F(x) = 1. x x 0 + F(x) = F(x 0) kaikilla x 0 R.

Transkriptio

1 Luku 5 Jatkuvat jakaumat Sellaiset suureet kuten esimerkiksi aika, lämpötila, pituus ja paino ajatellaan tavallisesti jatkuviksi muuttujiksi, ts. muuttujiksi, jotka voivat saada mitä tahansa reaaliarvoja annetulla välillä. Esimerkiksi henkilön ikä on jatkuva satunnaismuuttuja, joka voi saada positiivisia reaalilukuarvoja. Diskreetin satunnaismuuttujan arvoavaruus on äärellinen tai numeroituva, mutta jatkuvan satunnaismuuttujan arvoavaruus on ylinumeroituva. 5. Jatkuvat satunnaismuuttujat Jokaiseen satunnaismuuttujaan liittyy kertymäfunktio. Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio määriteltiin alaluvussa.5. (Määritelmä.4) funktiona F(x) = P(X x), x R. Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on porrasfunktio, joka voidaan lausua hyppyfunktioiden summana (4..) [ks. alaluku 4.]. Lauseen. mukaan funktio F(x) on kertymäfunktio jos ja vain jos seuraavat kolme ehtoa toteutuvat:. lim F(x) = ja lim x F(x) =. x. F(x) on kasvava (ei-vähenevä) funktio. 3. F(x) on oikealta jatkuva eli lim x x + F(x) = F(x ) kaikilla x R. Jos meillä on jokin satunnaismuuttuja X, niin ominaisuudet. 3. voidaan todeta todennäköisyysfunktion P(X x) ominaisuuksien avulla. Jos jokin funktio F(x) toteuttaa ehdot. 3., ei ole aivan helppoa todistaa, että F(x) on todella jonkin satunnaismuuttujan kertymäfunktio. Todistus löytyy vaativista todennäköisyyslaskennan oppikirjoista. Esimerkki 5. Funktio (5..) F(x) = + e x 5

2 5 Luku 5. Jatkuvat jakaumat on esimerkki jatkuvasta kertymäfunktiosta, joka siis toteuttaa Lauseen. ehdot. 3. Koska ja lim x e x =, niin lim F(x) = x lim F(x) =, koska lim x x e x =. Funktio F(x) on kasvava, koska sen. derivaatta F (x) = e x ( + e x ) >. On myös helppo todeta, että F(x) ei ole ainoastaan oikealta jatkuva vaan jatkuva. Satunnaismuuttujan jatkuvuus voidaankin määritellä siihen liittyvän kertymäfunktion jatkuvuuden avulla. Määritelmä 5. Satunnaismuuttuja X on jatkuva, jos sen kertymäfunktio F X (x) on x:n jatkuva funktio. Satunnaismuuttuja X on diskreetti, jos sen kertymäfunktio on x:n porrasfunktio. Vastaavalla tavalla kuin diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio voidaan lausua summana, voidaan jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio lausua integraalina: (5..) P(X x) = F X (x) = x f X (t) dt. Jos f X (t) on jatkuva, niin integraalilaskennan peruslauseen mukaan (5..3) F X(x) = f X (x), missä F X (x) on kertymäfunktion F X(x) derivaatta. Määritelmä 5. Jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f X (x) on funktio, joka toteuttaa yhtälön (5..4) F X (x) = x f X (t) dt kaikilla x R. Esimerkki 5. Olkoon X tiettyyn palvelunumeroon tulevien puheluiden pituus. Oletetaan, että X:n tiheysfunktio on f(x) = e x/, x <.

3 5.. Jatkuvat satunnaismuuttujat 53 Silloin X noudattaa ns. eksponenttijakaumaa keskiarvolla. Nyt Kertymäfunktio on S = { x x < } ja f(x) > kun x S. F(x) = = x / x x e t/ dx = e t/ = e x/. e t/ dx Silloin F (x) = d ( ) e x/ = dx e x/ = f(x), x ja f(x) =, kun x <. Huomaa, että yksittäisen pisteen a R todennäköisyys P(X = a) on aina nolla, jos X on jatkuva satunnaismuuttuja. Silloin erityisesti kaikilla reaaliluvuilla b > a F(b) F(a) = P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b). Esimerkki 5.3 Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f(x) = x, kun < x <. Silloin X:n kertymäfunktio on, x < ; F(x) = x, x < ;, x. Huomaa, että F(x) = x t dt = x, kun x <. Jos kertymäfunktio on annettu, niin tiheysfunktio saadaan derivoimalla kertymäfunktio: F (x) = d dx x = x, x <. Kertymäfunktion avulla voidaan laskea todennäköisyyksiä. Esimerkiksi todennäköisyys ( P < X 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 = F F = =

4 54 Luku 5. Jatkuvat jakaumat f(x) F(x) x F ( 3 ) 4 F ( ) x Kuvio 5.. Jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f(x) = x ja kertymäfunktio F(x) = x. ja ( 3 P 4 < X 3 ) = F ( ) 3 F ( ) 3 = 4 ( ) 3 = Toisaalta tietysti P ( X 3 4) voidaan laskea suoran y = x ja x-akselin väliin jäävänä pinta-alana: ( P X 3 ) = 4 3/4 / x dx = 5 5, joka tietysti voidaan esittää kertymäfunktion avulla. Jatkuvan satunnaismuuttujan momentit määritellään vastaavasti kuin diskreetin satunnaismuuttujan tapauksessa, mutta määritelmässä summa korvataan integraalilla. Jatkuvan satunnaismuuttujan r. momentti on α r = E(X r ) = x r f(x) dx, missä f(x) on X:n tiheysfunktio. Satunnaismuuttujan X r. keskusmomentti on µ r = E[(X µ) r ], missä µ = E(X) = α on X:n odotusarvo. Satunnaismuuttujan X odotusarvo on siis integraali µ = E(X) = xf(x) dx

5 5.. Jatkuvat satunnaismuuttujat 55 ja X:n varianssi σ on. keskusmomentti σ = µ = E[(X µ) ] = (x µ) f(x) dx. Merkitsemme myös E [ (X µ) ] = Var(X), jolloin X:n hajonta on σ = Var(X). Momenttifunktio on (5..5) M(t) = E(e tx ) = e tx f(x) dx, jos integraali 5..5 on olemassa jollakin avoimella välillä ( a, a), missä a >. Tietysti esimerkiksi tulokset σ = E(X ) µ, µ = M (), α = E(X ) = M () pitävät edelleen paikkansa samalla tavalla kuin diskreettien satunnaismuuttujien tapauksessa. Esimerkki 5.4 Lasketaan nyt Esimerkissä 5.3 määritellyn satunnaismuuttujan X odotusarvo ja varianssi: ja µ = E(X) = σ = E(X ) µ = Kolmas momentti on x (x) dx α 3 = E(X 3 ) = x(x) dx = 3 ( ) = 3 / / x 3 (x) dx = 5 x 3 = 3 x = 8. / x 5 = 5

6 56 Luku 5. Jatkuvat jakaumat ja 3. keskusmomentti on µ 3 = E [ (X µ) 3] = = = (x µ) 3 (x) dx (x 3 3µx + 3µ x µ 3 )(x) dx x 3 (x) dx 3µ x (x) dx + 3µ x(x) dx µ 3 x dx = α 3 3µα + 3µ 3 µ 3 = α 3 3µα + µ 3 = ( ) 3 + = = 5. Myös prosenttipisteet ovat tärkeitä jakauman tunnuslukuja. Jakauman p-prosenttipiste π p määritellään seuraavasti: p = π p f(x) dx = F(π p ), p. Prosenttipistettä π.5 kutsutaan mediaaniksi ja pistettä π.5 ja π.75 alakvartiiliksi ja yläkvartiiliksi. Esimerkissä 5.3 käsitellyn jakauman 36 %:n piste on.6, koska F(π.36 ) = π.36 =.6 =.36. Esimerkki 5.5 Olkoon satunnaismuuttujan X kertymäfunktio määritelty seuraavasti, x < ; x F(x) =, x ; ( x), x < ;, x. Tarkistamme ensin, että F on todella kertymäfunktio. Toteamme helposti, että ) lim F(x) = ja lim x F(x) =, x ) F(x) on x:n kasvava (ei-vähenevä) funktio ja 3) F(x) on oikealta jatkuva, koska se on jatkuva.

7 5.. Jatkuvat satunnaismuuttujat 57 Tiheysfunktio saadaan derivoimalla F(x). Nyt siis F (x) = x välillä < x ja F (x) = x välillä x. Näin siis tiheysfunktio on x, < x ; f(x) = x, x ; muualla. Tiheysfunktio voidaan kirjoittaa lyhyesti muodossa f(x) = x, x. Koska X:n tiheysfunktion kuvaaja on kolmion muotoinen, X:n jakaumaa kutsutaan kolmiojakaumaksi. f(x) F(x) F(.55) = x Kuvio 5.. Kolmiojakauman tiheysfunktion ja kertymäfunktion kuvaajat. x Kolmiojakauman odotusarvo on µ = xf(x) dx = x x dx + x( x) dx = / =. x / (x x3 3 ) = 3 ( ) ( ) 3 3 Koska jakauma on symmetrinen odotusarvon suhteen, on myös jakauman mediaani π.5. Se voidaan todeta helposti myös määritelmän perusteella, sillä F() = =.5. Jakauman 9 %:n piste π.9 saadaan ratkaisemalla yhtälö ( π.9) =.9. Ratkaisu on π.9 =. =.55.

