3 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA GAUSSIN ELIMINOINTIMENETELMÄ. Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on m yhtälöä ja n tuntematonta x 1,,x n on muotoa:

Transkriptio

1 INEAARISET YHTÄÖRYHÄT JA GAUSSIN EIINOINTIENETEÄ 7. ieriset yhtälöryhät ierie yhtälöryhä, joss o yhtälöä j tutetot,, o uoto: + K + + K + + K + () Yhtälöitä voi oll yhtä ot ti eeä ti väheä kui tutettoi. Ryhä () triisiyhtälöä issä A () A = O = b = b b b () Huo. j b eivät ole skokoisi vektoreit, jos ukuj ij kutsut yhtälöryhä kertoiiksi, A o kerroitriisi j b o oike puole vektori. Oletet, että A ei ole olltriisi. Yhtälöryhä () rtkisu o lukujoukko,, jok toteutt yhtälöt () j äide uodost vektori = [ ] T o rtkisuvektori. Jos kikki b i :t ovt olli, yhtälöryhä o hoogeeie. Jos iki yksi b i o ollst poikkev, yhtälöryhä o epähoogeeie. Yhtälöryhällä voi oll ) yksikäsitteie rtkisu, esi. + = () + = ) ääretö äärä rtkisuj, esi. + = () + = ) ei lik rtkisuj, esi. + = (6) + =

2 Hoogeeisell yhtälöryhällä o iki yksi rtkisu, trivilirtkisu =,, =. triisi, joss A:h lisätää oikelle puolelle srke b, eli à = [A b] = O b b b (7) o yhtälöryhä A=b ljeettu triisi (ti täydeetty triisi, ugeted tri). Sitä käytetää yhtälöryhä rtkiseisess.. Gussi eliioitieetelä use.. Yhtälöryhä A rtkisut pysyvät soi, jos vihdet yhtälöt keskeää yhtälö kerrot puolitti ollst erovll vkioll vkioll kerrottu yhtälö lisätää puolitti toisee yhtälöö Näitä opertiot vstvt lkeisriviopertiot ljeetulle triisille à = [A b] vihdet triisi rivit keskeää triisi rivi kerrot ollst erovll vkioll vkioll kerrottu rivi lisätää toisee rivii erkitä A ~ B trkoitt, että B sd A:st lkeisriviopertioill jolloi sot, että A j B ovt keskeää riviekvivletit. usee.. uk khdell lierisell yhtälöryhällä o st rtkisut, jos iide ljeetut triisit ovt riviekvivletit eli void uut toisiksee lkeisriviopertioill. Gussi eliioiiss pyritää uutt triisi hdollisi helposti rtkistv uotoo. Esierkki.. Rtkise yhtälöpri + = () + = isätää toisee yhtälöö puolitti esiäie yhtälö kerrottu -:ll eli yhtälö = Sd edellise kss ekvivletti yhtälöpri + = (9) = 6 triisiuodoss: à = [A b] = ~ 6 Viieisi triisi vst yhtälöpri (9). Jälkiäisestä yhtälöstä sd =. Sijoittll tää esiäisee sd = ½ ( ) = ½ ( ) =. Yhtälöpri rtkisu o siis =, =.

