x y dx + y = x3 yleinen ratkaisu ja hahmottele integraalikäyrien parvea.

Transkriptio

1 Harjoitus 1 Tehtävä 1.01 Kappale, jonka massa on m pudotetaan ilmakehässä alkunopeudella v 0 hetkellä t = 0. Sen liikeyhtälö on m dv dt = kv2 + mg, missä yhtälön oikean puolen ensimmäinen termi kuvaa ilmanvastusta, ja v on alaspäin suunnattu nopeus. (a) Mikä on kappaleen lopullinen nopeus (oletetaan että se pudotetaan riittävän korkealta)? Hahmottele v(t):n muotoa eri alkuarvoilla v 0. Huomaa että yhtälö on epälineaarinen; eksplisiittistä ratkaisua ei vaadita. (Todellisuudessa nopeuden neliöön verrannollinen kitkavoima pätee vain suurilla nopeuksilla.) (b) Johda differentiaaliyhtälön x dy dx + y = x3 yleinen ratkaisu ja hahmottele integraalikäyrien parvea. Tehtävä 1.02 Etsi seuraavien kahden muuttujan osittaisdifferentiaaliyhtälöiden yleiset ratkaisut u(x, y): a)u x = 0, b) u xy = 0. Tehtävä 1.03 Etsi osittaisdifferentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu. Tehtävä 1.04 Ratkaise osittaisdifferentiaaliyhtälö alkuarvolla Tehtävä 1.05 Johda osittaisdifferentiaaliyhtälön t u(x, t) + x u(x, t) = u(x, t) x u x + u + tu = 0, < x <, 0 < t <, t u(x, t = 0) = sin x, < x <. cos y u + cos x u x y = cos x cos y yleinen ratkaisu. Tarkista vielä laskemalla että se toteuttaa yhtälön.

2 Tehtävä 1.06 Kertaa tavallisten differentiaaliyhtälöiden teoriaa (Mapu) ja harjoittele taitojasi! Ratkaise seuraavat 1.kl yhden muuttujan differentiaaliyhtälöt. (a) y (x) = (b) y (x) = αy(x), (c) y (x) = x 3 e x2, (d) y (x) = cos x. Vihje: yritä sijoitusta t = tan x 2, 1 x(x 1) 2, missä α R + ja y on reaaliarvoinen funktio, jonka argumentti on määritelty asianmukaisilla väleillä. Tehtävä 1.07 Besselin yhtälön (jossa on asetettu n = 0) Laplacen muunnos on ( s ) f (s) + sf(s) = 0. (1) Ratkaise f(s). Tehtävä 1.08 Veden läpi lipuva vene kokee liikettään vastustavan voiman, joka on verrannollinen hetkellisen vauhdin v n:een potenssiin, ts. F v n. Newtonin toinen laki voidaan siten kirjoittaa muotoon m dv dt = kvn, missä v(t = 0) = v 0 ja x(t = 0) = 0. Integroi yhtälöä ratkaistaksesi sekä v että x ajan funktiona. Tehtävä 1.09 Näytä, että niin kutsuttu Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) sijoitus ψ(x, t) = exp( is/ ), missä S S(x, t) on systeemin aktio, palauttaa Schrödingerin yhtälön joka on kompleksinen parabolinen ODY ( 2 2m 2 + V klassiseksi Hamiltonin-Jacobin yhtälöksi ) ψ = i ψ t, rajalla m ( S)2 + V = S t,

3 Tehtävä 1.10 Käsitellään seuraavaa ensimmäisen kertaluvun differentiaalyhtälöä: dy/dx = f(x, y), missä f on suhteen y/x funktio. Tällöin yhtälö on esitettävissä muodossa dy dx = g(y/x). Näytä, että sijoitus u = y/x tekee tästä yhtälöstä separoituvan. Harjoitus 2 Tehtävä 2.01 Ratkaise aaltoyhtälö 1 2 u c 2 t 2 u 2 x = 0 2 alueessa < x <, t > 0, kun alkuehdot ovat u(x, 0) = 0, u (x, 0) = ψ(x), t missä funktio ψ(x) on nollasta eroava ainoastaan välillä [ ɛ, ɛ]. Tehtävä 2.02 Ratkaise L-pituisen kielen värähtelyjä kuvaava aaltoyhtälö u tt c 2 u xx = 0, 0 < x < L, 0 < t <, reunaehdoilla ja alkuehdoilla u(0, t) = u(l, t) = 0, 0 < t <, Tehtävä 2.03 u(x, 0) = 1 2 sin(2πx/l), u t(x, 0) = πc L sin(4πx/l), 0 < x < L. Ratkaise Fourier n muunnoksen avulla kaksiulotteinen aaltoyhtälö u tt c 2 u xx c 2 u yy = 0 alueessa (x, y) R 2, 0 < t <, alkuehdolla u(x, y, 0) = exp( x2 + y 2 σ 2 ), u t (x, y, 0) = 0, missä σ > 0. Jätä vastaus Fourier n integraalin muotoon.

4 Tehtävä 2.04 Polarisaatiofiltteri: Digitaalisissa järjestelmäkameroissa voidaan käyttää aurinkoisella säällä pyöröpolarisaatiofiltteriä kuvan värien parantamiseksi. Filtteri koostuu kahdesta kerroksesta, joista ensimmäinen päästää läpi vain yhteen suuntaan polarisoitunutta valoa. Toinen kerros muuttaa tämän lineaarisesti polaroituneen valon ympyräpolaroituneeksi, jotta kameran polarisaatioon perustuva automaattitarkennus toimisi oikein. Valon käyttäytymistä tässä kerroksessa voidaan mallintaa aaltoyhtälöllä u tt c 2 P 2 u = 0, missä P on diagonaalinen matriisi, joka kuvaa allonnopeuden riippuvuutta polarisaatiosuunnasta. Yksinkertaistuksena mallinnamme valon käyttäytymistä matriisilla r P = 0 1 0, missä 0 < r < 1. Tarkastellaan filtterin läpi z-suunnassa etenevää tasoaaltoa u(z, t) = ɛe i(kz ω(k)t), missä ɛ on etenemissuuntaa vastaan kohtisuora polarisaatiovektori. Filtteriin saapuva valo on lineaarisesti polarisoitunutta, joten tasossa z = 0 pätee reunaehto u = ɛ i e iω it, missä polarisaatiovektori ɛ i = (1, 1, 0) ja ω i = ck i on sisään tulevan valon kulmataajuus. Vastaavasti filtteristä poistuva valo on ympyräpolarisoitunutta, joten tasossa z = d pätee u(z = d) = ɛ o e iω it+iφ, missä polarisaatiovektori ɛ o = (e iπ/2, 1, 0). Vakio φ on filtterissä tapahtuva vaihesiirto ja d filtterin paksuus. (a) Sijoita tasoaaltoyrite aaltoyhtälöön. Millä vaihenopeuksilla tasoaallon x- ja y- suuntaisesti polarisoituneet komponentit etenevät filtterin sisällä? (b) Mikä on aaltoyhtälön yleinen ratkaisu z-suunnassa eteneville tasoaalloille? * (c) Aseta annetut reunaehdot, ja ratkaise filtterin paksuus sisään tulevan valon aallonpituuden funktiona, kun r = 1/2. Tehtävä 2.05 Kitaran äänenväri: Kitarankieltä voidaan mallintaa yksiulotteisella aaltoyhtälöllä u tt v 2 u xx = 0. Kielen pituus on L ja se on päistään kiinnitetty, joten sille pätevät reunaehdot u(0, t) = u(l, t) = 0.