8 58 Luku 5. Jatkuvat jakaumat Itse asiassa relaatio (5..4) ei välttämättä ole voimassa kaikilla x:n arvoilla, sillä F(x) voi olla jatkuva, mutta ei derivoituva. Jos f(x) on jatkuva, niin silloin tietysti yhtälö (5..4) pitää paikkansa. Huomattakoon, että jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio ei välttämättä ole jatkuva, mutta kertymäfunktio on. Esimerkki 5.6 Tarkastellaan nyt satunnaismuuttujaa X, jonka tiheysfunktio on { f(x) =, x < ; 3, x. Vastaavasti X:n kertymäfunktio on, x < ; F(x) = x, x < ; 4 + ( ) 3 x, x ;, x. Havaitsemme nyt, että X:n tiheysfunktio ei ole jatkuva. Nyt myöskään F ei 3 f(x) F(x) x 4 x Kuvio 5.3. Satunnaismuuttujan X tiheysfunktion ja kertymäfunktion kuvaajat. ole derivoituva pisteessä. Pisteessä x = ei ole voimassa, että F (x) = f(x). Tässä on esimerkki jatkuvasta satunnaismuuttujasta, jonka tiheysfunktio ei ole jatkuva ja jonka kertymäfunktio ei ole koko määrittelyalueella S derivoituva. Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktiolla voi olla äärellinen määrä epäjatkuvuuspisteitä, mutta kertymäfunktio on jatkuva. Esimerkin 5.6 satunnaismuuttujan tiheysfunktiolla on määrittelyalueellaan yksi epäjatkuvuuspiste ja kertymäfunktio on jatkuva. Relaatio (5..3) pitää paikkansa vain tiheysfunktion jatkuvuuspisteissä, mutta ei epäjatkuvuuspisteissä.

9 5.. Jatkuvat satunnaismuuttujat 59 Esimerkki 5.7 Määritellään satunnaismuuttuja X siten, että sen kertymäfunktio on, x < ; (5..6) F(x) =, x = ; + x, < x < ;, x. F(x) f(x) x x Kuvio 5.4. Satunnaismuuttujan X kertymäfunktion ja tiheysfunktion kuvaajat. Kertymäfunktio ei ole nyt jatkuva, koska funktio hyppää pisteessä x =. Kertymäfunktio ei ole myöskään porrasfunktio. Nyt myös yksittäisellä pisteellä X = on positiivinen todennäköisyys P(X = ) =, joten f(x) ei ole tiheysfunktio. Itse asiassa kertymäfunktio (5..6) voidaan kirjoittaa porrasfunktion (kertymäfunktio) ja jatkuvan kertymäfunktion summana. Alaluvussa 4. määriteltiin hyppyfunktio ε(x) siten, että ε(x) = epänegatiivisilla x:n arvoilla ja ε(x) =, kun x <. Funktio ε(x) on porrasfunktio ja siis diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio. Puoliavoimella välillä (, ] tasajakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan kertymäfunktio on, x ; F c (x) = x, < x < ;, x. Nyt kertymäfunktio (5..6) voidaan kirjoittaa muodossa F(x) = ε(x) + F c(x). Esimerkiksi todennäköisyys ( P X ) = ( ) ε + ( ) F c = + = 3 4. Satunnaismuuttuja X ei ole diskreetti eikä jatkuva.

10 6 Luku 5. Jatkuvat jakaumat Yleisesti jatkuva satunnaismuuttuja voidaan määritellä identiteetin (5..4) avulla olettamatta tiheysfunktion f(x) jatkuvuutta. Jos on olemassa sellainen epänegatiivinen funktio f(x) [ts. f(x) kaikilla x R], että (5..4) pitää paikkansa kaikilla x R, niin kertymäfunktion F(x) sanotaan olevan absoluuttisesti jatkuva. Absoluuttisesti jatkuva funktio on jatkuva. Kaikkien tässä luvussa käsiteltäviät jatkuvien satunnaismuuttujien kertymäfunktiot ovat absoluuttisesti jatkuvia. 5. Tasajakauma ja eksponenttijakauma 5.. Tasajakauma Jatkuva satunnaismuuttuja X noudattaa tasajakaumaa välillä [, ], jos sen tiheysfunktio on tällä välillä ja muualla: {, kun x [, ], (5..) f(x) = muualla. Silloin merkitään X Tas(, ). On helppo todeta, että f(x) on tiheysfunktio, koska f(x) ja f(x) dx = dx =. f(x) F(x) x x Kuvio 5.5. Tasajakauman Tas(, ) tiheysfunktio ja kertymäfunktio. Tasajakauman keskiarvo ja varianssi ovat: E(X) = x dx = ja Var(X) = E(X ) [E(X)] = x dx 4 =.

11 5.. Tasajakauma ja eksponenttijakauma 6 Satunnaismuuttujan X momenttifunktio on M X (t) = e tx dx = / t etx = et. t Huomaa, että M X () =. Olkoon [a, b] annettu suljettu väli, a < b. Silloin satunnaismuuttuja U = (b a)x + a noudattaa tasajakaumaa välillä [a, b]. Silloin merkitään U Tas(a, b). Koska E(U) = (b a) E(X) + a ja Var(U) = (b a) Var(X), niin E(U) = a + b Satunnaismuuttujan U tiheysfunktio on ja Var(U) = (b a). (5..) f(u) = {, kun u [a, b]; b a muualla ja U:n momenttifunktio on e tb e ab M U (t) = t(b a), t ;, t =. 5.. Eksponenttijakauma Poissonin prosessissa tarkastellaan, montako tapahtumaa (lisäystä) sattuu jollain aikavälillä. Merkitään w:n pituisella välillä sattuvien tapahtumien lukumäärää satunnaismuuttujalla X w. Jos Poissonin prosessin intensiteetti on λ, niin Määritelmän 4.3 mukaan todennäköisyys, että w:n pituisella välillä sattuu x tapahtumaa, on λw (λw)x (5..3) P(X w = x) = e. x! Poissonin prosessilla voidaan mallintaa esimerkiksi asiakkaiden saapumista palvelupisteeseen, puheluiden tuloa vaihteeseen, onnettomuuksien sattumista tarkasteltavalla tieosuudella tai autojen kulkua liikenteen tarkkailupisteen ohi. Tällöin ajatellaan, että yksittäiset tapahtumat sattuvat toisistaan riippumatta täysin satunnaisesti. Tarkkaillaan nyt Poissonin prosessia, jonka intensiteetti on λ. Olkoon W odotusaika siihen hetkeen, kunnes seuraava tapahtuma sattuu. Odotusaika on jatkuva satunnaismuuttuja. Jos tarkkailemme prosessia hetkestä t hetkeen t+w eli w:n pituisen aikavälin [t, t+w], niin tapahtuma { W > w } sattuu jos ja vain jos Poissonin prosessissa ei satu yhtään tapahtumaa välillä [t, t + w]. Siksi identiteetin (5..3) mukaan P(W > w) = P(X w = ) = e λw.

12 6 Luku 5. Jatkuvat jakaumat }{{} W =.5 X w Poi(λw) X w = 3 w=.5 {}}{ 3 4 }{{} W 4 =.88 t t + w Aika Kuvio 5.6. Kaaviokuva esittää Poissonin saapumisprosessia, esimerkiksi autojen kulkemista liikenteen tarkkailupisteen ohi. Esimerkiksi W on. auton odotusaika ja W 4 on 3. ja 4. auton välinen aika. Kiinnitetyllä w:n pituisella välillä on kulkenut ohi X w = 3 autoa. Peräkkäiset odotusajat W, W, W 3,... ovat toisistaan riippumattomat ja noudattavat samaa jakaumaa. Odotusajan W kertymäfunktio on siis F(w) = P(W w) = P(W > w) = P(X w = ) = e λw. Koska odotusaika W on epänegatiivinen, niin F(w) =, kun w <. Odotusajan W tiheysfunktio on F (w) = f(w) = λe λw derivointisäännön (5..3) nojalla. Usein merkitään λ =, missä θ >. Sanomme, että W noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla θ ja merkitsem- θ me W Exp(θ). Parametri θ on jakauman keskiarvo. Eksponenttijakauman tiheysfunktio on silloin muotoa (5..4) f(w) = θ e w/θ. Eksponenttijakauman Exp(θ) momenttifunktio on M(t) = e tw θ e w/θ dw = / e ( θt)w/θ θt = θt, t < θ. Eksponenttijakaumalla on vastaava unohtamisominaisuus kuin geometrisella jakaumalla. Jos T Exp(θ), niin (5..5) P(T > a + b T > a) = P(T > b) kaikilla epänegatiivisilla a ja b. Tulos voidaan todistaa laskemalla ehdollinen todennäköisyys P(T > a + b T > a) = P(T > a, T > a + b) P(T > a) = e (a+b)/θ e a/θ = = e b/θ = P(T > b). P(T > a + b) P(T > a)

