Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot

Transkriptio

1 Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti ulkoa opeteltavia kaavoja lienee vain kolme: sinin ja kosinin neliösumma on =1, sinin ja kosinin yhteenlaskukaavat. On huomattava, että kaavoja usein tarvitaan myös oikealta vasemmalle luettuina. Jonkin lausekkeen sieventäminen nimittäin saattaa edellyttää sen tunnistamista jonkin kaavan vasemman tai oikean puolen tyyppiä olevaksi. Sinin ja kosinin määrittely yksikköympyrän avulla antaa kaikilla kulmilla voimassa olevan sinin ja kosinin peruskaavan funktio (yleinen määritelmä) sini kosini sin +cos =1 Vektorialgebraa, lähinnä skalaari- ja vektorituloa käyttäen saadaan sinin ja kosinin yhteenlaskukaavat: skalaaritulo vektoritulo sin( + y) = sincos y +cossin y cos( + y) = coscos y sin sin y Vastaavat vähennyslaskukaavat sin( y) =... ja cos( y) =... saadaan edellä olevista kirjoittamalla y:n paikalle y ja käyttämällä kaavan oikealla puolella hyväksi sinifunktion parittomuutta ja kosinifunktion parillisuutta. Jakamalla nämä kaavat puolittain ja supistamalla oikea puoli lausekkeella cos cos y saadaan yhteenlaskukaava tangentille tan( + y) = tan +tany 1 tan tan y (Tämän kaavan ulkoa opetteluun tuskin on tarvetta. Kaavan johto, so. sinin ja kosinin kaavojen puolittainen jakaminen ja senjälkeinen supistaminen on tehtävissä varsin nopeasti.) pariton (funktio) parillinen (funktio) funktio (symmetria) supistaminen

2 Trigonometrian kaavat /6 Sisältö Helposti johdettavat kaavat Kaksinkertaisen argumentin kaavat saadaan asettamalla sinin ja kosinin yhteenlaskukaavoihin y = ja käyttämällä kosinin tapauksessa hyväksi peruskaavaa muodossa sin =1 cos ja cos =1 sin : sini kosini sin = sincos cos = cos sin =1 sin =cos 1 Harvemmin tarvittavia ovat seuraavat kaavat: sin +siny = sin +y sin sin y = cos +y cos +cosy = cos +y cos cos y = sin +y cos y sin y cos y sin y Nämä saadaan johdetuiksi sinin ja kosinin yhteenlaskukaavojen avulla seuraavaan tapaan: Laskemalla yhteen kaavat saadaan sin(α + β) = sinαcos β +cosαsin β, sin(α β) = sinαcos β cos α sin β sin(α + β)+sin(α β)=sinαcos β. Sijoittamalla tähän = α+β ja y = α β, jolloin α = 1 (+y) ja β = 1 ( y), päädytään ryhmän ensimmäiseen kaavaan. Muut saadaan vastaavasti. Kaksinkertaisen kulman kosinin kaavoista cos = 1 sin ja cos = cos 1saadaan sinin ja kosinin neliöt ratkaisemalla sin = 1 (1 cos ) cos = 1 (1 + cos )

3 Trigonometrian kaavat 3/6 Sisältö Trigonometristen funktioiden lausuminen toistensa avulla Mikä tahansa funktio voidaan lausua minkä tahansa muun trigonometrisen funktion avulla. Nämä kaavat voidaan johtaa käyttämällä edellä johdettuja kaavoja hyväksi, mutta helpoimmin ne voidaan löytää tarkastelemalla sopivaa suorakulmaista kolmiota. Olkoon esimerkkinä muiden funktioiden lausuminen tangentin avulla. funktio (yleinen määritelmä) kolmio tan 1+tan 1 Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota, jonka toinen terävä kulma on ja tämän viereisen kateetin pituus 1. Vastainen kateetti on tällöin tan tangentin määritelmän mukaan ja hypotenuusa 1+tan Pythagoraan lauseen mukaan. Kolmiosta voidaan lukea suoraan muut trigonometriset funktiot: sin = tan 1+tan, cos = 1 1+tan. kulma (terävä) kateetti hypotenuusa Pythagoraan lause Päättelyssä on luonnollisestikin 0 <<π/. Tulos on kuitenkin pätevä muillekin kulmille, kun neliöjuurten eteen lisätään ±-merkit. Siis neliöjuuri tan sin = ± 1+tan, cos = ± 1 1+tan. Kumpi merkki on oikea, riippuu siitä yksikköympyrän neljänneksestä, missä kulma on. Se on siis pääteltävä erikseen jokaisessa yksityistapauksessa esimerkiksi trigonometristen funktioiden merkkikaavioiden avulla. Samantyyppisellä menettelyllä voidaan trigonometriset funktiot lausua muunkin funktion kuin tangentin avulla. Tällöin on vain valittava sopivasti sivu, jonka pituudeksi otetaan 1. funktio (merkkikaavio)

4 Trigonometrian kaavat 4/6 Sisältö Trigonometriset yhtälöt Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa pyritään yhtälöä sieventämään trigonometrian kaavojen avulla. Tavoitteena on esimerkiksi saattaa yhtälö muotoon sin f() =sing()tai vastaavaan jonkin muun trigonometrisen funktion sisältävään muotoon. Näistä yhtälöistä voidaan pudottaa funktio pois ottamalla huomioon funktion symmetriaominaisuudet ja jaksollisuus. Eri funktioiden tapauksissa tämä merkitsee seuraavaa: yhtälö (transkendentti- ) funktio (yleinen määritelmä) jaksollinen (funktio) sin α =sinβ = α=β+kπ tai α = π β +kπ, cos α =cosβ = α=β+kπ tai α = β +kπ, tan α =tanβ = α=β+kπ. Symboli k tarkoittaa kaikkialla mitä tahansa kokonaislukua. y y y (1, tan β) π β β β β β + π β

5 Trigonometrian kaavat 5/6 Sisältö Esimerkki 1 trigonometrisesta yhtälöstä Yhtälö sin =cosvoidaan ratkaista kahdellakin tavalla. 1) Sinin kaksinkertaisen kulman kaavan avulla yhtälö saadaan muotoon sini sincos =cos, mikä ilmeisesti toteutuu, jos cos =0tai sin = 1. kosini Koska cos(π/) = 0, vastaa edellinen tapaus yhtälöä cos =cos(π/), mistä seuraa = ±π/+kπ. Tämä voidaan myös kirjoittaa muotoon = π/+nπ. Luvut k ja n ovat kokonaislukuja. Koska sin(π/6) = 1, saadaan jälkimmäisestä vaihtoehdosta sin =sin(π/6), jolloin = π/6+kπ tai = π π/6+kπ =5π/6+kπ. Yhden kierroksen alueella on siis seuraavan kuvion mukaiset juuret: ) Yhtälö voidaan vaihtoehtoisesti kirjoittaa muotoon sin =sin(π/ ), jolloin saadaan = π/ +kπ tai = π (π/ )+kπ. Näistä voidaan ratkaista : = π/6+kπ/3 tai = π/+kπ. Tulos on sama kuin edellä, vaikka juuret onkin ryhmitelty hieman eri tavoin.

6 Trigonometrian kaavat 6/6 Sisältö Esimerkki trigonometrisesta yhtälöstä Yhtälö sin +cos= voidaan ratkaista sijoittamalla cos = 1 sin, jolloin saadaan juuriyhtälö tuntemattomana sin. Tämän ratkaisu tapahtuu siirtämällä termejä yhtälössä sopivasti ja korottamalla saatu yhtälö puolittain neliöön. Seurauksena voi olla (ja onkin) että saadaan ylimääräisiä juuria, jotka eivät toteutakaan alkuperäistä yhtälöä. Neliöön korotus voidaan kuitenkin tehdä yksinkertaisemminkin. Korottamalla alkuperäinen yhtälö suoraan neliöön saadaan yhtälö (juuri-) sin +cos +sincos =, mistä seuraa sin =1. Tällöin = π/+kπ eli = π/4+kπ. Neliöön korotus on tällöinkin tuonut mukanaan ylimääräisiä juuria. Tarkistus osoittaa, että kelvollisia ovat ainoastaan arvot = π/4+kπ. Ratkaisu voidaan myös perustaa toisenlaiseen ideaan: Jakamalla alkuperäinen yhtälö luvulla saadaan 1 sin + 1 cos =1 eli cos π 4 sin +sinπ cos =1, 4 mistä sinin yhteenlaskukaavan avulla seuraa sin(+π/4) = 1. Tällöin +π/4 = π/+kπ, mikä antaa saman ratkaisun kuin edellä.