5 Oletetaan, että kitaristi näppää kieltä ajanhetkellä t = 0. Tällöin kielen muotoa voidaan arvioida funktiolla { dx/βl x < βl f(x) = d(l x)/(l βl) x > βl, missä d on kielen venymä ja β kuvaa näppäyskohtaa. Lisäksi kieli on hetkellä t = 0 likimain paikoillaan, joten alkuehdot ovat u(x, 0) = f(x), u t (x, 0) = 0. Ratkaise aaltoyhtälö näillä alku- ja reunaehdoilla. Ihminen hahmottaa äänenvärin ensimmäisten harmonisten monikertojen perusteella. Laske perustaajuuden (n=1) ja muutaman alimman monikerran (n=2,3,4...) amplitudien itseisarvot, kun kieltä näpätään läheltä keskikohtaa (β=1/2), kaikuaukon keskikohdalta (β=0,23) tai läheltä kielen päätä (β=1/10). Voit olettaa kielen venymäksi d=0,75 cm ja pituudeksi L=75 cm. Mitä huomaat? (Vihje: Amplitudit kannattaa ehkä piirtää (n, A)-koordinaatistoon pylväinä, jolloin muodostuu eräänlainen spektrogrammi.) Tehtävä 2.06 Elastiset aallot homogeenisessa väliaineessa toteuttavat yhtälön ρ M 2 u t 2 = (λ + µ) ( u) + µ 2 u, missä vektori u(r, t) kuvaa paikassa r olevan tilavuusalkion siirtymää hetkellä t, ρ M on väliaineen massatiheys ja λ, µ ovat väliainetta kuvaavia vakioita. Tutki, minkälaisia tasoaaltoratkaisuja u(r, t) = ɛ(k)e i(k r ω(k)t) toteuttaa yhtälön. (Nk. polarisaatiovektori ɛ on yksikkövektori.) Millä nopeuksilla poikittaiset (k ɛ(k) = 0) ja pitkittäiset (ɛ(k) = k/ k ) aallot etenevät? Mitkä ehdot vakioiden λ, µ on toteutettava, jotta aallot eivät vaimenisi (s.o. Im ω = 0)? Miten rakentaisit yhtälön yleisen ratkaisun lähtien näistä erikoisratkaisuista? Tehtävä 2.07 Ratkaise diffuusioyhtälö lisätermillä: u t = Du xx + sin(7πx), 0 < x < 1, 0 < t <, kehittämällä u Fourier n sarjaksi muuttujassa x.reunaehdot olkoot u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 < t <, ja alkuehto u(x, 0) = sin(πx), 0 x 1. Tehtävä 2.08 Ratkaise 1. kertaluvun kvasilineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö alkuehdolla x t u(x, t) 2xt x u(x, t) = 2tu(x, t) u(x, 0) = x 3.

6 Tehtävä 2.09 Laske seuraavien funktioiden Fourier-muunnokset (a > 0): (a) f 1 (x) = δ(x) (Diracin deltafunktio) { 1, kun a < x < a, (b) f 2 (x) = 0 muulloin. (c) f 3 (x) = e x2 /σ 2 Tehtävä 2.10 Etsi yhtälön t u(t, x) + 4 x u(t, x) = 0 yleinen ratkaisu. Etsi sen jälkeen myös se yksikäsitteinen ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdon u(0, x) = x 2. Tehtävä 2.11 Bernoullin yhtälö dy dx + f(x)y = g(x)yn, (2) on epälineaarinen, kun n 0 tai n 1. Näytä, että sijoitus u = y 1 n linearisoi yhtälön näissä tapauksissa. Tehtävä 2.12 Tarkista, ovatko seuraavat yhtälöt separoituvia. Jos niin on, löydä yleinen ratkaisu. Jos yhtälö ei ole separoituva, jätä se sikseen, mutta perustele, miksi et saa sitä separoiduksi. Merkitsemme derivaattaa x:n suhteen pilkulla. (a) y2 x y = 1 + x 2 (b) y cos y = sin(x + y) (c) 3y = 2x y 2 (d) y + y = y(sin x + 1) (e) y = y x2 2x + 1 y + 3 (f) y e x+y = 2x (g) ln(y x )y = 6x 2 y (h) y x sin y = sec y

7 (i) x y y = 2y2 + 1 x + 1 (j) (cos(x + y) + sin(x y)) y = cos(2x) (k) y cos x y = 5 (l) y + xy = 0 (m) (2x + 2y)y = 1 + 4/x + 4/x 2 (n) y = (x + 1)2 2y y (o) y = 4x + xy2 2x + x 2 y (p) (x + y) 2 y = x 2 + y 2 (q) yy = e x y2 (r) (2x + y)y = 4x2 y + y + 4x (s) xy = ey xy (t) y 3x = (y + 5)x y + 1 Tehtävä xy Seuraavat yhtälöt ovat separoituvia. Ratkaise yhtälöt ja anna yleinen ratkaisu. Sovella sitten annettua lisäehtoa ja ratkaise vakio. Tarkasta vastauksesi. (a) y = 3x 2 (y + 2), y(4) = 8 (b) y = x2 + 2, y(1) = 7 y (c) y = x 1 y + 2, y( 1) = 6 (d) y = e y /x, y(1) = 2 (e) y = 3x y + 4, y(2) = 7 (f) xy = y 2, y(3) = 5 (g) yy = x2 y + 4, y(3) = 2 (h) x 2 y = 1 y, y(4) = 9

8 (i) y = 2 sin(x + 1) y 2, y(π) = 4 (j) yy = 8x + 1, y(1) = 5 y 2 Tehtävä 2.14 Clairaut n yhtälö on muotoa y = xy + f(y ). (3) (a) Näytä, että k R, joilla f(k) on määritelty, y = kx + f(k) on Clairaut n yhtälön ratkaisu. (b) Käytä edellisen kohdan ratkaisua ratkaistaksesi yhtälö y = xy + (y ) 2 (c) Hahmottele usea edellisen kohdan ratkaisuista. (d) Näytä, että y = x 2 /4 ratkaisee b)-kohdan yhtälön, muttei ole aiemmin saadun ratkaisuperheen jäsen. Tämä on yhtälön n.k. singulaarinen ratkaisu. Lisää tämä ratkaisu edellisen kohdan kuvaajaasi. Miten se "sopii"muiden ratkaisujen sekaan? Tehtävä 2.15 Kävelet usvaisella, puoliäärettömällä tasolla, kuten nyt iltaisin on tapana tehdä, ja satut huomaamaan siellä toisen pään epäelastisesta köydestä. Köysi on kireällä, eikä painovoima tunnu vaikuttavan siihen. Miten saat selville, onko toinen pää kiinni vai pääseekö se liikkumaan, ts. millainen reunaehto toisessa päässä on? Tehtävä 2.16 Elastinen kalvo venytetään ympyränmuotoisen kehikon, jonka säde on 1, yli, ja kiinnitetään laidoille. Kalvoa poikkeutetaan ja sen annetaan värähdellä vapaana. Ratkaise tästä seuraava poikkeama. Tehtävä 2.17 Selitä omin sanoin, millaiset alkuehdot käyvät, kun tarkastelemme toisen kertaluvun kahden muuttujan osittaisdifferentiaaliyhtälöä, joka on (a) hyperbolinen? (b) parabolinen? (c) Tarkastellaan Poissonin yhtälöä 2 u( x) = g( x), x V äärellisessä yhdesti yhtenäisessä alueessa V R 3, jonka reunapinta V on sileä. Osoita, että jos ratkaisu u( x) on olemassa, niin se on yksikäsitteisesti määrätty, kun u( x) on annettu reunalla V (Dirichlet) tai vakiota vaille

9 yksikäsitteisesti määrätty, kun normaaliderivaatta n u( x) on annettu V :llä (Neumann). Mitä osaat sanoa tapauksesta, kun vaaditaan sekaehtoja (Robin) reunalla? Harjoitus 3 Tehtävä 3.01 Minkä tyyppinen (hyperbolinen, elliptinen, parabolinen) on toisen asteen differentiaaliyhtälö u tx = 0? Suorita muuttujanvaihdos, joka saattaa sen normaalimuotoon. Mitä fysikaalista ilmiötä kyseinen yhtälö kuvaa? Tehtävä 3.02 Luokittele seuraavat yhtälöt, ja etsi niiden karakteristikat: (a) u xx (x 1) 2 u yy = 0, (b) xu xx + 2 xyu xy 3yu yy = 0. Tehtävä 3.03 Vuodenaikojen mukainen lämmönvaihtelu: Olkoon T (t) juuri arktisen ikiroudan yläpuolella mitattu ilman lämpötila ajan funktiona. Oletetaan että T (t) voidaan kehittää Fourier-sarjaksi T (t) = T 0 + T n cos nωt, n=1 missä periodi (jakso) t p 2π/ω on yksi vuosi. Ratkaise maakerroksen lämpötilaa kuvaava lämpöyhtälö T t = T κ 2 z, 0 < z <, 2 missä κ on lämmönjohtumiskerroin, koordinaatti z = 0 maan pinnalla ja kasvaa syvemmälle mentäessä, ja lämpötila T (t, z) syvyydellä z ajanhetkenä t toteuttaa reunaehdon T (t, z = 0) = T (t), missä T (t) on edellä mainittu maanpinnalla mitattu ilman lämpötila. Osoita että: (a) Maanpinnan alainen lämpötila vaihtelee samalla jaksolla t p kuin ilman lämpötila, mutta vaihesiirrolla (viiveellä) joka riippuu syvyydestä. (b) Pisimmän jakson omaavat lämpötilanvaihtelut (eli hitaimmat muutokset) etenevät syvimmälle maan alle. Vihje: Esitä jokainen T (t, z):n Fourier-komponentti muodossa Re[T n (z)e inωt ], missä T n (z) : t voivat olla kompleksiarvoisia funktioita.

10 Tehtävä 3.04 Sisälämpötilan vaikutus energiankulutukseen: Tarkastellaan ikkunattoman seinän lämpötilaa pakkassäällä. Yksinkertaistuksena seinä voidaan olettaa täysin homogeeniseksi, jolloin sitä voidaan mallintaa lämpöyhtälöllä t T = D 2 T, missä D on jokin vakio. Oletetaan, että lämpötila on pitkien pakkasten aikana saavuttanut tasapainoaseman, jolloin t T = 0. Seinän ulkopinta on vakiolämpötilassa T u = 15 C, mutta sisäpinnalla lämpötila on jokin funktio f(x, y). Näistä saamme reunaehdot T (z = 0) = T u ja T (z = d) = f(x, y). Oletetaan lisäksi, että lämpövuo on nolla seinän sivuilla eli T x (x = 0) = T x (x = L) = T y (y = 0) = T y (y = h) = 0. (a) Ratkaise lämpöyhtälö annetuilla reunaehdoilla. (b) Laske lämpövuo seinän läpi Φ = L 0 dx h 0 dyt z (z = 0), ja kirjoita se seinän sisäpinnan keskimääräisen lämpötilan funktiona T avg = 1 hl L 0 dx h 0 dyf(x, y). (c) Kuinka monta prosenttia lämpövuo (eli energiahukka) pienenee, kun keskimääräistä lämpötilaa lasketaan kahdella asteella +22 C:sta? Tehtävä 3.05 Veden virtaus sillanpylvään ympäri: Pyörteetöntä virtausta voidaan mallintaa Laplacen yhtälöllä 2 Φ = 0, missä Φ on nopeuden potentiaali. Toisin sanoen virtausnopeus on potentiaalin Φ gradientti v = Φ. Tarkastellaan veden virtausta pyöreän sillanpylvään (säde R) ympäri hitaasti virtaavassa joessa. Tilanteen sylinterisymmetrian sekä z-suunnan translaatiosymmetrian takia tarkastelu on järkevintä tehdä polaarikoordinaateissa niin, että pylväs sijaitsee origossa. Vesi ei tietenkään voi virrata pylvään läpi, joten sen pinnalla pätee reunaehto ˆn v = 0, kun r = R, missä n = ê r on pylvään pinnan normaali. Kaukana pylväästä taas vesi tasaisella nopeudella, joten täytyy olla v v 0, kun r.

11 Ratkaise potentiaali Φ polaaritasossa. Vihje: Kannattaa jättää ehto v v 0 viimeiseksi ja muistaa, että polaarikoordinaateissa x = r cos ϕ ja y = r sin ϕ. Luentoprujujen lisäksi myös Wikipediasta löytyy hyvä kooste nablasta sylinteri- ja pallokoordinaateissa coordinates Tehtävä 3.06 Ratkaise kolmiulotteinen Laplacen yhtälö suorakulmaisessa särmiössä 2 u x u y u z 2 = 0 {x, y, z 0 x a, 0 y b, 0 z c } reunaehdoilla u = 0 särmiön sivuilla, lukuunottamatta sivua {x, y, z 0 x a, 0 y b, z = 0 } jossa u = H(x, y). Annettu funktio H(x, y) toteuttaa tarpeelliset säännöllisyysehdot ratkaisun u olemassaololle. Tehtävä 3.07 Osoita että aaltoyhtälön ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdot ja reunaehdot 1 c 2 u tt u xx = F (x, t), 0 x a, 0 t < u(x, 0) = f(x), u t (x, 0) = g(x) u(0, t) = h(t), u(a, t) = k(t), h(0) = f(0), k(0) = f(a), h (0) = g(0), k (0) = g(a) on yksikäsitteinen. Vihje: Osoita että E(t) = a dx ( 1 u 2 0 c 2 t + ux) 2 on vakio niille homogeenisen aaltoyhtälön 1 u c 2 tt u xx = 0 ratkaisuille joille u(0, t) = u(a, t) = 0, ja sovella tätä tulosta alkuperäisen yhtälön kahden ratkaisun u 1 (x, t), u 2 (x, t) erotukseen u = u 1 u 2. Tehtävä 3.08 Monisteen sivun 22 esimerkki 3.4 olkoon nyt harjoitustehtävä. Vinkki: ρ:n Fourierintegraalia laskiessa voit valita k-avaruuden z-akselin r-vektorin suuntaiseksi, jolloin k r = kr cos θ.

12 Tehtävä 3.09 Luokittele seuraavat yhtälöt, ja etsi niiden karakteristikat: (a) u xx 2u xy 3u yy = 0, (b) yu xx + (x + y)u xy + xu yy = 0. Tehtävä 3.10 Näytä, että Helmholtzin yhtälö, 2 ψ + k 2 ψ = 0, (4) on edelleen separoituva sylinterikoordinaateissa, mikäli yleistämme vakion k 2 s.e. Tehtävä 3.11 k 2 k 2 + f(ρ) + 1 g(ϕ) + h(z). (5) ρ2 Näytä, että Helmholtzin yhtälön yleistys [ 2 ψ + k 2 + f(r) + 1 ] r g(θ) r 2 sin 2 θ h(ϕ) ψ = 0, (6) on separoituva (pallokoordinaatistossa). Tehtävä 3.12 Olettaen, että Ψ on Laplacen yhtälön 2 Ψ = 0 ratkaisu, näytä, että myös Ψ/ z on ratkaisu. Tehtävä 3.13 Oletetaan y (5) (x) 15y (4) (x) + 84y (3) (x) 220y (x) + 275y (x) 125y(x) = 0. (7) (a) Johda ja ratkaise yhtälön (7) karakteristinen yhtälö. (b) Johda edellisen kohdan karakteristisen yhtälön ratkaisusta yhtälön (7) yleinen ratkaisu. Tehtävä 3.14 Näytä, että Helmholtzin yhtälö, on edelleen separoituva 2 ψ + k 2 ψ = 0, (8)

13 (a) sylinterikoordinaateissa, mikäli yleistämme vakion k 2 s.e. k 2 k 2 + f(ρ) + 1 g(ϕ) + h(z). (9) ρ2 (b) pallokoordinaateissa, mikäli yleistämme vakion k 2 s.e. Tehtävä 3.15 k 2 k 2 + f(r) + 1 r g(θ) r 2 sin 2 h(ϕ). (10) θ Ratkaise käyttämällä karakteristista metodia (tai muuten): kun alkuehtona on u(x, y = x) = x Harjoitus 4 Tehtävä 4.01 x(y u) x u + y(x + u) y u = (x + y)u, (11) Lennätinyhtälö: Olkoon v(x, t) jännite ja i(x, t) sähkövirta lennätinlinjalla (siirtojohdossa). Oliver Heavisiden yhtälöt kuvaavat niiden aikakehitystä: L i + Ri = v t x, C v t + Gv = i x. (12) Yllä vakiot R, C, L, G kuvaavat johdon vastusta, kapasitanssia, induktanssia, ja vuotokonduktanssia pituusyksikköä kohti. (a) Osoita että Heavisiden yhtälöistä seuraa v(x, t):lle toisen kertaluvun ODY LC 2 v + (LG + RC) v t2 t + RGv = 2 v x. 2 (Samanlainen yhtälö voidaan johtaa myös i:lle.) (b) Yhtälö 2 v t + κ v 2 t = 2 v a2 x + bv, 2 missä vakiot κ > 0, b < 0, tunnetaan nimellä lennätinyhtälö. Osoita että sijoittamalla yrite v(x, t) = e κt/2 u(x, t) saadaan u(x, t):lle Klein-Gordon yhtälö 2 u t 2 = a2 2 u x 2 + (b κ2 )u (c) Tee Klein-Gordon yhtälöön sijoitus u = u 0 e iωt+ikx ja etsi ω:n ja k:n välinen dispersiorelaatio ω = ω(k).

14 Tehtävä 4.02 Sisäfileen paistoaika: Naudan sisäfilettä paistetaan uunissa. Lämpötilaa voidaan paistamisen aikana mallintaa lämpöyhtälöllä T t = α 2 T, missä α on vakio. Koska sisäfile on paljon pidempi kuin se on paksu ja vain keskikohdan lämpötilalla on merkitystä kypsyyttä arvioitaessa, filettä voidaan tarkastella polaarikoordinaateissa kaksiulotteisena kiekkona. Käytä muuttujien erottelua, ja separoi lämpöyhtälö polaarikoordinaateissa sekä ratkaise aika- ja kulmayhtälö. Radiaaliyhtälö on liian vaikea ratkaistavaksi tässä vaiheessa kurssia. (Jatkuu myöhemmin...) Tehtävä 4.03 Maapallon gravitaatiokenttä: Newtonin gravitaatiolaki voidaan saattaa Poissonin yhtälön muotoon 2 Φ = 4πGρ, missä G on Newtonin vakio, ρ tiheys ja Φ gravitaatiopotentiaali. Gravitaatiokenttä g saadaan potentiaalin gradientista g = Φ. Laske maapallon (säde R=6400km) gravitaatiokenttä olettaen, että tiheys on vakio ρ=5500kg/m 3. Kuinka suuri on putoamiskiihtyvyys maanpinnalla (g n = g(r =R) )? Vihje: Pallosymmetria yksinkertaistaa laskua, ja gravitaatiokentän tulee tietysti olla jatkuva, kun r = R. Tehtävä 4.04 Kvanttikenttäteoriaa: Eräs keskeinen käsite kvanttikenttäteoriassa on propagaattori, joka kuvaa hiukkasen liikkumista pisteestä x pisteeseen y. Yksi keino ratkaista propagaattori on laskea hiukkasta vastaavan kentän liikeyhtälön Greenin funktio. Vapaan skalaarikentän φ tapauksessa liikeyhtälö on Klein-Gordon yhtälö [ 2t 2 + m 2 ] φ(t, x) = 0, missä m on hiukkasen massa. Etsi liikeyhtälön Greenin funktio Fourier n avaruudessa G(ω, k) eli ratkaise yhtälö [ 2t ] 2 x + m 2 G(t, x; τ, y) = i 2πδ(t τ)(2π) 3 2 δ 3 ( x y), käyttämällä yritteenä Fourier n muunnosta G(t, x; τ, y) = R 4 d k (2π) 3 2 dω 2π e i k ( x y) iω(t τ) G(ω, k).

15 Tehtävä 4.05 Peilivarauksien menetelmä: Sähköstatiikassa käytetään välillä niin kutsuttua peilivarausten menetelmää, jossa sähkökentän potentiaali saadaan sijoittamalla johdekappaleen vastakkaiselle puolelle fyysisten varausten peilikuvia. Kahdessa ulottuvuudessa x-akselille asetetun johdelevyn tapauksessa pisteessä (x 0, y 0 ) olevan pistevarauksen sähkökenttä saadaan asettamalla vastaavan suuruinen mutta erimerkkinen pistevaraus johdelevyn toiselle puolelle pisteeseen (x 0, y 0 ). Potentiaali on tällöin nolla johteen kohdalla x-akselilla. Vastaavaa menetelmää voidaan soveltaa myös Laplacen operaattorin Greenin funktioille. Esimerkiksi x-akselille asetetun johdelevyn tapauksessa ylemmän puolitason Greenin funktio, joka toteuttaa reunaehdon G(x, 0; ξ, η) = 0, on G(x, y; ξ, η) = G 0 (x, y; ξ, η) G 0 (x, y; ξ, η), missä G 0 on koko tason Greenin funktio. (a) Muodosta peilivarausten menetelmällä Greenin funktio tasossa, jossa on johdelevy suoralla y = a (eli reunaehtona on G(x, a; ξ, η) = 0). Ilmaise se tason Greenin funktion G 0 avulla muodossa missä y riippuu y:stä ja a:sta. G(x, y; ξ, η) = G 0 (x, y; ξ, η) G 0 (x, y ; ξ, η), (b) Selitä lyhyesti, miten muodostaisit Greenin funktion kahden johdelevyn välissä (levyt suorilla y = a ja y = a). (c) Muodosta kyseinen Greenin funktio käyttäen apuna tason Greenin funktiota G 0. Vihje: b- ja c-kohdissa kannattaa ajatella kahta vastakkain asetettua peiliä. Tehtävä 4.06 Lämpötilan jakauma T (t, x) homogeenisessa aineessa, jossa ei ole lämmön lähteitä, toteuttaa diffuusioyhtälön T t = D 2 T, kun D = k/cρ, missä k on aineen lämmönjohtavuuskerroin, C on aineen ominaislämpö ja ρ on aineen tiheys. Löydä särmiön {x, y, z 0 x a, 0 y b, 0 z c } lämpötilajakauma ajalle t > 0, kun se hetkellä t = 0 oli annettu funktio τ(x, y, z), ja kun särmiön ulkopinnat pidetään nollalämpötilassa (T = 0 ). Tehtävä 4.07 Ratkaise Dirichlet n reuna-arvo-ongelma tason ympyrässä 2 u = 0, 0 ρ < R, 0 φ < 2π ;

16 reunaehdolla u(r, φ) = g(φ), käyttämällä joko muuttujien erottelua tai Cauchyn kaavaa (analyyttisen funktion reaali- ja imaginaariosathan toteuttavat Laplacen yhtälön tasossa). Johda nk. Poissonin kaava ratkaisulle: Tehtävä 4.08 Osoita, että u(ρ, φ) = 1 2π 2π 0 R 2 ρ 2 dα R 2 2Rρ cos(φ α) + ρ g(α). 2 G 1 (x, y; ξ, η) = 1 2π log (x ξ) 2 + (y η) 2 (x ξ) 2 + (y + η) 2 on operaattorin 2 Greenin funktio ylemmässä puolitasosssa y > 0, s.o. 2 x,yg 1 (x, y; ξ, η) = δ(x ξ)δ(y η), y > 0, joka toteuttaa reunaehdon G 1 (x, 0; ξ, η) = 0, eli u(x, y) = dξ 0 dηg 1 (x, y; ξ, η)f(ξ, η) on se ylemmän puolitason yhtälön 2 u = f ratkaisu joka toteuttaa reunaehdon u(x, 0) = 0. Tehtävä 4.09 Osoita että G(t, x) = c θ(ct x ) toteuttaa yhtälön 2 ( ) 1 2 c 2 t 2 G(t, x) = δ(t)δ(x), 2 x 2 eli on yksiulotteisen aaltoyhtälön viivästetty Greenin funktio. θ(x) on askelfunktio: θ(x) = 0, x < 0, θ(x) = 1, x 0. Tehtävä 4.10 Ratkaise seuraava reaalinen differentiaaliyhtälö, x 2 y (x) + p 0 xy (x) + q 0 y(x) = 0, missä parametrit p 0 ja q 0 toteuttavat ehdon (a) (p 0 1) 2 4q 0. (b) (p 0 1) 2 = 4q 0.

17 Tehtävä 4.11 Hypergeometrinen funktio F (a, b; c; z) määritellään seuraavasti kun z < 1, (a) n (b) n F (a, b; c; z) = z n, n!(c) n missä (α) n on ns. Pochhammerin symboli, (α) n Γ(α + n) Γ(α) n=0 = α(α + 1)... (α + n 1). Osoita, että F (a, b; c; z) toteuttaa seuraavan differentiaaliyhtälön kiekossa z < 1 Tehtävä 4.12 z(1 z) d2 F df + [c (a + b + 1)z] dz2 dz abf = 0. Määrää seuraavien differentiaaliyhtälöiden erikoispisteet ja niiden luonne. (a) ) (1 z 2 )y (z) 2zy (z) (λ m2 y(z) = 0, 1 z 2 missä λ ja m ovat kompleksiarvoisia vakioita. (b) y (z) + (α + βz + γz 2 ) y(z) = 0, missä α, β ja γ ovat kompleksiarvoisia vakioita. Tehtävä 4.13 Todenna jokaisessa kohdassa, että annetut ratkaisut toteuttavat kohdan differentiaaliyhtälön ja näytä Wronskin determinantin avulla ratkaisujen olevan lineaarisesti riippumattomia. Kirjoita lisäksi yhtälön yleinen ratkaisu. (a) y k 2 y = 0; y 1 = cosh(kx), y 2 = sinh(kx); x R ja k 0. (b) y + 4y 12y = 0; y 1 = e 2x, y 2 = e 6x ; x R. (c) y + 3 x y + 2 x y = 0; y 2 1 = 1 x cos(ln x), y 2 = 1 sin(ln x); 1 x 4. x (d) y 10y + 25y = 0; y 1 = e 5x, y 2 = xe 5x ; x R. (e) x 2 y + 3xy + y = 0; y 1 = 1 x, y 2 = ln x x ; x > 0. (f) Tarkastellaan lisäksi yhtälöä y + 1 x y + ratkaisu on y 1 = ( 1 1 4x 2 ) y = 0, x R, jonka yksi 2 πx sin x. Etsi toinen ratkaisu y 2, ja osoita, että se on lineaarisesti riippumaton ratkaisusta y 1.

18 Tehtävä 4.B1 Bonustehtävä: Keksi sellaisia arkipäiväisiä ilmiöitä, joita voisi mallintaa (a) aaltoyhtälöllä (b) lämpöyhtälöllä (c) Laplacen yhtälöllä. Ajattele luovasti älä pelkästään toista luentomonisteen ja tehtäväsarjojen esimerkkejä. Harjoitus 5 Tehtävä 5.01 Etsi seuraavien differentiaaliyhtälöiden erikoispisteet ja tunnista niiden luonne (a) Konfluenttinen hypergeometrinen yhtälö missä a ja b ovat parametrejä; (b) Legendren yhtälö z d2 f df + (b z) dz2 dz af = 0, (1 z 2 ) d2 f df 2z dz2 dz + [λ(λ + 1) µ2 1 z 2 ] f = 0 ; λ ja µ ovat vakioita. Voidaanko tätä yhtälöä muuntaa hypergeometriseksi yhtälöksi, ja jos voidaan, niin miten? Tehtävä 5.02 Ratkaise lämmittelynä yhtälö d 2 y dx + 2 ω2 y = 0 potenssisarjamenetelmällä säännöllisen pisteen x = 0 ympäristössä, kun ω on vakio. Tehtävä 5.03 Tutki Airyn differentiaaliyhtälöä d 2 y dz 2 zy = 0 potenssisarjamenetelmän avulla. Montako lineaarisesti riippumatonta ratkaisua odotat löytäväsi kehittämällä y(z) potenssisarjaksi pisteen z = 0 ympärillä? Löytyvätkö ne?