13 5.. Tasajakauma ja eksponenttijakauma 63 Huomattakoon, että edellä on käytetty tulosta P(T > t) = P(T t) = F(t) = e t/θ, t. Esimerkki 5.8 Oletetaan, että asiakkaiden saapuminen liikkeeseen noudattaa Poissonin prosessia intensiteetillä asiakasta tunnissa. Mikä on todennäköisyys, että myyjä joutuu odottamaan seuraavaa asiakasta yli 5 minuuttia? Olkoon X odotusaika, kunnes seuraava asiakas saapuu. Silloin prosessissa (5..3) λ = /3 asiakasta minuutissa ja X Exp(3), koska eksponenttijakauman keskiarvo θ = /λ. Jakauman Exp(3) tiheysfunktio on f(x) = 3 e x/3, x < ja P(X > 5) = 5 3 e x/3 dx = 5 / e x/3 = e 5/ Jatkuvan jakauman mediaani m on sellainen piste, että F(m) = /. Nyt jakauman Exp(3) mediaanin m tulee toteuttaa ehto F(m) = e m/3 =, joten m = 3 log() Elinaikajakauma Ominaisuuden (5..5) perusteella eksponenttijakauma on sopiva elinajan jakauma silloin, kun jäljellä oleva elinaika ei riipu tämänhetkisestä iästä. Olkoon T esimerkiksi jonkin elektronisen komponentin ikä tunteina. Silloin P(T > b) on todennäköisyys, että uusi komponentti kestää ainakin b tuntia, kun taas P(T > a + b T > a) on todennäköisyys, että a tuntia käytössä ollut komponentti kestää vielä b tuntia. Jos elinaika noudattaa eksponenttijakaumaa, niin ominaisuuden (5..5) nojalla todennäköisyydet P(T > b) ja P(T > a + b T > a) ovat samat kaikilla a ja b. Todennäköisyys, että komponentti rikkoontuu b:n seuraavan tunnin aikana, ei riipu lainkaan siitä, kuinka kauan komponentti on jo ollut käytössä. Funktiota G(t) = P(T > t) kutsutaan eloonjäämisfunktioksi. Eksponenttijakauma määrittelee eloonjäämisfunktion G(t) = e t/θ, jolla on unohtamisominaisuus (5..6) G(t + s) = G(t)G(s), t >, s >. Määritelmänsä nojalla G() = ja G(t), kun t kasvaa. Onko eksponenttifunktion lisäksi muita eloonjäämisfunktioita, joilla on unohtamisominaisuus (5..6)? Voidaan osoittaa, että ehdon (5..6) toteuttavat eloonjäämisfunktiot ovat aina muotoa e λt, λ >.

14 64 Luku 5. Jatkuvat jakaumat Jos elinaika T noudattaa eksponenttijakaumaa Exp(θ), niin vakio λ = θ on hetkellinen kuolleisuusaste tai vaaran aste. Parametri λ säätelee todennäköisyyttä kuolla hetken T = t jälkeisellä yksikön pituisella aikavälillä. Olkoon tarkasteltavan aikavälin pituus. Määritelläään todennäköisyys P(T t + T > t) = P(T > t + T > t) = P(T > ) = e λ, missä viimeistä edellinen yhtäsuuruus saadaan unohtamisominaisuuden (5..6) nojalla. Kun funktiota e λ arvioidaan Taylorin polynomin avulla, saadaan e λ = ( λ + λ ) = λ λ + λ, kun on pieni. Arviointivirhe pienenee merkityksettömäksi verrattuna :aan, kun. Silloin siis P(T t + t > t) λ. G(t) f(t) 4 6 t Kuvio 5.7. Eksponenttijakauman Exp() tiheysfunktio f(t) = e t/ ja vastaava eloonjäämisfunktio G(t) = e t/. Nyt nähdään, että P(T t + T > t) lim on riippumaton ajasta t. Eksponentiaalisesti jakautuneen elinajan tapauksessa kuolleisuusaste λ on iästä riippumaton vakio. Yleisesti kuolleisuusaste λ(t) on tietysti iän funktio. = λ 5.3 Gammajakauma ja χ -jakauma Gammajakaumajakauma on välillä [, ) määritelty jakauma tai jakaumaperhe, koska parametrien vaihdellessa saadaan hyvinkin erinäköisiä jakaumia,

15 5.3. Gammajakauma ja χ -jakauma 65 vaikka ne ovat matemaattisesti samaa muotoa. Gammafunktio (5.3.) Γ(α) = x α e x dx määriteltiin jo Pykälässä.4.7. Jos α >, niin Γ(α) on äärellinen. Jos α on positiivinen kokonaisluku, niin Γ(α) voidaan lausua suljetussa muodossa, muutoin ei. Gammafunktio toteuttaa rekursiivisen relaation Γ(α + ) = αγ(α), joka voidaan osoittaa osittaisintegroinnilla. Jos α = n on positiivinen kokonaisluku, niin Γ(n + ) = nγ(n) = n(n ) Γ() = n!γ(). Koska Γ() =, niin Γ(n + ) = n! kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla. Myös Γ( ) = π on tärkeä erikoistapaus. Funktio (5.3.) f(t) = tα e t Γ(α), < t < määrittelee tiheysfunktion, sillä gammafunktiossa integroitava on positiivinen välillä (, ). Sanokaamme, että (5.3.) on satunnaismuuttujan T tiheysfunktio. Kaikkien gammajakaumien perhe saadaan määrittelemällä satunnaismuuttuja X = βt, missä β on positiivinen vakio. X:n tiheysfunktio voidaan johtaa soveltamalla Lauseen 5.5 muunnostekniikkaa. Merkitsemme X Gamma(α, β) ja sanomme, että X noudattaa gammajakaumaa parametrein α ja β. Jakauman Gamma(α, β) tiheysfunktioksi saadaan (5.3.3) f(x) = Γ(α)β αxα e x/β, < x <, α >, β >. Esitämme nyt gammajakauman perusominaisuudet seuraavassa lauseessa. Lause 5. Oletetaan, että X Gamma(α, β).. Funktio (5.3.3) määrittelee tiheysfunktion kaikilla α >, β >.. E(X) = αβ, Var(X) = αβ ja M(t) = E(e tx ) = ( ) α, t < βt β.

16 66 Luku 5. Jatkuvat jakaumat 3. kaikilla c > α. E(X c ) = Γ(α + c)βc Γ(α) 4. Olkoon U = bx, b >. Silloin U Gamma(α, bβ). Eksponettijakauma on gammajakauman erikoistapaus. Kun sijoitetaan tiheysfunktioon (5.3.3) α =, saadaan f(x; β) = β e x/β, x >. Havaitaan siis, että Gamma(, β) = Exp(β). χ -jakauma Toinen tärkeä gammajakauman erikoistapaus on χ -jakauma. Jos valitaan α = r, missä r on positiivinen kokonaisluku, ja β =, tulee tiheysfunktio (5.3.3) muotoon (5.3.4) f(x) = Γ ( ) r r/ x(r/) e x/, < x <, mikä on χ -jakauman tiheysfunktio vapausastein r. Jos X noudattaa χ - jakaumaa vapausastein r, merkitään X Khi(r). χ -jakauman keskiarvo, varianssi ja momenttifunktio saadaan nyt suoraan gammajakauman avulla. Jos X Khi(r), niin E(X) = r, Var(X) = r ja M(t) = ( t) r/, t <. Odotusaika Poissonin prosessissa Seuraavan tapahtuman odotusaika Poissonin prosessissa noudattaa eksponettijakaumaa. Olkoon W nyt odotusaika, kunnes sattuu α tapahtumaa, missä α on siis positiivinen kokonaisluku. Jos Poissonin prosessin intensiteetti on λ, niin todennäköisyys, että w:n pituisella aikavälillä sattuu x tapahtumaa, saadaan kaavalla (5..3): λw (λw)x P(X w = x) = e. x!

