8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä

Transkriptio

1 1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä vaan tyydytään ns. naiviin joukkooppiin. Tämän mukaan joukko tunnetaan luettelemalla/määrittelemällä sen alkiot. x A x on A:n alkio (kuuluu A:han). Esimerkiksi joukko R = {x x reaaliluku }; N = {x x luonnollinen luku } = {0, 1, 2, 3,...}; A = {a, b, c, d}. 8.1 Määritelmiä Joukot A ja B ovat samat, eli A = B, jos niiden alkiot ovat samat. (eli kun alkio x A niin x B ja kun y B niin y A). Esimerkiksi {a, b, b, c, c, c} = {a, a, b, c}. Kun kaikki A:n alkiot kuuluvat B:hen, niin A on B osajoukko: A B (l. kun x A, niin x B). Ylläoleva A = B:n määritelmä merkitsee sitä, että A = B (A B ja B A). Selvästi A A. Jos A B, mutta joukot A ja B eivät ole samat, niin joukko A on silloin joukon B aito osajoukko. Joukko, joka ei sisällä alkioita on tyhjä joukko. Aina kun A on joukko, A. Joukko voi olla myös joukkojen joukko eli sen alkiot ovat joukkoja: Esimerkiksi {, {a}, {b}, {a, b}} on joukkojen joukko. Joukon A potenssijoukko P(A) on A:n osajoukkojen joukko. Esimerkki 8.1 Joukon A = {a, b, c} potenssijoukko on P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Kun A:ssa on n alkiota, niin P(A):ssa on 2 n alkiota. Joukoille voidaan määritellä toimituksia: unioni : A B = {x x A tai x B} leikkaus : A B = {x x A ja x B} komplementti : A = {x x A}; tällöin ajatellaan A:n olevan jonkin perusjoukon U osajoukko ja siis A A = U. erotus \: A\B = {x x A ja x B} Esimerkki 8.2 Jos joukko A = {a, b, c, d} ja joukko B = {b, c, e, f}, niin silloin on A B = {a, b, c, d, e, f}, A B = {b, c}, A \ B = {a, d} ja B \ A = {e, f}. Jos lisäksi perusjoukko U = {a, b, c, d, e, f, g}, niin joukko A = {e, f, g} ja joukko B = {a, d, g}. Perusjoukon U osajoukot muodostavat toimitusten, ja suhteen Boolen algebran missä = 0 ja U = 1. Silloin esimerkiksi demorganin lait: (A B) = (A ) (B ) (A B) = (A ) (B )

2 2 ovat voimassa. 8.2 Joukon alkioiden lukumäärä Olkoon A joukon A alkioiden määrä. Kuinka monta alkiota on kahden joukon A ja B unionissa A B? Oikeaa vastausta ei saada laskemalla joukkojen A ja B alkioiden lukumäärät yhteen, sillä silloin joukon A B alkiot tulevat lasketuiksi kahteen kertaan. Täten leikkausjoukon alkioiden lukumäärä on vähennettävä joukkojen A ja B alkioiden summasta. Eli Yleisesti: A 1 = A 1 A B = A + B A B. A 1 A 2 = A 1 + A 2 A 1 A 2 A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 A 4 = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 A 1 A 2 A 1 A 3 A 1 A 4 A 2 A 3 A 2 A 4 A 3 A 4 + A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 4 + A 1 A 3 A 4 + A 2 A 3 A 4 A 1 A 2 A 3 A 4 Matemaattisella induktiolla voidaan näyttää todeksi n A 1 A 2 A n = A i<j<k n 1 1 i j n A i A j A i A j A k + ( 1) n+1 A 1 A 2 A n. Esimerkki 8.3 Kuudensadan televisiokatsojan säännöllisiä katsomistottumuksia kyseltiin kolmen televisiosarjan perusteella. Sarjat olivat: Komeat ja urheat (=KR), Piilotetut hetket (=SE) ja Himakuja (=KK). Vastauksista saatiin seuraavat katsojalukumäärät: Sarjat KR SE KK KRSE KRKK SEKK KRSEKK Katsojia: missä esimerkiksi KK tarkoittaa sitä, että katsoja on seurannut säännöllisesti sarjaa KK ja KRKK tarkoittaa sitä, että katsoja on seurannut säännöllisesti sekä sarjaa KR että sarjaa KK. a) Kuinka moni kyselyyn vastanneista oli seurannut säännöllisesti ainakin yhtä sarjaa? b) Kuinka moni katselijoista oli seurannut säännöllisesti ainakin kahta sarjaa? 8.3 Suhteet eli relaatiot Kun A ja B ovat joukkoja, niin niiden karteesisella tulolla A B tarkoitetaan järjestettyjen alkioparien joukkoa A B = {(a, b) a A ja b B}.

3 3 Taso on kahden lukusuoran karteesinen tulo. Yleensä A B B A (koska A B:n pareissa ensin A:n alkiot ja sitten B:n alkiot ja B A:n pareissa ensin B:n alkiot ja sitten A:n alkiot); poikkeuksia saadaan kun A = B ja kun A = tai B =. Joukon A 1 A 2 A 3... A n :n alkiot ovat npaikkaisia jonoja (a 1, a 2,..., a n ), missä i:nnen paikan alkiot a i A i. Olkoot A ja B joukkoja. Kaksipaikkainen suhde eli relaatio R A:sta B:hen on A B:n osajoukko: R A B. Tällöin tieto a on suhteessa R b:hen merkitään ja kun a ei ole suhteessa R b:hen, merkitään (a, b) R tai arb, (a, b) R ja a Rb. Merkinnän arb takana on reaaliluvuista tuttu suhde, jolla merkitään (tai 95 13); merkintä (100, 103) on outo. Kun A = B, niin suhdetta R A:sta B:hen sanotaan lyhyesti suhteeksi joukossa A (esim. on suhde joukossa R). Esimerkiksi R = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} on suhde joukossa {a, b, c} {1, 2, 3}, ja {(x, x) x R} on suhde joukossa R. Suhde (=relaatio) R joukossa A on (i)reeksiivinen jos (a, a) R aina kun a A, (ii) symmetrinen jos aina kun a, b A on voimassa (a, b) R (b, a) R, (iii) antisymmetrinen, jos aina kun a, b A ja a b on voimassa (a, b) R (b, a) / R. (iii) transitiivinen, jos aina kun a, b, c A on voimassa (a, b), (b, c) R (a, c) R. Esimerkki 8.4 Olkoon joukko A = {1, 2, 3, 4}. Mitkä seuraavista relaatioista ovat reeksiivisiä, symmetrisiä, antisymmetrisiä, transitiivisia. R 1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 1), (1, 4)} R 2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} R 3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4)} R 4 = {(3, 4)} Esimerkiksi pitäminen on (kaksipaikkainen) suhde, jonka ei tarvitse olla symmetrinen ((a, b) P a pitää b:stä): vaikka (a, b) P niin voi olla (b, a) P (b ei pidä a:sta) ja vaikka (a, b) P ja (b, c) P, niin (a, c) P. P :n ei tarvitse olla transitiivinen). (Kaksipaikkainen) suhde R voidaan (kun A ja B äärelliset) aina esittää matriisina M R. Järjestetään A:n alkiot: a 1,..., a n ja B:n alkiot b 1,..., b m, nimetään M R :n rivit a 1,..., a n :llä ja sarakkeet b 1,..., b m. Saadaan esitys:

4 4 (a i, b j ) R M R : n alkio ij on 1 (a i, b j ) R M R : n alkio ij on 0 Esimerkki 8.5 Esitä esimerkin 8.4 suhteet matriiseina. Joukon A 1 A 2 A 3... A n (A i :t joukkoja, i = 1,..., n) alijoukot ovat npaikkaisia suhteita, relaatioita. Joukot A 1,..., A n muodostavat npaikkaisen suhteen määrittelyalan. Esimerkki 8.6 Suhde R, missä (a, b, c) R a, b, c Z ja a < b < c on 3-paikkainen suhde joukossa Z (tai joukossa Z Z Z). Sopivat tietokannat voidaan kuvitella n-paikkaisiksi relaatioiksi, kun kentän i määrittelyalue tulkitaan joukoksi A i, niin jokainen tietue (a 1, a 2,..., a n ) on suhteen R alkio. Koska relaatiot joukkoja, niitä voidaan käsitellä soveltamalla niihin joukkoopillisia laskutoimituksia. 8.4 Ekvivalenssisuhde Tarkastellaan seuraavassa, miten sopivalla yhdistelmällä edelläolevia suhteiden ominaisuuksia voidaan jakaa joukko "samankaltaisiin alkioihin", eli osittaa joukko. Jos A i A, i = 1, 2,... n ovat A:n epätyhjiä osajoukkoja, joille n i=1 A i = A ja A i A j = aina kun i j, niin A 1, A 2,..., A n on joukon A ositus (partition). Esimerkiksi {1, 2, 4}, {3, 5}, {6} on joukon {1, 2, 3, 4, 5, 6} ositus. (2paikkainen) suhde R on ekvivalenssi(suhde) joukossa A, jos R on reeksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Esimerkki 8.7 Mitkä esimerkin 8.4 suhteista ovat ekvivalenssisuhteita? Esimerkki 8.8 Olkoot m positiivinen kokonaisluku. Osoita, että suhde R = {(a, b) a:n ja b:n jakojäännös luvulla m jaettaessa on sama} on ekvivalenssisuhde ei-negatiivisten kokonaislukujen joukossa. Tarkastellaan suhdetta (a, b) R jos ja vain jos a:lla ja b:llä on sama opintojen aloitusvuosi. Selvästi R on ekvivalenssisuhde opiskelijoiden joukossa ja suhde jakaa kaikki opiskelijat erillisiin joukkoihin, jotka kukin muodostuu samana vuonna opiskelunsa aloittaneista opiskelijoista. Nämä ovat suhteen R ekvivalenssiluokkia.

5 5 Yleisesti: Jos R on ekvivalenssisuhde joukossa A, niin joukon A alkioon a liittyvä ekvivalenssiluokka [a] R on kaikki joukon A alkiot b, jotka ovat joille a kanssa suhteessa R. Siis [a] R = {b (a, b) R}. Esimerkki 8.9 Määrää edellisen esimerkin ekvivalenssiluokka [7] R, kun m = 3. Lause 8.1 Seuraavat ehdot ovat voimassa: (i))ekvivalenssisuhde joukossa A määrää joukon A osituksen. (ii)jokainen joukon A ositus määrää ekvivalenssisuhteen joukossa A. Tod.... Esimerkki 8.10 Määrää esimerkin 8.8 suhteen määräämä ositus ei-negatiivisille kokonaisluvuille, kun m = Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa A on osittain järjestys, jos se on reeksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen. Kun R on osittain järjestys, niin voidaan merkitä: (a, b) R a b Esimerkki 8.11 Osoita, että suhde "suurempi tai yhtäsuuri kuin"on osittainen järjestys kokonaislukujen joukossa. Esimerkki 8.12 Mitkä esimerkin 8.4 suhteista ovat osittaisia järjestyksiä? Esimerkki 8.13 Olkoon suhde positiivisten kokonaislukujen joukossa, jolle x y jos ja vain jos x on y:n tekijä. Onko osittain järjestys. R on totaalijärjestys A:ssa (jonojärjestys, ketjujärjestys), jos R on osittain järjestys ja kun a, b A, niin joko (a, b) R tai (b, a) R. (Kaiken kattavuus: mitkä tahansa 2 alkiota keskenään järjestettävissä).

6 6 Esimerkki 8.14 Tarkastellaan joukon A = {1, 2, 3,..., 15} suhteita x y jos ja vain jos luku x on pienempi kuin y ja x y jos ja vain jos x on y:n tekijä. Ovatko suhteet jonojärjestyksiä A:ssa Osittain järjestystä R joukossa A havainnollistetaan usein kuvalla, järjestyskuvalla, missä pisteet ovat A:n alkiot ja a ja b on yhdistetty nousevalla viivalla a:sta b:hen jos (a, b) R ja a b eikä ole olemassa c:tä siten, että (a, c), (c, b) R. Totaalinen järjestys ja osittain järjestys R ovat keskenään yhteensopivat, jos (a, b) R a b. Esimerkki 8.15 Allaolevan kuvan osittain järjestys ja totaalinen järjestys ovat yhteensopivat. Jokaisessa äärellisessä osittain järjestetyssä joukossa on ainakin yksi minimaalinen elementti (elementti, jota pienempää ei ole; kuvion joukosta a, b ja c tällaisia). Äärellisen osittain järjestetyn joukon elementti on maksimaalinen, jos sitä suurempaa ei ole. Elementti a on suurin osittain järjestetyssä joukossa U, jos a u jokaisella u U ja b on pienin, jos u b jokaisella u U. Huomaa, että pienin elementti on minimaalinen, mutta minimaalisen ei tarvitse olla pienin. Samoin: suurin on maksimaalinen mutta maksimaalisen ei tarvitse olla suurin.