19 Tehtävä 5.04 Sisäfileen paistoaika: Kolmansissa laskuharjoituksissa saatiin lämpötilafunktiolle ratkaisu T (t, r, φ) = R n,κ (r) [C n sin(nφ) + D n cos(nφ)] e ακ2t. κ n=0 Uusimpien tutkimusten mukaan liha kannattaa laittaa paistumaan kylmänä, joten oletetaan, että file on aluksi kauttaaltaan säilytyslämpötilassa. Lisäksi lämpötila fileen pinnalla on koko ajan vakio, koska se on tasalämpöisessä uunissa. Näin ollen lämpötila ei riipu φ:stä, ja ratkaisu on muotoa T (t, r) = κ R 0,κ (r)e ακ2t, missä R 0,κ (r) saadaan yhtälöstä R + 1 r R + κ 2 R = 0. Ratkaise tämä yhtälö potenssisarjamenetelmällä heikon erikoispisteen r = 0 ympäristössä. Toista ratkaisua ei tarvitse laskea, mikäli se sisältäisi logaritmin, sillä lämpötilan tulee olla rajoitettu kun r = 0. Suppeneeko sarja kaikkialla alueessa r 0? (Jatkuu vielä seuraavassa tehtäväsarjassa...) Tehtävä 5.05 Hypergeometrinen yhtälö on yleisin yhtälö, jolla on täsmälleen kolme heikkoa erikoispistettä (sijoitettu pisteisiin z = 0, 1 ja ) eikä muita erikoispisteitä. Löydä ja ratkaise yleisin lineaarinen homogeeninen toisen asteen differentiaaliyhtälö jolla on a) täsmälleen yksi heikko erikoispiste (sijoitettu pisteeseen z = 0), b) täsmälleen kaksi heikkoa erikoispistettä (sijoitettu pisteisiin z = 0, ), eikä muita erikoispisteitä. Vihje: Käytä äärettömyyspisteen luonteen asettamat ehdot tehokkaasti hyväksi. Todistelut tehdään "fyysikon tarkkuudella". Tehtävä 5.06 Etsi seuraavien differentiaaliyhtälöiden erikoispisteet ja niiden luonne (a) Konfluenttinen hypergeometrinen yhtälö z d2 f df + (b z) dz2 dz af = 0, missä a ja b ovat parametrejä; (b) Tschebyscheffin yhtälö (1 z 2 ) d2 f dz z df 2 dz + α2 f = 0 ; α on parametri. Voidaanko tätä yhtälöä muuntaa hypergeometriseksi yhtälöksi, ja jos voidaan, niin miten?

20 Tehtävä 5.07 Ratkaise (s.o. löydä kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua) toisen kertaluvun differentiaaliyhtälölle y 1 + z y + 1 z z y = 0 potenssisarjamenetelmällä heikon erikoispisteen z = 0 ympäristössä. Tehtävä 5.08 Gravitaatioaallot. Kukaan ei varmaan ole välttynyt kuulemasta LIGOn havaitsemista gravitaatioaalloista. Aallot ovat häiriöitä avaruuden geometriassa, karkeasti sen sijaan että nelivektorin pituus olisi η µν x µ x ν (Minkowskin metriikka (η µν ) = diag( 1, 1, 1, 1)), se onkin (η µν + h µν )x µ x ν. Jos metriikan poikkeama h µν on pieni (LIGO havaitsee n suuruisen poikkeaman), yleisen suhteellisuusteorian Einsteinin yhtälölle hyvä approksimaatio (ns. lineaarinen approksimaatio) on tavallinen aaltoyhtälö ( 2 t + 2 )h µν (t, r) = 16π τ µν (t, r), missä käytetään yksiköitä c = G N = 1, ja τ µν (t, r) on ns. energia-impulssitensori. (Myöhemmin alla lisää.) (a) Käyttäen luennoilla johdettua aalto-operaattorin Greenin funktiota, kirjoita ratkaisu muotoon h µν (t, r) = 4 d r τ µν (t r r, r ). r r (b) Oletetaan että aaltolähde on kompakti, ja havaitsija hyvin kaukana, jolloin r r r r. Kehittämällä integrandia sarjaksi, kirjoita ratkaisu muotoon h µν (t, r) 4 d r τ µν (t r, r ). r (c) Energia-impulssitensorin avaruusosan integraali voidaan kirjoittaa Stokesin lauseen avulla d r τ ij (t r, r ) = d r x i x j k l τ kl (t r, r ), missä on käytetty Einsteinin summauskonventiota, kahdesti esiintyvan indeksin yli summataan eli esim. k x k = 3 k=1 kx k. Energia-impulssitensorin 4- divergenssi häviää, ν τ µν = t τ µ0 + i τ µi = 0 kaikilla µ = {0, 1, 2, 3}. Näytä sen avulla että t t τ 00 = j k τ jk, ja kirjoita tämän aputuloksen avulla metriikan poikkeaman avaruusosa muotoon h ij (t, r) 4 d 2 d r x i x j τ 00 (t r, r ). r dt 2

21 (d) Yllä esiintyvä energia-impulssitensorin komponentti τ 00 ρ, avaruutta kaareuttavan aineen energiatiheys. Esim. binaarisysteemille kuten toisiaan kiertäville neutronitähdille yksinkertainen malli energiatiheydelle on tähtien massat M 1, M 1 kerrottuna niiden sijainnissa r 1 (t ), r 2 (t ) (missä t = t r) piikittyvillä deltafunktiolla: ρ(t r, r ) = M 1 δ (3) ( r r 1 (t r)) + M 2 δ (3) ( r r 2 (t r)). Sijoita tämä ylllä johtamaasi kaavaan ja kirjoita ratkaisu muotoon h ij (t, r) 4 r d 2 dt 2 [ M1 x i 1(t r)x j 1(t r) + M 2 x i 2(t r)x j 2(t r) ]. Tämän jälkeen ratkaisuun täytyisi enää sijoittaa binäärisysteemin komponenttien liikeratojen ratkaisufunktiot r i (t). Se jääköön nyt väliin. Jos haluat, voit koettaa jatkaa laskua sijoittamalla radoiksi ympyräradat. Lisää asiasta voit lukea Wikipediasta, aiheella Gravitational wave. Tehtävä 5.09 Vetyatomin radiaalinen Schrödingerin yhtälö on [ d 2 u 2E dρ + 2 µc + 2α ] l(l + 1) u = 0, 2 ρ ρ 2 missä ρ on dimensioton muuttuja. Suurilla ρ:n arvoilla mahdollinen asymptoottinen ratkaisuyrite on: u(ρ) = e ωρ n 0 c n ρ n+γ, c 0 0. Määrää parametrit ω ja γ sekä johda palautuskaava kertoimille c n, n = 1, 2,... sijoittamalla ratkaisuyrite yllä olevaan differentiaaliyhtälöön. Tehtävä 5.10 Legendren liittopolynomeille on johdettavissa ortonormitusehto +1 1 d(cos θ) Pl m (cos θ) Pr m (cos θ) = 2δ lr 2l + 1 (l + m)! (l m)!. Tiedetään, että Laplacen yhtälön ratkaisu Φ(r, θ, ϕ) alueessa 0 < r 1 < r < r 2 < on: Φ(r, θ, ϕ) = l,m A lm r l Pl m (cos θ)e imϕ + B lm r l 1 Pl m (cos θ)e imϕ, l,m missä A lm ja B lm ovat kertoimia, jotka määrätään reunaehdoista. Johda lausekkeet näille kertoimille, kun tunnetaan Φ(r 1, θ, ϕ) ja Φ(r 2, θ, ϕ).

22 Tehtävä 5.11 Oletetaan, että funktio f : [ 1, 1] C on C -funktio, ts., että sillä on kaikkien kertalukujen derivaatat välillä [ 1, 1]. Edelleen oletetaan, että funktiolla f on sarjakehitelmä f(x) = l=0 a l P l (x), joka voidaan kertoa mielivaltaisella Legendren polynomilla ja integroida termeittäin. Osoita, Legendren polynomien ortonormitusta ja Rodriguesin kaavaa hyväksi käyttäen, että a l = (l ) 2 l l! 1 1 dxf (l) (x)(1 x 2 ) l, l N. Tehtävä 5.12 On mahdollista määritellä toisen lajin Legendren funktio Q λ (z) seuraavasti: πγ(λ + 1) Q λ (z) = 2 λ+1 Γ(λ + 3 F ( 1 2 )z λ 1 2 λ + 1 2, 1 2 λ + 1; λ ; z 2 ), kun z > 1, π < arg z < π ja Reλ + 1 > 0. Osoita, että tälle funktiolle Q λ pätee myös integraaliesitys Q λ (z) = 1 +1 dt (1 t 2 ) λ (z t) λ 1. 2 λ+1 1 t Vinkki: Kehitä yllä oleva integraali sarjaksi potensseissa ja integroi termeittäin z muuttujan t suhteen. Tässä laskussa on hyötyä Eulerin β-funktiosta. Tehtävä 5.13 Yksikäsitteisyyslause. Oletetaan, että funktio y(x) on ratkaisu toisen kertaluvun lineaariselle, homogeeniselle differentiaaliyhtälölle. Pisteessä x = x 0 y(x) = y 0 ja dy/ dx = y 0. Näytä, että y(x) is yksikäsitteinen, t.s., että kyseiselle yhtälölle ei ole yhtään toista ratkaisua, joka kulkee pisteen (x 0, y 0 ) läpi kulmakertoimella y 0. Tehtävä 5.14 Kvanttimekaniikassa käytetään usein kulmaliikemääräoperaattoria L = i( r ), missä r on paikkavektori. L toteuttaa seuraavan ominaisarvoyhtälön operoidessaan aaltofunktioon ψ: L Lψ = l(l + 1)ψ, (13) missä l N. Näytä, että soveltamalla kulmaliikemääräoperaattorin määritelmää, ominaisarvoyhtälöstä muotoutuu Legendren liittoyhtälö.

23 Tehtävä 5.15 Etsi ja ratkaise seuraavien yhtälöiden indeksiyhtälöt ja niiden perusteella sarjaratkaisun termien rekursiorelaatio. (a) x 2 y + x(2 x)y 2y = 0 (b) x 2 y + 2xy + (x 6)y = 0 (c) x 2 y + x(3 + x)y + y = 0 (d) xy + y + x 2 y = 0 (e) x 2 y + xy + x 2 y = 0 (f) x 2 y + x(x + 1/2)y + (x 1/2)y = 0 (g) x 2 y xy + (2x 8)y = 0 (h) x 2 y xy + (x 2 1/4)y = 0 (i) x 2 y + x(x 1/4)y y/4 = 0 (j) x 2 y + xy + (x 2)y = 0 Tehtävä 5.16 Etsi ja ratkaise seuraavien yhtälöiden indeksiyhtälöt ja niiden perusteella sarjaratkaisun termien rekursiorelaatio. (a) x 2 y + x(x 2 3/4)y 0(x 1/8)y = 0 (b) y + 1/x(x 1/2)y y/x 2 = 0 (c) y + xy 2y/x 2 = 0 (d) y + (x 2 + 7/2)y /x + (x 6)y/x 2 = 0 (e) y + 5y /(4x) + (1 9/4x 2 )y = 0 (f) y + (1 + 3/x)y + (1 + 6/x)y/x = 0 (g) x 2 y 3xy + (x 2 2)y = 0 (h) x 2 y + x(x 2)y + x 2 y = 0 (i) x 2 y 4xy + (x 2 3)y = 0 (j) x 2 y + 8x 2 y + (2x 7)y = 0

24 Tehtävä 5.17 (a) Käyttäen Legendren polynomien kertoimien rekursiorelaatiota a n+2 = n2 + n λ (n + 2)(n + 1) a n (14) osoita, että Legendren polynomin P n korkeimman kertaluvun termin x n kerroin on (2n 1) a n =. (15) n! (b) * Käyttäen edellisen kohdan tulosta, osoita Rodriguesin kaava. Harjoitus 6 Tehtävä 6.01 Johda lämpöyhtälölle Greenin funktio K(t, x, y) (integroimisydin, heat kernel on myöskin usein käytetty nimitys tässä tapauksessa). Koska lämpöyhtälö ei ole symmetrinen aikakoordinaatin suhteen, toisin kuin deltafunktio δ(t), tarkastelemme ratkaisua alueessa t [0, [, x R 3, ja määrittelemme Greenin funktion seuraavasti: se toteuttaa lämpöyhtälön t K(t, x, y) = 2 xk(t, x, y), kun t > 0, ja kun t 0, se totetuttaa alkuehdon lim K(t, x, y) = δ 3 ( x y). t 0 Lisäksi asetamme reunaehdoksi, että K on nolla äärettömyydessä. Tehtävä 6.02 Etsi seuraavien differentiaalioperaattorien Greenin funktiot annetuilla reunaehdoilla: (a) L = d2 dx 2 + 1, u(0) = 0, u (1) = 0, (b) L = d2 dx 2 1, u(x) äärellinen kun < x <. Tehtävä 6.03 Varausjakauman multipoolikehitelmä: N:n pistevarauksen muodostama potentiaali pisteessä R voidaan kirjoittaa yksittäisten pistevarausten potentiaalien summana 4πɛ 0 V ( R) N q i = r i R, missä q i ja r i ovat pistevarauksen varaus ja paikkavektori. Ilmaise potentiaali Legendren polynomien avulla eli kehitä se sarjaksi polynomien suhteen, kun varausjakaumaa tarkastellaan ulkopuolelta ( R > r i, i). Miten kehitelmä muuttuu, jos R < r i jollekin vektorille r i? Vihje: Olisikohan generoivasta funktiosta apua? i=1

25 Tehtävä 6.04 Kvantitettu harmoninen oskillaattori: Kolmiulotteista kvantitettua harmonista oskillaattoria voidaan käyttää esimerkiksi kaksiatomisten dipolien mallintamiseen. Tällaisen oskillaattorin Hamiltonin operaattori on H = p2 2m mω2 x 2, missä operaattori p = i. Ilmaise Hamiltonin operaattori pallokoordinaateissa, ja osoita, että palloharmoniset funktiot ovat sen ominaisfunktioita. Vihje: Muista, että nablalla voi operoida myös itseensä kurvilineaarisessa koordinaatistossa. Palloharmonisten funktioiden differentiaaliyhtälöt taas löytyvät luentomonisteesta, ja niihin saa viitata suoraan. Tehtävä 6.05 Sisäfileen paistoaika: Aikaisemmin löydettiin ratkaisu radiaaliyhtälölle potenssisarjamenetelmällä. Kyseinen ratkaisu on itse asiassa nollannen asteen Besselin funktio R κ (r) = A κ J 0 (κr), ja lämpöyhtälön ratkaisu on tähän mennessä T (t, r) = κ 0 A κ J 0 (κr)e ακ2t + A 0, missä olemme erottaneet vakioratkaisun summasta ja pudottaneet pois kaikki divergentit logaritmiset termit. (a) Aseta seuraavaksi alku- ja reunaehdot. Sisäfile on aluksi kauttaaltaan säilytyslämpötilassa, joten T (t = 0) = T i = +2. Lisäksi sen pinnan lämpötila on sama kuin uunin lämpötila eli T (r = r u ) = T u = 100. (b) Arvioi paistoaikaa sarjan johtavalla termillä, kun fileen keskikohdan lämpötilaksi halutaan 53. Lämpöyhtälön kerroin α = σ cρ, missä lämmönjohtavuus σ = 0,4W/(m K), ominaislämpö c = 3,45kJ/(kg K) ja tiheys ρ = 1, kg/m 3. Fileen säde puolestaan on r u = 5cm. Onko saamasi paistoaika realistinen? Miksi? Vihje: Reuna- ja alkuehtojen asettamisessa tarvitaan Fourier-Bessel-sarjakehitelmää eli käytännössä luentomonisteen ortogonaalisuusehtoa. Besselin funktion J 0 ensimmäinen nollakohta on u 0,1 2,40, ja sen derivaatan arvo nollakohdassa J 0(u 0,1 ) 0,519. Tehtävä 6.06 Lausu "kvadrupolitensorin"q ij = 3x i x j r 2 δ ij ; (x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z) komponentit suureiden r ja Y lm avulla.

26 Tehtävä 6.07 Kvanttimekaniikan impulssimomenttioperaattori on L = r p = r ( i ). Lausu L x, L y, L z ja L 2 = L 2 x + L 2 y + L 2 z pallokoordinaattien avulla. Osoita että Y lm on operaattorien L 2 ja L z yhteinen ominaisfunktio. Tehtävä 6.08 Osoita että yleinen toisen kertaluvun lineaarinen homogeeninen differentiaaliyhtälö a 2 (x) d2 u dx + a 1(x) du 2 dx + a 0(x)u = 0 voidaan saattaa muotoon ( d p(x) du ) + q(x)u = 0, dx dx ( ) x missä p(x) = exp dx a 1 (x ) a 2 ja q(x) = a 0(x) (x ) a 2 p(x). Suorita muunnos harjoituksen (x) 5 tehtävän 1 yhtälöille. Tehtävä 6.09 Todista Besselin funktion J 0 integraaliesitys J 0 (x) = 1 π 1 1 du e iux 1 1 u 2 osoittamalla että integraalin määrittelemä funktio toteuttaa asianomaisen differentiaaliyhtälön d 2 F dx + 1 df 2 x dx + F = 0, ja oikeat alkuarvot pisteessä x = 0: J 0 (0) = 1, J 0(0) = 0. Tehtävä 6.10 Tsebyshevin polynomeja. Ensimmäisen lajin Tsebyshevin polynomit T n (x) voidaan määritellä generoivan funktion avulla, 1 tx g(x, t) = 1 2tx + t = T 2 n (x)t n. (a) Johda polynomeille rekursiokaava n=0 T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x). (b) Etsi polynomin T 4 (x) muoto (t.s. esitä se polynomina). (c) Osoita että ne toteuttavat ortogonaalisuusintegraalin 1 dx T n (x)t m (x) = 1 1 x 2 0 kun n m π kun n = m = 0 π 2 kun n = m 0. Vihje c)-kohtaan: Tsebyshevin polynomit voidaan esittää myös muodossa T n (x) = cos(n arccos(x)), käytä sitten muuttujanvaihtoa x = cos(θ).

27 Tehtävä 6.11 Tilalla n = 0, 1, 2,... olevan harmonisen värähtelijän aaltofunktiot ovat ψ n (x) = ( mω ) 1/4 e q2 /2 π 2n n! H n(q) missä q = mω x ja H n(q) on Hermiten polynomi kertalukua n., m ja ω ovat vakioita. a) Laske normittamaton tiheysoperaattori ˆρ(x 1, x 2 ) = e β ω(n+ 1 2) ψn (x 1 )ψ n (x 2 ), n=0 missä β on vakio. Tässä kannattaa käyttää Hermiten polynomin integraaliesitystä: H n (q) = eq2 π du( 2iu) n e u2 +2iqu. b) Normita se, jolloin saat harmonisen värähtelijän tiheysmatriisin: ρ(x 1, x 2 ) = ˆρ(x 1, x 2 ) dxˆρ(x, x) Tehtävä 6.12 Tiedetään, että Besselin funktioiden J n, missä n = 0, ±1, ±2,..., generoiva funktio on exp[ 1 2 z(t 1 )], ts t [ ( 1 exp 2 z t 1 )] = t n= t n J n (z). Johda tästä tiedosta Besselin funktioille palautuskaavat kun indeksi n on kokonaisluku. Tehtävä 6.13 J n 1 (z) J n+1 (z) = 2J n(z) J n 1 (z) + J n+1 (z) = 2n z J n(z), Funktio f toteuttaa konfluentin hypergeometrisen yhtälön z d2 f df + (c z) dz2 dz af = 0, missä a, c C ja c 1. Mitkä ovat yhtälön erikoispisteet? Käyttäen sarjaratkaisumenetelmää, löydä yhtälön yleinen ratkaisu pisteen z = 0 ympäristössä.

28 Tehtävä 6.14 Mikä tahansa epähomogeeninen toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon d 2 f df + p(z) dz2 dz missä p, q ja F ovat annettuja muuttujan z funktioita. + g(z)f = F (z), (16) (a) Muuta funktiot muotoon ( f(z) = g(z) exp 1 z ) p(z ) dz, (17) 2 z ( 0 F (z) = G(z) exp 1 z ) p(z ) dz, (18) 2 z 0 ja näytä, että differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa Johda lisäksi J(z). (b) Määritellään g:lle sarjaesitys missä g 0 (z) = z g n (z) = d 2 g + J(z)g = G(z). (19) dz2 g(z) = g n (z) (20) n=0 z 0 (z z )G(z ) dz (21) z z 0 (z z )J(z )g n 1 (z ) dz, kun n 1. (22) Näytä, että näin määritelty g(z) ratkaisee (a)-kohdan yhtälön. Tehtävä 6.15 Osoita seuraavat Besselin funktioiden integraali-identiteetit oikeiksi: x p J p 1 (x) dx = x p J p (x) + C (23) x p J p+1 (x) dx = x p J p (x) + C (24) J p+1 (x) dx = J p 1 (x) dx 2J p (x). (25)

29 Tehtävä 6.16 Lähtien Legendren liittopolynomien generoivasta funktiosta P n (x)t n = n=0 osoita seuraavat rekursiorelaatiot Osoita myös generoiva funktio oikeaksi t2 2tx P n 1 (x) = xp n (x) + 1 x2 n P n(x), n 1, (26) P n+1 (x) = xp n (x) 1 x2 n + 1 P n(x), n 0. (27) Tehtävä 6.17 (a) Kvanttimekaniikassa esiintyy usein integraali Osoita, että I nm = I nm = 1 1 xp n (x)p m (x) dx. 2(n + 1) (2n + 1)(2n + 3) δ 2n m,n+1 + (2n + 1)(2n 1) δ m,n 1. (28) (b) Näytä, että 1 1 xp n (x)p n(x) dx = 2n 2n + 1 (29) (c) Osittaisintegroiden Legendren polynomien rekursiorelaatiota P n 1(x) xp n(x) + np n (x) = 0, (30) osoita, että 1 0 P n (x) dx = P n 1(0), n 1. (31) n + 1