Tehtävät 1/10. TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden tiedekunta Valintakoe Matematiikka ja tilastotiede. Sukunimi (painokirjaimin)

Transkriptio

1 1/10 Tehtävä Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Tehtävien osioiden maksimipistemäärät on merkitty kysymysten jälkeen sulkuihin. Ratkaise kukin tehtävä sille paperille, jossa tehtävä esitetään. Voit tarvittaessa käyttää myös paperin kääntöpuolta. Kirjoita nimesi ja henkilötunnuksesi jokaiseen vastauspaperiin (myös mahdolliseen vastaamatta jääneen tehtävän paperiin). Palauta kaikki vastauspaperit. Tehtävät 1. Ruuan arvonlisävero on 17 prosenttia. Oletetaan, että se lasketaan 12 prosenttiin ja että alennus menee täysimääräisesti hintaan (muut kustannukset pysyvät samana). Kuinka monta prosenttia ruuan hinta laskee? (6 p.)

2 2/10 2. Olkoon f (x) = (x/2 + 2/x)e x, missä x 0. Sievennettävä lauseke (6 p.) x f (x) + (1 x) f (x).

3 3/10 3. Fibonaccin luvut F n, missä n on kokonaisluku, määritellään kaavalla F 0 = 0, F 1 = 1, F n+2 = F n+1 + F n. Laskettava a) F 8, (3 p.) b) F 4. (3 p.)

4 4/10 4. Hahmottele xy-tasoon seuraavat alueet: a) { (x, y) : x + 1 > y ja x 0 }, (2 p.) b) { (x, y) : x 2 + y 2 2 ja x > y }, (2 p.) c) { (x, y) : x 2 + y 2 2 tai x > y }. (2 p.) Ilmoita myös, mitkä reunaviivat ja leikkauspisteet kuuluvat alueeseen. Tämän tehtävän vastausta ei tarvitse perustella, pelkkä kuvio riittää.

5 5/10 5. Laskutoimituksen sanotaan olevan liitännäinen joukossa X, jos x (y z) = (x y) z x, y, z X. Tutkittava, onko laskutoimitus a) x y = 2x + y, (2 p.) b) x y = x + y + xy, (2 p.) c) x y = x (2 p.) liitännäinen reaalilukujen joukossa.

6 6/10 6. Jokainen positiivinen rationaaliluku r voidaan kirjoittaa muodossa 1 (1) r = a a 1 + a a n 1 + 1, a n missä a 0, a 1, a 2,..., a n ovat positiivisia kokonaislukuja. Muotoa (1) kutsutaan rationaaliluvun r yksinkertaiseksi ketjumurtolukuesitykseksi. Johda rationaaliluvun 62/23 yksinkertainen ketjumurtolukuesitys. (6 p.)

7 7/10 7. Karpon ohjelmassa haastateltiin miestä, jolla on kolme poikkeavaa lääkärintodistusta toisen munuaisen tilasta. Ensimmäisen lääkärintodistuksen mukaan munuainen toimii hyvin, toisen todistuksen mukaan se ei toimi hyvin ja kolmannen mukaan sitä ei ole lainkaan. Tilanteen selvittämiseksi Karpo teki tieteellisen kokeen heittämällä kruunaa ja klaavaa. Ensin hän heitti kolikkoa vaihtoehtoehtojen munuaisessa ei ole mitään vikaa ja munuainen toimii huonosti välillä ja jälkimmäinen vaihtoehto pääsi jatkoon. Sitten hän heitti kolikkoa vaihtoehtojen munuainen toimii huonosti ja munuaista ei ole lainkaan välillä. Jälkimmäinen vaihtoehto voitti, mistä Karpo päätteli, että mieheltä puuttuu kokonaan toinen munuainen. a) Oliko tämä koe siinä mielessä reilu, että kaikilla kolmella vaihtoehdolla oli yhtä suuri todennäköisyys tulla valituksi? Jos kolikonheittokoe toistettaisiin, mitkä olisivat eri vaihtoehtojen todennäköisyydet? (3 p.) b) Yksi reilu tapa valita kolmen vaihtoehdon A, B ja C välillä on heittää kruunaa ja klaavaa vaihtoehtojen A ja B välillä, sitten A:n ja C:n välillä ja lopuksi B:n ja C:n välillä. Se vaihtoehto, joka voittaa 2 kertaa, tulee valituksi. Jos kaikki vaihtoehdot voittavat yhden kerran, heittokoe täytyy toistaa. Mikä on todennäköisyys, että oikea vaihtoehto selviää yhdellä heittokierroksella? Mikä on todennäköisyys, että oikea vaihtoehto ei selviä kahdella ensimmäisellä heittokierroksella? (3 p.)

8 8/10 8. Eräässä kuvitteellisessa tutkimuksessa selvitettiin, kenen neuvoihin ja ohjeisiin ihmiset luottavat, kun he tarvitsevat tukea elämänsä vaikeimmissa tilanteissa. Alla on tutkimuksen tuloksista muodostettuja kuvaajia. Tulkitse jokainen kuvaaja ja kommentoi perustellen, ovatko esitykset onnistuneita. a) (2 p.) b) (2 p.) c) (2 p.)

9 9/10 9. Tilasto-otokseen poimituilta yksilöiltä on mitattu tilastolliset muuttujat x ja y, joiden saamat arvot on esitetty oheisessa kuviossa. y x a) Onko muuttuja x normaalisti jakautunut? (1 p.) b) Onko muuttuja y normaalisti jakautunut? (1 p.) c) Määritä muuttujien x ja y keskiarvot. (2 p.) d) Määritä muuttujien x ja y mediaanit. (2 p.)

10 10/ Tarkastellaan edellisen tehtävän kuvion esittämää aineistoa. a) Määritä muuttujien x ja y välinen korrelaatiokerroin. (3 p.) b) Määritä aineistoon sovitettava regressiosuora. (3 p.) Muuttujien x ja y välinen korrelaatiokerroin voidaan laskea kaavalla r xy = n i=1(x i x)(y i ȳ) n i=1(x i x) 2 n i=1(y i ȳ). 2 Regressiosuoran y = a + bx kertoimet a ja b voidaan laskea kaavoilla b = n i=1(x i x)(y i ȳ) n i=1(x i x) 2 ja a = ȳ b x.