3 Gussi eliioitieetelä perite: 9 uokt yhtälöryhää A vstv ljeettu triisi à = [A b] lkeisriviopertioill uotoo [C d], issä C o yläkoliotriisi ti s. porrstriisi. Tätä kutsut Gussi eliioiiksi ti reduktioksi. Tutettot rtkist viieisestä yhtälöstä lähtie edellisee yhtälöö sijoittll eli s. tkisisijoituksell. Porrstriisi o triisi, joss oll-lkiot uodostvt vselt oikelle leev portiko esi. seurv tp: 6 Alleviivttuj lkioit kutsut johtviksi lkioiksi (= rivi esiäie ollst erov lkio). Kuki rivi johtv lkio o edellise rivi johtvst lkiost oikelle j hdolliset ollrivit ovt uide rivie lpuolell. Seurvss eräs systettie lgoriti, jot ei trvitse oudtt täsällisesti käsi lskettess: yleisperittee uistie riittää. Algoritii voi tehdä lisäyksiä, esi. vkioll kertoie sopivss viheess, joill lskeie yksikertistuu. GAUSSIN EIINOINTIAGORITI. Vlitse triisi esiäie ollst erov srke vselt. Tätä kutsut pivotsrkkeeksi.. Vlitse pivotsrkkeest joki ollst erov lkio s. pivotlkioksi eli tukilkioksi. Siirrä pivotlkio sisältävä vkrivi eli pivotrivi yliäksi hdollisesti rivejä vihtll.. Eliioi pivotlkio lpuoliset lkiot olliksi lkeisriviopertioill: lisää pivotrivi uihi sopivll vkioll kerrottu.. Jtk viheide - soveltist pivotlkio lpuolelle jäävää ostriisii kues tulokse o porrsuoto.. Rtkise uuttujt tksisijoituksill. Jos eliioii tulokse redusoiduss triisiss o rivi [ d], issä d, ii yhtälöryhällä ei ole rtkisu. Jos redusoiduss triisiss o vrsiisi yhtälöitä (ei-ollrivejä) väheä kui tutettoi, utt ei riviä [ d] issä d, rtkisuj o ääretö äärä (ks. esi... b). Rtkisuss o silloi s. vpit uuttuji tutettoie lk ei-ollrivie lk. Gussi Jordi eliioitieetelässä redusoid porrstriisi edellee site, että jtket eliioiti viieisestä pivotsrkkeest j eliioid yös pivotlkioide yläpuoliset luvut :ksi (ks. kääteistriisej käsittelevä luku).

4 Esierkki.. Rtkise Gussi eliioiill yhtälöryhät ) = + + = 7 = + = Vstus: =, =, = b) + = = 7 + = + + = Rtkisu: jeettu triisi [A b] = 7 R R + R R ~ 6 6 R R (/ )R (/ )R ~ 6 Yhtälöiä: + = = = Yhtälöryhä rtkisuss o yksi s. vp uuttuj, tässä esi. = t jok voi sd ikä ths rvo.. yhtälöstä =. yhtälöstä = ½ ( 6 ) = ( ) t = t. yhtälöstä = + + = + t + ( ) t = t Rtkisu pretriuodoss: = t = t = = t issä t R. Rtkisuj o ääretö äärä.

5 ) + = + + = 7 + = + = d) + = + + = + = + = Vstus: Ei rtkisu.. ierie riipputtouus, triisi ste j vektorivruudet Olkoot,, skokoisi vektoreit (joko pysty- ti vkvektoreit). Niide lierikobitio o vektori issä,, ovt sklrej eli vkioit. ierie riipputtouus: Vektorit,, ovt lierisesti riipputtoi, jos yhtälöryhä = () toteutuu vi, ku kikki vkiot ovt olli. Jos yhtälöryhä () toteutuu site, että iki joki kertoiist o ollst poikkev, vektorit ovt lierisesti riippuvi. Silloi iki joki iistä void ilist toiste lierikobitio. Olkoo esi.. Silloi void esittää uide lierikobitio = Jos,, ovt -lkioisi vektoreit, issä <, ii e ovt lierisesti riippuvi. Esierkki.. ) Ovtko seurvt vektorit,, lierisesti riipputtoi? = [,, -, ] T = [-, -,, ] T = [,,, ] T b) Ovtko seurvt vektorit b, b, b lierisesti riipputtoi? b = [,, ] T b = [,, ] T b = [,, ] T (Vektorit olisi yhtä hyvi voitu ääritellä vkvektorei, se ei vikut.li. riipputtouutee.)

6 triisi ste triisi A = [ ij ] ste rk A o se lierisesti riipputtoie rivie ti srkkeide ksiiäärä. ierisesti riipputtoie rivie ksiiäärä o s kui srkkeide j rk A = rk A T. Alkeisriviopertiot eivät uut triisi stett, ts. riviekvivleteill triiseill o s ste. Aste o helpoi äärittää Gussi eliioii vull: triisi A ste o A:h kohdistuv Gussi eliioii tulokse olev porrstriisi ei-ollrivie lukuäärä. Esierkki.. ikä o seurv triisi A ste? A = Vektorivruus Joukko V o vektorivruus (ti lierivruus) jos kikille se lkioille eli vektoreille,b V j sklreille, pätee, että + b V j seurvt lskukvt ()-() pätevät (vrt. luvu lskukvt ()-() triiseille). Nollvektori kuuluu jokisee vektorivruutee. + b + () ( + b) + = + (b + ) () + = () + (-) = () ( + b) = + b () (+k) = + k (6) (k) = (k) (7) = () Diesio j kt Avruude V diesio, erk. di V o se lierisesti riipputtoie vektoreide ksiiäärä.

7 Jos di V =, ii : lierisesti riipputto vektori joukko {v,, v } o V: kt. Jokie V: vektori void esittää ktvektorie lierikobitio. Vektorie,, virittää vektorivruus o äide vektorie kikkie lierikobitioide joukko, erk. Sp(,, ). R = kikkie -lkioiste relilukuvektoreide = (,,, ) (yös pystyvektorei, trpee uk) uodost vektorivruus. Yksikkövektorit e = (,,,), e = (,,,,),, e = (,,,) uodostvt R : k j di R =.. ieriset yhtälöryhät: rtkisuje yleisiä oiisuuksi Rtkisuje olessolo j yksikäsitteisyys ierie yhtälöryhä K + + K + K + eli A (9) A: srkevektoreide =, =,, = vull () use.. Olkoo A -triisi j r = rk A. Yhtälöryhässä A o yhtälöä j tutetot. Ryhällä o ) rtkisu, jos r = rk Ã. b) täsällee yksi rtkisu, jos r = rk à =. ) ääretö äärä rtkisuj, jos jos r = rk à <, eli A:ss o lierisesti riipputtoi rivejä (j srkkeit) väheä kui tutettoi eikä Gussi reduktio tulokse sduss porrsuodoss ole riviä [ d], issä d. d) ei rtkisu, jos r < rk à jolloi ljeetu triisi porrsuodoss o epätosi yhtälö eli rivi [ d], issä d.

8 Hoogeeie lierie yhtälöryhä Hoogeeisell ryhällä A = () o i trivilirtkisu =. triisi A äärittelee lierikuvukse f: R R, f() = A. () triisii j se äärittäää lierikuvuksee liittyviä vektorivruuksi Ku r < eli A: srkkeet ovt lierisesti riippuvi, hoogeeiryhä () rtkisut uodostvt vektorivruude N(A) = { R A = } () jok o triisi A (ti se ääritteleä lierikuvukse) oll-vruus (ull spe) ti ydi (kerel). Noll-vruude diesiot kutsut A: ulliteetiksi ullity A = di N(A). () A: srkevruus Col(A) o A: srkevektoreide virittää vektorivruus Col(A) = {y R A = y jollki R } () jot o sll lierikuvukse f() = A kuv-vruus. A: rivivruus Row(A) o vstvsti A: rivivektoreide virittää vektorivruus. olepie diesio o A: ste r = rk A: di Col(A) = di Row(A) = r (6) use.. (Diesioluse) ts. rk A + ullity A = (7) di Col(A) + di N(A) = = A: srkkeide lukuäärä

9 Hoogeeise lierise yhtälöryhä rtkisut: Jos A: srkkeet ovt lierisesti riipputtoi eli r =, hoogeeiryhällä o iost trivilirtkisu =. Jos A: srkkeet ovt lierisesti riippuvi eli r <, hoogeeiryhä rtkisut uodostvt vektorivruude N(A), jok diesio o r. Esierkki.. ) Rtkise A =, issä A = ikä o A: ulliteetti? äärittele joki srkevruude Col(A) kt. b) Rtkise A =, issä A = ikä o triisi A oll-vruus N(A) j ulliteetti?