17 5.4. Normaalijakauma 67 Odotusajan W kertymäfunktio, kun W, on F(w) = P(W w) = P(W > w) = P(vähemmän kuin α tapahtumaa välillä [t, t + w]) α λw (λw)x = e, x! x= koska tapahtumien lukumäärä aikavälillä [t, t + w] noudattaa Poissonin jakaumaa keskiarvolla λw [ks. (5..3)]. Laskemalla derivaatta F (w) = f(w) saadaan tiheysfunktio f(w) = λ(λw)α (α )! e λw. Jos w <, niin F(w) = ja f(w) =. Nyt huomaamme, että 5.4 Normaalijakauma ( W Gamma α, ). λ 5.4. Standardimuotoinen normaalijakauma Tarkastelemme nyt todennäköisyysteorian ja tilastotieteen tärkeintä jakaumaa, normaalijakaumaa. Olkoon Z jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on (5.4.) f(z) = π e z / < z <. Silloin Z noudattaa standardimuotoista normaalijakaumaa. Käytetään myös sanontaa Z noudattaa standardoitua normaalijakaumaa. Tarkistamme nyt, että (5.4.) on todellakin tiheysfunktio. Koska f(z) >, pitää vain osoittaa, että Osoitamme siis, että π e z / dz =. (5.4.) e z / dz = π. Emme pysty suoraan integroimaan funktiota e z /, koska sen integraalifunktio ei ole lausuttavissa suljetussa muodossa. Osoittautuu kuitenkin, että integraalin (5.4.) neliö on helppo laskea.

18 68 Luku 5. Jatkuvat jakaumat Integraalin arvo ei muutu, jos integrointimuuttuja nimetään uudelleen, joten I = e z / dz = e x / dx = Riittää osoittaa, että I = π. Nyt ( )( ) I = e x / dx e y / dy e y / dy. = e (x +y )/ dx dy = ( re r / dr )( π dθ ) = π e u du = π. Näin siis tulos (5.4.) pitää paikkansa. Edellä kolmas yhtäsuuruus saadaan siirtymällä napakoordinaatteihin: x = r cosθ ja y = r sin θ. Silloin x + y = r, dx dy = r dθ dr ja integrointirajat ovat < r <, < θ < π. Integraalilla (5.4.) on myös läheinen yhteys gammafunktioon. Koska integraalissa (5.4.) integroitava on symmetrinen nollan suhteen, niin integraalit yli välien (, ) ja (, ) ovat yhtä suuret. Siksi (5.4.3) e z / dz = π. Tekemällä sijoitus x = z integraaliin (5.4.3) saadaan integraali, joka on Γ ( ). Silloin ( ) (5.4.4) Γ = x / e x dx = π. Lause 5. Oletetaan, että Z noudattaa standardoitua normaalijakaumaa. Silloin. Z:n momenttifunktio on. E(Z) = ja Var(Z) =. M(t) = e t /, < t <.

19 5.4. Normaalijakauma 69 Todistus.. Määritelmän mukaan M(t) = e tz π e z / dz. Tehdään sijoitus x = z t. Silloin dz = dx ja e tz e z / = e (t x )/, joten M(t) = e (t x )/ dx = e t / π π e x / dx = e t /. Viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että integraali yli normaalijakauman tiheysfunktion π e x / on.. Koska M(t) = e t /, niin M (t) = te t / ja M (t) = e t / +t e t /. Silloin M () =, M () = ja Var(Z) = M () [M ()] =. Merkitään Z N(, ), missä siis E(Z) = ja Var(Z) =. Seuraavassa pykälässä määritellään normaalijakauma, jonka keskiarvo on µ ja varianssi σ Yleinen normaalijakauma Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa keskiarvolla µ ja varianssilla σ >, jos se voidaan esittää muodossa X = µ + σz, missä Z N(, ). Silloin merkitään X N(µ, σ ). Jos X N(µ, σ ), niin vastaavasti Z = X µ N(, ). σ Seuraavassa lauseessa esitetään jakaumaa koskevat perustulokset. Lause 5.3 Jos X N(µ, σ ), niin. E(X) = µ, Var(X) = σ ja. M X (t) = E ( e tx) = e µt+σ t /, < t <. 3. X:n tiheysfunktio on f(x) = πσ e (x µ) /σ, < x <.

20 7 Luku 5. Jatkuvat jakaumat Todistus.. Koska X N(µ, σ ), niin X = µ + σz, missä Z N(, ). Silloin E(X) = E(µ + σz) = µ + σ E(Z) = µ ja Var(X) = Var(µ + σz) = σ Var(Z) = σ.. Määritelmän mukaan (ks. myös Lause 3.4) M X (t) = E ( e tx) = E [ e t(µ+σz)] = e tµ E ( e tσz) = e tµ M Z (tσ) = e tµ e t σ / = e tµ+t σ /. 3. Tehdään muunnos x = h(z) = µ + σz. Silloin h:lla on käänteisfunktio g ja z = g(x) = x µ sekä g (x) =. Alaluvussa 5.5 esitettävän muunnostekniikan avulla saadaan X:n σ σ tiheysfunktioksi (5.4.5) ( ) x µ f X (x) = f Z σ σ = e (x µ) /σ. π σ Tavallisesti tiheysfunktio kirjoitetaan muodossa f X (x) = πσ e (x µ) /σ, missä σ = + Var(X) = + σ on X:n hajonta. Todistuksessa ei oletettu, että σ >. Esimerkki 5.9 Jos X:n tiheysfunktio on f(x) = 3π e (x+7) /3, < x <, niin X N( 7, 6) ja M X (t) = e 7t+8t. Esimerkki 5. Jos X:n momenttifunktio on M X (t) = e 5t+t, niin X N(5, 4) ja X:n tiheysfunktio on f(x) = 48π e (x 5) /48, < x <.

21 5.4. Normaalijakauma 7 Jos X N(µ, σ ), niin X:n tiheysfunktio saavuttaa maksimin pisteessä x = µ ja käänteispisteet ovat x = µ±σ. Todennäköisyysmassa on jakautunut siten, että missä Z N(, ). Esimerkiksi P( X µ σ) = P( Z ) =.686, P( X µ σ) = P( Z ) =.9544, P( X µ 3σ) = P( Z 3) =.9974, P( X µ σ) = P( Z ) = P( Z ) missä = Φ() Φ( ) = = , Φ(z) = z π e v / dv on standardimuotoisen normaalijakauman kertymäfunktio. Sen arvot on taulukoitu ja se saadaan laskettua useilla ohjelmistoilla. Edellä esitettyjen todennäköisyyksien kahden numeron likiarvoina käytetään tavallisesti lukuja.68,.95 ja.99, jotka eivät ole pyöristettyjä vaan katkaistuja arvoja. Myös yllä esitetyt neljän numeron likiarvot ovat katkaistuja arvoja. Lause 5.4. Olkoon X N(µ, σ ) ja U = ax + b, missä a ja b ovat annettuja vakioita. Silloin U N(aµ + b, a σ ).. Olkoot X, X,..., X n riippumattomat, X i N(µ i, σi ), i =,,..., n ja a, a,..., a n, b ovat annetut vakiot, joista ainakin yksi a i poikkeaa nollasta. Silloin Y = n i= a ix i + b noudattaa normaalijakaumaa ( n n ) Y N a i µ i + b,. i= i= a i σ i Esimerkki 5. Riippumattomat satunnaismuuttujat X, X, X 3 noudattavat normaalijakaumaa siten, että X i N( i, i i ), i =,, 3. Silloin Y = X + X + X 3 N(4, 3), sillä E(Y ) = = 4 ja Var(Y ) = = 3 ja Lauseen 5.4 mukaan Y noudattaa normaalijakaumaa. Satunnaismuuttuja Y = X + X + 3X 3 N(34, 6), koska ja E(Y ) = = 34 Var(Y ) = = 6.

22 7 Luku 5. Jatkuvat jakaumat 5.5 Muuttujien vaihto Oletetaan, että X on jatkuva satunnaismuuttuja, jonka kertymäfunktio on F(x). Lukuisissa sovelluksissa tarvitaan satunnaismuuttujan X jonkin funktion Y = h(x) jakaumaa, kun X:n jakauma tunnetaan. Tehtävänämme on nyt siis määrittää satunnaismuuttujan Y = h(x) jakauma, missä h(x) on x:n reaaliarvoinen funktio Muunnos kertymäfunktio avulla Voimme pyrkiä johtamaan Y :n kertymäfunktion G(y) = P(Y y) suoraan X:n kertymäfunktion F(x) avulla. Y :n tiheysfunktio g(y) voidaan määrittää sitten identiteetin (5..3) avulla, kun G(y) on derivoituva. Esimerkki 5. Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f(x) = 3x, x. Tarkastellaan satunnaismuuttujan Y = X jakaumaa. Silloin Y :n arvoavaruus on S Y = [, ] ja Y :n kertymäfunktio on G(y) = P(Y y) = P(X y) = P( y X y) = y y 3x dx = y / y Derivoimalla saadaan Y :n tiheysfunktioksi x 3 = y3/, y. g(y) = G (y) = 3y/, y. Esimerkki 5.3 Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka kertymäfunktio on F(x) = ( + x)e x, x >. Johdetaan satunnaismuuttujan Y = e X jakauma. Merkitään Y :n kertymäfunktiota G:llä. Silloin G(y) = P(Y y) = P ( e X y ) = P[ X log(y)] = P[X log(y)] = P[X < log(y)] = F[ log(y)],

