Elliptisen osittaisdifferentiaalioperaattorin ominaisarvo-ongelmasta. Jukka Pommelin
|
|
- Sinikka Aaltonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Elliptisen osittaisdifferentiaalioperaattorin ominaisarvo-ongelmasta Jukka Pommelin 26. toukokuuta 2014
2 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS NIVERSITET NIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Jukka Pommelin Työn nimi Arbetets titel Title Matematiikan ja tilastotieteen laitos Elliptisen osittaisdifferentiaalioperaattorin ominaisarvo-ongelmasta Oppiaine Läroämne Subject Matematiikka Työn laji Arbetets art Level Aika Datum Month and year Sivumäärä Sidoantal Number of pages Pro gradu -tutkielma Toukokuu Tiivistelmä Referat Abstract Tämä pro gradu -työ käsittelee toisen asteen elliptisiä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä sekä näiden ominaisarvo-ongelmia. Työssä määrittelemme aluksi Sobolev-avaruudet, joissa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisuja on luonnollista tutkia. Käymme läpi Sobolev-avaruuksien perusominaisuuksia ja todistamme muun muassa, että Sobolev-avaruus W k,p on Banach-avaruus. Luvun 2 lopuksi esitellään kompaktit upotukset ja kompaktit operaattorit sekä näihin liittyviä tunnettuja lauseita ja tuloksia, joista tärkeimmät ovat Rellich-Kondrachovin upotuslause sekä Fredholmin alternatiivi. Luvussa 3 tarkastellaan elliptisiä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä yleisesti. Määrittelemme yhtälön heikot ratkaisut ja todistamme heikon ja vahvan maksimiperiaatteen elliptiselle osittaisdifferentiaaliyhtälölle. Tämän jälkeen tutkimme, millaisilla ehdoilla yhtälöllä on olemassa ratkaisuja ja milloin ratkaisu on yksikäsitteinen. Yksikäsitteisyystodistuksissa hyödynnetään Lax-Milgramin teoriaa. Todistettuamme ratkaisujen olemassaoloa käsittelevän Lauseen 3.50 saamme syyn tutkia differentiaalioperaattorin spektriä, ominaisarvoja sekä ominaisfunktioita. Työn tärkeimmät tulokset ovat Luvussa 4, jossa todistetaan sekä symmetrisen että ei-symmetrisen operaattorin ominaisarvoja sekä ominaisfunktioita koskevia tuloksia. Avainsanat Nyckelord Keywords Elliptinen osittaisdifferentiaaliyhtälö, ominaisarvo, ominaisfunktio Säilytyspaikka Förvaringsställe Where deposited Kumpulan tiedekirjasto Muita tietoja Övriga uppgifter Additional information
3 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Sobolev-avaruudet Merkintöjä ja määritelmiä Sobolev-avaruudet Tunnettuja lauseita ja tuloksia Kompaktit upotukset ja kompaktit operaattorit Toisen asteen elliptiset yhtälöt Elliptiset yhtälöt Heikot ratkaisut Maksimiperiaatteita Heikkojen ratkaisujen olemassaolo Elliptisen operaattorin ominaisarvo-ongelma Symmetrisen elliptisen operaattorin ominaisarvot Ei-symmetrisen elliptisen operaattorin ominaisarvot i
4 Luku 1 Johdanto Tämä pro gradu -työ käsittelee toisen asteen elliptisiä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä sekä näiden ominaisarvo-ongelmia. Tarkastelut perustuvat pääasiassa Lawrence C. Evansin osittaisdifferentiaaliyhtälöiden kirjaan [Eva98]. seita Evansin kirjasta otettujen lauseiden todistuksia on täydennetty luettavuuden parantamiseksi. Lukijalta odotetaan tuntemusta mitta- ja integrointiteorian perusteista sekä funktionaalianalyysista. Aloitamme määrittelemällä multi-indeksit ja heikot derivaatat sekä Sobolev-avaruudet, joissa osittaisdifferentiaaliyhtälömme ratkeavuutta on mielekästä tarkastella. Tämän jälkeen käymme läpi jatkon kannalta oleellisia lauseita ja tuloksia ennen siirtymistä varsinaisiin elliptisiin yhtälöihin. Elliptisiä yhtälöitä tarkastelemme ensin yleisesti: osoitamme, millaisilla ehdoilla tietyn muotoisilla osittaisdifferentiaaliyhtälöillä on ratkaisuja ja milloin ratkaisu on yksikäsitteinen. Lopulta, todistettuamme ratkaisujen olemassaoloa käsittelevän Lauseen 3.50 heikoille ratkaisuille, saamme syyn tutkia differentiaalioperaattorin spektriä, ominaisarvoja sekä ominaisfunktioita. Työn tärkeimmät tulokset ovat Luvussa 4, jossa todistetaan sekä symmetrisen että ei-symmetrisen operaattorin ominaisarvoja sekä ominaisfunktioita koskevia tuloksia. 1
5 Luku 2 Sobolev-avaruudet Tässä osiossa tutustumme Sobolev-avaruuksiin ja käymme läpi niitä merkintöjä, määritelmiä ja tuloksia, joita tekstissä käytetään ja joiden tuntemuksen otamme pääosin annettuna. 2.1 Merkintöjä ja määritelmiä Jatkossa oletamme, että R n on rajoitettu alue, siis avaruuden R n rajoitettu, avoin ja yhtenäinen osajoukko, jollei muuta asiasta ole mainittu. Määritelmä 2.1 (Funktion kantaja). Funktion f : C, R n kantaja supp f on joukon A = x f(x) 0} sulkeuma, siis supp f = A = x f(x) 0}. Määritelmä 2.2 (Testifunktiot). Testifunktiot ovat äärettömän monta kertaa derivoituvia, kompaktikantajaisia alueen R n funktioita φ : C. Näiden funktioiden joukkoa merkitään C0 (). Määritelmä 2.3 (Multi-indeksit). i) Multi-indeksi on vektori α =(α 1,α 2,..., α n ), missä α k Z + 0}, k =1,..., n. 2
6 ii) Multi-indeksin itseisarvo on α = α α n. iii) Annetulle multi-indeksille α määritellään derivaattaoperaattori D α asettamalla D α = α x α. 1 1 x αn n 2.2 Sobolev-avaruudet Määrittelemme Sobolev-avaruudet ja käymme läpi niiden perusominaisuuksia. Sobolevavaruudet osoittautuvat luonnollisiksi avaruuksiksi tutkittaessa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden yleistettyjä, heikkoja ratkaisuja. Ideatasolla uuden avaruuden käyttöönotto on selvää: k kertaa jatkuvasti derivoituvien funktioiden avaruus C k () asettaa funktioille liikaa rajoituksia, L 2 () taasen on funktioavaruutena liian laaja tarkoituksiimme. Tarvitaan jotakin tältä väliltä: avaruus, jonka funktiot ovat tarpeeksi hyvin käyttäytyviä, mutta joilta ei kuitenkaan vaadita perinteistä derivoituvuutta. Aloitamme määrittelemällä heikot derivaatat, perinteisten osittaisderivaattojen yleistykset. Määritelmä 2.4. Olkoot u, v L 1 loc (), Rn avoin joukko ja α multi-indeksi. Sanomme, että v on funktion u kertaluvun α heikko osittaisderivaatta, D α u = v, jos kaikilla testifunktioilla φ C0 () on voimassa integraalikaava (2.5) ud α φ dx =( 1) α vφ dx. Jos funktiolla on olemassa heikko derivaatta, se on yksikäsitteinen: Lemma 2.6. Funktion v kertaluvun α heikko derivaatta D α v L 1 loc () yksikäsitteinen. 3
7 Todistus. Oletetaan, että v, ṽ L 1 loc () toteuttavat yhtäsuuruudet ud α φ dx =( 1) α vφ dx =( 1) α ṽφ dx kaikilla φ C 0 (). Tällöin (2.7) (v ṽ)φ dx =0 kaikilla φ C0 (), jolloin on pakko olla v(x) ṽ(x) = 0 melkein kaikilla x. Esitetään tämän todistuksen luonnos. Tehdään vastaoletus: on olemassa mitallinen joukko A, jossa v(x) ṽ(x) > 0, kaikilla x A ja m(a) > 0. Valitaan nyt testifunktio φ 0 C0 (A) C0 (). Tällöin (v ṽ)φ 0 dx>0, mikä on ristiriita. A Kiinnitetään 1 p < ja annetaan luvun k olla ei-negatiivinen kokonaisluku. Määrittelemme seuraavaksi Sobolev-avaruudet, joiden alkioilla on heikot derivaatat L p -avaruuksissa. Määritelmä 2.8 (Sobolev-avaruudet). Sobolev-avaruus W k,p (), R n, on niiden lokaalisti integroituvien funktioiden u : C joukko, jonka jäsenillä on olemassa kaikki heikot derivaatat kertalukuun k saakka. Siis D α u on olemassa heikossa mielessä kaikilla α k ja tämä heikko derivaatta kuuluu avaruuteen L p (). Huomautus 2.9. Jatkossa käytämme lyhempää merkintää H 1 () =W 1,2 () milloin se vain on mahdollista. 4
8 Esimerkki Osoitetaan, että funktio f : [0, 1], f(x) = x, kuuluu Sobolevavaruuteen H 1 (), missä on reaaliakselin väli ] 1, 1[, ja että heikko derivaatta on 1, kun 1 < x < 0 f (x) = 1, kun 0 < x < 1. Selvästi funktio f kuuluu avaruuteen L 2 (). Olkoon φ mielivaltainen välin ] 1, 1[ testifunktio. Näytetään, että osittaisintegrointikaava (2.5) on voimassa: 1 1 / 0 = f (x)φ(x)dx = 1 0 = xφ(x) xφ (x)dx φ(x)dx + xφ (x)dx / 1 0 xφ (x)dx = φ(x)dx xφ(x) xφ (x)dx x φ (x)dx = 1 x φ (x)dx. 1 1 x φ (x)dx Koska lisäksi f L 2 (), niin itseisarvofunktio f todella on heikosti derivoituva ja sen derivaatta on esimerkin alussa määritelty f. Koska itseisarvofunktio ei ole jatkuvasti derivoituva, niin on näytetty avaruuden H 1 () olevan laajempi kuin C 1 (). Käydään seuraavaksi läpi esimerkki siitä, että hyvinkin yksinkertainen funktio voi olla liian huonosti käyttäytyvä ollakseen heikosti derivoituva. Esimerkki Positiivisten reaalilukujen karakteristinen funktio 0, kun x 0 χ R+ (x) = 1, kun x>0 ei ole heikosti derivoituva. Osoitetaan tämä vastaesimerkillä. Valitaan ensin mielivaltainen testifunktio φ ja lasketaan χ + (x)φ (x)dx = φ (x)dx = φ(0), R 0 5
9 missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että testifunktiot ovat derivoituvia ja kompaktikantajaisia funktioita. Jos meillä nyt olisi olemassa funktion χ + heikko derivaatta g, tulisi sen toteuttaa ehto I = R g(x)φ(x)dx = χ + (x)φ (x)dx = φ(0) R kaikilla testifunktioilla φ C 0 (R), erityisesti sellaisilla, joilla φ(0) = 0 ja φ 0. Tällöin g(x) = 0 melkein kaikilla x R. Jos nyt valitaan testifunktio, jolle φ(0) 0, niin I = 0 φ(0) ja saadaan haluttu ristiriita. Määritelmä 2.12 (Sobolev-avaruuden normi). Sobolev-avaruuden W k,p () normi määritellään kaavalla u W k,p () = α k D α u p dx Tässä työssä tutkimme osittaisdifferentiaaliyhtälöitä 0-reunaehdoilla, joten määrittelemme seuraavaksi näitä vastaavan Sobolev-avaruuden. Määritelmä 2.13 (Avaruus H 1 0()). Sobolev-avaruus H 1 0() on niiden funktioiden u joukko, jonka jäsenille u C 0 () W 1,2. Funktio u kuuluu siis avaruuteen W k,p 0 (), jos ja vain jos on olemassa jono (u m ) siten että u m C 0 () kaikilla m N ja jono (u m ) suppenee Sobolev-normin W k,p () mielessä kohti funktiota u W k,p (). Yksinkertaistaen voimme tulkita tämän tarkoittavan sitä, että 1/p D α u(x) =0, jokaisella x ja α k 1.. Asian täsmällinen käsittely vaatisi funktion u reuna-arvon u esityksessä sivuutetaan. määrittelyä ja se tässä Tarkastelemme seuraavaksi Sobolev-avaruuksien perusominaisuuksia. Havaitaan, että heikot derivaatat noudattavat perinteisten derivaattojen kaltaisia lainalaisuuksia. Lause 2.14 (Heikkojen derivaattojen ominaisuuksia). Olkoot u, v W k,p () ja α k. Tällöin 6
10 i) D α u W k α,p () ja D β (D α u)=d α (D β u)=d α+β u kaikilla multi-indekseillä α ja β, joilla α + β k. ii) Jokaisella λ, µ R on λu + µv W k,p () ja D α (λu + µv) =λd α u + µd α v, α k. iii) Jos V on joukon avoin osajoukko, niin u W k,p (V ). iv) Jos ζ C 0 (), niin ζu W k,p () ja D α (ζu) = β α ( ) α D β ζd α β u. β Todistus. Todistus on kirjassa [Eva98, Theorem 1]. Siinä missä väitteet ovat totta sileille funktioille, täytyy Sobolev-avaruuksien tilanteessa aina tukeutua heikkojen derivaattojen määrittelyyn ja testifunktioiden sekä osittaisintegrointikaavan käyttämiseen. Lause 2.15 (W k,p funktioavaruutena). Avaruus W k,p on Banach-avaruus kaikilla luvuilla k =1,... ja 1 p. Todistus. Tarkistetaan ensin, että W k,p () todella on normi. Selvästi λu W k,p () = λ u W k,p () kaikilla λ R ja u W k,p () =0, jos ja vain jos u =0melkein kaikilla x. Oletetaan seuraavaksi, että u, v W k,p (). Jos nyt 1 p<, niin kolmioepäyhtälöstä 7
11 ja Minkowskin epäyhtälöstä saadaan u + v W k,p () = D α u + D α v L p () α k 1/p D α u L p () + D α v L p () α k D α u L p () α k 1/p = u W k,p () + v W k,p (), joten normilta vaadittu kolmioepäyhtälö on voimassa. 1/p + D α v L p () Osoitetaan vielä, että W k,p () on täydellinen. Olkoon (u m ) m=1 Cauchy-jono avaruudessa W k,p (). Tällöin (D α u m ) m=1 on Cauchy-jono avaruudessa L p () jokaisella α k. Koska α k avaruus L p () on täydellinen, löydetään sellaiset funktiot u α L p (), että Erityisesti, kun merkitään u = u (0,...,0), niin Väitämme, että D α u m u α L p (), jokaisella α k. u m u (0,...,0) = u L p (). (2.16) u W k,p (), ja D α u = u α kaikilla α k. Kiinnitetään testifunktio φ C0 (). Nyt voimme laskea ud α φ dx = lim u m D α φ dx = lim m m ( 1) α D α u m φ dx =( 1) α u α φ dx. Näin kohta (2.16) pätee, D α u m D α u avaruudessa L p () jokaisella α k ja näin ollen u m u W k,p (), kuten väitimmekin. 1/p 8
12 Huomautus Jatkon kannalta olennaisiksi osoittautuvat avaruudet H 1 () ja H0(). 1 Erityisiksi nämä avaruudet tekee se, että normin määrää sisätulo (u, v) H 1 () = u v + Du Dv dx, u, v H 1 () missä v ja Dv ovat funktion v ja sen derivaatan Dv kompleksikonjugaatit. Näin määritelty sisätulo tekee avaruuksista H 1 () ja H0() 1 täydelliset sisätuloavaruudet, eli Hilbertavaruudet. Lause 2.18 (Globaali approksimointi sileillä funktioilla). Olkoon R n avoin ja rajoitettu joukko sekä sileä. Oletetaan, että u W k,p (), missä 1 p<. Tällöin on olemassa sellaiset sileät funktiot u m C (), että u m u W k,p (). Todistus. Todistus on kirjassa [Eva98, Theorem 3]. Todistuksen ideana on siirtyä reunapisteestä x 0 riittävän pitkälle alueen sisäpuolelle, jotta silottaminen on mahdollista. Käyttämällä ykkösen ositusta näistä silotuksista saadaan aikaiseksi jono sileitä funktioita, jotka suppenevat kohti tarkasteltavaa funktiota. Tarvitsemme seuraavaa lemmaa osoittaessamme, että Sobolev-avaruuteen H0() 1 kuuluvan funktion u positiivinen osa u + ja negatiivinen osa u kumpikin kuuluvat samaiseen Sobolev-avaruuteen. Lemma 2.19 (Yhdistetyn funktion derivointi). Olkoot f jatkuvasti derivoituva funktio f C 1 (R), f L (R) ja u W 1,2 (). Tällöin f u W 1,2 () ja D(f u) =f (u)du. Todistus. Approksimaatiolauseen 2.18 mukaan on olemassa jono sileitä funktiota (u m ), joille pätee u m u ja Du m Du jokaisella prekompaktilla joukolla G. Nyt differentiaalilaskennan väliarvolauseen mukaan saadaan f u m (x) f u(x) dx = f(u m (x)) f(u(x)) dx G G f L () u m (x) u(x) dx 0, kun m. G 9
13 Siis f u m f u L 1 loc () ja erityisesti f u L1 (). Näytetään vielä, että D(f u m ) f (u)du L 1 (G) jokaisella kompaktilla joukolla G. Ensinnä havaitaan, että f u m C 1, joten f (u)du D(f u m ) dx = f (u)du f (u m )Du m dx G G = f (u)(du Du m )+f (u)du m Du m (f (u m ) f (u)) f (u)du m dx G = f (u)(du Du m ) Du(f (u m ) f (u)) dx G f (u) Du m Du dx + Du f (u m ) f (u) dx G G f Du m Du 1 + Du f (u m ) f (u) dx. G Ensimmäisessä termissä tulo f Du m Du 1 lähenee arvoa nolla, sillä alussa oletimme u m u ja Du m Du. Toisen termin kohdalla oikeutamme rajankäynnin dominoidun konvergenssin lauseen avulla: integrandilla Du f (u m ) f (u) on majoranttina 2 Du f L 1 (G), joten rajankäynnin voi siirtää integraalin sisään. Koska f on jatkuva ja u m (x) u(x), lähenee myös jälkimmäinen termi arvoa nolla, kun m. Lause 2.20 (u +,u H 1 ()). Olkoon u H 1 (). Tällöin funktiot u + = maxu, 0}, u = minu, 0} ja u kuuluvat avaruuteen H 1 () ja Du, u > 0 Du + = 0, u 0 Du, u < 0 Du = 0, u 0 Du, u > 0 D u = 0, u =0 Du, u < 0. 10
14 Todistus. Osoitetaan lause todeksi ensin funktiolle u +. Olkoon ɛ positiivinen reaaliluku ja φ testifunktio. Määritellään funktio jolloin f ɛ (t) = (t 2 + ɛ 2 ) 1/2 ɛ, kun t>0 0, kun t 0, t, kun t>0 f ɛ(t) = t2 + ɛ2 0, kun t 0 ja f C 1 (R) sekä f(u) 1 kaikilla t R. Lemman 2.19 mukaan f ɛ u on heikosti derivoituva ja näin ollen osittaisintegrointikaavan (2.5) mukaan D(f ɛ u)φ dx = f ɛ udφ dx ja siis x u(x)>0} u(x) u2 (x)+ɛ Du(x)φ(x)dx = 2 x u(x)>0} ( u(x) 2 + ɛ 2 ɛ)φ (x)dx. Vasemman puolen integrandille saadaan arvio D(f ɛ u)φ Duφ L 1 () ja oikean puolen integrandille arvio f ɛ udφ u + ɛ Dφ L 1 (), joten kummassakin voidaan dominoidun konvergenssin lauseen mukaan suorittaa rajankäynti ɛ 0 ennen integrointia ja saadaan x u(x)>0} Duφ dx = Du + φ dx = u(x)dφ dx = u + (x)dφ(x)dx. x u(x)>0} Koska u =( u) + ja u = u + + u, niin lauseen muut väitteet seuraavat edellisestä. 2.3 Tunnettuja lauseita ja tuloksia Tulevissa tarkasteluissa tarvitsemme joitakin tuloksia, joiden todistuksia ei muusta esityksestä poikkeavan luonteensa tai laajuutensa vuoksi tässä esitellä sen tarkemmin. 11
15 Fréchetin-Rieszin esityslause antaa olemassaolon ja yksikäsitteisen sisätuloesityksen lineaariselle funktionaalille Hilbert-avaruudessa. Fréchetin-Rieszin lausetta käytetään Lax- Milgramin lauseen todistuksessa, joka omalla tavallaan on yleistys seuraavasta lauseesta [BB54]. Lause 2.21 (Fréchetin-Rieszin esityslause). Olkoon X Hilbert-avaruus ja (, ) siinä määritelty sisätulo. Jokaiselle jatkuvalle lineaariselle funktionaalille L : X C on olemassa tasan yksi sellainen elementti y X, että kaikille x X on voimassa Lx =(y,x). Todistus. Todistus on Rudinin kirjassa [Rud87, 2.14 Theorem]. Todistamme seuraavaksi yksinkertaisen version Poncarén epäyhtälöstä. Lause 2.22 (Poincarén epäyhtälö). Olkoon rajoitettu alue avaruudessa R n. Oletetaan, että u W 1,2 0 (). Tällöin on voimassa epäyhtälö u L 2 () C Du L 2 (). Lisäksi vakio C riippuu ainoastaan dimensiosta n sekä alueesta. Todistus. Lauseen 2.18 mukaan C 0 -funktiot ovat tiheässä avaruudessa H 1 (), joten riittää tarkastella tapausta, jossa funktio on jatkuvasti derivoituva. Olkoon alueen halkaisija a = diam = sup x y x, y }. x,y Koska Lebesguen integraali on translaatio- ja rotaatioinvariantti, ja koska oletimme lähtöjoukon rajoitetuksi alueeksi, saamme koordinaatiston siirrolla ja kierrolla aikaiseksi tilanteen, jossa alueen halkaisija sijaitsee x n -akselilla välillä [0,a]. Yleisyyttä menettämättä voimme siis olettaa, että alue sijaitsee n-kuutiossa, jonka kärki on origossa ja jonka särmien pituus on a. 12
16 Kirjoitetaan x =(x,x n ), missä x n =(x 1,..., x n 1 ). Oletimme, että funktio u on derivoituva, joten integraalilaskennan peruslauseen sekä standardiarvion mukaisesti saamme xn a u(x) = u(x,x n ) = n u(x,t)dt n u(x,t) dt. Nyt Cauchyn-Schwartzin epäyhtälöstä saadaan a n u(x,t) dt = a Näin ollen on voimassa epäyhtälö 0 ( a 1/2 1 n u(x,t) dt a 1/2 n u(x,x n ) dt) 2. u(x,x n ) 2 a a 0 0 n u(x,t) 2 dt. Integroidaan molemmat puolet muuttujan x n suhteen ja saadaan a a u(x,x n ) 2 dx n a 2 n u(x,t) 2 dt. 0 0 Kun vielä integroidaan muuttujan x yli päästään arvioon u(x) 2 dx a 2 n u(x) 2 dx a 2 Du(x) 2 dx, sillä aina on voimassa epäyhtälö n u(x) Du(x). Edellisen epäyhtälön mukaan voisimme määritellä avaruuden H0() 1 normin käyttäen pelkästään funktion u derivaattaa, sillä Du L 2 u H 1 0 (C + 1) 1/2 Du L 2, joten normit ovat ekvivalentit. 2.4 Kompaktit upotukset ja kompaktit operaattorit Tutkiessamme symmetristä elliptistä operaattoria ja sen ominaisarvoja tulemme hyödyntämään kompaktien operaattorien teoriaa. Ensimmäisenä määrittelemme, mitä tarkoitamme kompaktilla upotuksella. 13
17 Määritelmä Olkoot X ja Y Banach-avaruuksia, X Y. Sanomme, että Xuppoaa kompaktisti avaruuteen Y, merkitään X Y, jos i) x Y C x X, jollakin vakiolla C R ja kaikilla x X, ii) jokainen rajoitettu joukko avaruudesta X kuvautuu prekompaktiksi avaruuden Y joukoksi. Koska avaruuden W 1,p () tutkiminen osoittautuu toisinaan hankalaksi, johtuen osittain avaruuden W 1,p () normin määritelmästä, haluamme upottaa tämän avaruuden kompaktisti johonkin helpommin lähestyttävään avaruuteen. Ratkaisun ongelmaan tuo seuraava lause. Lause 2.24 (Rellich-Kondrachovin upotuslause). Olkoon avaruuden R n rajoitettu ja avoin joukko, jolla on sileä reuna, C 1. Oletetaan, että 1 p < n. Tällöin W 1,p () voidaan upottaa kompaktisti joukkoon L q (), eli W 1,p () L q () jokaisella 1 q < p, missä p = np/(n p). Todistus. Lauseen laajemman muodon todistus on kirjassa [Ada75, Theorem 6.2]. Erityisesti siis W 1,2 () L 2 (). Rellich-Kondrachovin lause kertoo meille, että mielivaltainen rajoitettu joukko avaruudesta H 1 () on prekompakti avaruudessa L 2 (). Seuraavaksi määrittelemme kompaktin operaattorin. Määritelmästä näemme edellisen lauseen hyödyn. Määritelmä 2.25 (Kompakti operaattori). Sanomme, että rajoitettu operaattori T : X Y on kompakti, jos ja vain jos mielivaltaisen rajoitetun joukon A X kuvajoukko T (A) Y on prekompakti. Olemme näin saaneet määriteltyä kompaktit upotukset ja kompaktit operaattorit. Seuraavaksi tutustumme niihin funktionaalianalyysin kompakteja operaattoreja koskeviin lauseisiin, joita hyödynnämme elliptisen osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisun olemassaolon ja 14
18 yksikäsitteisyyden todistamisessa ja joiden avulla Luvussa 4 tarkastelemme operaattorimme ominaisarvoja ja ominaisfunktioita. Seuraava tarvittava työkalu on Fredholmin alternatiivi. Lause muotoillaan osittaisdifferentiaaliyhtälöihin soveltuvaan muotoon kohdassa 3.34 Lause 2.26 (Fredholmin alternatiivi). Olkoon K kompakti ja lineaarinen operaattori Hilbert-avaruudelta H itselleen ja I identtinen kuvaus. Tällöin i) ker(i K) on äärellisulotteinen, ii) Kuva-avaruus (I K)(H) on suljettu, iii) (I K)(H) = ker(i K ), iv) ker(i K) =0}, jos ja vain jos (I K)(H) =H, v) dim ker(i K) = dim ker(i K ). Todistus. Todistus on kirjassa [Eva98, D.5. Theorem 5] Fredhlmin alternatiivi takaa erityisesti sen, että joko Yhtälöllä u Ku = f (2.27) on yksikäsitteinen ratkaisu jokaisella f H (2.28) tai Homogeenisella yhtälöllä u Ku =0 on ei-triviaaliratkaisu u 0. Lisäksi, jos kohta (2.28) on voimassa, ratkaisujen muodostama avaruus on äärellisulotteinen ja ei-homogeenisella yhtälöllä u Ku = f on ratkaisu jos ja vain jos f ker(i K ). 15
19 Lause 2.29 (Kompaktin operaattorin spektri). Olkoon dim H = ja K : H H kompakti operaattori. Tällöin on olemassa enintään numeroituva joukko Σ R, jolla ei ole nollaa lukuunottamatta kasaantumispistettä, ja jonka komplementin alkioilla λ 0, λ/ Σ on olemassa yksikäsitteiset ratkaisut x H yhtälöille (2.30) (2.31) λx Kx = y, λx K x = y, jokaisella y H. Todistus. Todistus on kirjassa [GT77, Theorem 5.11]. 16
20 Luku 3 Toisen asteen elliptiset yhtälöt 3.1 Elliptiset yhtälöt Tutkimme reuna-arvo-ongelmaa Lu(x) =f(x) x (3.1) u(x) = 0 x, missä R n on avoin ja rajoitettu joukko ja u : C on tuntematon funktio. Tässä f : C on annettu funktio ja L merkitsee toisen asteen osittaisdifferentiaalioperaattoria, joka on joko divergenssimuodossa (3.2) Lu = tai ei-divergenssimuodossa i,j=1 x j (a ij (x)u xi )+ b i (x)u xi + c(x)u i=1 (3.3) Lu = a ij (x)u xi x j + i,j=1 b i (x)u xi + c(x)u, i=1 17
21 missä kummassakin funktiot a ij, b i ja c ovat annettuja, i, j =1,..., n, ja alaindeksit x i ja x j viittaavaat osittaisderivaattoihin / x i ja / x j. Kohdan (3.2) nimitys johtuu siitä, että yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa Lu(x) = a(x) u + b(x) u + c(x)u, missä a on n n-matriisi, b on n-vektori ja c skalaarifunktio. Määritelmä 3.4. Osittaisdifferentiaalioperaattori L on elliptinen, jos on olemassa vakio θ> 0 siten että ( ) (3.5) Re a ij (x)ξ i ξ j θ ξ 2 i,j=1 melkein kaikilla x ja kaikilla ξ C n, missä ξ 2 =( ξ ξ n 2 ). 3.2 Heikot ratkaisut Tutkitaan divergenssimuodossa annettua reuna-arvo-ongelmaa (3.1). Tarkoituksena on ensin konstruoida sopiva heikko ratkaisu ja sen jälkeen tarkastella sen sileyttä ja muita ominaisuuksia. Tässä luvussa oletetaan, että a ij,b i,c L (), kaikilla i, j =1,..., n ja f L 2 (). Mielekkään johdannon saamiseksi tarkastelemme ensin tilannetta, jossa funktio u on ongelman (3.1) sileä ratkaisu u C 0 (). Kerrotaan kohdan (3.1) ensimmäisen yhtälön molemmat puolet konjugoidulla testifunktiolla φ C 0 () ja integroidaan näin saadun yhtälön vasemman puolen ensimmäinen termi osittain: ( ) φ (a i,j u xi )+ b i u xi + cu dx = x i,j j i=1 ( ) a i,j u xi φ xj + b i u xi φ + cuφ dx = i,j i=1 fφ dx fφ dx. Haluamme yleistää näin saadun ehdon alkuarvo-ongelmamme ratkaisun määritelmäksi myös niissä tapauksissa, joissa ratkaisufunktio u kuuluu avaruuteen H 1 0(). 18
22 Määritelmä 3.6 (Seskvilineaarimuoto ja heikko ratkaisu). i) Divergenssimuotoiseen elliptiseen operaattoriin L, joka on määritelty muodossa (3.2), liittyvä seskvilineaarinen neliömuoto B[, ] on (3.7) B[u, v] = a ij u xi v xj + b i u xi v + cuv dx, i,j=1 i=1 missä u, v H0(). 1 ii) Funktio u H0() 1 on reuna-arvo-ongelman (3.1) heikko ratkaisu, jos (3.8) B[u, v] =(f, v) kaikilla v H 1 0(), missä (, ) ilmaisee tavallisen kompleksiarvoisten funktioiden sisätulon avaruudessa L 2 (). Määrittelemämme neliömuoto B[u, v] :H 1 0() H 1 0() C on seskvilineaarinen, siis lineaarinen ensimmäisen muuttujan suhteen ja antilineaarinen toisen muuttujan suhteen: B[x + y, u + v] =B[x, u]+b[x, v]+b[y, u]+b[y, v], B[ax, bu] =ab[x, bu] =abb[x, u], ja missä x, y, u, v H 1 0() ja a, b C. 3.3 Maksimiperiaatteita Tarkastellessamme ominaisarvo-ongelmia tarvitsemme työvälineiksemme vielä elliptisten yhtälöiden maksimiperiaatteen sekä Hopfin lemman. Tässä luvussa oletamme, että elliptinen operaattori on ei-divergenssimuodossa (3.3), kerroinfunktiot a ij (x), b i (x) ja c(x) ovat jatkuvia ja että elliptisyysehto (3.5) pätee vakiolla θ> 0. Lisäksi oletamme, että aikaisemminkin vaadittu symmetriaehto a ij (x) =a ji (x) on voimassa. 19
23 Lause 3.9 (Heikko maksimiperiaate, c 0). Olkoon u C 2 () C() funktio, jolle pätee epäyhtälö (3.10) Lu(x) 0 kaikilla x ja jonka vakiokerroin c(x) 0. Tällöin max u(x) = max u(x). x x Todistus. Oletetaan ensin, että kaikilla x on voimassa epäyhtälö (3.11) Lu(x) < 0, ja että on olemassa alueen sisäpiste x 0 u(x 0 ) = maxu(x) x }., jossa funktio saavuttaa maksiminsa, siis Vektorianalyysista tiedämme, että maksimipisteessä pätee Du(x 0 ) = 0 ja että Hessin neliömuoto D 2 u on negatiivisesti definiitti. Jäljelle jää siis lausekkeen (3.12) Lu = a ij u xi x j i,j=1 merkin tutkiminen. Lineaarialgebran mukaan kohta (3.12) voidaan tulkita kahden matriisin tulon jäljen vastaluvuksi, Lu = tr(ab), missä merkitsimme B = D 2 u. Koska operaattorimme L on elliptinen ja oletimme toisen kertaluvun kerroinfunktioiden toteuttavan ehdon a ij = a ji, on operaattorin pääosan määräävä matriisi A = ((a ij (x))) symmetrinen ja positiivisesti definiitti. Näin ollen on olemassa sellainen ortogonaalinen matriisi O = ((o ij )), jolle (3.13) OAO T = Λ = diag(d 1,..., d n ) ja OO T = I, siten että d k > 0 kaikilla k =1,..., n. Merkitään D 2 u = B ja määritellään C = OBO T. Koska B oletustemme mukaan on negatiivisesti definiittinen, saadaan tästä c ii = tr(c) = tr(obo T ) = tr(o T OB) = tr(b) 0. i=1 20
24 Näin ollen saadaan tulos Lu = tr(ab) = tr(ao T CO)= tr(oao T C)= tr(λc) = d i c ii 0, sillä d i > 0 ja c ii 0 kaikilla i N. Tämä on ristiriidassa kohdan (3.11) kanssa ja näin ollen funktion u maksimi ei voi sijaita alueen sisäpisteessä. Oletetaan tämän jälkeen ainoastaan, että epäyhtälö (3.10) on voimassa ja kirjoitetaan u ɛ (x) =u(x)+ɛe λx 1, x, missä ɛ > 0 ja λ on positiivinen vakio, joka kiinnitetään todistuksen loppupuolella. Kun elliptisyysehdossa (3.5) tarkastellaan tilannetta, jossa ξ i = (0,..., 1) = ξ j, saadaan diagonaalisille kertoimille epäyhtälö a ii (x) θ> 0. Näin ollen Lu ɛ (x) =Lu(x)+ɛL(e λx 1 ) ɛl(e λx 1 )=ɛ( a 11 λ 2 e λx 1 + b 1 λe λx 1 ) ɛe λx 1 ( λ 2 θ + b L λ) < 0, kun λ> b L. θ Nyt oletus (3.11) on voimassa ja todistuksen alkuosan perusteella Rajankäynnillä ɛ 0 saadaan lauseen väite. max u ɛ (x) = max u ɛ(x). x x Huomautus Vastaava lause pätee tilanteessa, jossa Lu(x) on ei-negatiivinen, tosin sillä erotuksella, että tällöin tarkastellaan luonnollisestikin funktion u minimiä ja saadaan minu(x) x } = minu(x) x }. i=1 Yleistämme edellisen lauseen tilanteeseen, jossa vakiokerroin on ei-negatiivinen. Lause 3.15 (Heikko maksimiperiaate, c 0). Olkoon u C 2 () C() ja elliptisen operaattorin L vakiokerroin c(x) 0, kaikilla x. 21
25 i) Jos Lu(x) 0, x, niin (3.16) max x u(x) max u+ (x). ii) Jos Lu(x) 0, x, niin (3.17) min u(x) min x x u (x). Erityisesti, jos Lu(x) =0, kun x, niin (3.18) max u = max u x x Todistus. Oletetaan, että funktio u toteuttaa epäyhtälön (3.10). Määritellään Ku = Lu cu, missä L on kohdassa (3.3) määritelty operaattori ja tarkastellaan tilannetta joukossa V = x u(x) > 0}. Jos V =, niin u(x) 0 kaikilla x ja väite seuraa. Oletetaan siis, että V. Nyt Ku(x) =Lu(x) cu(x) cu(x) 0, kun x V. Operaattorilla K ei ole vakiotermiä ja voidaan käyttää edellistä lausetta, jolloin max x V u(x) = max u(x) = max x V x u+ (x). Toisen kohdan todistuksessa käytetään havaintoa u (x) =( u(x)) +, jolloin väite seuraa edellisestä todistuksesta. Heikko maksimiperiaate ei rajaa pois tilannetta, jossa funktio u saavuttaa suurimman arvonsa myös alueen sisäpisteessä. Tilanne saadaan korjattua vahvalla maksimiperiaatteella, jota varten todistetaan ensin Hopfin lemma. 22
26 Lause 3.19 (Hopfin lemma). Olkoon u C 2 () C 1 () ja elliptisen differentiaalioperaattorin L kerroin c 0. Oletetaan lisäksi, että Lu(x) 0, kun x, ja että on olemassa piste x 0 siten että u(x 0 ) >u(x) kaikilla x. Oletetaan vielä, että alue toteuttaa sisäpalloehdon pisteessä x 0, eli että on olemassa avoin pallo B, jolla x 0 B. Tällöin on voimassa: i) u ν (x 0) > 0, missä ν on ulkoyksikkönormaali pallolle B pisteessä x 0. ii) Jos c(x) 0 kaikilla x, niin sama väite pätee, kunhan u(x 0 ) 0. Todistus. Oletetaan, että kohdassa (3.3) määritellyn operaattorin L vakiotermi on einegatiivinen, c(x) 0 ja että u(x 0 ) 0. Yleisyyttä menettämättä voidaan olettaa, että B = B(0,r), missä r on positiivinen reaaliluku. Määritellään apufunktio v(x) =e λ x 2 e λr2, x B(0,r), missä vakio λ> 0 kiinnitetään todistuksen myöhemmässä vaiheessa. Lasketaan apufunktion osittaisderivaatat v xi ja v xi x j : v xi = 2λx i e λ x 2 ja v xi x j = e λ x 2 (4λ 2 x i x j 2λδ ij ) 23
27 Kuva 3.1: Hopfin lemman sisäpalloehdon geometrinen merkitys. Käyttämällä elliptisyysehtoa (3.5) saadaan arvioitua Lv(x) = a ij v xi x j (x)+ b i v xi (x)+cv(x) i,j=1 i=1 = e λ x 2 a ij ( 4λ 2 x i x j +2λδ ij ) e λ x 2 i,j=1 b i 2λx i + c(e λ x 2 e λr2 ) i=1 ( e λ x 2 4θλ 2 x 2 +2λtr A +2λ b x + c(x) ), missä A = ((a ij )) ja b =(b 1,..., b n ). Rajoitetaan tarkastelu alueeseen R = B(0,r) \ B(0, r/2). Valitaan λ riittävän suureksi ja saadaan ( (3.20) Lv(x) e λ x 2 θλ 2 r 2 +2λtr A +2λ b r + c(x) ) 0, x R. Oletimme alussa, että u(x 0 ) >u(x) kaikilla x, joten on olemassa sellainen vakio 24
28 ɛ> 0, että (3.21) u(x 0 ) u(x)+ɛv(x), kun x B(0, r/2). Lisäksi (3.22) u(x 0 ) u(x)+ɛv(x), kun x B(0,r), sillä apufunktion v määritelmän mukaan v(r) 0 pallon B(0,r) reunalla. Kohdasta (3.20) nähdään, että L(u(x)+ɛv(x) u(x 0 )) u(x 0 ) 0, kun x R ja kohdista (3.21) sekä (3.22) havaitaan, että u(x)+ɛv(x) u(x 0 ) 0, kun x R. Lauseen 3.15 mukaan u(x)+ɛv(x) u(x 0 ) 0, kun x R. Toisaalta, koska u(x 0 )+ɛv(x 0 ) u(x 0 )=0, niin pisteessä x 0 on oltava funktion u(x)+ ɛv(x) u(x 0 ) maksimi ja siis ulkonormaalille pätee Tästä saadaan suoraan laskemalla u ν (x 0)+ɛ v ν (x 0) 0. u ν (x 0) ɛ v ν = ɛ r Dv(x 0) x 0 =2λɛre λr2 > 0. Lause (Vahva maksimiperiaate, c 0) Olkoot R n yhtenäinen, avoin ja rajoitettu, u C 2 () C() ja differentiaalioperaattorin L kerroin c 0. 25
29 i) Jos Lu(x) 0, x ja funktiolla u on maksimi joukon sisäpisteessä, niin u on vakio joukossa. ii) Jos Lu(x) 0, x ja funktiolla u on minimi joukon sisäpisteessä, niin u on vakio joukossa. Todistus. Määritellään luku M = max x u(x) ja joukko C = x u(x) =M}. Jos funktio u ei ole vakio u(x) M, niin määritellään joukko V = x u(x) <M}. Valitaan piste y V, jolle pätee d(y, C) <d(y, ). Olkoon B suurin y-keskinen kuula, joka sisältyy joukkoon V. Nyt on olemassa piste x 0 C siten että x B. Joukko V täyttää sisäpalloehdon ja näin Hopfin lemman mukaan u > 0, mikä on ristiriita: koska ν funktiolla u on maksimi pisteessä x 0, niin täytyy olla Du(x 0 )=0. Lause (Vahva maksimiperiaate, c 0) Olkoot R n rajoitettu alue, u C 2 () C() ja differentiaalioperaattorin L kerroin c 0. i) Jos Lu(x) 0, x ja u saavuttaa ei-negatiivisen maksimin joukon sisäpisteessä, niin u on vakio joukossa. ii) Jos Lu(x) 0, x ja u saavuttaa ei-positiivisen minimin joukossa, niin u on vakio joukossa. Todistus. Todistukset ovat kirjassa [Eva98, Theorem 4]. 26
30 3.4 Heikkojen ratkaisujen olemassaolo Tässä luvussa esitämme Lax-Milgramin teorian, joka takaa tietyissä tapauksissa suoraan heikon ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden. Peter Lax ja Arthur Milgram esittivät vastaavan todistuksen kokoelmassa [BB54, Theorem 2.1.]. Oletamme, että H on kompleksinen Hilbertin avaruus, siinä määritelty normi ja (, ) sisätulo. Lause 3.25 (Lax-Milgram). Olkoon H Hilbertin avaruus ja B : H H C seskvilineaarikuvaus, jolle on olemassa vakiot α, β > 0 siten että i) B[u, v] α u v, kaikilla u, v H, ii) 0 β u 2 B[u, u], kaikilla u H. Lisäksi, jos f : H C on rajoitettu lineaarinen funktionaali, niin on olemassa yksikäsitteinen u H siten että (3.26) B[u, v] = f, v kaikilla v H, missä f, v = f(v). Edellisestä seuraa erityisesti, että f, u = B[u, u] 0. Todistus. Kiinteälle v 0 H kuvaus v B[u, v 0 ] on määritelmänsä mukaan rajoitettu lineaarinen funktionaali. Nyt Rieszin esitysteoria (2.21) takaa sen, että on olemassa yksikäsitteinen w H, joka toteuttaa yhtälön (3.27) B[u, v 0 ]=(u, w), kun u H. Kirjoitetaan jatkossa Av = w, kun yhtäsuuruus (3.27) pätee, siis (3.28) B[u, v] = (u, Av), missä u, v H. 27
31 Väitämme ensin, että A : H H on rajoitettu lineaarinen operaattori. Valitaan luvut λ 1,λ 2 C ja funktiot v 1,v 2 H. Nyt neliömuodon seskvilineaarisuuden, sisätulon konjugaattilineaarisuuden sekä kohdan (3.27) mukaan saadaan (u, A(λ 1 v 1 + λ 2 v 2 )) = B[u, λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ] = λ 1 B[u, v 1 ]+λ 2 B[u, v 2 ] = λ 1 (u, Av 1 )+λ 2 (u, Av 2 ) =(u, λ 1 Av 1 + λ 2 Av 2 ). Näin on näytetty operaattorin A lineaarisuus. Seuraavaksi tarkastetaan rajoittuneisuus. Alun oletusten mukaan on olemassa luku α> 0, jolle Au 2 =(Au, Au) =B[Au, u] α u Au, mistä saadaan suoraan Au α u, kaikilla u H. Varmistetaan seuraavaksi, että A on injektio ja että kuvajoukko R(A) on suljettu avaruudessa H. Alkuperäisistä oletuksista sekä Cauchyn-Schwarzin epäyhtälöstä seuraa 0 β u 2 B[u, u] = (u, Au) Au u, mistä saadaan 0 β u Au. Tämä takaa injektiivisyyden ja sen, että kuvajoukko on suljettu. Näytetään seuraavaksi, että kuvajoukko täyttää koko avaruuden H. Edellisen perusteella kuvajoukko R(A) on suljettu. Tehdään vastaoletus, että on olemassa kuvajoukon ortokomplementtiin kuuluva alkio w H, w 0, w R(A). Nyt 0 <β w 2 B[w, w] = (w, Aw) =0, mikä on ristiriita ja kuvajoukon tulee siis olla koko H. 28
32 Käytetään jälleen Rieszin teoreemaa, jolloin u, f =(u, w) kaikilla u H ja jollakin alkiolla w H. Edellä on näytetty, että operaattori A on injektio ja täyttää avaruuden H, eli A on itseasiassa bijektio. Näin ollen löytyy sellainen v H, että Av = w. Nyt B[u, v] = (u, Av) =(u, w) = u, f, u H, mikä antaa väitteemme olemassaolovakuutuksen. Enää tulee tarkastaa yksikäsitteisyys. Jos on olemassa v, ṽ H niin, että B[u, v] = u, f ja B[u, ṽ] = u, f, niin B[u, v ṽ] = 0 kaikilla u H. Asetetaan nyt u = v ṽ ja havaitaan β v ṽ 2 B[v ṽ, v ṽ] = 0 ja yksikäsitteisyys on näin todistettu. Palataan tutkimaan bilineaarimuotoa (3.7), joka määriteltiin kaavalla B[u, v] = a ij u xi v xj + i,j=1 b i u xi v + cuv dx, missä u, v H 1 0() ja pyritään osoittamaan, että tämä toteuttaa Lax-Milgramin ehdot. Tutkittava bilineaarimuoto ei itseasiassa niitä suoraan toteuta, mutta voidaan osoittaa niin sanotun energiaestimaatin voimassaolo. Tätä varten sovitaan muutamista merkinnöistä. B λ [u, v] =B[u, v]+λ uv dx, missä u, v H0() 1 ja λ R +. Merkitään vielä α = maxmax i,j i=1 n 2 a i,j L (), max n b i L i (), c L ()}. Lisäksi pidetään mielessä, että elliptisellä osittaisdifferentiaaliyhtälöllä on olemassa vakio θ> 0, jolla kaikilla ξ C ja melkein kaikilla x. ( ) Re a i,j (x)ξ i ξ j θ ξ 2 Ennen energiaestimaattia palautetaan mieleen Cauchyn ɛ-epäyhtälö. i,j 29
33 Lemma 3.29 (Cauchyn ɛ-epäyhtälö). Olkoon a, b ja ɛ positiivisia reaalilukuja. Tällöin Todistus. Tunnetusti kaikilla a, b R pätee ab ɛa 2 + b2 4ɛ. (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 0 a 2 + b 2 2ab Kun nyt kirjoitetaan seuraa väite suoraan. ab a2 2 + b2 2. ( ) b ab = ((2ɛ) 1/2 a), (2ɛ) 1/2 Lause 3.30 (Energiaestimaatti). On olemassa vakiot α, β > 0 sekä λ 0 R + siten että i) B[u, v] α u H 1 0 () v H 1 0 () ii) B λ [u, u] β u 2 H 1 0 () kaikilla u, v H 1 0() ja λ λ 0. Todistus. Suoraan laskemalla saadaan B[u, v] a ij L Du Dv dx + i,j=1 b i L Du v dx + c L u v dx. i=1 Koska mielivaltaiselle kompleksiluvulle pätee z = z, niin voidaan arvioida I = B[u, v] α Du Dv + Du v + u v dx. Lisätään integrandiin termi u Dv ja kirjoitetaan integrandi tulomuodossa: I α ( u + Du )( v + Dv )dx. 30
34 Kumpikin tulon termeistä kuuluu funktioavaruuteen L 2 (), joten voidaan käyttää Hölderin epäyhtälöä eksponentilla 2 sekä Minkowskin epäyhtälöä, jolloin saadaan I α ( u + Du ) L 2 ( v + Dv ) L 2 α( u L 2 + Du L 2) ( v L 2 + Dv L 2). Arvioimalla u L 2 u H 1 0, ja vastaavasti muille termeille, saadaan mikä todistaa lauseen ensimmäisen osan. I 4α u H 1 0 v H 1 0 = α u H 1 0 v H 1 0, Toisen kohdan todistamiseksi käytetään elliptisyysehtoa ja kolmioepäyhtälön vasenta puolta: B[u, u] Re (B[u, u]) = ( Re a i,j i u j u + i,j=1 ) b i i uu + cuu dx i=1 θ u 2 L 2 () α u L 2 () u L 2 () α u 2 L 2 (). Käytetään keskimmäisen termin arviointiin Cauchyn ɛ-epäyhtälöä ja saadaan ( ) B[u, u] θ u 2 L 2 () ɛ u 2 L 2 () + α2 4ɛ u 2 L 2 () α u L 2 (). Valitaan ɛ = θ/2, jolloin B[u, u] θ u 2 L 2 () θ 2 u 2 L 2 () α2 2θ u 2 L 2 () α u 2 L 2 () = θ 2 u 2 L 2 () α2 2θ u 2 L 2 () α u 2 L 2 () + θ 2 u 2 L 2 () θ 2 u 2 L 2 () = θ ( ) θ 2 ( u 2 L 2 () + u 2 L 2 () ) 2 + α2 2θ + α u 2 L 2 (). Merkitään θ/2 =β ja (θ + α 2 /θ +2α)/2 =λ 0, ja kirjoitetaan edellinen muodossa Jos nyt λ λ 0, niin B[u, u] β u H 1 0 () λ 0 u 2 L 2 (). B λ [u, u] Re(B λ [u, u]) Re(B λ0 [u, u]) = Re(B[u, u]) + λ 0 u 2 L 2 () β u H 1 0 (). 31
35 Lause 3.31 (Ensimmäinen olemassaololause heikoille ratkaisuille). On olemassa ei-negatiivinen luku γ 0 siten että jokaisella luvulla µ γ ja jokaisella funktiolla f L 2 () reunaarvo-ongelmalla Lu(x)+µu(x) =f(x) x (3.32) u(x) = 0 x, missä L on kohdassa (3.2) määritelty divergenssimuotoinen differentiaalioperaattori, on yksikäsitteinen heikko ratkaisu u H 1 0(). Todistus. Valitaan γ samoin kuin Lauseessa 3.25 ja asetetaan µ γ. Määritellään bilineaarimuoto B µ [u, v] =B[u, v]+µ(u, v), u, v H0(), 1 missä (, ) on avaruuden L 2 tavallinen sisätulo. Energiaestimaatin (3.30) ja kolmioepäyhtälön mukaan saadaan ja B µ [u, v] B[u, v] + µ (u, v) α u H 1 0 () v H 1 0 () + µ u L 2 () v L 2 () α u H 1 0 () v H 1 0 () B µ [u, u] =B[u, u]+µ(u, u) β u 2 H0 1() γ u 2 L 2 () + µ u 2 L 2 () β u 2 H0 1(), joten Lax-Milgramin lauseen (3.25) ehdot täyttyvät. Kiinnitetään f L 2 () ja asetetaan f, v =(f, v) L 2 (), joka on rajoitettu lineaarinen funktionaali avaruudessa L 2 () ja siis myös sen aliavaruudessa H0(). 1 Nyt Lax-Milgramin lauseen mukaan on olemassa yksikäsitteinen funktio u H0(), 1 joka toteuttaa B µ [u, v] = f, v kaikilla v H0(). 1 Koska määrittelimme f, v =(f, v), niin u H0() 1 on samalla ongelman (3.32) yksikäsitteinen ratkaisu. 32
36 Muotoilemme seuraavaksi Fredholmin alternatiivin osittaisdifferentiaaliyhtälöille. Tämä funktionaalianalyyttinen lause antaa meille uuden näkökulman osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisuihin, erityisesti niiden olemassaoloon ja yksikäsitteisyyteen. Osion ehkäpä tärkein sivutuote on todistus sille, että elliptisen osittaisdifferentiaalioperaattorin käänteisoperaattori on rajoitettu, lineaarinen ja kompakti. Tätä tietoa hyödynnetään tutkittaessa symmetrisen operaattorin ominaisarvoyhtälöitä. Määritelmä 3.33 (Operaattorin adjungaatti). i) Operaattorin L adjungaatti L on L v = (a ij v xj ) xi b i v xi +(c b i,xi )v, i,j i=1 i=1 sillä oletuksella, että b i C(), i=1,..., n. ii) Adjungoitu bilineaarimuoto on määritelty lausekkeella B : H H R B [v, u] =B[u, v] kaikilla u, v H 1 0(). iii) Funktio v H 1 0() on adjungoidun ongelman L v(x) =f(x) x v(x) = 0 x heikko ratkaisu, jos kaikilla u H 1 0() pätee B [v, u] =(f, u). Lause 3.34 (Toinen olemassaololause heikoille ratkaisuille). i) Tasan yksi seuraavista väittämistä on voimassa: 33
37 (a) Jokaiselle f L 2 () on olemassa yksikäsitteinen reuna-arvo-ongelman Lu(x) =f(x), x (3.35) heikko ratkaisu. u(x) = 0, x (b) Homogeeniselle reuna-arvo-ongelmalle Lu(x) = 0, x (3.36) u(x) = 0, x on olemassa ei-triviaali heikko ratkaisu u 0. ii) Lisäksi, jos väittämä (b) on voimassa, yhtälön (3.36) heikkojen ratkaisujen aliavaruuden N H0() 1 dimensio on äärellinen ja yhtäsuuri kuin ongelman L v =0 x (3.37) v =0 x ratkaisujen aliavaruuden N H0() 1 dimensio. iii) Reuna-arvo-ongelmalla (3.35) on heikko ratkaisu, jos ja vain jos (f, v) =0 kaikilla v N. Todistus. Valitaan µ = γ samoin kuin Lauseessa 3.31 ja määritellään bilineaarimuoto B γ [u, v] =B[u, v]+γ(u, v), joka vastaa operaattoria L γ = Lu + γu. Nyt Lauseen 3.31 mukaan jokaiselle g L 2 () on olemassa yksikäsitteinen funktio u H0(), 1 joka ratkaisee yhtälön (3.38) B γ [u, v] =(g, v) kaikilla v H 1 0(). 34
38 Kirjoitetaan seuraavaksi (3.39) u = L 1 γ g, kun (3.38) on voimassa. Huomataan, että u H 1 0() on yhtälön (3.35) ratkaisu, jos ja vain jos (3.40) B γ [u, v] = (γu + f, v) kaikilla v H 1 0(), eli jos ja vain jos (3.41) u = L 1 γ (γu + f). Kirjoitetaan tämä edelleen muotoon (3.42) u Ku = u γl 1 γ u = L 1 γ f = h, missä (3.43) Ku = γl 1 γ u ja (3.44) h = L 1 γ f. Jotta voisimme käyttää Fredholmin alternatiivia 2.26, meidän tulee osoittaa, että K : L 2 () L 2 () on lineaarinen, rajoitettu ja kompakti operaattori. Lineaarisuus on selvä, onhan K lineaarisen operaattorin L käänteisoperaattori. Tarkastetaan tämän jälkeen rajoittuneisuus. Kohdan (3.43) mukaan (3.45) Kg H 1 0 () = γl 1 γ g H 1 0 () = γu H 1 0 () = γ u H 1 0 (). Käytetään energiaestimaattia (3.30) ja Cauchyn-Schwarzin epäyhtälöä, jolloin havaitaan että β u 2 H 1 0 () B γ[u, u] =(g, u) g L 2 () u L 2 () g L 2 () u H 1 0 () u H 1 0 () 1 β g L 2 (). 35
39 Arvioidaan tämän perusteella kohtaa (3.45) Kg H 1 0 () = γ u H 1 0 () C g L 2 (), sopivalla vakiolla C. Tämä osoittaa operaattorin K olevan rajoitettu. Koska H 1 0() L 2 (), niin Rellich-Kondrachovin kompaktisuuslauseen (2.24) mukaan päätämme, että K todella on kompakti operaattori. Nyt voimme oikeutetusti käyttää Fredholmin alternatiivia, Lause 2.26, jonka mukaan joko jokaisella h L 2 () yhtälöllä (3.46) u Ku = h on yksikäsitteinen ratkaisu u L 2 () (3.47) tai Jos (3.46) on voimassa, niin silloin mikä on juuri kohdan (3.35) väite. yhtälöllä u Ku =0 on olemassa ei-triviaaleja ratkaisuja avaruudessa L 2 () u Ku = u γl 1 γ u = L 1 γ (f + γu) L γ u = f + γu Lu + γu = f + γu Lu = f, u = L 1 f = h Toisaalta, jos (3.47) pätee, niin välttämättä γ 0ja Fredholmin alternatiivin mukaan ongelman (3.47) ratkaisujen muodostaman aliavaruuden N dimensio on äärellinen ja yhtäsuuri kuin yhtälön (3.48) v K v =0 γ 36
40 ratkaisuavaruuden N dimensio. Helposti tarkistetaan, että (3.47) on voimassa, jos ja vain jos u on heikko ratkaisu ongelmalle (3.36) ja kohta (3.48) pätee, jos ja vain jos v on ratkaisu kohtaan (3.37). Lauseen viimeisessä kohdassa turvaudutaan jälleen Fredholmin alternatiiviin, jonka mukaan yhtälöllä (3.46) on ratkaisu, jos ja vain jos (3.49) (h, v) = 0 jokaisella yhtälön (3.48) ratkaisulla v. Nyt kohdista (3.43), (3.44) ja (3.48) saadaan laskettua (h, v) = 1 γ (Kf, v) = 1 γ (f, K v)= 1 (f, v). γ Tästä seuraa, että reuna-arvo-ongelmalla (3.35) on ratkaisu, jos ja vain jos (f, v) = 0 kaikilla ongelman (3.37) heikoilla ratkaisuilla v. Näin olemme saaneet kirjoitettua Fredholmin alternatiivin osittaisdifferentiaaliyhtälömuodossa. Seuraavaksi pureudumme olemassaololauseeseen, joka antaa meille syyn määritellä ja tutkia operaattorin L ominaisarvo-ongelman ominaisarvojen muodostamaa joukkoa, eli operaattorin L spektriä. Lause 3.50 (Kolmas olemassaololause heikoille ratkaisuille). Olkoon L symmetrinen osittaisdifferentiaalioperaattori. i) On olemassa enintään numeroituva joukko Σ R siten että reuna-arvo-ongelmalla (3.51) Lu(x) =λu(x)+f(x) x u(x) =0 x on yksikäsitteinen heikko ratkaisu jokaisella f L 2 (), jos ja vain jos λ/ Σ. ii) Jos joukko Σ on ääretön, niin Σ=( λ k ) k=1 ja joukon elementit muodostavat nousevan jonon, jolle pätee λ k, kun k. 37
41 Todistus. Kiinnitetään γ samoin kuin Lauseessa 3.30 ja oletetaan, että (3.52) λ> γ. Oletetaan ilman yleisyyden menetystä, että γ> 0. Fredholmin alternatiivin mukaan reuna-arvo-ongelmalla (3.51) on yksikäsitteinen heikko ratkaisu jokaisella f L 2 (), jos ja vain jos u 0 on ainoa heikko ratkaisu homogeeniselle ongelmalle Lu(x) =λu(x) x u(x) = 0 x. Tämä puolestaan on totta, jos ja vain jos u 0 on ainoa heikko ratkaisu ongelmalle (3.53) Lu(x)+γu(x) = (γ + λ)u(x) x u(x) = 0 x. Edellinen on voimassa tasan silloin, kun (3.54) u = L 1 γ (γ + λ)u = γ + λ Ku, γ missä Ku = γl 1 γ u. Lauseen 3.34 mukaan K : L 2 () L 2 () on rajoitettu, lineaarinen ja kompakti operaattori. Jos nyt u 0 on yhtälön (3.54) ainoa ratkaisu, niin luku (3.55) C = γ γ + λ ei ole operaattorin K ominaisarvo. Samoin huomataan, että osittaisdifferentiaaliyhtälöllä (3.51) on yksikäsitteinen heikko ratkaisu jokaiselle f L 2 (), jos ja vain jos luku C ei ole operaattorin K ominaisarvo. Lauseen 2.29 mukaan kompaktin lineaarisen operaattorin K ominaisarvot muodostavat joko äärellisen joukon, tai jos joukko on ääretön, niin joukon alkiot suppenevat kohti nollaa. Jälkimmäisessä tapauksessa nähdään kohtien (3.52) ja (3.54) perusteella, että alkuperäisellä ongelmallamme (3.51) on yksikäsitteinen heikko ratkaisu kaikilla f L 2 (), lukuunottamatta jonoa (λ k ), jolla λ k, kun k. 38
42 Määritelmä Sanomme, että joukko Σ on operaattorin L reaalinen spektri. Lause 3.57 (Käänteisfunktion rajoittuneisuus). Jos λ/ Σ, niin on olemassa positiivinen vakio C siten että (3.58) u L 2 () C f L 2 (), aina kun f L 2 () ja u H 1 0() on ongelman Lu(x) =λu(x)+f(x) x u(x) =0 x yksikäsitteinen heikko ratkaisu. Vakio C riippuu ainoastaan luvusta λ, alueesta sekä operaattorin L kertoimista. Todistus. Tehdään vastaoletus: on olemassa sellaiset jonot (f k ) k=1, missä f k L 2 (), ja (u k ) k=1, missä u k H 1 0(), että Luk (x) =λu k (x)+f k (x) x u k (x) =0 x heikossa mielessä, mutta joille pätee u k L 2 () >k f k L 2 (), k =1,.... Yleisyyttä menettämättä voimme olettaa, että u k L 2 () =1. Havaitaan, että f k 0 avaruudessa L 2 (), kun k. Energiaestimaatin mukaan jono (u k ) on rajoitettu avaruudessa H 1 0(), joten on olemassa jonon (u k ) k=1 alijono (u k j ) j=1, joka suppenee heikosti kohti funktiota u L 2 (). Näin ollen u on heikko ratkaisu ongelmalle Lu(x) =λu(x) x u(x) = 0 x. Oletimme, että λ/ Σ, joten edellä suoritettujen tarkastelujen mukaan täytyy olla u 0. Tämä kuitenkin on ristiriita, sillä vaatimus u L 2 () =1rajaa triviaaliratkaisun pois. 39
43 Luku 4 Elliptisen operaattorin ominaisarvo-ongelma Tutkitaan reuna-arvotehtävää Lw(x) =λw(x) x (4.1) w(x) = 0 x, missä R n on avoin ja rajoitettu joukko ja λ C. Lineaarialgebrasta muistamme, että tämä tarkoittaa w 0. Kohdassa (3.50) on näytetty, että reaalisten ominaisarvojen joukko Σ= λ R Lw = λw} on enintään numeroituva. 4.1 Symmetrisen elliptisen operaattorin ominaisarvot Seuraavaksi osoitamme, että symmetrisen, reaalisen operaattorin ominaisarvot ovat kaikki reaalisia ja että löytyy ortonormaali kanta w 1,w 2,...} H 1 0(). Tarkastellaan divergenssimuodossa olevaa elliptistä operaattoria 40
44 (4.2) Lu = (a ij u xi ) xj, missä a i,j C (), i, j =1,..., n. i,j=1 Oletamme elliptisyysehdon olevan voimassa ja lisäksi oletamme kertoimien olevan symmetrisiä ja reaalisia. Siis (4.3) a ij = a ji, kun i, j =1,..., n, ja a i,j : R. Operaattori L on näin ollen symmetrinen ja erityisesti operaattoriin liittyvä neliömuoto B[, ] toteuttaa B[u, v] =B[v, u] (u, v H0()). 1 Oletetaan lisäksi, että on yhtenäinen joukko. Lause 4.4 (Symmetrisen elliptisen operaattorin ominaisarvot). i) Jokainen operaattorin L ominaisarvo on reaalinen ii) Jos jokainen ominaisarvo toistetaan sen (äärellisen) kertaluvun mukaan, saadaan Σ=( λ k ) k=1, missä 0 <λ 1 λ 2 λ 3..., ja λ k, kun k iii) Lisäksi on olemassa ortonormaali kanta w k } k=1 L2 (), missä w k H 1 0() on ominaisarvoa λ k vastaava ominaisfunktio Lw(x) =λw(x) x (4.5) w(x) =0 x, k =1, 2,... 41
45 Todistus. Määritellään S = L 1. Kuten aiemmin todettiin, kyseessä on rajoitettu, lineaarinen ja kompakti kuvaus S : L 2 () L 2 (). Väitämme nyt, että S on symmetrinen. Valitaan f, g L 2 (). Nyt siis Sf = u tarkoittaa, että u H 1 0() on ongelmamme heikko ratkaisu Lu = f x u =0 x. Samoin voidaan kirjoittaa Sg = v jollakin v H 1 0(). Nyt saadaan (Sf, g) = (u, g) =(g, u) =B[v, u] ja (f, Sg) = (f, v) =B[u, v]. Koska B[, ] on määritelmänsä mukaan symmetrinen, on nyt (Sf, g) =B[v, u] =B[u, v] = (f, Sg), kaikilla f, g L 2 (). Kompaktien, symmetristen operaattoreiden teoriasta tiedetään, että kaikki käänteisoperaattorin S ominaisarvot ovat reaalisia ja positiivisia ja että näitä vastaavat ominaisvektorit muodostavat ortonormaalin kannan avaruudelle L 2 (). Huomataan, että jos η 0 on ominaisarvo, pätee Sw = ηw. Tämä on voimassa, kun Lw = λw = η 1 w, sillä nyt Sw = S(ηLw) =ηw, missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa operaattoreiden lineaarisuudesta. Näin ollen myös alkuperäisen operaattorin L ominaisarvot ovat kaikki reaalisia ja positiivisia. Määritelmä 4.6. Nimeämme pienimmän positiivisen ominaisarvon λ 1 > 0 pääominaisarvoksi. Lause 4.7. (Variaatioperiaate pääominaisarvolle) i) Pääominaisarvolle pätee (4.8) λ 1 = minb[u, u] u H 1 0(), u L 2 =1}. 42
46 ii) Edellä oleva minimi saavutetaan funktiolla w 1 > 0, joka ratkaisee yhtälön Lw1 (x) =λ 1 w 1 (x), x w 1 (x) =0, x. iii) Jos u H 1 0() on mielivaltainen heikko ratkaisu yhtälölle Lu(x) =λ1 u(x), x u(x) =0, x, niin u = rw 1,r R. Huomautus 4.9. i) Edellisen lauseen kohta iii) kertoo, että pääominaisarvo λ 1 on yksinkertainen, siis erityisesti 0 <λ 1 <λ 2 λ ii) Lauseke (4.8) tunnetaan Rayleighin kaavana ja se on yhtäpitävää yhtälön λ 1 = B[u, u] min, u 0, u H0 1() u 2 L 2 () kanssa. Todistus. Kohdan (4.5) mukaan on olemassa ortonormaali avaruuden L 2 () kanta w k } k=1. Tämän perusteella nähdään, että (4.10) B[w k,w k ] = (λ k w k,w k )=λ k (w k,w k )=λ k w k 2 L 2 () = λ k ja (4.11) B[w k,w l ]=λ k (w k,w l )=0 kaikilla k, l =1, 2,..., missä k l. 43
47 Oletetaan nyt, että u H 1 0() ja että u L 2 () =1, jolloin u voidaan kirjoittaa suppenevana sarjana (4.12) u = missä d k =(u, w k ) L 2. Lisäksi (4.13) d k w k, k=1 d 2 k = u 2 L 2 () =1. k=1 Normitetaan sisätulo B[, ] luvuilla λ 1/2 k, missä λ k on ominaisarvo-ongelmamme ominaisarvo, jolloin kohdista (4.10) ja (4.11) nähdään, että saatu joukko w k on avaruuden H 1 0() ortonormaali osajoukko. } λ 1/2 k=1 k Väitämme nyt, että tämä joukko muodostaa itseasiassa ortonormaalin kannan avaruuteen H 1 0(). Riittää osoittaa, että yhtälöstä B[w k,u]=λ k (w k,u) = 0, missä k =1,..., seuraa välttämättä identiteetti u 0. Tämä nähdään suoraan, sillä B[w k,u]=λ k (w k,u)=λ k w k u dx =0 pakottaa funktion u identtisesti nollaksi, koska w k } k=1 on avaruuden L2 () kanta. Näin ollen pätee kun µ k = B[u, w k ]. Tämä sarja suppenee avaruudessa H 1 0(), koska edellisten perusteella w k λ 1/2 k λ 1/2 k u = k=1 µ k w k λ 1/2 k kaikilla λ k 0, } k=1 on avaruuden H1 0() kanta ja luvut λ k funtion u Fourier-kertoimet tämän kannan suhteen. Kohdan (4.12) mukaan µ k = d k λ 1/2 k ja myös sarja (4.12) suppenee avaruudessa H 1 0(). Nyt kohdista (4.10) ja (4.12) saadaan [ ] B[u, u] =B d k w k, d k w k = k=1 k=1 44 d 2 kb[w k,w k ]= k=1 d 2 kλ k w k 2 k=1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotDirichlet n reuna- ja ominaisarvotehtävät eräälle ei-hypoelliptiselle differentiaalioperaattorille
Dirichlet n reuna- ja ominaisarvotehtävät eräälle ei-hypoelliptiselle differentiaalioperaattorille Jussi Ilmari Pehkonen Matematiikan laitos Helsingin yliopisto 30.5.1996 URN:NBN:fi-fe19991250 (PDF-versio)
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
Lisätiedotu(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;
3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun
LisätiedotReuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät
Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Malliprobleema Kahden pisteen reuna-arvotehtävä u (x) = f (x) (1) u() = u(1) = Jos u C ([,1]) ratkaisu, niin missä x u(x)
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotSobolev-avaruudet. Tero Kilpeläinen
Sobolev-avaruudet Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja 5. kesäkuuta 2007 Sisältö 1. Johdattelua 1 1.1. Perusmerkintöjä.............................. 8 2. L p -avaruudet 9 2.1. Yleistä...................................
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotReaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Lisätiedot7. Laplace-operaattorin ominaisarvoista
7. Laplace-operaattorin ominaisarvoista Värähtelevän jousen ja lämmönjohtumisyhtälöiden ratkaisemisessa päädyttiin seuraavankaltaiseen reuna-arvotehtävään { V = λv välillä (a, b), ja V (a) = V (b) = 0.
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotL p -keskiarvoalueista
L p -keskiarvoalueista Jenni Alamehtä Matematiikan pro gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesäkuu 4 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFOS UNIVESITET UNIVESITY OF HELSINKI TiedekuntaOsasto
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot