuden V avulla. m V Jos tilavuus ja tiheys tunnetaan, massa saadaan näiden tulona. m V Lasketaan 34 samankokoisen helmen massa. m 34 V 34,8 g/cm 0, cm,38... g g 3 3

95 78. Kuun halkaisija d on km, joten Kuun säde r on d r d 3474 r 1737 (km) Lasketaan Kuun tilavuus. 4 3 V r (1737 km) 3, km 10 3 Maan halkaisija d on km, joten Maan säde on d r d r 6378 (km) Lasketaan Maan tilavuus. V 4 3 r (6378 km) 3 1, km 1 3

96 Lasketaan, kuinka paljon Kuun tilavuus on Maan tilavuudesta. V V 1, km, km 1 3 V 1, km maa kuu 1 1 maa 0, ,00,0 %

97 79. Jäätelöpallon tilavuus on 1,0 dl = 0,1 l = 0,1 dm 3 = 10 cm 3. Jäätelöpallon säde voidaan ratkaista tilavuuden avulla. Merkitään jäätelöpallon sädettä kirjaimella r r 3 r 3, cm Lasketaan pallon pinta-ala. 4 r 4 (3, cm) 117, cm 118 cm

98 80. Muutetaan arvot desimetreiksi. 7,0 mm = 0,07 dm 4,5 m = 45 dm 3,7 m = 37 dm Lasketaan veden määrä. 3 3 V 45 dm 37 dm 0,07 dm 116,55 dm 117 dm 117 l

99 81. 1 m 1 m 5 m 3 m Lasketaan ensin suora särmiön muotoinen alue, jonka mitat ovat 1 m 1 m 5 m. 3 3 V1 1 m 1 m 5 m 300 m dm Lasketaan jäljelle jäänyt kolmiomuotoisen lieriön tilavuus. 1 V p h m 5 m 1 m 300 m dm 3 3 Lasketaan tilavuudet yhteen. V V dm dm dm l

100 8. Lasketaan ensin harjakaton tilavuus. Harjakattoinen talo muodostuu suorasta särmiöstä sekä kolmion muotoisesta lieriöstä. Lasketaan särmiön tilavuus. 3 V1,0 m 14,0 m 3,0 m 985,6 m Kolmiomuotoisen lieriön korkeus on 4,8 m 3,0 m = 1,6 m, leveys on 14 m ja syvyys on m. Lasketaan tämän tilavuus. 1 V 1,6 m 14 m m 49,48 m 3 Lasketaan harjakattoisen talon tilavuus. V V V harjakattoinen 1 985,6 m 49,48 m 135,08 m Lasketaan tasakattoisen talon tilavuus. 3 Vtasakattoinen,0 m 14,0 m 4,8 m 1 484,56 m

101 Lasketaan, kuinka monta prosenttia suurempi on tasakattoinen talon tilavuus harjakattoiseen talon tilavuuteen verrattuna. V tasakattoinen V V harjakattoinen harjakattoinen 1 484,56 m 1 35,08 m ,08 m 0, ,0 0,% 3 3

102 83. Paperirullan poikkileikkaus muodostuu kahdesta sisäkkäisestä ympyrästä. Pienemmän ympyrän säde on 4,5 cm : =,5 cm. Suuremman ympyrän säde on 1 cm : = 6,0 cm. Paperirulla on muodoltaan ympyrälieriö. Lieriön korkeus on sama kuin paperirullan leveys (3,0 cm). V paperirulla (6,0 cm) 3,0 cm = 601,38... cm 3 Myös paperirullan ontto sisäosa on suora ympyrälieriö, jonka korkeus on 3,0 cm. V sisäosa (,5 cm) 3,0 cm 365, cm 3 Paperirullan paperiosan tilavuus on V paperirulla V 601, cm 365, cm sisäosa , cm 00 cm, dm 3 3 3

103 84. Lautasliinarenkaan poikkileikkaus muodostuu kahdesta sisäkkäisestä ympyrästä. Pienemmän ympyrän säde on 3, cm : = 1,6 cm Suuremman ympyrän säde on 1,6 cm +,0 mm = 1,6 cm + 0, cm = 1,8 cm Lautasliinarengas on muodoltaan ympyrälieriö. Lieriön korkeus on 1,5 cm. V lautaliinarengas (1,8 cm) 1, 5 cm 15, cm 3 Myös lautasliinarenkaan ontto sisäosa on suora ympyrälieriö, jonka korkeus on 1,5 cm. V sisäosa (1, 6 cm) 1,5 cm 1, cm 3 Hopeisen renkaan tilavuus on V lautasliinarengas V 15,68... cm 1, cm sisäosa 3, cm Lautasliinarenkaan tiheys ρ lasketaan massan m ja tilavuuden V avulla. m V

104 Jos tilavuus ja tiheys tunnetaan, massa saadaan näiden tulona. m V Lasketaan lautasliinarenkaan massa. m 10,5 g/cm 3, cm , g 34 g

105 85. Koristeena olevan pallon säde on 3,0 mm = 0,3 cm ja tilavuus on V pallo 4 (0,3 cm) 3 3 0, cm 3 Sormuksen poikkileikkaus muodostuu kahdesta sisäkkäisestä ympyrästä. Pienemmän ympyrän säde on,0 cm : = 1,0 cm. Suuremman ympyrän säde on, cm : = 1,1 cm. Sormus on muodoltaan ympyrälieriö, jonka korkeus on sormuksen leveys 5,0 mm = 0,5 cm. V sormus (1,1 cm) 0, 5 cm 1, cm 3 Myös sormuksen ontto sisäosa on ympyrälieriö, jonka korkeus on 0,5 cm. V sisöosa (1, 0 cm) 0,5 cm 1, cm 3 Sormuksen tilavuus on V V V 0, cm 1, cm 1, cm pallo sormus sisäosa 0, cm

106 Sormuksen tiheys ρ lasketaan massan m ja tilavuuden V avulla. m V Jos tilavuus ja tiheys tunnetaan, massa saadaan näiden tulona. m V Lasketaan sormuksen massa. m 4,54 g/cm 0, cm 3 3, g,0 g

107 86. Merkitään särmiön pohjan lyhyempää särmää kirjaimella x, jolloin pidempi särmä on x 3. Muodostetaan särmiön tilavuuden yhtälö ja ratkaistaan siitä x. V x ( x 3) x 36 x x 6, tai x 3, Pituus on aina positiivista, joten x 3, ,3 (cm). Särmiön pohjan lyhyempi särmä on 3,3 cm ja pidempi särmä on 3,3 cm + 3,0 cm = 6,3 cm.

108 87. Lasin tilavuus on 1,8 dl = 0,18 l = 0,18 dm 3 = 180 cm 3. Merkitään kartion korkeutta kirjaimella x, jolloin pohjaympyrän säde on x 1, 5 : 0, 75x. Muodostetaan ympyräkartion tilavuuden yhtälö ja ratkaistaan siitä x. 1 (0,75 ) , x V x x x 6, cm 6,7 cm

109 88. Merkitään lasin alaosan kartion pohjaympyrän sädettä kirjaimella x, jolloin yläosan säde on x. laosan pinta-ala on alaosa x 5, 4 16,964 x... cm Yläosan pinta-ala on 1 yläosa 4 ( x ) 5,13 x... cm Muodostetaan lasin pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä x , x 5,13... x x, cm tai x, cm Koska pituus on aina positiivista, x, cm. laosan kartion halkaisija on x, cm 4, cm. Yläosan halkaisija on 4, cm 8, cm 8, 9 cm.

110 89. Piirretään tilanteesta havainnollistava kuva. r Purkissa olevien kuulien säde on sama kuin ympyrälieriön pohjan säde ja ympyrälieriön korkeus on 4r. Kuulien tilavuus on 4 8 Vkuulat r r Ympyrälieriön tilavuus on V h lieriö p r 4 r 4r 3 Kuulien tilavuus koko rasian tilavuudesta on V V kuulat lieriö r 3 3 0, ,66...% 67% 3 4 r 4

111 90. Vesikourun säde on 1,5 cm : = 6,5 cm ja sen pinta-ala on 1 (6, 5 cm) 61, cm 0, dm 5 min 5 60 s 300 s Kun tiedetään aika ja nopeus, voidaan laskea matka. matka nopeus aika Vesi liikkuu viidessä minuutissa matka 0,09 m/s 300 s 7 m 70 dm 70 dm:n pitkän vesikourun tilavuus on V h 3 3 p 0, dm 70 dm 165, dm 166 dm 166 l

112 91. lustan pinta-ala on alusta 1 m 1 m 144 m Lasketaan särmiön piiri vaipan pinta-alaa varten. psärmiö 1,0 m 1,0 m 1,0 m 1,0 m 4,0 m Särmiön vaipan pinta-ala on särmiö p h 4,0 m 6,3 m 5, m Teoksen pinta-ala on alusta m 4 5, m 44,8 m 45 m vaippa

113 9. Muutetaan arvot samoiksi yksiköiksi.,40 m = 4,0 dm 6,50 m = 65,0 dm 10,0 cm = 1,00 dm Betonipohjan tilavuus on 3 V 4,0 dm 65,0 dm 1,00 dm 1560 dm Betonin tiheys ρ lasketaan massan m ja tilavuuden V avulla. m V Jos tilavuus ja tiheys tunnetaan, massa saadaan näiden tulona. m V 3 3 m 1,50 kg/dm 1650 dm 340 kg

114 93. a) Lasketaan ensin ympärysmitaltaan 68 cm olevan pallon pinta-ala ja tilavuus. Muodostetaan pallon kehän pituuden yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. 68 cm r r 10,8... cm Pallon pinta-ala on 1 4 (10,8... cm) 1471, cm 1470 cm 14,7 dm Pallon tilavuus on V (10,8 cm) 5309, cm 5310 cm 5,31 dm 3 Lasketaan ympärysmitaltaan 70 cm olevan pallon pinta-ala ja tilavuus. Muodostetaan pallon kehän pituuden yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. 70 cm r r 11, cm Pallon pinta-ala on 4 (11, cm) 1559, cm 1560 cm 15,6 dm

115 Pallon tilavuus on V 4 (11, cm) 579, cm 5790 cm 5,79 dm Pallon pinta-ala vaihtelee välillä 14,7 dm 15,6 dm. Pallon tilavuus vaihtelee välillä 5,31 dm 3 5,79 dm 3. b) Lasketaan kuinka paljon suurempi on suurimman sääntöjen mukaisen pallon tilavuus pienimpään sääntöjen mukaiseen palloon verrattuna. V V V ,79... dm 5, dm 3 0, ,091 9,1 % 5, dm

116 94. Mittariin on satanut vettä 0,50 dl = 0,05 l = 0,05 dm 3 = 50 cm 3. Mittarin pohjan halkaisija on 4,5 cm, joten pohjan säde on 4,5 cm : =,5 cm. Merkataan lieriön korkeutta kirjaimella x. Muodostetaan lieriön tilavuuden yhtälö ja ratkaistaan siitä x. V h p 50 cm (, 5 cm) x x 3, cm x 3,1 cm 31 mm

117 95. Merkataan kartion pohjaympyrän sädettä kirjaimella x, jolloin kartion korkeus on x + cm. Muodostetaan kartion tilavuuden yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x 3 V 35 x p h 3 x x 3 ( ) ( ) x, (cm),7 cm Kartion korkeus on,7 cm +,0 cm = 4,7 cm.

118 96. Lasketaan ensin koko kartion tilavuus, sen jälkeen lasketaan pienen kartion tilavuus. Lasin tilavuus on kartioitten erotus. Piirretään tilanteesta havainnollistava kuva. 8,0 cm 6,5 cm 15 cm 4,5 cm 15 cm 6,5 cm = 8,5 cm Suuren kartion pohjan säde on 8,0 cm : = 4,0 cm. Suuren kartion tilavuus on V1 3 (4,0 cm) 15 cm 51,37... cm 3

119 Pienen kartion pohjan säde on 4,5 cm : =,5 cm. Pienen kartion tilavuus on V (,5 cm) 8,5 cm 45,06... cm 3 3 Lasin tilavuus on 3 3 V V 51,37... cm 45,06... cm ,65... cm 10 cm 0,1 dm 0,1 l,1 dl