[3A] NUMEERINEN INTEGROINTI

Transkriptio

1 [3A] NUMEERINEN INTEGROINTI Tehtävämme on rvioid numeerisesti integrli n f(x)dx f(x i )Δx i missä yksinkertisimmiss tpuksiss välin [, b] pisteisiin x i liittyvien osvälien pituudet Δx i voidn vlit smoiksi j pproksimtio oletettvsti prnee N:n ksvess. Usempiulotteisess tpuksess tilvuus, jonk yli funktion integroimme, jettisiin vstvsti hyperkuutioihin. Kirjoitmme jtko vrten tämän muodoss n f(x)dx f(x i )w i missä w i on solmupisteeseen x i liittyvä pinokerroin j pohdimme solmupisteiden j pinokertoimien optimlist vlint. 27 Integroinnin ohell pääsemme diskretoimn differentiointikin. Numeriikss tvllisimmin käytettyjä differenssikvoj ovt f f(x +Δx) f(x) Δx f f(x) f(x Δx) Δx f f(x +Δx) f(x Δx) 2Δx missä Δx:n pienentäminen prnt rvion trkkuutt kunhn funktion f numeerisen rvioinnin trkkuus ei tule vstn. Toist derivtt rvoidn edellisistä johdettviss olevll kvll f f(x +Δx) 2f(x)+f(x Δx) (Δx) 2 Usemmn pisteen rvioihin plmme differentiliyhtälöiden yhteydessä. Ylimmästä kvst smme lkurvotehtäviin usein soveltuvn differenssikvn f(x +Δx) f(x)+f (x)δx. 28

2 1. Esimerkkejä fysiikn eri lueilt Esim: Fysiklisen suureen todennäköisyystiheyden integrointi. Esimerkiksi sopii tässä Mxwell-Boltzmnn-jkum (Fysiikk III) f(v) =4π ( m ) 3/2v 2 e mv2 /2k B T, 2πk B T jost voidn lske vikkp P (v 1 <v<v 2 )= v2 v 1 f(v)dv sivun 27 ylemmällä pproksimtioll rvioimll f:ää osvälien keskipisteissä. Skriptissä esim513.m pyritään myös trkistmn integroinnin oikeellisuus vertmll eksktisti lskettviss oleviin toisiin suureisiin tällisi trkistuksi knntt tehdä. Esim: Diffrktiomksimien kokonisintensiteettien lskeminen (Fysiikk III) kokeellisest dtst. Tässä tyypillisesti integroidn funktiot, jok on voimkksti piikittynyt mksimiens ympärille. Jos solmupisteet vlitn tsvälein, voidn sd käytettyyn lskent-ikn nähden hyvinkin epätrkk tulos. 29 Esim: Tsoheilurin (Mekniikk) linerisoimtont liikeyhtälöä d 2 θ/dt 2 + ω 2 sin θ = 0 ei voi nlyyttisesti rtkist. Kiinnitetään jn yksikkö vlitsemll ω = 1. Olkoon θ(0) = 0 j θ (0)=1. Kyseessä on siis lkurvotehtävä, jot integroimme numeerisesti kerrn j vielä toisenkin kerrn, sden ensin θ (t) j sitten θ(t). Mtlb-skripti esim500.m (kurssin www-sivult noukittviss) tekee tämän sivun 27 pproksimtiot käyttäen j lisäksi hvinnollist rtkisujen hjomist Δt: ksvtettess. Esim: Rtkistn yhtälöä d 2 u/dx 2 + sin x = 0 reunehdoill u(0) = 0 = u(π). Hetn rtkisu sopivn yritefunktiojoukon linerikombintion muodoss u(x) = i c i φ i (x). Yritteen sijoittminen lkuperäiseen yhtälöön tuott c i :lle yhtälöryhmän A C = B A ij = φ i (x)φ j (x)dx B j = φ j (x) sin(x)dx Mtlb-komentojonoss esim512.m kokeilln muutmnlisi yritefunktioit, jotk toteuttvt nnetun reunehdon. Toinen tp: Integroi x=0:st lken koetten osu x=π:ss nolln... 30

3 2. Kvdrtuurit Kvdrtuuriksi kutsumme integrlin lskemiseen käytettävää numeerist pproksimtiot. Yksinkertisin on keskipistesääntö, joss integrli funktion rvo välin [, b] keskipisteessä kert välin pituus. Tulost voidn trkent jkmll väli [, b] osväleihin j soveltmll keskipistesääntöä kuhunkin osväliin erikseen näin teimme esimerkkiskripteissä yllä. Monesti hiemn prempi on trpetsisääntö, joss käytetään välin ti (yleensä) osvälien päätepisteitä: f(x)dx (b )[f()+f(b)]/2. Jos tunnetn integoitvn funktion derivtt, voidn tätä prnt lisäämällä korjustermi +(b ) 2 [f () f (b)]/12, mihin lisäkorjuksi on johdettviss Tylorin kvst. Kvdrtuurej kutsutn suljetuiksi ti voimiksi sen mukn käytetäänkö lskuss välin päätepisteitä vi ei. 31 Yksi tp muodost kvdrtuuri on etsiä optimlist tp integroid M-steisi polynomej, jolloin n + 1 solmupistettä x i j niiden pinot w i sdn yhtälöryhmästä n+1 w i x m i =(b m+1 m+1 )/(m +1) m =0, 1,..., M. Esim: NMK:n sivull 153 on esimerkkejä pinojen vlinnst oletten tsvälinen jko: 1 0 e x dx 1.859, 1.734, 1.719, missä ensimmäinen stiin khden pisteen trpetsisäännöllä, toinen jkmll integrointiväli kolmeen osn sovelten niihin kuhunkin erikseen trpetsisääntöä j trkin eli kolms ns. 3/8-säännöllä jok nt tässä tpuksess (1 + 3e 1/3 +3e 2/3 + e)/ Mtlbin komento trpz integroi diskreetissä muodoss nnetun tsväliseksi oletetun dtn trpetsisääntöä käyttäen. Edellisen esimerkin kksi ensimmäistä tulost st snomll >> dx=1; x=0:dx:1; y=exp(x); trpz(y)*dx >> dx=1/3; x=0:dx:1; y=exp(x); trpz(y)*dx 32

4 Gussin kvdrtuurit perustuvt polynomien optimliseen integrointiin. Menetelmäryhmään kuuluvt Gussin j Legendren, Gussin j Lguerren, Gussin j Tsebysevin sekä Gussin j Hermiten menetelmät, joiden perustn ovt fyysikoille tutut vstvt ortogonlipolynomiperheet (FMM-kurssit) siten, että niiden ortogonlisuusreltioiss esiintyvät pinofunktiot ovt integrndin tekijöinä j pomppvt vstn fysiikn lskuiss. Solmupisteet j niiden pinot löytyvät trvittess tulukoist. Knntt myös huomt, että o. polynomeihin j menetelmiin usein liittyy jokin luonnollinen integrointiväli, jok voi sopi esim. epäoleellisten integrlien lskemiseen (NMK ). Integroinniss voidn myös hyödyntää interpoltiomenetelmiä, joist oli puhe luennoll [2B]. Niiden optimointi integroinniss käytettäviksi on om titeenljins. Ne ovt vuksi erityisesti, jos integroitvn funktion lskeminen on numeerisesti rskst. 33 Mtlbin melko yleiskäyttöinen integrointikomento on qud eri vrintteineen. Se käyttää dptiivist Simpsonin kvdrtuuri. Newtonin j Cotesin menetelmien perheeseen kuuluv Simpsonin menetelmän perusversio (yhdelle osvälille) on: f(x)dx [f()+4f(( + b)/2) + f(b)](b )/6 Edellä minittu 3/8-sääntö kuuluu smn menetelmäluokkn. Adptiiviset versiot eri kvdrtuureist pyrkivät tihentämään välin jko siellä missä integrndi muuttuu jyrkimmin j siten optimoimn lskentresurssien käytön lisäämällä trkkuutt (solmupisteiden tiheyttä) siellä missä sitä eniten trvitn (NMK 172-3). Esim: Kurssin www-sivun komentojono esim501.m kokeilee näitä. Testit siinä eivät ole täysin vertilukelpoisi, sillä niiden vtimt lskuopertioiden lukumäärät eivät ole smt. 34

5 3. Usempiulotteiset integrlit Yhden muuttujn kvdrtuuurien yleistyksiä (NMK ) on mtlbiss komentojen dblqud j triplequd tkn. Niissä integroidn suorkiteen j suorkulmisen särmiön muotoisten lueiden yli. Monimutkisemmn integrointilueen voi joskus sisällyttää myös funktion määrittelyyn nollmll integrndin integrointilueen ulkopuolell. Teoreettisess j kokeellisess fysiikss hyvin pljon käytetty menetelmä on Monte Crlo -integrointi, joss solmupisteet vlitn stunnisesti joko täysin stunnisesti ti integroitvn funktion mukn pinotten, toisinn sopivsti vlitun stokstisen prosessin kutt. Prhimmilln, verrttun deterministisiin menetelmiin, Monte Crlo -menetelmä on hyvin moniulotteisten (vruuden dimensio stoj ti tuhnsi) integrlien knss. 35 Esim: Yksinkertisen esimerkkinä lsketn (x 2 + y 2 ) dx dy lueen {2 xy 4, 1 x 2 y 2 9} yli. Skripti esim502.m sisältää kolme tp: (i) muuttujnvihdoll siten että lueest tulee suorkide, (ii) ottmll integrointirjt funktion määrittelyyn, (iii) brute force Monte Crlo -lskull. Huom: (i-ii) dblqud:ll. Esim: Integroidn funktio exp[σ i ( x 2 i b/x2 i )] monidimensioisen vruuden x (x 1,..., x q ) R q yli. Skripti esim503.m nt kolme rtkisu: (i) muuttujnvihdoll ensin äärelliseksi lueeksi j sitten säännöllisellä hilll, (ii) Monte Crlo -stunnisotnnll, (iii) Mrkovin ketju Monte Crlo -menetelmällä (MCMC). Tässä on esimerkki myös pinofunktion hyödyntämisestä: f = (f/g)g. Huom: Monte Crlo -menetelmillä stvn tuloksen trkkuus riippuu käytössä olevn stunnislukugenerttorin hyvyydestä. Mtlb-7:ss trjoll olev Mersenne twister -lgoritmi on vrsin hyvä, iemmiss versioiss oletuksen ollut subtrct-with-borrow joihinkin trkoituksiin ktstroflisen huono. Ktso help rnd. 36