edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾"

Sakari Leppänen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos Tavoitteena on saada tietoa satunnaismuuttujasta ja valitaan satunnaisesti yksilöä tietystä populaatiosta jolloin saadaan havaintoarvot Ü,. Ajatellaan, että Ü on satunnaismuuttujan eli havainnon saama arvo ja oletaan, että :t ovat riippumattomia ja noudattavat :n jakaumaa. Satunnaisesti populaatiosta valitut yksilöt muodostavat otoksen. Riippumattomat ja samalla tavalla jakautuneet satunnaismuuttujat, muodostavat satunnaisotoksen niiden yhteisestä jakaumasta. Otoksen, riippumattomuusvaatimus edellyttää valintaa takaisinpanolla mutta käytännössä näin ei menetellä Aritmeettinen keskiarvo Jos, muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin µ µ ÎÖ µ ÎÖ µ Otosvarianssi Ë ¾ Jos, muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Ë ¾ Ë ¾ µ ÎÖ µ ¾

2 ¾ -jakauma Jos Æ ¼ µ ovat riippumattomia ja ¾ niin ¾ µ eli noudattaa ¾ -jakauma vapausasteella eli parametrillä. µ ÎÖ µ ¾ :n tiheysfunktio on Üµ ¾ ¾ Ü ¾ e Ü ¾ ¾ ja momenttiemäfunktio Ñ Øµ e Ø µ ¾Øµ ¾ Jos, muodostavat satunnaisotoksen jakaumasta Æ ¾ µ niin µ ¾ Ë ¾ ¾ µ

3 ØÑÓØÑØÐÑĐØ, satunnaisotos jakaumasta, jonka pistetodennäköisyysfunktio tai tiheysfunktio on Ü µ Kysymys: Vastaus : Lasketaan estimaatti Ü Ü µ satunnaismuuttujien havaintoarvoista Ü Satunnaismuuttuja µ on estimaattori Kysymys: Momenttimenetelmä Jos, on satunnaisotos jakaumasta, jonka pistetodennäköisyysfunktio tai tiheysfunktio on Ü µ ja voidaan ratkaista µµ, niin momenttimenetelmän estimaattori on µ Jos pistetodennäköisyysfunktio tai tiheysfunktio on Ü Ô µ ja µ Ô µµ niin momenttiestimaattorit ovat Ô µµ missä Suurimman uskottavuuden menetelmä Jos, on satunnaisotos jakaumasta, jonka pistetodennäköisyysfunktio tai tiheysfunktio on Ü µ ja havaintoarvot ovat Ü, niin uskottavuusfunktio on Ä Ü Ü µ Ü µ Ü¾ µ Ü µ ja suurimman uskottavuuden menetelmän estimaatti on jos Ä Ü Ü µ Ä Ü Ü µ kaikilla (mahdollisilla)

4 ÄÙÓØØÑÙ ÚĐÐØ Luottamusväli Jos, on satunnaisotos jakaumasta, joka riippuu parametrista ja ¼ niin µ µ on :n ¼¼ %:n luottamusväli jos pätee ÈÖ ¾ µ µ Useimmiten vaaditaan että luottamusväli on symmetrinen, eli ÈÖ Ü µ µ ÈÖ Ü µ µ µ ¾ Ø-jakauma Jos Æ ¼ µ ja ¾ Ñµ ovat riippumattomia niin Õ Ø Ñµ Ñ eli noudattaa Ø-jakaumaa vapausasteilla (parametrilla) Ñ Jos muodostavat satunnaisotoksen jakaumasta Æ ¾ µ, ¼ «ja Ø «¾µ Ø «¾µ «¾ missä on Ø µ-jakauman kertymafunktio, niin Ë Ô Ø «¾ ËÔ Ø «¾ on :n ¼¼ «µ%:n luottamusväli Jos muodostavat satunnaisotoksen jakaumasta, jolla on äärellinen varianssi ja ¼ «ja Þ «¾µ Þ ««¾µ ¾ missä on Æ ¼ µ-jakauman kertymafunktio, niin Ô Þ «¾ Ô Þ «¾ on µ:n ¼¼ «µ%:n approksimatiivinen luottamusväli missä on Ô ÎÖ µ:n jokin estimaattori, esim. otosvarianssi Ë

5 Ô Ö Jos muodostavat satunnaisotoksen jakaumasta ÖÓÙÐÐ Ôµ niin Ô Ôµ Þ «¾ Ô Ô on Ô:n (MM- ja SU-) estimaattori ja Ö Ô Ôµ Þ «¾ Ô Ö Ô Ôµ Þ «¾ Ô on Ô:n ¼¼ «µ%:n approksimatiivinen luottamusväli. Ö Ô Ôµ Þ «¾

6 Ì ØØ ÓÓØÙ ÖÚÓØ Tilastollinen testaus Halutaan selvittää pitääkö hypoteesi À paikkansa: Tehdään oletuksia riipumattomuudesta, jakaumasta jne. Muodostetaan nollahypoteesi À¼ joka on À:n negaatio (ainakin suurin piirtein) ja joka lisäksi on riittävän selkeä ( ¼ ) tai sisältää selkeän ääritapauksen: ¼ µ ¼ Muodostetaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan ainakin approksimatiivisesti Valitaan merkitsevyystaso (eli riskitaso) «(esim. ¼¼, ¼¼ tai ¼¼¼) ja määritetään testisuureen jakauman ja nollahypoteesin muodon perusteella hylkäysalue siten, että kun poimitaan satunnaisotos, lasketaan testisuureen arvo ja hylätään nollahypoteesi jos testisuure on hylkäysalueessa niin À¼ on voimassa µ ÈÖ À¼ hylätäänµ «(tai «). Ô-arvo Havaitun testisuureen Ô-arvo on pienin merkitsevyystaso, jolla nollahypoteesi hylätään Normaalijakauma, yksi otos, kaksisuuntainen vaihtoehto Perusoletuksia:, muodostavat satunnaisotoksen jakaumasta Æ ¾ µ Nollahypoteesi: À¼ ¼ Testisuure: Ì ¼ Ô Ë Ø µ Hylkäysalue merkitsevyystasolla «: Ø «¾ µ Ø «¾ µ Jos À¼ on voimassa niin ÈÖ À¼ hylätäänµ «

7 Normaalijakauma, yksi otos, yksisuuntainen vaihtoehto Perusoletuksia:, muodostavat satunnaisotoksen jakaumasta Æ ¾ µ Nollahypoteesi: À¼ ¼ Testisuure: Ì ¼ Ô Ë Ø µ Hylkäysalue merkitsevyystasolla «Ø «µ Jos À¼ on voimassa niin ÈÖ À¼ hylätäänµ «Normaalijakauma, kaksi otosta, sama varianssi Perusoletuksia:, ja ¾, ¾ muodostavat satunnaisotoksia jakaumista Æ ¾ µ ja Æ ¾ ¾ µ Nollahypoteesi: À¼ ¾ (tai ¾ tai ¾ ) Testisuure: Ì ¾ µë ¾ ¾ µë ¾ ¾ ¾ ¾ Ö ¾ Ø ¾ ¾µ Hylkäysalue merkitsevyystasolla «Ø «¾ ¾ ¾µ Ø «¾ ¾ ¾µ tai Ø «¾ ¾µµ tai Ø «¾ ¾µµ

8 Melkein normaalijakautunut keskiarvo Perusoletuksia:, muodostavat satunnaisotoksen jostain jakaumasta siten, että Æ ¾ µ Nollahypoteesi: À¼ ¼ (tai ¼ tai ¼ ) Testisuure: ¼ Ô Æ ¼ µ missä on :n estmaatti, esim. otosvarianssi Ë tai nollahypoteesin perusteella laskettu :n arvo Hylkäysalue merkitsevyystasolla «Þ «¾ Þ «¾ tai Þ «µ tai Þ «µ Kaksi melkein normaalijakautunutta keskiarvoa Perusoletuksia:, ja ¾, ¾ muodostavat Æ satunnaisotoksia jostain jakaumista siten, että ¾ ja ¾ Æ ¾ ¾ ¾ ¾ Nollahypoteesi: À¼ ¾ (tai ¾ tai ¾ ) Testisuure: ¾ Õ ¾ ¾ ¾ ¾ Æ ¼ µ missä on :n estmaatti, esim. otosvarianssi Ë tai nollahypoteesin perusteella laskettu :n arvo Hylkäysalue merkitsevyystasolla «Þ «¾ Þ «¾ tai Þ «µ tai Þ «µ Suhteellinen osuus Perusoletuksia: muodostavat satunnaisotoksen jakaumasta ÖÓÙÐÐ Ôµ Nollahypoteesi À¼ Ô Ô¼ (tai Ô Ô ¼ tai Ô Ô ¼ ) Testisuure: Ô Ô ¼ Õ Ô¼ Ô¼µ Æ ¼ µ

9 Kaksi suhteellista osuutta Perusoletuksia:, ja ¾, ¾ muodostavat satunnaisotoksia jakaumista ÖÓÙÐÐ Ôµ ja ÖÓÙÐÐ Ô¾µ Nollahypoteesi À¼ Ô Ô¾ (tai Ô Ô ¾ tai Ô Ô ¾ ) Testisuure: Ö Ô missä Ô Ô ¾ Ô¾ ¾ Ô¾ Ô Ôµ ¾ Æ ¼ µ

10 Ì ØØ ÎÖ ÝØ ÓÔÚÙÙ -jakauma Jos ¾ Ñµ ja ¾ µ niin Ñ Ñ µ eli noudattaa -jakaumaa vapausastein eli parametrein Ñ ja Normaalijakuma, varianssi Perusoletuksia:, ja ¾, ¾ muodostavat satunnaisotoksia jakaumista Æ ¾ µ ja Æ ¾ ¾ ¾ µ Nollahypoteesi: À¼ ¾ ¾ µ Testisuure: Ë¾ Ë¾ Hylkäysalue merkitsevyystasolla «: «¾ ¾ µ «¾ ¾ µ missä Ñ µ on sellainen, että ÈÖ Ñ µµ kun Ñ µ Tämän testin kohdalla normaalisuusoletus on tärkeä! Yhteensopivuus Perusoletuksia:, Ñ pareittain pistevieraita joukkoja ja, muodostavat satunnaisotoksen siten, että jokaisen arvojoukko sisältyy joukkoon Ñ Nollahypoteesi À¼ ÈÖ ¾ µ Ô Testisuure: Ñ Ç µ ¾ ¾ Ñ µ missä Ô ja Ç on joukon ¾ alkioiden lukumäärä Hylkäysalue merkitsevyystasolla «: ¾ «Ñ µ Jos Ô Ô µ ja nämä parametrit estimoidaan havaintoarvojen perusteella niin ¾ Ñ µ

11 Homogeenisuus ja riippumattomus Perusoletuksia:, Ö pareittain pistevieraita joukkoja ja, muodostavat satunnaisotoksen siten, että jokaisen arvojoukko sisältyy joukkoon Ö Nollahypoteesi À¼ ÈÖ ¾ µ ÈÖ ¾ Ö µ ÈÖ ¾ Ø Øµ eli tapahtumat ¾ Ö ja ¾ Ø Ø ovat riippumattomia eli ÈÖ ¾ ¾ Ö µ ei riipu :sta eli sarakejakaumat ovat samat eli ÈÖ ¾ ¾ Ø Øµ ei riipu :sta eli rivijakaumat ovat samat Testisuure: Ö Ç µ ¾ missä Ç on joukon ¾ alkioiden lukumäärä ja Ê missä Ê Ç Ø (rivisummat) ja Ø ¾ Ö µ µ Hylkäysalue merkitsevyystasolla «Ö Ç sarakesummat ¾ «Ö µ µ

12 ÊÖ Ó ÓÖÖÐØÓ Pienimmän neliösumman menetelmä Pisteet Ü Ý µ, annettu Tavoite: Suora Ý ¼ Ü, joka parhaiten kuvaa annettuja pisteitä Eräs menetelmä: Minimoidaan µ ÜÝ ¾ Ü missä ÜÝ ¾ Ý Selitysaste on Ö ÜÝ Ý Ü ¼ Ý Ü ¼ Ü Ý ¾ Ü Üµ Ý Ýµ ¾ Ü Ü Üµ ¾ Ý Ýµ ¾ Ö ÜÝ ÜÝ Ü Ý È ¼ Ü Ý µ ¾ È Ý Ýµ ¾ Ö ¾ ÜÝ Korrelaatio ÓÖ µ Ô ÓÚ µ ÎÖ µîö µ Otoskorrelaatiokerroin: Ê È µ µ Õ È µ ¾ È µ ¾

13 Regressio ¼ Ü missä Æ ¼ ¾ µ, ovat riippumattomia È Ü Üµ µ È Ü Üµ ¾ Æ Ë Õ missä Ë ¾ ¾ Ø ¾µ È Ü Üµ ¾ È ¾ Ü Üµ ¾ ¾ Ü Üµ µ jolloin Ë ¾ µ ¾ eli jäännösvarianssi ja Ë ¾ :n havaintoarvoksi tulee ¾ ¾ ¾ ¼ Ü Ý Ü Üµ Ý Ýµ ¾ ¾ ¾ ¾ Ý Ö¾ ÜÝ µ niin Í Æ Jos Í Ü Üµ ¼ Ü ¾ Ü Üµ È ¾ Ü Üµ ¾ ja Õ Ë Í µ Ü Üµ ¾ È Ü Üµ¾ Ø ¾µ Jos µ, on satunnaisotos normaalijakaumasta jossa ¼ niin Ô Ê Ô ¾ Ê ¾ Ø ¾µ Jos µ, on satunnaisotos normaalijakaumasta niin Ê ¾ Ð Æ Ê ¾ Ð

Samankaltaiset tiedostot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella