4.2.2 Uskottavuusfunktio f Y (y 0 X = x)
|
|
- Pertti Haapasalo
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kuva 4.6: Elektroniikassa esiintyvän lämpökohinan periaate. Lämpökohinaa ε mallinnetaan additiivisella häiriöllä y = Mx + ε Uskottavuusfunktio f Y (y 0 X = x) Tarkastellaan tilastollista inversio-ongelmaa, jossa data Y on m-ulotteinen ja tuntematon X n-ulotteinen satunnaisvektori. Määritelmä 33. Olkoon y 0 R m otos satunnaisvektorista Y. Bayesin kaavassa esiintyvää funktiota x f Y (y 0 X = x) nimitetään uskottavuusfunktioksi (eng. likelihood function). Uskottavuusfunktio x f Y (y 0 X = x), missä y 0 R m on aina kiinnitetty, on n-ulotteisen muuttujan funktio, kun taas ehdollinen tntf y f Y (y X = x), missä x R n on kiinnitetty, on m-ulotteisen muuttujan funktio! Uskottavuusfunktio edustaa tuntemattoman ja datan välistä sopivuutta ja se voi sisältää mm. ulkoisista häiriöistä johtuvien epätarkkuuksien tilastollisia piirteitä (kuten sähköisessä laitteissa esiintyvän lämpökohinan vaikutusta mittaukseen) suoran teorian mallinnusvirheistä johtuvien epätarkkuuksien tilastollisia piirteitä (kuten jatkuvan tuntemattoman kahden muuttujan funktion approksimointi pikseleiden avulla eri tarkkuustasoilla tai fysikaalisen teorian epätarkkuudet). 107
2 Kuva 4.7: Kahden muuttujan funktiota f(x, y) (jonka arvo koordinaateissa (x, y) on joko 0 tai 1) approksimoidaan summalla f(x, y) n k=1 a kφ k (x, y), missä a k edustaa funktion f(x, y) approksimoitua arvoa pikselissä k, jonka indikaattorifunktio on φ k. Kuva 4.8: Refraktio eli aaltojen taipuminen epähomogeenisessa väliaineessa aiheuttaa poikkeamia suoraviivaisesta etenemisestä samoin kuin diffraktio eli aaltojen leviäminen esteen tai raon taakse. Refraktiota ja diffraktiota ilmenee mm. radiosignaalien, ultraäänen ja maanjäristysaaltojen etenemisessä. Jos esim. ultraäänen etenemistä approksimoidaan suoraviivaisena, syntyy fysiikaalisen suoran teorian ja käytetän suoran teorian välille ero. 108
3 Ulkoinen häiriö Tarkastellaan ensin tapausta, jossa ulkoiset häiriöt ε ovat additiivisia ja riippumattomia tuntemattomasta X. Merkitään Y = F (X) + ε, missä F : R n R m on jatkuva suora teoria ja satunnaisvektorilla ε on todennäköisyystiheysfunktio f ε. Satunnaisvektorin Y = F (X) + ε ehdollinen todennäköisyystiheysfunktio, kun X = x on annettu on Esimerkin 45 perusteella muotoa y f Y (y X = x) = f ε+f (x) (y) = f ε (y F (x)), (4.9) Oikealla havainnekuva häiriön ε todennäköisyystiheysfunktiosta muuttujan y funktiona y f ε (y) ja sen translaatio y f ε (y F (x)) suoran teorian arvolla F (x) = 5 yksiulotteisessa tapauksessa. Kun satunnaisvektorista Y on annettu otos y 0, niin uskottavuusfunktio on x f Y (y 0 X = x) = f ε (y 0 F (x)). Seuraavaksi tarkastellaan esimerkkejä uskottavuusfunktioista, jotka valottavat uskottavuusfunktion ja ehdollisen todennä- Kuva 4.9: köisyystiheysfunktion eroa, joka syntyy eri muutujien kiinnittämisistä. Esimerkki 47 (Suora teoria : R 2 R). Olkoon M 1 2 = (3 1) ja olkoot R 2 -arvoinen satunnaisvektori X = (X 1, X 2 ) ja satunnaismuuttuja ε N(0, 1) riippumattomia. Merkitään ( ) X1 Y = MX + ε = (3 1) + ε = 3X 1 + X 2 + ε, X 2 josta on saatu otos y 0 = 2. Silloin ehdollinen tntf f Y (y X = x) = f ε (y Mx) = 1 exp ( 12 ) y 2π Mx 2 = 1 exp ( 12 ) (y 3x 1 x 2 ) 2, 2π missä x = (x 1, x 2 ) R 2 on kiinnitetty (kuvassa 4.9 on f Y (y X = (0, 0)) sinisellä ja f Y (y X = (2, 1)) punaisella). Vastaavasti uskottavuusfunktio x = (x 1, x 2 ) f Y (y 0 X = x) = f ε (y 0 Mx) = f ε (2 3x 1 + x 2 ) = = 1 exp ( 12 ) (2 3x 1 x 2 ) 2, 2π jonka kuvaaja on alla. Myös seuraavissa esimerkeissä on kirjoitettu useita laskujen välivaiheita esille selvyyden vuoksi. 109
4 Kuva 4.10: Uskottavuusfunktio (x 1, x 2 ) f ε (2 3x 1 + x 2 ) korkeuskäyränä ja kuvana Esimerkki 48 (Suora teoria: R 2 R 2 ). Olkoon suora teoria ( ) 1 2 R 2 x Mx R 2, missä M = ja satunnaisvektorin Y otos on y = (1, 1) Mallinnetaan dataa satunnaisvektorilla Y = M X + ε. Häiriöstä ε tiedetään, että se on riippumaton tuntemattomasta ja noudattaa multinormaalijakaumaa N(0, 2I). Häiriön tntf on ( 1 f ε (y) = exp 1 ( ) y) (2π) yt = 1 ( 0 2 4π exp 14 ) y Uskottavuusfunktio on 7 kaikilla x = (x 1, x 2 ) R 2 f Y (y 0 X = x) = f ε (y 0 Mx) = 1 ( 4π exp 14 ) y 0 Mx 2 = 1 ( 4π exp 1 ) 4 ((1 x 1 2x 2 ) 2 + (1 + x 1 + 2x 2 ) 2 ) ( ) 2 1 Esimerkki 49 (Häiriön varianssin vaikutus). Olkoon M 2 2 = ja olkoot R arvoiset satunnaisvektorit X = (X 1, X 2 ) ja ε = (ε 1, ε 2 ) N(0, δi), δ > 0 riippumattomia. Merkitään ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 X1 ε1 2X1 + X Y = MX + ε = + = 2 + ε X 2 ε 2 3X 1 + X 2 + ε 2 7 y 0 Mx = ( ( ) ( ) ( ) x1 1 x1 2x = 2 1) 1 2 x x 1 + 2x 2 110
5 Kuva 4.11: Uskottavuusfunktio x f Y (1, 1 X = x) ei ole yksinään todennäköisyystiheysfunktio avaruudessa R 2. Kuva 4.12: Uskottavuusfunktio muuttuu, kun annetun datan y 0 arvo muuttuu: Uskottavuusfunktio x f Y ( 4, 4 X = x). 111
6 Kuva 4.13: Normittamaton posterioritntf f post (x) = cf Y (1, 1 X = x)f pr (x), kun prioritntf f pr (x) = [ 1,2] [ 1,1](x). Kuva 4.14: Normittamaton posterioritntf f post (x) = cf Y (1, 1 X = x)f pr (x), kun prioritntf f pr (x) = 1 2π exp ( 1 2 x 2). 112
7 josta on saatu otos y 0 = (1, 0). Silloin ehdollinen tntf ( 1 f Y (y X = x) = f ε (y Mx) = exp (2π) 2 δ 0 0 δ ( 12δ ) y Mx 2, = 1 2πδ exp 1 2 (y Mx)T ( δ 0 0 δ ) 1 (y Mx)) missä x R 2 on kiinnitetty. Vastaavasti uskottavuusfunktio ( x = (x 1, x 2 ) f Y (y 0 X = x) = f Y (1, 0 X = x) = 1 2πδ exp 1 ( ) ( ) ( ) ) x1 2 2δ x 2 = 1 ( 2πδ exp 1 ) 2δ ((1 2x 1 x 2 ) 2 + (3x 1 + x 2 ) 2 ), jonka kuvaaja on alla. Kuva 4.15: Uskottavuusfunktio (x 1, x 2 ) f ε ((1, 0) Mx). Vasemmalla häiriön varianssin arvo δ = 8, keskellä δ = 2 ja oikealla δ = 0.5. Uskottavuusfunktio muuttuu korkeammaksi ja kapeammaksi, kun δ pienenee. Esimerkki 50 (Tietokonekerroskuvaus). Tuntematonta massa-absorptiokerrrointa f = f(x, y ) approksimoidaan lineaariyhdisteellä f(x, y ) = n x j φ j (x, y ), x, y R 2 j=1 missä x = (x 1,..., x n ) R n sisältää tuntemattomat kertoimet ja funktiot φ j ovat tunnettuja. Mitattua häiriöistä dataa voidaan (karkeasti) mallintaa vektorilla y = (y 1,..., y m ), jonka komponentit ovat n ( ) y i = fds + ε i = φ j ds x i + ε i = (Mx) i + ε i, C i C i j=1 missä i = 1,...,, m ja satunnaisvektorin ε jakauma on N(0, δi). Tällöin päädytään tilastolliseen inversio-ongelmaan Y = MX + ε. 113
8 Kun oletetaan, että X ja ε ovat riippumattomia, niin uskottavuusfunktio on 1 f Y (y 0 X = x) = e 1 (2πδ) n 2δ y 0 Mx 2 kaikilla x R n. 2 Mallinnusvirhe Seuraavaksi sallitaan myös suoran teorian mallinnusvirheitä ja tuntemattoman approksimaatioita. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että kaikki tntf:t ovat jatkuvia. Lause 21. Olkoon Y m-ulotteinen sv, X n-ulotteinen sv ja U k-ulotteinen sv, siten, että yhteistntf f (X,U) on positiivinen ja ehdolliset tntf f Y (y (X, U) = (x, u)) ja f U (u X = x), on annettu. Silloin ehdollinen tntf f Y (y X = x) = f Y (y (X, U) = (x, u))f U (u X = x)du. R k kun f X (x) > 0. Todistus. Meidän tulee määrätä f Y (y X = x) = f (X,Y )(x, y). f X (x) Selvästi f (X,Y ) (x, y) = f (X,Y,U) (x, y, u)du, R k missä integrandi voidaan määrätä oletuksien perusteella Bayesin kaavalla (Lause 20). Silloin f (X,Y,U)(x, y, u) f (X,U) (x, u) f Y (y X = x) = du. R f k (X,U) (x, u) f X (x) Esimerkki 51. (Approksimaatiovirhe) Tarkastellaan tilastollista inversio-ongelmaa Y = F (X) + ε, missä tuntematon sv X ja häiriö ε ovat riippumattmia. Laskennallisista syistä korkeaulotteista tuntematonta X approksimoidaan matalaulotteisimmilla vektoreilla. Otetaan approksimaatioksi tuntemattoman sv X ortogonaalinen projektio X n = P n X jollekin n-ulotteiselle aliavaruudelle missä n < N (ja myös m < N) Voimme esittää suoran teorian muodossa jolloin data toteuttaa yhtälön F (X) = F (X n ) + (F (X) F (X n )) =: F (X n ) + U, Y = F (X) + ε = F (X n ) + U + ε. Voimme kirjoittaa Lauseen 21 oletuksilla uskottavuusfunktion laskennallisesti edullisemmalle tuntemattomalle X n muodossa f Y (y X n = x) = f U (u X n = x)f ε (y F (x) u)du, (4.10) R m 114
9 edellyttäen, että f U (u X n = x) on saatavilla. Integraali (4.10) on usein työläs käsiteltävä. Eräs approksimaatio on korvata U samoin jakautuneella satunnaismuuttujalla Ũ, joka on riippumaton satunnaisvektorista X. Kun priorijakauma on annettu, niin m-ulotteisen satunnaisvektorin Ũ + ε jakauma on mahdollista määrätä. Tällöin ehdollinen tntf saa muodon f Y (y X n = x) = f ε+ Ũ (y F (x)). Esimerkki 52. (Suoran teorian epätarkkuus) Olkoon suora teoria F : R n R m lineaarinen kuvaus, jonka matriisi M = M σ riippuu jatkuvasti parametrista σ R, jota ei tunneta tarkasti. Kuvan terävöittämisesimerkin (Luku 1.2) sumentamiskuvauksessa m kl = C kl n e ( k i 2 /n 2 + l j 2 /n 2 )/2σ 2 m ij i,j=1 on tällainen parametri. Tällöin tuntematonta parametria mallinnetaan tilastollisesti. Asetetaan parametrille σ todennäköisyysjakauma siten, että σ, X ja ε ovat keskenään riippumattomia. Tällöin Y = M σ X + ε = G(σ, X, ε) on satunnaisvektori, sillä kuvaus on jatkuva. Erityisesti Lauseen 19 nojalla G : R R n R m (s, x, z) M σ x + z f Y (y (X, σ) = (x, s)) = f G(s,x,ε) (y) = f ε (y M s x). Lauseen 21 oletuksilla f Y (y X = x) = f ε (y M s x)f σ (s)ds. R m Priori f pr (x) Prioritntf edustaa tuntemattomasta saatavilla olevaa etukäteistietoa ja kuvailee myös käsityksemme tiedon puutteesta. Voimme kysyä, kuinka prioritntf muodostetaan etukäteistiedon perusteella? Oletetaan, että tuntematon vektori x R n kuvaa funktion g arvoja esimerkiksi joissakin neliön [0, 1] [0, 1] pisteissä eli missä t i [0, 1] [0, 1] kun i = 1,..., n. x i = g(t i ), Mahdollista prioritietoa: 115
10 Funktio g Vektori x Funktion g jotkin arvot. Vektorin x jotkin komponentit Esim. reuna-arvot tunnetaan tarkasti x i tunnetaan tarkasti tai tai epätarkasti. epätarkasti. Funktion g sileys. Vektorin x naapurikomponenttien käytös. Funktion g arvojoukko. Vektorin x komponenttien x i arvojoukko. Esim g 0, monotonisuus Esim. x i 0, x i x i+1 Funktion g symmetriaominaisuudet. Vektorin x symmetriaominaisuudet. Muut funktiota g sitovat yhtälöt. Vektorin komponentteja sitovat muut Esim. jos g : R 3 R 3 on yhtälöt. magneettikenttä, niin g 0. Mahdollisia tilastollisia malleja: Tuntematon vektori x R n Tuntemattoman tilastollinen malli X : Ω R n Vektorin x komponentit X i = m i + Z i, missä sv. Z i jakauma kuvaa x i tunnetaan arvon m i epätarkkuutta epätarkasti. Vektorin x virittäjävektorit tunnetaan. X = n i=1 Z ie i Esim. x = n i=1 a ie i, n n. missä sm:n Z i jakauma edustaa kertoimiin liittyvää epävarmuutta. Esim. f Zi = f Zj kun i j. Vektorin x naapurikomponenttien käytös. Satunnaisvektorin X naapurikomponenttien riiippuvuus. Satunnaisvektorin X naapurikomponenttien yhteisjakaumat Vektorin x komponenttien x i arvojoukko. Esim. X i = X i. Esim. x i Erilaisia priorijakaumia Olkoon X : Ω R n satunnaisvektori, joka mallintaa inversio-ongelman tuntematonta vektoria. Merkitään funktiolla f pr : R n [0, ) satunnaisvektorinx tntf. Tarkastellaan muutamia vaihtoehtoja Tasainen jakauma Olkoon B R n suljettu ja rajoitettu suorakulmainen särmiö B = {x R n : a i x i b i, i = 1,.., n}, missä a i < b i kun i = 1,.., n. Satunnaisvektorilla X on tasainen jakauma joukossa B jos f pr (x) = 1 B 1 B(x), missä C := C dx on integraali yli suorakulmaisen särmiön C Rn. 116
11 Tiedetään varmasti, että tuntematon kuuluu joukkoon B ja tuntemattoman i:s komponentti kuuluu välille [a i, b i ]. Kun B on suorakulmainen särmiö, niin satunnaisvektorin X eri komponentit ovat riippumattomia.. Tasainen priorijakauma ilmaisee lähes täydellistä epävarmuutta tuntemattoman vektorin komponenttien arvoista joukossa B: tiedämme että tuntematon kuuluu joukkoon B. Piste. Joukon B on oltava rajoitettu, jotta f pr on tntf. Posteriorijakauman tntf f post (x) = f Y (y 0 X = x)1 B (x) f Y (y) B on joukkoon B rajoitettu ja uudelleen normitettu uskottavuusfunktio L2-priori Satunnaisvektorilla X = (X 1,..., X n ) on L2-priori, jos f pr (x) = ( α π ) n 2 e α x 2, x R n Komponentit X k, k = 1,..., n ovat toisistaan riippumattomia ja normaalijakautuneita. Komponentin X k, 1 k n priorijakauma on symmetrinen: negatiiviset ja positiiviset arvot ovat yhtä todennäköisiä. Parametrin α valinta perustuu siihen kuinka varmasti uskomme tuntematoman komponenttien saavan suurehkoja arvoja. Mitä suurempi α, sitä epätodennäköisenpiä suurehkot arvot ovat. On mahdollista määritellä myös L2-priori odotusarvolla m R n (Harjoitustehtävä) 117
12 alpha=0.5 alpha=1 alpha= Kuva 4.16: 1-ulotteisen L2-priorin tntf. Kuva 4.17: Satunnaisvektorin X = (X 1, X 2, X 3 ) L2-priori. Punaisella on merkitty yksi otos (x 1, x 2, x 3 ) satunnaisvektorista X L1-priori 118
13 alpha=0.5 alpha=1 alpha= Kuva 4.18: 1-ulotteisen L1-jakauman tntf. Palautetaan mieleen, että L1-normi x 1 = n x i, kun x R n. Satunnaisvektorilla X = (X 1,..., X n ) on L1-priori, jos ( α ) n f pr (x) = e α x 1, kaikilla x R n. 2 Komponentit X k, k = 1,..., n ovat keskenään riippumattomia. i=1 Tntf f Xk, 1 k n, on symmetrinen origon suhteen (jolloin prioriodotusarvo on nollavektori). Parametrin α valinta perustuu siihen kuinka varmasti uskomme tuntematoman komponenttien saavan suurehkoja arvoja. Mitä suurempi α, sitä epätodennäköisenpia suurehkot arvot ovat Cauchy-priori Satunnaisvektorilla X = (X 1,..., X n ) on Cauchy-priori jos kun x R n. ( α ) n n 1 f pr (x) = π 1 + α 2 x 2 i 119 i=1
14 alpha=0.5 alpha=1 alpha= Kuva 4.19: Cauchy-priorin tntf. Komponentit X k, k = 1,..., n ovat riippumattomia. Tntf f Xk, 1 k n on symmetrinen origon suhteen Ei odotusarvoa (suuret häntätodennäköisyydet). Kuvaa parhaiten tilannetta, jossa suurin osa komponenttien arvoista on lähellä nollaa, mutta joukossa on muutamia suurehkoja arvoja Positiivisuusrajoitus Jos tiedetään, että tuntemattoman X = (X 1,..., X n ) komponentit X k ovat ei-negatiisia, niin 1. Käytetään rajoitettua ja uudelleen normitettua tntf:ta f pr (x) = cf + (x)f X (x) missä f + (x) = { 1, x i 0 i = 1,.., n 0 muulloin. 2. Käytetään sopivaa positiivisuusmuunnosta tunnetusta satunnaismuutujasta, kuten X k = exp(x k) kaikilla k = 1,..., n. tai X k = X k kaikilla k = 1,..., n. 120
P (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.
Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin
Lisätiedot4.3.6 Eräitä diskreettejä Markov-kenttiä
0.4 0.35 Gauss l1 Cauchy 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 Kuva 4.20: L2-priorin tnft, Cauchy-priorin tntf kun α = α = 2. 2π π 2π ja L1-priorin tntf kun 4.3.6 Eräitä diskreettejä Markov-kenttiä
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
Lisätiedot9. Tila-avaruusmallit
9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia
LisätiedotSallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,
Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on
LisätiedotTilastolliset inversio-ongelmat
Luku 4 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollisen inversio-ongelman ratkaisu ei niinkään vastaa kysymykseen "mikä tuntematon vektori x 0 on"vaan pikemminkin kysymykseen "mitä tiedämme tuntemattomasta
LisätiedotLause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi on lineaarinen projektio.
Määritelmä 4.3. Estimaattoria X(Y ) nimitetään lineaariseksi projektioksi, jos X on lineaarinen kuvaus ja E[(X X(Y )) Y] 0 }{{} virhetermi Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi
Lisätiedot3.2.2 Tikhonovin regularisaatio
3 Tikhonovin regularisaatio Olkoon x 0 R n tuntematon, M R m n teoriamatriisi ja y Mx + ε R m (316 annettu data Häiriöherkässä ongelmassa pienimmän neliösumman miniminormiratkaisu x M + y Q N (M x + M
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotTässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä:
4. Tyhjentyvyys Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä: Voidaanko päätelmät perustaa johonkin tunnuslukuun t = t(y) koko aineiston y sijasta? Mitä
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotLikimääräisratkaisut ja regularisaatio
Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH
8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH Osa aikasarjoista kehittyy hyvin erityyppisesti erilaisissa tilanteissa. Esimerkiksi pörssikurssien epävakaus keskittyy usein lyhyisiin
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotEsimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).
Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotP(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu
1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
Lisätiedot1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS
1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS Tilastollisissa hahmontunnistusmenetelmissä piirteitä tarkastellaan tilastollisina muuttujina Luokittelussa käytetään hyväksi seuraavia tietoja: luokkien a priori tn:iä,
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot2. Uskottavuus ja informaatio
2. Uskottavuus ja informaatio Aluksi käsittelemme uskottavuus- ja log-uskottavuusfunktioita Seuraavaksi esittelemme suurimman uskottavuuden estimointimenetelmän Ensi viikolla perehdymme aiheeseen lisääkö
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
Lisätiedot1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotKuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Aika t
Kuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Valkoinen kohina ε t 2 1 0 1 2 Voimme tehdä saman laskun myös yleiselle välille [ a, a], missä 0 < a
LisätiedotMääritelmä 17. Olkoon Ω joukko ja Σ sen jokin σ-algebra. Kuvaus P : Σ [0, 1] on todennäköisyysmitta (eng. probability measure), jos
0.02 0.04 0.06 0.08 f 0 5 0 5 0 Temperature Kuva 5.2: Tntf:n f kuvaaja: Lämpötilat välillä [5, 0] näyttävät epätodennäköisiltä. Lämpötila -2 näyttäisi todennäköisimmältä, mutta jakauma on leveä. Tämä heijastaa
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
Lisätiedot10 Moniulotteinen normaalijakauma
10 Moniulotteinen normaalijakauma Tässä luvussa tarkastellaan normaalijakauman moniulotteista yleistystä eli moniulotteista (eli monimuuttujaista) normaalijakaumaa (engl. multivariate normal distribution).
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Bayesläinen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotMaximum likelihood-estimointi Alkeet
Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
LisätiedotKohdeyleisö: toisen vuoden teekkari
Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotSallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II. kurssikoe 18.1.15 Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
LisätiedotLikimääräisratkaisut ja regularisaatio
48 Luku 4 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Ryhdytään tarkastelemaan klassisia approksimatiivisia ratkaisumenetelmiä huonosti asetetuille tai häiriöherkille äärellisulotteisille lineaarisille ongelmille
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotMallipohjainen klusterointi
Mallipohjainen klusterointi Marko Salmenkivi Johdatus koneoppimiseen, syksy 2008 Luentorunko perjantaille 5.12.2008 Johdattelua mallipohjaiseen klusterointiin, erityisesti gaussisiin sekoitemalleihin Uskottavuusfunktio
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
Lisätiedot1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI
1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI Edellä esitelty Bayesiläinen luokittelusääntö ( Bayes Decision Theory ) on optimaalinen tapa suorittaa luokittelu, kun luokkien tnjakaumat tunnetaan Käytännössä tnjakaumia
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotGenerointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista
S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Satunnaismuuttujien generointi 1(18) Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista Seuraavassa U, U 1,..., U n tarkoittavat riippumattomia U(0,1)-jakautuneita
LisätiedotParametrien estimointi sovellettuna Pandora-instrumentin mittauksiin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Emmihenna Jääskeläinen Parametrien estimointi sovellettuna Pandora-instrumentin mittauksiin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2012 Tampereen
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
Lisätiedot1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI
1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI Edellä esitelty Bayesiläinen luokittelusääntö ( Bayes Decision Theory ) on optimaalinen tapa suorittaa luokittelu, kun luokkien tnjakaumat tunnetaan Käytännössä tnjakaumia
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotLuku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017
Luku 1 Bayesläiset estimaattorit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 217 1.1 Bayesläiset piste-estimaatit Tarkastellaan datalähdettä, joka tuottaa tiheysfunktion f(x θ) mukaan jakautuneita riippumattomia
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedotl (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot