Hyvä uusi opiskelija!
|
|
- Jere Rantanen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Tekniikan kieli on matematiikka. Matematiikka tarjoaa perustan tekniikan opiskelulle ja soveltamiselle käytäntöön. Matematiikan taidot ovat olennainen osa diplomi-insinöörin ammatillista osaamista. Matematiikassa uusi tieto rakentuu vanhan tiedon päälle. Jos esitiedoissa on puutteita, ei uuden tiedon opiskelu onnistu. Tutkintoon sisältyy vaatimus hyväksytysti suoritetusta laskutaitotestistä (PLA Laskutaitotesti). Vaatimuksella halutaan varmistaa, että opiskelijan esitiedot yliopistomatematiikan opiskeluun ovat kunnossa. Laskutaitotesti on 10:n tehtävän monivalintatesti. Jokaiseen tehtävään annetaan 4 vastausvaihtoehtoa, joista vain 1 on oikein. Oikeasta vastauksesta saa pisteen, väärästä vastauksesta menettää pisteen. Kaikkiin tehtäviin ei tarvitse vastata. Laskutaitotesti on hyväksytty, kun pistemäärä on vähintään 7. Laskutaitotesti suoritetaan itsenäisesti ilman laskinta tms. apuvälinettä. Myöskään kirjallisuutta ei saa käyttää. Aikaa laskutaitotestin suorittamiseen on 60 minuuttia. Annamme oheisen monisteen, jotta voitte harjoitella ennen laskutaitotestiä. Laskutaitotestissä kysyttävät tehtävät tulevat tästä monisteesta. Koska laskutaitotestissä ei saa käyttää apuvälineitä, kannattaa tehtävät opetella ratkaisemaan kynällä ja paperilla. Jos tehtävien ratkaiseminen tuntuu vaikealta, niin kannattaa kerrata lukiossa tai ammattikorkeakoulussa suorittamiaan matematiikan kursseja. Laskutaitotestikertoja on 3 ja ne pidetään ma , ke ja pe Laskutaitotestin voi korvata suorittamalla kurssin PLA Johdatus yliopistomatematiikkaan, mikä alkaa ti Johdatuskurssilla esitiedot yliopistomatematiikan opiskeluun kerrataan opettajan ohjaamana. Jotta voimme aloittaa johdatuskurssin samalta viivalta, tulee jokaisen varmistaa ennen kurssin alkua, että hän osaa perusalgebran keskeisimmät käsitteet ja menetelmät. Tämä kannattaa tehdä perehtymällä Matematiikan perustietojen kertaus nimiseen oppaaseen. Opas sisältää teoriaa ja tehtäviä malliratkaisuineen. Oppaan voi ladata ilmaiseksi SAMKin kirjakaupausta. Helpoiten oppaan kuitenkin löytää googlaamalla oppaan nimellä. Jos sinulla on kysyttävää laskutaitotestistä, niin voit ottaa yhteyttä matematiikan yliopisto-opettaja Timo Rantaan (timo.ranta@tut.fi). Opettaja on tavoitettavissa pe saakka ja taas ma eteenpäin. Matematiikan opettajat toivottavat hyvää kesän jatkoa kaikille.
2 Laskutaitotestin harjoitustehtävät /14 Rationaalifunktiot 1. Kun polynomi 6x x 2 + 7x + 8 jaetaan polynomilla 2x + 3, jakojäännös on (a) 2 (b) 0 (c) 2 (d) Kun polynomi x 4 + 2x 2 x + 5 jaetaan polynomilla x 2, jakojäännös on (a) 17 (b) 5 (c) 22 (d) Kun polynomi 5x 4 + 6x 3 7x + 1 jaetaan polynomilla x 2 + x 1, jakojäännös on (a) 10x 5 (b) 10x + 5 (c) 5x 10 (d) 5x Lauseke ( 1 x x x 3 ) (x 6 + x 5 + x 4 + x 3 ) sievennettynä on (a) x 5 + x 4 + 3x 3 + x 2 + x + 1 (b) x 5 + 2x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1 (c) x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + 3x + 1 (d) x 5 + 3x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. ( 1 5. Lauseke + ) ( 1 x+1 x 1 / x 1 x 2 1 x) sievennettynä on Suorat (a) 2x (b) 2x 2 (c) 2/x (d) 2/x Suora s kulkee pisteiden ( 1, 3) ja (2, 1) kautta. Suoran s kulmakerroin on (a) 4 (b) 4/3 (c) 4/3 (d) 2/3. 7. Suora s kulkee pisteiden ( 1, 2) ja (3, 5) kautta. Suoran s yhtälö on (a) 4x+3y = 5 (b) 3x 4y+5 = 0 (c) 3x 4y+11 = 0 (d) y = 3(x 2)/4. 8. Suora s kulkee pisteen (3, 4) kautta ja sen kulmakerroin on 3/2. Suoran s yhtälö on (a) 3x+2y = 1 (b) 3x 2y = 1 (c) 3x+2y+5 = 0 (d) 2x/3+y 5 = Suoran s 1 yhtälö on 3x y + 5 = 0 ja suoran s 2 yhtälö on x + 3y 6 = 0. Suorien s 1 ja s 2 välinen leikkauskulma on (a) 30 (b) 60 (c) 45 (d) Pisteen (1, 2) kohtisuoraetäisyys suorasta y = x + 1 on (a) 1/ 2 (b) 2 (c) 2 (d) Suorien 4x + 3y = 0, x = 0 ja 2y 3 = 0 rajaaman kolmion pinta-ala on (a) 25/32 (b) 27/32 (c) 29/32 (d) 31/ Suorien x + y 1 = 0 ja y = x 1 välinen kohtisuoraetäisyys on (a) 1 (b) 3 (c) 8/5 (d) 2.
3 2/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Mikä on sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (1, 3) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 2x 3y 5 = 0 vastaan? (a) 2x 3y + 6 = 0 (b) 3x + 2y + 3 = 0 (c) 2x y + 5 = 0 (d) 2x + y = Suorat 2x + 3y 4 = 0 ja ax + 2(a 1)y + 3 = 0 ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun a:n arvo on (a) 3/4 (b) 3/4 (c) 4/3 (d) Suorien 2x y + 1 = 0, y = 10x 3 ja 10x + 2y = 9 yhteinen leikkauspiste on (a) (x, y) = ( 1, 3) (b) suorilla ei ole yhteistä leikkauspistettä (c) (x, y) = (2, 5) (d) (x, y) = (1/2, 2). Logaritmit 16. Tiedetään, että log k a = 4, log k b = 1 ja log k c = 2. Lausekkeen log k (a 3 b 5 c) arvo on (a) 15 (b) 19 (c) 27 (d) Lausekkeen ln 50 + ln ln 4 arvo on (a) 3 ln 5 ln 3 (b) ln 1215 (c) 3 ln 5 + ln 3 (d) ln Yhtälö log l 15 = 5 toteutuu, kun l:n arvo on 5 (a) 15 5 (b) 3 (c) (d) Lausekkeen ((ln 25) 2 (ln 5) 2 )/ ln 5 arvo on (a) 5 (b) ln 10 (c) 3 ln 10 (d) 3 ln Yhtälö e 3x+2 = 2 toteutuu x:n arvolla (a) (2 + ln 2)/3 (b) ( 2 + ln 2)/3 (c) (2 ln 2)/3 (d) ( 3 + ln 2)/ Yhtälön log 4 x log 4 (x + 3) = 2 ratkaisu on (a) x = 1/10 (b) x = 1/5 (c) x = 1/4 (d) x = Lauseke e 2 ln cos x + (ln e sin x ) 2 sievenee muotoon (a) 2 sin 2 (2x) + cos(2x) (b) 1 (c) 0 (d) 1/(sin x cos x) Funktion ln(x/(2 + x)) määrittelyalue on (a) x < 0 (b) x > 2 (c) x < 2 x > 0 (d) 2 < x < Lauseke e 2x+3 ln x voidaan esittää muodossa (a) x 3 e 2x (b) xe 2x (c) 3x 2 e x (d) x 3 e x. 25. Lausekkeen arvo on log log log log log 10 (1/10) + log 10 (1/100) (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5.
4 Laskutaitotestin harjoitustehtävät /14 Eksponentit 26. Yhtälö 2 sin x = e cos x toteutuu x:n arvolla (a) tan 1 (ln 2 + nπ) (b) cot 1 (ln 2) + nπ (c) tan 1 (ln 2) + nπ/2 (d) cot 1 (1/ ln 2), missä n Z. 27. Yhtälön (2 x ) x 1 = 0 reaalinen ratkaisu on (a) log 2 ( 2 1) (b) log 3 ( 2 1) (c) log 2 ( 2 1) (d) ln Yhtälön (ln x) 3 2(ln x) 2 2 ln x = 0 ratkaisu on (a) e 1± 2 0 (b) e 2 0 (c) e 1 (d) e 1± Yhtälön 3 3x 3 2x+1 3 2x x 1 = 0 ratkaisut ovat (a) 1 2 (b) 1 2 (c) 2 1 (d) Yhtälö x = x toteutuu reaalisella x:n arvolla (a) ln(3/2) (b) ln(2) ln(3) (c) log 2 (2)/ log 2 (3) (d) ln(3)/ ln(2). 31. Yhtälön 3/ log 10 x = x 2 reaalinen ratkaisu on (a) 1/2 (b) 2/3 (c) 1 (d) 4/ Yhtälöparin 2 log 3 x + 4 log 4 y = 0, log 3 x + 8 log 4 y = 3/2 ratkaisu on (a) (x, y) = ( 1/ 2, 3) (b) (x, y) = (1/ 2, 3) (c) (x, y) = (1/ 3, 2) (d) (x, y) = ( 3, 1/ 2). 33. Yhtälöpari x log 10 x+log 10 y = 100, xy log 10 x = 1 ratkeaa, kun (a) (x, y) = (1, 100) (b) (x, y) = (100, 1) (c) (x, y) = (1/10, 1/10) (d) (x, y) = (1, 1/10). 34. Yhtälön 4 x+2 = 2 x2 +1 ratkaisut ovat (a) 1 1 (b) 1 3 (c) 3 1 (d) Yhtälön (ln 2) x+1 = (ln 5) ln 2 ratkaisu on (a) ln 2 ln(ln 5) ln(ln 2) 1 (b) ln 2 ln(ln 5) ln(ln 5) 1 (c) Derivointi ja tangenttisuorat ln 5 ln(ln 2) ln(ln 2) 1 (d) ln 10 ln(ln 5) ln(ln 2) Funktion f(x) = (x 3 3x 1) sin x derivaatta x:n suhteen on (a) 3 sin x x 2 cos x (b) 3(x 2 1) sin x (x 3 3x + 1) cos x (c) 3(x 2 1) sin x + (x 3 3x 1) cos x (d) (x 3 3x + 1) cos x. 37. Funktion f(t) = e xt2 3xt+x 2 derivaatta t:n suhteen on (a) (t 2 3t + 2x)e xt2 3xt+x 2 (b) (2xt 3x)e xt2 3xt+x 2 (c) e xt2 3xt+x 2 (d) e xt2 +x 2.
5 4/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Funktion f(x) = cos x/x derivaatta x:n suhteen on (a) ( x sin x cos x)/x 2 (b) (x sin x + cos x)/x 2 (c) (sin x cos x)/x 2 (d) (x 2 sin x + cos x)/x Funktion f(x) = ln(ln x) derivaatta x:n suhteen on (a) 1/ ln x (b) 1/(x ln x) (c) 1/x (d) x/ ln x. 40. Funktion f(x) = x x derivaatta x:n suhteen on (a) x x (b) x x (1 + ln x) (c) x x (ln x 1) (d) x x (1 ln x). 41. Polynomin p(x) = x 3 + 3x 2 1 kuvaajan pisteen (1, 1) kautta kulkevan tangenttisuoran yhtälö on (a) y = 2x 3 (b) 3x + y 3 = 0 (c) 2x 3y + 2 = 0 (d) 3x y 2 = Suoran ympyräpohjaisen kartion tilavuus V saadaan lausekkeesta V = πr 2 h/3. Oletetaan, että säde r ja korkeus h ovat ajan t funktioita. Olkoon kartion korkeuden muutosvauhti h = dh/dt. Jotta kartion tilavuus ei muuttuisi, niin kartion säteen muutosvauhdin r = dr/dt on oltava (a) rh /(2h) (b) rh /(2h) (c) h /h (d) rh /h. 43. Mihin käyrän y = e x+1 pisteeseen asetetun tangentin kulmakerroin on 2? (a) (ln 2, 2e) (b) (0, e) (c) (ln 2 1, 2) (d) (ln 2 + 1, 2e 2 ). 44. Käyrälle y = 2x 3 + 4x 2 + x 1 pisteeseen ( 1, 0) asetetun tangentin yhtälö on (a) y = x/2 1/2 (b) y = x + 1 (c) y = 2x 2 (d) y = x Funktion f(x) = (sin x + cos x) 2 derivaatalla on välillä 0 x 90 nollakohtana (a) 0 (b) 45 (c) 30 (d) Funktion f(x) = 3 x 2 sin(2x) derivaatta x:n suhteen on (a) (b) (c) (d) 1/3(x 2 sin(2x)) 2/3 (2x sin(2x) x 2 cos(2x)) 3/4(x 2 sin(2x)) 4/3 (2x sin(2x) x 2 cos(2x)) 1/3(x 2 sin(2x)) 2/3 (2x sin(2x) + x 2 cos(2x)) 2/3(x 2 sin(2x)) 2/3 (x sin(2x) + x 2 cos(2x)). 47. Funktion f(x) = e 3 cos(2x 3 ) derivaatta x:n suhteen on (a) 6e 3 x 2 sin(2x 3 ) (b) 3e 2 sin(2x 3 ) (c) e 3 cos(2x 3 ) 6e 3 x 2 sin(2x 3 ) (d) 3e 2 cos(2x 3 ) 6e 3 x 2 sin(2x 3 ).