23 5.5. Muuttujien vaihto 73 missä F(x) on X:n kertymäfunktio. Sijoittamalla x = log(y) X:n kertymäfunktioon saadaan G(y) = [ log(y)]e log(y) = [ log(y)]y. Koska S X = (, ), niin S Y = (, ). Y on jatkuva satunnaismuuttuja, koska G(y) on jatkuva ja sillä on jatkuva derivaatta muualla paitsi pisteessä y =. Y :n tiheysfunktio on { g(y) = G log(y), kun < y < ; (y) = muualla. Huomaa, että log(y) >, kun < y <. Nyt siis g(y) kaikilla y S Y = (, ) Muunnos tiheysfunktion avulla Seuraavaksi esitetään yleinen menetelmä, jonka avulla voidaan johtaa satunnaismuuttujan X funktion Y = h(x) tiheysfunktio suoraan X:n tiheysfunktion f X (x) avulla. Menetelmän edellyttää kuitenkin, että funktiolla h(x) on tarkasteltavalla välillä käänteisfunktio. Esimerkiksi funktion y = e x käänteisfunktio on x = log(y). Myös funktio y = x on kääntyvä, kun x >, sillä silloin x = y. Funktio y = x ei ole kääntyvä koko reaaliakselilla, koska silloin x = ± y, joka ei ole funktio. Huomattakoon, että jatkuva funktio h(x) on kääntyvä, jos ja vain jos se on joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Lineaarinen munnos Tarkastellaan ensin yksinkertaista lineaarista muunnosta Y = ax + b, missä a ja b ovat annettuja vakioita. Nyt siis h(x) = ax + b. Funktion y = h(x) derivaatta on dy dx = h (x) = a. Funktiolla h(x) on käänteisfunktio ja g(y) = y b a, a dy dx = g (y) = a. Esimerkki 5.4 Oletetaan, että X Tas(.5,.5) ja Y = X. Mitä jakaumaa Y noudattaa? Kuviossa 5.8 on alueen A pinta-ala P[X (x, x + x)] = f X (x) x = x

24 74 Luku 5. Jatkuvat jakaumat 3 y = x y + y y f Y (y) {}}{ B x } A }{{} f X (x).5 x x + x.5 x Kuvio 5.8. Tasajakaumaa Tas(.5,.5) noudattavan satunnaismuuttujan X lineaarinen muunnos. ja alueen B pinta-ala P[Y (y, y + y)] = f Y (y) y. Tapahtumat X (x, x + x) ja Y (y, y + y) sattuvat täsmälleen samanaikaisesti, joten (5.5.) P[X (x, x + x)] = P[Y (y, y + y)]. Koska y = x ja y + y = (x+ x), niin y = x ja identiteetistä (5.5.) seuraa, että f Y (y) =. Koska.5 < x <.5, niin < y < 3. Näin siis Y Tas(, 3): { f Y (y) =, < y < 3;, muualla. Olkoon X satunnaismuuttuja, jonka arvoavaruus on S X. Silloin satunnaismuuttujan Y = h(x) arvoavaruus S Y määräytyy siten, että X S X Y S Y. Seuraavassa lauseessa esitettävässä menetelmässä oletetaan, että funktio y = h(x) on tarkasteltavalla arvoalueella kääntyvä. Silloin on olemassa sellainen funktio x = g(y), että y = h(x) x = g(y).

25 5.5. Muuttujien vaihto 75 Lause 5.5 Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X (x) ja arvoavaruus S X. Olkoon Y = h(x) sellainen funktio, että sillä on käänteisfunktio x = g(y) ja käänteisfunktion derivaatta g (y) on olemassa kaikilla y S Y, missä S Y on Y :n arvoavaruus. Silloin Y :n tiheysfunktio on f Y (y) = f X ( g(y) ) g (y), y S Y. Todistus. Oletuksen mukaan g(y) on derivoituva, joten se on jatkuva. Koska h ja g ovat kääntyviä, niin h ja g ovat molemmat joko kasvavia tai väheneviä. Oletetaan h ja g ovat väheneviä. Silloin F Y (y) = P(Y y) = P(h(X) y) = P(X g(y)) = F X ( g(y) ). Derivoidaan F X [g(y)] ketjusäännön avulla, jolloin saadaan f Y (y) = F Y (y) = F X( g(y) ) g (y) = f X ( g(y) ) g (y) = f X ( g(y) ) g (y). Viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että g (y) on negatiivinen, koska g on vähevä. Jos h ja g ovat kasvavia, niin todistus on melkein samanlainen ja se jätetään harjoitustehtäväksi. Esimerkki 5.5 Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f X (x) = e x ja S X = { x x > }. Olkoon Y = X /, joten X = Y = g(y ) ja S Y = S X. Koska g (y) = y, niin f Y (y) = f X (y ) y = ye y, y >. Tarkastellaan vielä satunnaismuuttujaa V = e X. Silloin X = log(v ). Merkitään nyt log(v ) = g(v ). Silloin S V = [, ] ja g (v) = /v. Siksi f V (v) = f X [ log(v)] v = v v =, joten V noudattaa tasajakaumaa välillä [, ]. Mikäli muunnosfunktiolla h ei ole käänteisfunktiota X:n arvoavaruudessa S X, niin Lauseen 5.5 muunnosmenetelmää ei voi suoraan soveltaa. Jos kuitenkin on olemassa sellainen S X :n ositus yhteispisteettömiin osaväleihin A, A,..., A m, että (5.5.) S X = A A A m ja h on kääntyvä jokaisella osavälillä, voidaan muunnos tehdä jokaisella osavälillä erikseen. Sitä varten määritellään funktiot { h i (x), kun x A i ; h(x) = muualla.

26 76 Luku 5. Jatkuvat jakaumat Silloin h(x) voidaan kirjoittaa muodossa h(x) = m i= h i(x), missä jokainen h i (x) on kääntyvä välillä A i. Olkoot funktioiden h i käänteisfunktiot vastaavasti g i, i =,,..., m. Satunnaismuuttujan Y = h(x) tiheysfunktio voidaan nyt esittää Lauseen 5.5 avulla muodossa (5.5.3) f Y (y) = m ( f X gi (y) ) g i (y). y S Y. i= Huomattakoon, että joskus tarvitaan äärellisen osituksen (5.5.) sijasta ositus, jossa jakovälejä A, A,... on ääretön määrä (m = ) Normaalimuuttujan muunnokset Jos X N(, ), niin X:n tiheysfunktio on f(x) = π e x /, < x <, joka on standardimuotoisen normaalijakauman tiheysfunktio. Johdetaan nyt satunnaismuuttujan U = X jakauma. Muunnosfunktio u = h(x) = x ei ole kääntyvä, koska x = ± u ei ole funktio. Siksi esitämme arvoavaruuden S X = { < x < } ositettuna muodossa S X = (, ] (, ). Silloin funktiolla h(x) on välillä (, ] käänteisfunktio g (u) = u ja välillä (, ) käänteisfunktio g (u) = u. Nyt siis kaavan (5.5.3) mukaan U:n tiheysfunktio on (5.5.4) f U (u) = f X ( u) u + f X( u) u = e u/, πu kun u (, ). U noudattaa χ -jakaumaa vapausastein. Käsittelemme tilastotieteessä tärkeää χ -jakaumaa vielä jatkossa tarkemmin. Lause 5.6 Jos X N(µ, σ ), σ >, niin silloin (X µ) σ Khi(). Todistus. Koska X N(µ, σ ), niin määritelmän mukaan X µ = Z σ N(, ). Edellä näytettiin, että Z Khi(). Näin on lause todistettu. Lause 5.7 Jos Z i :t ovat riippumattomat ja Z i N(, ), i =,,..., n, niin Z + Z + Z n Khi(n).

27 5.6. Satunnaismuuttujan odotusarvo 77 Jos tehdään otos normaalijakaumasta N(, ), niin Lauseen 5.7 mukaan havaintojen neliösumma noudattaa Khi-jakaumaa vapausastein n, missä n on otoskoko. Seuraus 5. Jos X i :t ovat riippumattomat ja X i N(µ, σ ), i =,,..., n, niin n (X i µ) Khi(n). i= σ Jos vastaavasti tehdään n:n suuruinen otos normaalijakaumasta N(µ, σ ), niin Seurauslauseen 5. mukaan standardoitujen havaintojen neliösumma noudattaa Khi-jakaumaa vapausastein n. Lause 5.8 Olkoot X ja X riippumattomat ja X i Khi(n i ), i =,. Silloin X + X Khi(n + n ). 5.6 Satunnaismuuttujan funktion odotusarvo Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio f(x) on määritelty arvoavaruudessa S. Olkoon h(x) satunnaismuuttujan X reaaliarvoinen funktio, joka siis määrittelee uuden satunnaimuuttujan. Määritelmä 5.3 Jos X on jatkuva satunnaismuuttuja, niin satunnaismuuttujan h(x) odotusarvo on (5.6.) E[h(X)] = h(x)f(x) dx, S mikäli E ( h(x) ) <. Jos E ( h(x) ) =, niin sanomme, että E[h(X)] ei ole olemassa. Huomautus 5. Odotusarvon E[h(X)] olemassaolo tarkoittaa siis sitä, että funktion h(x) odotusarvo on äärellinen. Jos X noudattaa esimerkiksi eksponenttijakaumaa keskiarvolla, niin f(x) = e x ja S = [, ). Silloin X:n odotusarvo on E(X) = xe x dx / = ( xe x ) + = e x dx =, e x dx (osittaisintegrointi)

28 78 Luku 5. Jatkuvat jakaumat joten odotusarvo on olemassa. Hyvin usein odotusarvot ovat epäoleellisia integraaleja, niin kuin tässäkin esimerkissä. Jos h(x) integroituu itseisesti, eli h(x) S on äärellisenä olemassa, niin E[h(X)] on olemassa. Funktio V = h(x) on satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio g(v) on määritelty arvoavaruudessa S V = { v v = h(x), x S }. Silloin E[h(X)] = E(V ) = vg(v). S V Esimerkki 5.6 Tarkastellaan nyt Cauchyn jakaumaa noudattavaa satunnaismuuttujaa X, jonka tiheysfunktio on (5.6.) f(x) =, < x <. π( + x ) Kaava (5.6.) todellakin määrittelee tiheysfunktion, koska π( + x ) dx = π / arctan(x) = π π =. Osoitamme nyt, että E( X ) =, mistä seuraa, että Cauchyn jakaumalla ei ole keskiarvoa. Symmetrian nojalla voidaan kirjoittaa E( X ) = Jokaista reaalilukua M > kohti saadaan x π( + x ) dx = x π + x dx. M Tästä seuraa, että x ( + x ) dx = M/ log( + x ) = log( + M ). M x E( X ) = lim M π + x dx = π lim log( + M M ) =, joten E(X) ei ole olemassa.

29 5.6. Satunnaismuuttujan odotusarvo 79 Taulukko 5.. Tärkeitä odotusarvoja. h(x) E[h(X)] Merkintä Nimitys x E(X) µ odotusarvo x r E(X r ) α r r. momentti x (r) E[X (r) ] g r r. tekijämomentti (x µ) E[(X µ) ] σ varianssi (x µ) r E[(X µ) r ] µ r r. keskusmomentti 5.6. Momentifunktio ja momentit Kun h(x) = X r, niin E[h(X)] = E(X r ) on X:n r. momentti. Jatkuvien satunnaismuuttujien momentit määritellään vastaavasti kuin diskreettien satunnaismuuttujien momentit. Summalausekkeet vain korvataan integraaleilla. Taulukossa 5. esitetään yhteenveto eri momenteista Momenttifunktio määriteltiin 3. luvussa (Määritelmä 3.) ja jatkuville satunnaismuuttujille alaluvussa 5. [ks. identiteetti (5..5)]. Jatkuvan satunnaismuuttujan X momentifunktio on M(t) = E(e tx ) = e tx f(x) dx, t A, S missä f(x) on X:n tiheysfunktio ja A sellainen t:n arvojen joukko, että M(t) on äärellinen kaikilla t A. Koska M() =, niin A. Sanomme, että M(t) on olemassa, jos ( a, a) A jollakin a >. Momenttifunktion perusominaisuudet esitettiin Pykälässä Esimerkki 5.7 Huomautuksessa 5. laskettiin odotusarvo E(X), kun X Exp(). Silloin X:n tiheysfunktio on f(x) = e x välillä S = [, ) ja f(x) = muualla. Kaikki momentit E(X r ) voidaan määrittää osittaisintegroinnilla, mutta käytetämme nyt momenttifunktiota, joka on M(t) = E(e tx ) = e tx e x dx = t, t <. Derivoimalla M(t) toistuvasti r kertaa saadaan M (r) (t) = r! ( t) k+. Siksi joten E(X r ) = M (r) () = r!, µ = E(X) =, E(X ) =, σ = E(X ) µ =. Erityisesti keskiarvo µ, varianssi σ ja hajonta σ = Var(X) ovat tavallisimmat tunnusluvut, joilla jakaumaa luonnehditaan. Jakauman yksityiskohtaisemmassa tarkastelussa voidaan käyttää myös korkeampia momentteja, mikäli ne ovat olemassa.

30 8 Luku 5. Jatkuvat jakaumat Vinous ja huipukkuus Satunnaismuuttujan. momentti µ määrittää jakauman sijainnin. Keskistetyn muuttujan X µ toinen momentti (keskusmomentti) on varianssi σ ja se mittaa todennäköisyysmassan hajaantumista. Normeeratun muuttujan (X µ)/σ kolmas ja neljäs momentti luonnehtivat jakauman muotoa. Jakauman vinouskerroin, josta käytetään merkintää γ, määritellään seuraavasti: ) ] 3 (5.6.3) γ = E [ (X µ σ = µ 3 σ 3, missä µ 3 on jakauman 3. keskusmomentti ja σ = Var(X) on hajonta. Olkoon X:n tiheysfunktio f(x). Silloin X:n jakauma on symmetrinen pisteen a suhteen, jos f(a x) = f[ (a x)] kaikilla x:n arvoilla. Jos E(X) on olemassa, niin silloin E(X) = a. Symmetrisen jakauman vinouskerroin on nolla. Jos jakaumalla on pitkä häntä oikealle, kuten Poissonin jakaumalla ja geometrisella jakaumalla, niin jakauma on positiivisesti vino ja γ >. Jos jakaumalla on pitkä häntä vasemmalle, niin γ <. Jakaumalla on tietysti oltava 3. momentti, jotta vinouskerroin voidaan laskea. Huomaa, että Cauchyn jakauma, jonka tiheysfunktio on f(x) =, < x <, π( + x ) on symmetrinen pisteen a = suhteen, mutta ei ole jakauman keskiarvo, koska jakaumalla ei ole keskiarvoa (ks. Esimerkki 5.6). Cauchyn jakauman vinouskerrointa ei voida laskea, vaikka määritelmän nojalla voimme todeta jakauman olevan symmetrinen. Huipukkuuskerrointa merkitään γ ja se määritellään 4. keskusmomentin avulla seuraavasti: ) ] 4 (5.6.4) γ = E [ (X µ σ = µ 4 σ 4, missä µ 4 on X:n 4. keskusmomentti. Standardimuotoisen normaalijakauman N(, ) huipukkuus on 3. Jos jakaumalla on paksummat hännät kuin normaalijakaumalla N(, ), niin silloin γ > 3. Jos hännät ovat ohuemmat kuin normaalijakaumalla N(, ), niin γ < 3. Usein huipukkuuden mittana käytetäänkin poikkeamaa normaalijakauman N(, ) huipukkuudesta: µ 4 σ Kaksiulotteiset jakaumat Tarkastellaan nyt kahden jatkuvan satunnaismuuttujan yhteisjakaumaa. Yleistys usean muuttujan tapaukseen on sen jälkeen suoraviivainen.

31 5.7. Kaksiulotteiset jakaumat 8 Määritelmä 5.4 Olkoot X ja Y samassa otosavaruudessa määritellyt jatkuvat satunnaismuuttujat. Olkoon kaksiulotteisen jatkuvan satunnaismuuttujan (X, Y ) arvoavaruus S. Funktio f(x, y) on (X, Y ):n tiheysfunktio (X:n ja Y :n yhteisjakauman tiheysfunktio), jos sillä on seuraavat ominaisuudet:. f(x, y) kaikilla (x, y) R,. f(x, y) dx dy = ja 3. P[(X, Y ) A] = f(x, y) dx dy, (x,y) A missä (X, Y ) A on tasossa määritelty tapahtuma. Esimerkki 5.8 Olkoon X:n ja Y :n yhteisjakauman tiheysfunktio f(x, y) = 3 x ( y ), < x <, < y <. Määritellään A = { (x, y) < x <, < y < x }. Todennäköisyys, että (X, Y ) A, on P[(X, Y ) A] = = x 3 3 x ( y) dy dx = ) (x 3 x4 dx = 3 / 3 x / x (y y ( ) x 4 4 x5 = 9 4. ) dx 5.7. Reunajakauma ja ehdollinen jakauma Kaksiulotteista satunnaismuuttujaa (X, Y ) kutsutaan kaksiulotteiseksi satunnaisvektoriksi. Silloin X ja Y ovat tietysti (yksiulotteisia) satunnaismuuttujia. X:n reunajakauman tiheysfunktio, jota merkitään f X (x), on pelkästään X:n tiheysfunktio, jossa Y :tä ei oteta huomioon. Satunnaismuuttujan X ehdollinen tiheysfunktio ehdolla Y = y on on X:n tiheysfunktio, kun Y :n arvo tunnetaan. X:n ehdollista tiheysfunktiota ehdolla Y = y merkitään f X (x Y = y) tai lyhyesti f X (x y). Määritelmä 5.5 Olkoon f(x, y) jatkuvan satunnaisvektorin (X, Y ) tiheysfunktio ja S sen arvoavaruus. Silloin satunnaismuuttujat X ja Y ovat jatkuvia ja niiden reunajakaumien tiheysfunktiot ovat f X (x) = f(x, y) dy, x S X ; f Y (y) = f(x, y) dx, y S Y,

32 8 Luku 5. Jatkuvat jakaumat missä S X on X:n ja S Y on Y :n arvoavaruus. Satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomat jos ja vain jos (5.7.) f(x, y) = f X (x)f Y (y) kaikilla x S X ja y S Y ; muutoin X ja Y riippuvat toisistaan. Esimerkki 5.9 Olkoon X:n ja Y :n yhteisjakauman tiheysfunktio f(x, y) =, x y, muualla f(x, y) =. Satunnaisvektorin (X, Y ) arvoavaruus on S = { (x, y) x y }. y y = x S S = { (x, y) x y } x Kuvio 5.9. Tasajakauman f(x, y) = määrittelyalue S. Silloin esimerkiksi todennäköisyys ( P X, Y ) ( = P X Y, Y ) = / y dy dx = / y dy = 4. Reunajakaumien tiheysfunktiot ovat f X (x) = dy = ( x), x, x ja f Y (y) = y dx = y, y.

33 5.7. Kaksiulotteiset jakaumat 83 Lasketaan vielä X:n ja Y :n odotusarvot sekä Y :n. momentti. E(X) = E(Y ) = E(Y ) = x y y x dy dx = y dx dy = y dx dy = x( x) dx = 3, y dy = 3, y 3 dy =. Odotusarvot E(X), E(Y ) ja E(Y ) voidaan laskea joko suoraan reunajakaumasta tai sitten yhteisjakaumasta. Nähdään helposti, että Esimerkissä 5.9 satunnaismuuttujat X ja Y eivät ole riippumattomat, koska f X (x)f Y (y) = ( x)y f(x, y) =, (x, y) S. Sen sijaan voidaan osoittaa, että Esimerkissä 5.8 satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomat. Jatkuvan satunnaismuuttujan ehdollinen tiheysfunktio määritellään seuraavasti: Määritelmä 5.6 Jos jatkuvan satunnaisvektorin (X, Y ) tiheysfunktio on f(x, y) ja arvoavaruus S, niin X:n ehdollinen tiheysfunktio ehdolla Y = y on f X (x y) = f(x, y) f Y (y), ja Y :n ehdollinen tiheysfunktio ehdolla X = x on f Y (y x) = (x, y) S f(x, y), (x, y) S. f X (x) Huomattakoon, että Määritelmässä 5.6 oletetaan, että f Y (y) > ja f X (x) >. Esimerkki 5. Olkoot satunnaismuuttujat X ja Y samat kuin Esimerkissä 5.9 Silloin f(x, y) =, x y, f X (x) = ( x), x, f Y (y) = y, y. Määritetään nyt Y :n ehdollisen jakauman tiheysfunktio, kun X = x on annettu. Määritelmän 5.6 mukaan f(y x) = f(x, y) f X (x) = ( x) =, x y, x. x

34 84 Luku 5. Jatkuvat jakaumat Y :n ehdollinen odotusarvo ehdolla X = x on E(Y x) = x y x dy = Samalla tavalla voidaan osoittaa, että on / y ( x) = + x x E(X y) = y, y., x. Suoraan määritelmän perusteella Y :n ehdollinen varianssi ehdolla X = x E ( [Y E(Y x)] x ) = = = x / x ( y + x ) x dy ( y + x ) 3 3( x) ( x). Jos U Tas(a, b), niin E(U) = a+b ja Var(U) = (b a). Koska Y :n ehdollinen jakauma ehdolla X = x on Tas(x, ), niin olisimme voineet tasajakau- man ominaisuuksien perusteella suoraan todeta, että E(Y x) = x + Lasketaan vielä ehdollinen todennäköisyys P(3/4 Y 7/8 X = /4) = ja Var(Y x) = 7/8 3/4 f(y /4) dy = ( x). 7/8 3/4 3/4 dy = 6. Havaitsimme edellisessä esimerkissä, että Y :n ehdollinen odotusarvo on x:n lineaarinen funktio: E(Y x) = + x, x. Jos E(Y x) on lineaarinen, niin pitää yleisesti paikkansa, että E(Y x) = µ Y + ρ σ Y σ X (x µ X ), missä ρ = Cor(X, Y ) on X:n ja Y :n välinen korrelaatio, σ X on X:n hajonta ja σ Y on Y :n hajonta. Jos E(X y) on lineaarinen, niin E(X y) = µ X + ρ σ X σ Y (y µ Y ).

35 5.7. Kaksiulotteiset jakaumat 85 Ehdollisten odotusarvojen E(Y x) ja E(X y) yhtälöissä kertoimien ρ σ Y σ X ja ρ σ X σy tulo on ρ. Esimerkissä 5. näiden kertoimien tulo on ρ =. Siksi 4 ρ =, koska molemmat kertoimet ovat positiiviset. Näiden kertoimien suhde on σy /σ X ja esimerkissä tämä suhde on. Tästä voimme päätellä, että Esimerkissä 5. σx = σ Y. Satunnaismuuttujien X ja Y riippumattomuuden tarkistaminen suoraan relaation (5.7.) perusteella edellyttää reunajakaumien tiheysfunktioiden f X (x) ja f Y (y) tuntemista. Seuraava apulause tekee riippumattomuuden tarkistamisen jonkin verran helpommaksi, koska siinä ei edellytetä reunajakaumien tuntemista. Apulause 5. Olkoon (X, Y ) kaksiulotteinen satunnaisvektori, jonka yhteisjakauman tiheysfunktio on f(x, y). Silloin satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomat, jos ja vain jos on olemassa sellaiset funktiot g(x) ja h(y), että f(x, y) = g(x)h(y) kaikilla x R ja kaikilla y R, missä g riippuu vain x:stä ja h vain y:stä. Kertymäfunktio Kaksiulotteinen jakauma voidaan täydellisesti luonnehtia kertymäfunktionsa avulla. Satunnaisvektorin (X, Y ) yhteisjakauman kertymäfunktio F(x, y) määritellään relaatiolla F(x, y) = P(X x, Y y) missä (x, y) R. Tiheysfunktion avulla lausuttuna kertymäfunktio on F(x, y) = x y f(s, t) ds dt. Integraalilaskennan peruslause kahden muuttujan tapauksessa sanoo, että (5.7.) F(x, y) x y = f(x, y) kaikissa f(x, y):n jatkuvuuspisteissä. Relaatio (5.7.) on hyödyllinen silloin, kun kertymäfunktio tunnetaan ja halutaan johtaa tiheysfunktio. Silloin tiheysfunktio f(x, y) saadaan derivoimalla F(x, y) sekä x:n että y:n suhteen eli laskemalla osittaisderivaatta F(x,y) x y. Esimerkki 5. Olkoon X:n ja Y :n yhteisjakauman kertymäfunktio xy, x ja y ; y, x >, y ; F(x, y) = x, y >, x ;, x > ja y > ;, x < tai y <.

36 86 Luku 5. Jatkuvat jakaumat Laskemalla osittaisderivaatta F(x,y) saadaan x y {, x, y ; f(x, y) = muualla. Satunnaisvektori (X, Y ) noudattaa siis kaksiulotteista tasajakaumaa Tas[(, ) (, )]. Todennäköisyys voidaan lausua kertymäfunktion avulla seuraavasti: P(x X x, y Y y ) = x y x Yleisesti pitää paikkansa, että P(x X x, y Y y ) y dy dx = / x x / y y xy = (x x )(y y ) = x y x y x y + x y = F(x, y ) F(x, y ) F(x, y ) + F(x, y ). = F(x, y ) F(x, y ) F(x, y ) + F(x, y ). Kahden muuttujan tasajakauman Tas[(, ) (, )] tapauksessa todennäköisyys P ( X, Y 3 4 4) on ( F, 3 ) ( F 4, ) ( F 4, 3 ) ( + F 4 4, ) = = Yhteisjakauman momenttifunktio Kaksiulotteisen diskreetin satunnaisvektorin momenttifunktio määriteltiin alaluvussa Jatkuvien satunnaismuuttujien X ja X yhteisjakauman eli jatkuvan satunnaisvektorin (X, X ) jakauman momenttifunktio määritellään samalla tavalla kuin diskreetissä tapauksessa. Olkoon (X, X ) jatkuva satunnaisvektori ja t X +t X satunnaismuuttujien X ja X lineaarinen yhdiste, missä t, t R. Satunnaisvektorin (X, X ) jakauman momenttifunktio on M(t, t ) = E ( e t X +t X ). Jatkuvien satunnaismuuttujien tapauksessa odotusarvon lauseke on muotoa E ( e t X+t X ) = e t x +t x f(x, x ) dx dx.

37 5.7. Kaksiulotteiset jakaumat 87 Merkitään M i (t, t ) = M(t, t ) t i, M ii (t, t ) = M(t, t ), t i M ij (t, t ) = M(t, t ), t i t j missä M i (t, t ) on M:n osittaisderivaatta t i :n suhteen, M ii (t, t ) on M:n. osittaisderivaatta t i :n suhteen ja M ij (t, t ) on osittaisderivaatta t i :n ja t j :n suhteen (i =, ; j =, ). Esitämme nyt seuraavassa lauseessa, miten momenttifunktio generoi satunnaisvektorin momentit. Lause 5.9 Oletetaan, että satunnaisvektorilla (X, X ) on momenttifunktio. Silloin E(X i ), E(X i ) ja E(X ix j ) ovat äärelliset ja E(X i ) = M i (, ), E(X i ) = M ii(, ), E(X i X j ) = M ij (, ) kaikilla i =, ja j =,. Esimerkiksi X :n odotusarvo saadaan derivoimalla ensin momenttifunktio t :n suhteen ja sijoittamalla sitten derivaatan lausekkeeseen t = ja t =. Sekamomentti E(X X ) saadaan määrittämällä toisen kertaluvun osittaisderivaatta M (t, t ) (derivoidaan momenttifunktio t :n ja t :n suhteen) ja laskemalla osottaisderivaatan arvo M ij (, ) pisteessä (t, t ) = (, ). Esimerkki 5. Jos Z ja Z ovat riippumattomat ja noudattavat standardimuotoista normaalijakaumaa, niin (Z, Z ) noudattaa kaksiulotteista standardimuotoista normaalijakaumaa. (Z, Z ):n momenttifunktio on M(t, t ) = E ( e t Z +t Z ) = E(e t Z ) E(e t Z ) = e t / e t / = e (t +t )/. Tässä tapauksessa M (t, t ) = t e (t +t )/, joten E(X ) = M (, ) =. Vastaavasti M = e (t +t )/ + t e (t +t )/ ja E(X ) = M (, ) =. Huomattakoon, että myös satunnaisvektoreiden tapauksessa pätee momenttifunktioden yksikäsitteisyyttä koskeva lause (vrt. Lause 3.). Jos siis satunnaisvektoreilla (X, X ) ja (Y, Y ) on sama momenttifunktio, niin niillä on sama jakauma. Reunajakaumien momenttifunktiot saadaan kätevästi yhteisjakuman momenttifunktiosta. Lause 5. Oletetaan, että satunnaisvektorin (X, Y ) momenttifunktio on M(s, t) sekä X:n ja Y :n momenttifunktiot vastaavasti M X (s) ja M Y (t).. Silloin M X (s) = M(s, ) ja M Y (t) = M(, t).. X ja Y ovat riippumattomat jos ja vain jos M(s, t) = M X (s)m Y (t).

38 88 Luku 5. Jatkuvat jakaumat 5.8 Kahden muuttujan normaalijakauma 5.8. Standardimuoto Oletetaan, että satunnaismuuttujat Z ja V ovat riippumattomat ja noudattavat standardimuotoista normaalijakaumaa. Silloin Z:n ja V :n riippumattomuuden nojalla satunnaisvektorin (Z, V ) yhteisjakauman tiheysfunktio on (5.8.) f Z,V (z, v) = f(z)f(v) = π e z / π e v / = π e (z +v )/. Sanomme, että satunnaisvektori (Z, V ) noudattaa kaksiulotteista standardimuotoista normaalijakaumaa ja funktio (5.8.) on tämän jakauman tiheysfunktio. Merkitään (Z, V ) N (, I), missä on -nollavektori eli = (, ) T. Merkintä (, ) T tarkoittaa vektorin (, ) transponointia, joka muuntaa vaakavektorin (, ) pystytoriksi. Matriisi ( ) I = on -identiteettimatriisi. Yhteisjakauman reunajakaumien keskiarvot ovat E(Z) = E(V ) = ja varianssit Var(Z) = Var(V ) = sekä Cov(Z, V ) =. Satunnaisvektorin (Z, V ) odotusarvovektori on [E(Z), E(V )] T = ja kovarianssimatriisi ( Var(Z) Cov(Z, V ) Cov(V, Z) Var(V ) ) = ( Huomaa, että aina Cov(Z, V ) = Cov(V, Z), joten kovarianssimatriisi on symmetrinen. Voidaan merkitä myös (Z, V ) N (, ;,, ), missä odotusarvot, varianssit ja korrelaatio on annettu sulkeissa Korreloivat muuttujat Oletetaan, että X N(, ) ja Z N(, ) ovat riippumattomat. Niiden avulla voidaan konstruoida normaalijakaumaa noudattava satunnaismuuttuja Y siten, että X ja Y korreloivat. Kiertämällä x-akselia kulman θ verran vastapäivään saadaan y-akseli (Kuvio 5.). Projisoidaan satunnaispiste (X, Z) y-akselille ja merkitään tätä projektiota Y :llä. On helppo todeta geometrisen päättelyn avulla (Kuvio 5.), että Y = X cosθ + Z sin θ. Satunnaismuuttuja Y saadaan siis X:n ja Z:n lineaarisena muunoksena. Tästä seuraa, että ). E(Y ) = cosθ E(X) + sin θ E(Z) = ja Var(Y ) = cos θ Var(X) + sin θ Var(Z) =,

39 5.9. Satunnaisvektoreiden muunnokset 89 z (X, Z) θ y Z z y θ Y x X cosθ Z sin θ θ X Y x Kuvio 5.. koska E(X) = E(Z) = ja Var(X) = Var(Z) =. Lauseen 5.4 mukaan Y N(, ). Satunnaisuuttujien X ja Y. kertaluvun sekamomentti on E(XY ) = E[X(X cos θ + Z sin θ)] = cosθ E(X ) + sin θ E(XZ) = cosθ. Viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että E(X ) = ja E(XZ) = E(X) E(Z) =. Satunnaisuuttujien X ja Y välinen korrelaatio Cor(X, Y ) = E(X, Y ), koska E(X) = E(Y ) = ja Var(X) = Var(Y ) =. 5.9 Satunnaisvektoreiden muunnokset Oletetaan, että jatkuvien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio on f. Olkoon (5.9.) U = h (X, Y ); V = h (X, Y ) sellainen satunnaisvektorin (X, Y ) muunnos, että sillä on käänteismuunnos. Silloin mitä tahansa satunnaisvektorin (U, V ) arvoa (u, v) R vastaa yksikäsitteinen satunnaisvektorin (X, Y ) arvo (x, y) R. Voimme silloin määritellä käänteiskuvauksen x = g (u, v); y = g (u, v). Vektoreiden (u, v) R ja (x, y) R välillä on yksi-yksinen vastaavuus. Oletetamme lisäksi, että funktioilla g ja g on jatkuvat osittaisderivaatat. Yksiulotteisen muunnoksen tapauksessa laskettavaa derivaattaa g vastaa satunnaisvektorien muunnoksen Jacobin determinantti, joka on funktioiden g ja g osittaisderivaattojen matriisin determinantti. Jacobin determinanttia kutsutaan muunnoksen Jakobiaaniksi.

40 9 Luku 5. Jatkuvat jakaumat Muunnoksen (5.9.) Jakobiaani on x x (x, y) (5.9.) (u, v) = u v y y u v missä x u = g (u, v), u y u = g (u, v), u = x y u v y x u v, x v = g (u, v), v y v = g (u, v). v Jacobin determinanttia merkitään J = (x,y). Oletetaan, että J, kun (u,v) f(x, y) >. Satunnaisvektorin (U, V ) yhteisjakauman tiheysfunktio on (5.9.3) f U,V (u, v) = f ( g (u, v), g (u, v) ) J. Satunnaisvektorin (U, V ) arvoavaruus S U,V saadaan tarkastelemalla kuvausta (5.9.), joka kuvaa satunnaisvektorin (X, Y ) arvojoukon S X,Y kuvajoukoksi S U,V. Esimerkki 5.3 Olkoot X ja Y jatkuvat satunnaismuuttujat, joiden yhteisjakauman tiheysfunktio on f. Määritellään satunnaismuuttujat U ja V siten, että (5.9.4) U = X + Y ; V = X Y. Johdetaan nyt (U, V ):n jakauman tiheysfunktio. Muunnoksen (5.9.4) käänteismuunnos on x = g (u, v) = u + v, y = g (u, v) = u v, ja muunnoksen Jakobiaani on J = =. Satunnaisvektorin (U, V ) yhteisjakauman tiheysfunktio on yhtälön (5.9.3) nojalla (5.9.5) f U,V (u, v) = ( u + v f, u v ). Jos esimerkiksi X ja Y ovat riippumattomat ja noudattavat tasajakaumaa Tas(, ), niin (X, Y ):n yhteisjakauman tiheysfunktio f(x, y) =, kun x [, ] ja y [, ]. Silloin (U, V ):n tiheysfunktio on f U,V (u, v) = {, u + v, u v. muualla.