6 Laskutaitotestin harjoitustehtävät /14 Integrointi 48. Integraalin 2 1 x2 1 dx arvo on (a) 8/3 (b) 0 (c) 1 (d) Funktion 3x 2 + 2x + 1 integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen ( 2, 1) kautta on (a) x 3 +2x 2 +1 (b) x 3 +2x 2 +x+3 (c) x 3 /2+x 2 +x+3 (d) x 3 +x 2 +x Funktion 2x 2 integraalifunktio, jonka kuvaaja erottaa x-akselista 4 pituusyksikön jänteen on (a) 2x 2 + 2x 15/2 (b) x 2 2x 3 (c) x 2 /2 + x 3/2 (d) x 2 /4 + 2x Funktion x/(x 2 + 1) 2 integraalifunktio, jonka kuvaajan käännepisteet ovat x-akselilla on (a) 1/(x 2 + 1) + 3 (b) 1/(2(x 2 + 1)) (c) 1/(x 2 + 1) + 3/8 (d) 1/(2(x 2 + 1)) + 3/ Olkoon F (x) se funktion f(x) = x 3 + 2x + 1 integraalifunktio, joka kohdassa x = 2 saa arvon 4. Määritä F ( 2). (a) 2/3 (b) 1 (c) 3/2 (d) Funktion ln x 2x 2 integraalifunktio on (a) ln(x 2 )+1 x 2 + C (b) ln x 1 2x + C (c) ln x+1 2x 2 + C (d) ln x 1 2x + C. 54. Määritä t siten, että 2t 0 xe(x2) dx = (e 1)/2. (a) t = 0 (b) t = 1 (c) t = ±1/2 (d) t = Paraabeli y 2 2y + x = 0 ja y-akseli rajoittavat alueen, jonka pinta-ala on (a) 1 (b) 2/3 (c) 1/2 (d) 4/ Käyrät y = x ja y = x 2 2x rajoittavat alueen, jonka pinta-ala on (a) π (b) 3 (c) 9/2 (d) Integraalin 2 1 (2/x + ex )dx arvo on (a) ln 4 + e 2 e (b) 2 ln 2 (c) 2 ln 2 + e 2 (d) ln 4 + e. Ääriarvot Oletetaan, että x ja y ovat reaalimuuttujia. 58. Kun 0 x 1, mikä on funktion f(x) = e (2+x x x) minimiarvo? (a) e 9/4 (b) e 2 (c) 1/2 (d) e 5/2
7 6/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Seuraavista funktioista yksi on sellainen, että sillä on paikallinen minimi, kun 1 x 3. Mikä funktio? (a) f(x) = (x + 1)(x 1)(x 3) (b) f(x) = (x + 1)(x 1)(x 3) (c) f(x) = (x + 1)(x 1)(x + 3) (d) f(x) = (x + 1)(x 1)(x + 3) 60. Kahden ei-negatiivisen reaaliluvun summa on 10. Niiden kuutioiden summan minimiarvo on (a) 200 (b) 250 (c) 300 (d) On puoliympyrä, jonka halkaisija on 2r. Tähän puoliympyrään piirretään suorakulmio siten, että yksi sivu on puoliympyrän halkaisijan päällä. Mikä on tällaisen suorakulmion suurin mahdollinen ympärysmitta? (a) 3r/ 2 (b) 4r/ 5 (c) 3r 2 (d) 10r/ Missä pisteessä funktiolla f(x) = x 3 x on paikallinen minimi? (a) x = 1/ 3 (b) x = 1/ 3 (c) x = 1 (d) x = 3/8 63. Kahden metrin naru leikataan kahtia. Ensimmäisestä pätkästä muodostetaan neliö ja toisesta pätkästä muodostetaan ympyrä. Jos halutaan, että neliön ja ympyrän pinta-alojen summa on mahdollisimman pieni, niin mikä on sen pätkän pituus, josta neliö muodostetaan? (Kaikki pituudet metreinä.) (a) 4/(4 + π) (b) 2π/(4 + π) (c) 8/(4 + π) (d) 4/(2 + π) 64. Kun 1 x 10, mikä on funktion f(x) = x x + 27/ x minimiarvo? (a) 36 (b) 28 (c) 3 (d) Funktion f(t) = t 2 1 maksimiarvo välillä 2 t 1 on (a) 1 (b) 1 (c) 3 (d) Funktio F (x) = (x 2 8)e x saa pienimmän arvonsa x:n arvolla (a) 2 (b) 4 (c) ± 2 2 (d) 0.
8 Laskutaitotestin harjoitustehtävät /14 Yhtälöiden ratkaiseminen Oletetaan, että x ja y ovat reaalimuuttujia. 67. Tarkastellaan reaalifunktiota f(x) = (x 2)(x + 2)(x 2 2x + 2). Monessako eri pisteessä funktio f(x) leikkaa x-akselin? (a) 0 (b) 2 (c) 3 (d) Laske yhtälön e x x = e 2x e 2x e 2 ratkaisu(t). (a) x = 2 ± 2 (b) x = 2 ± 2 (c) x = 0, x = 4 (d) x = Laske yhtälön x/2 = 2x 2 ratkaisu(t). (a) x = 4/3, x = 5/4 (b) x = 1/2 (c) x = 4/3, x = 4/5 (d) ei ole ratkaisua 70. Laske yhtälön 6x = 2x 4 ratkaisu(t). (a) ei ole ratkaisua (b) x = 1 (c) x = 1/2, x = 1 (d) x = 1/2 71. Tarkastellaan reaalifunktioita f 1 ja f 2 : f 1 (x) = 2x + 1, f 2 (x) = αx x + 2. Millä vakion α arvoilla funktiot f 1 ja f 2 leikkaavat tasan yhdessä pisteessä? (a) α = 2 (b) α = 0, α = 1, α = 9 (c) α = 0, α = 1, α = 9 (d) α saa olla mikä tahansa reaaliluku 72. Tarkastellaan reaalifunktioita f 1 ja f 2 : f 1 (x) = αx + 1, f 2 (x) = x Millä vakion α arvoilla funktiot f 1 ja f 2 eivät leikkaa missään pisteessä? (a) α = 1/2 (b) α = 1/2 (c) α = 1 (d) α 1/ Laske yhtälöiden ratkaisu(t). 1 x + 1 y = 4 xy ja x y = 2 (a) (x, y) = (2, 6), (x, y) = (2, 0) (b) (x, y) = (1, 3) (c) (x, y) = ( 3, 1) (d) (x, y) = ( 1, 3)
9 8/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Laske yhtälöiden ratkaisu(t). y = ln(2x) + 2 ja y ln x 2 = 1 (a) (x, y) = (e, ln 2 + 2) (b) (x, y) = (2e, ln 4 + 2) (c) (x, y) = (2e, ln 4 + 3) (d) (x, y) = (e 2, ln 4 + 2) 75. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä: (x + 3) 2 + (y 3) 2 = 9. Monessako pisteessä tämän yhtälön kuvaaja leikkaa y-akselin? (a) 3 (b) 2 (c) 1 (d) Mikä seuraavista yhtälöryhmistä on sellainen, että sillä on tasan 2 ratkaisupistettä? (a) y = x + 1, y = 2x (b) y = x + 1, y = 2x (c) y = x + 1, y = x/2 (d) y = x + 1, y = x/2 77. Laske yhtälön 1 + x 2/(x + 2) = 0 ratkaisu(t). (a) x = 1, x = 4 (b) x = 0, x = 3 (c) x = 2 (d) ei ole reaaliratkaisua 78. Laske yhtälöiden y = 2/(1 + x) ja x = 2/(1 + y) ratkaisu(t). (a) (x, y) = (1, 2), (x, y) = (2, 1) (b) (x, y) = ( 1, 2), (x, y) = (2, 2/3) (c) (x, y) = ( 1, 1), (x, y) = (2, 2) (d) (x, y) = (1, 1), (x, y) = ( 2, 2) 79. Mikä seuraavista funktioista leikkaa x-akselin arvoilla 2 ja 1? (a) f(x) = x(x + 2) (x + 2) (b) f(x) = (x 1)/(x + 2) (c) f(x) = sin(π(x + 2)/2) (d) f(x) = 1/(x 1) 2/x Epäyhtälöiden ratkaiseminen Oletetaan, että x on reaalimuuttuja. 80. Laske seuraavan epäyhtälöryhmän ratkaisu: x 2 2, x 3 1, x 4. (a) 2 x < 4 (b) 1 x 4 (c) x = ±2 (d) 2 < x < 3 tai 3 < x < Laske epäyhtälön (x 3)(x + 2) 6 ratkaisu. (a) 2 x 3 (b) 3 x 4 (c) 0 x 1 (d) x 0
10 Laskutaitotestin harjoitustehtävät / Laske epäyhtälön e 2x+2 > 16 ratkaisu. (a) x > ln 4 (b) x > 1 2 ln 2 (c) x > 1 + ln 2 (d) x > ln Laske epäyhtälön 2x 4 x + 3 < 1 ratkaisu. (a) x < 2/3 (b) 2/3 < x < 6 (c) x > 0 (d) 3 < x < Laske epäyhtälöiden 3x 5 < 6 ja 2x ratkaisu. (a) 1/2 x < 7 (b) x 1/2 tai x 11/3 (c) 1/2 x < 11/3 (d) x = 3/2 85. Laske epäyhtälön ratkaisu x 2x 2 2 (a) 4/5 x < 1 (b) 0 x < 1 (c) 0 x < 2 (d) 2/3 x < Laske epäyhtälön e x e x e x x ratkaisu. (a) 0 x 2 (b) x 2 tai x 0 (c) x ln 2 (d) x saa olla mikä tahansa reaaliluku 87. Jos a, b ja c ovat kaikki ei-negatiivisia reaalilukuja ja a > b ja c > 0, niin mikä seuraavista on aina tosi? (a) (a c)/(b c) > 1 (b) (a + c)/(b + c) > c (c) (a + c)/(b + c) > 1 (d) (a 2 b 2 )/c > Laske epäyhtälön 1 2/(1 + x) > 1 ratkaisu. (a) 1 < x < 0 (b) 2 x < 1 (c) x 1 (d) x < 1 tai x > Laske epäyhtälön x 2 4x ratkaisu. (a) 1 x 3 (b) x < 1 tai x > 3 (c) 3 x 1 (d) 4 x Laske epäyhtälön (2x 3) 2 9 > 0 ratkaisu. (a) 0 < x < 3 (b) x < 0 tai x > 3 (c) x < 3 (d) x = ±2
11 10/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Polynomit Oletetaan, että x on reaalimuuttuja. 91. Mikä polynomi seuraavista on se, jolla on kaksinkertainen nollakohta arvolla x = 2? (a) f(x) = x 2 4x + 4 (b) f(x) = x 3 4x 2 + 4x (c) f(x) = x 2 4 (d) f(x) = x 3 + 4x 2 + 4x 92. Mikä seuraavista funktioista on se, jonka arvo vähenee jatkuvasti, kun 3 < x < 2? (a) f(x) = x 2 + 5x + 6 (b) f(x) = x 2 5x + 6 (c) f(x) = x 2 x 6 (d) f(x) = x 2 + x Polynomin f(x) = x 2 +αx+8 suurin arvo saavutetaan pisteessä x = 2. Mikä on vakion α arvo? (a) 2 (b) 4 (c) 4 (d) Kun tarkastellaan polynomia f(x) = 2x 2 9x+4 välillä 0 < x < 2, seuraavista väitteistä vain yksi on tosi. Mikä niistä? (a) f:n arvo laskee kun x kasvaa (c) f saavuttaa maksimiarvonsa (b) f saavuttaa minimiarvonsa (d) f:lla on kaksi nollakohtaa 95. Kun f(x) = (x + 1) 3, laske f (f(1)). (Huom: f (x) on funktion f derivaatta eli df/dx.) (a) 64 (b) 12 (c) 8 (d) Kun f(x) = (x + 2) 4, mikä seuraavista ei ole totta? (Huom: f (x) on funktion f derivaatta eli df/dx.) (a) f(0) = f( 4) (c) f( 2) = f ( 2) (b) f(1) = f ( 1) (d) f saavuttaa minimiarvonsa, kun x = Kun f(x) = x 3 2x, laske f(f( 1)). (a) 1 (b) 1 (c) 33 (d) Montako reaalinollakohtaa yhtälöllä x(x 2 1)(x 2 + x + 1) = 0 on? (a) 4 (b) 5 (c) 3 (d) Mitkä ovat yhtälön 2x 2 + 9x 9 = 0 reaalinollakohdat? (a) ei ole reaalinollakohtaa (b) x = 3/2, x = 3 (c) x = 3, x = 6 (d) x = 3/2, x = 3
12 Laskutaitotestin harjoitustehtävät / Polynomilla f(x) = 2x 3 + 4x 2 + αx on kaksoisnollakohta, kun x = 1. Mikä on vakion α arvo? (a) 0 (b) 2 (c) 2 (d) Kun muodostetaan polynomien f(x) = (x 2) ja g(x) = (3x 3) 2 tulo, mikä on x 2 kerroin? (a) 36 (b) 36 (c) 0 (d) 3 Trigonometriset funktiot Oletetaan, että x on reaalimuuttuja Mikä seuraavista yhtälöistä on totta kuvan perusteella? α c a b (a) sin α = a 2 + b 2 (b) sin α = c/b (c) sin α = a/c (d) sin α = b/c 103. Sievennä tan x/ sin x sin x/ tan x. (a) tan x sin x (b) cos x (c) tan x/ cos x (d) cos x 104. Sievennä (cos x + cos( x))/ tan x. (a) 2 sin x (b) 0 (c) 2/ sin x 2 sin x (d) Kun x = π/4, laske tan x/ sin x cos( x). (a) 1 (b) 1/ 2 (c) 0 (d) π/ Sievennä sin(π + x)/ tan x cos( x). (a) tan x (b) 2 cos x (c) 0 (d) 2 cos x 107. Laske yhtälön 2/ 3 = tan x/ sin x ratkaisu(t). (a) x = ±π/6 + 2nπ, n on kokonaisluku (b) x = 1 (c) x = π/2 + 2nπ, n on kokonaisluku (d) x = nπ, n on kokonaisluku 108. Laske yhtälön 1 = sin(2x) ratkaisu(t). (a) x = π/2 + nπ, n on kokonaisluku (b) x = π/4 + nπ, n on kokonaisluku (c) x = π/4 + 2nπ, n on kokonaisluku (d) x = nπ/4, n on kokonaisluku
13 12/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Kun 0 x < π, laske yhtälön sin 2 x cos 2 x = 0 ratkaisu(t). (a) x = π 2 (b) x = 0, x = π/2 (c) x = 0, x = π (d) x = π/4, x = 3π/ Kun 0 x < 2π, laske yhtälön 2 cos 2 x + 3 sin 2 x = 3 ratkaisu(t). (a) x = 0, x = π (b) x = π/2, x = 3π/2 (c) x = π/4, x = 5π/4 (d) x = π/ Mitkä ovat yhtälöiden y = sin x ja y = sin(x)/3 yhteiset nollakohdat? (a) x = 3nπ, n on kokonaisluku (b) x = nπ/3, n on kokonaisluku (c) x = nπ, n on kokonaisluku (d) x = n, n on kokonaisluku 112. Mikä seuraavista yhtälöistä on tosi kaikilla kulman α arvoilla? (a) sin(α) = sin( π 2 α) (b) sin(α) = cos( π 2 α) (c) sin(α) = sin(α π 2 ) (d) sin(α) = cos(α + π 2 ) 113. Mikä seuraavista epäyhtälöistä on tosi, kun π 4 < x < π 2? (a) tan x > 1 (b) tan x < 1 (c) 1 < tan x < 1 (d) tan x < Kun tan x = 3, niin (a) cot x = 1 3 (b) cot x = 3 (c) cot x = 3 3 (d) cot x = Oheisen suorakulmion pinta-ala on (a) ac cos θ (b) ac sin θ (c) ac tan θ (d) ac Oheisen suunnikkaan pinta-ala on (a) ab cos θ (b) ab tan θ (c) ab sin θ (d) ab cot θ.
14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät /14 Geometria (x, y)-tasossa 117. Laske väli α:lle, kun tiedetään, että ympyrä (x 1) 2 + (y + 3) 2 = 4 ja suora x = α eivät leikkaa. (a) 1 < α < 4 (b) 3 < α < 6 (c) α < 1 α > 3 (d) α > Ympyrä, jonka säde on 4, ja suora y = x sivuavat vain origossa kuvan mukaisesti. Mikä on ympyrän keskipiste? y y = x x (a) ( 2, 2) (b) (2, 2) (c) (1, 1) (d) (2 2, 2 2) 119. Missä pisteessä (pisteissä) suora y = x 2 ja ympyrä, jonka säde on 5 ja keskipiste on ( 1, 2), leikkaavat? (a) (x, y) = ( 2, 1) ja (x, y) = (1, 3) (c) (x, y) = ( 2, 1) (b) (x, y) = ( 2, 0) ja (x, y) = (1, 3) (d) ei missään pisteissä 120. Kolmion pisteet (x, y)-tasossa ovat (2, 3), (4, 5) ja (4, 1). Laske kolmion pintaala. (a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) Missä pisteessä (pisteissä) suora y = 2x + 1 ja neliö, jonka keskipiste on origo, sivut samansuuntaisia kuin x- ja y-akselit ja ympärys on 12, leikkaavat? (a) ( 3/2, 5/4) ja (3/2, 5/4) (b) ( 1, 3/2) ja (1, 3/2) (c) ( 1/4, 3/2) ja (5/4, 3/2) (d) (0, 0) ja (1, 2) 122. Laske pisteiden ( 1, 2) ja (3, 6) etäisyys. (a) 4 2 (b) 2 5 (c) 15 (d) Kun x on vaaka-akseli ja y on pystyakseli yhtälön y 2 = x 1 kuvaaja on (a) paraabeli, joka aukeaa oikealle (b) paraabeli, joka aukeaa vasemmalle (c) paraabeli, joka aukeaa alaspäin (d) paraabeli, jonka huippu on pisteessä ( 2, 1).
15 14/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Mikä on alla olevan kuvaajan yhtälö? y x (a) y = x(x 2)(x 4)/4 (b) y = x(x 2)(x 4)/4 (c) y = x(x + 2)(x + 4)/4 (d) y = cos(πx/2) 125. Kun x on vaaka-akseli ja y on pystyakseli yhtälön x 2 + y 2 4x + 4 = 9 kuvaaja on (a) ympyrä, jonka keskipiste on (2,0) ja säde 3 (c) ympyrä, jonka keskipiste on (1,0) ja säde Suorat y = 2x + 1 ja (4x + 2)/y = 2 leikkaavat (a) kaikissa pisteissä (b) paraabeli, joka aukeaa ylöspäin (d) paraabeli, joka aukeaa alaspäin. (b) ei missään pisteessä (c) pisteessä ( 1, 1) (d) pisteessä (0, 1) Mikä on alla olevan kuvaajan yhtälö? y x (a) y 2 + x 2 2x + 4 = 0 (b) y x 2 /2 + 1 = 0 (c) y x = 0 (d) y 2 2x + 1 = 0
Hyvä uusi opiskelija!
Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
Lisätiedot( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
Lisätiedot2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö
2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a
LisätiedotMAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
Lisätiedot1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
Lisätiedot3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.
Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman
Lisätiedot(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2.
Derivaatta kuvaa funktion hetkellistä kasvunopeutta. Geometrisesti tulkittuna funktion derivaatta kohdassa x 0 on funktion kuvaajalle kohtaan x 0 piirretyn tangentin kulmakerroin. Funktio f on derivoituva
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotPitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.
Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotKoontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedot30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.
RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op)
Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhtälöt ja epäyhtälöt Jokainen osaa ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0. Millä parametrien a, b
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotLukion. Calculus. Polynomifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN
Calculus Lukion MAA Polynomifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Polynomifunktiot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
Lisätiedot3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.
KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden
LisätiedotB. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Lisätiedotmonissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä.
.. Käänteisunktio.. Käänteisunktio Mikäli unktio : A B on bijektio, niin joukkojen A ja B alkioiden välillä vallitsee kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus eli A vastaa täsmälleen yksi y B, joten myös se
LisätiedotYLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8..5 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
Lisätiedotb) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
Lisätiedotcos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotTestaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on
Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Lisätiedot1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat
1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotAluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö
Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty
LisätiedotNimi: Ratkaise tehtävät sivun alalaitaan. (paperi nro 1) 1. Valitse oikea toisen asteen yhtälön ratkaisukaava: (a) b ± b 4ac 2a. (b) b ± b 2 4ac 2a
paperi nro 0 a b ± b 2 4ac b b ± b 2 + 4ac c b ± b 4ac d b ± b 2 4ac 2. Ratkaise toisen asteen yhtälö x 2 + 7x 12 = 0. 3. Ratkaise epäyhtälö 3x 2 30x > 0 4. Ratkaise epäyhtälö 5x 2 + 5 < 0 paperi nro 1
LisätiedotFunktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
Lisätiedot235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti
8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotEksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b
ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora
LisätiedotH5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotPinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali
Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Lisätiedot5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Lisätiedot