Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C00100 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 2017

Transkriptio

1 Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C00100 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 2017 Mallivastaukset Esimerkki 1: Peli on symmetrinen, joten riittää, että tarkastelemme, mikä on tasapaino kun Sonapanic tekee ensimmäisenä toimenpiteen ja vasta sen jälkeen Sumsang nähtyään Sonapanicin toimenpiteen, valitsee oman toimenpiteensä. Sumsangilla olisi sama strategia kuin Sonapanicilla jos se liikkuisi ensimmäisenä. Jos, Sonapanic valitsee Suuren, Sumsangin kannattaa valita myös Suuri, jolloin hyöty on (2, 2). Jos taas, Sonapanic valitsee Pienen, Sumsang valitsee Suuren, jolloin hyöty on (1,5). Sonapanic tietää, miten Sumsangin on optimaalista vastata. Sonapanic valitsee Suuren, koska tällöin hänen hyötynsä on suurempi (2 vs 1). Pelipuussa optimaalinen toimenpide on alleviivattu. Kuva 1 Samanaikaisen pelin Nash-tasapaino: (Suuri, Suuri) Peräkkäisen pelin Nash-tasapaino: (Suuri, Suuri) Esimerkki 2: Koska kyseessä on taas symmetrinen peli, voimme ratkaista pelin toisen pelaajan osalta. Ratkaistaan peräkkäinen peli taaksepäin-induktiolla: Jos Row Inc. on valinnut Suuren, Column Inc. valitsee Pienin. Vastaavasti jos Row Inc. valitsee Pienen, Column Inc. valitsee Suuren. Row Inc. tietää miten Column Inc. reagoi ja valitsee toimenpiteistään vaihtoehdon, joka tuo suuremman hyödyn. Samanaikaisen pelin Nash-tasapainot: (Suuri, Pieni) ja (Pieni, Suuri). Peräkkäisen pelin Nashtasapaino: (Suuri, Pieni)

2 Kuva 2 Esimerkki 4: Peli ei ole enää symmetrinen, joten se pitää ratkaista molemmille pelaajille. Samanaikaisen pelin Nash-tasapainot: (Kesk, Kesk) ja (Mat, Mat). Kun Firma 1 valitsee ensimmäisenä, saamme Nash-tasapainoksi (Kesk, Kesk). Kun Firma 2 valitsee ensimmäisenä, saamme Nash-tasapainoksi (Kesk, Kesk). Huom. kun Firma 2 pelaa ensimmäisenä, sen hyöty ja toiminta on merkitty tähän pelipuuhun ensimmäisenä. Kuva 3 Kuva 4 Esimerkki 5: Samanaikaisessa pelissä ei ole puhtaan strategian tasapainoa. Sekastrategioiden tasapaino: molemmat valitsevat Punaisen todennäköisyyksillä {0.5, 0.5}. Peräkkäisen pelin Nash-tasapainot (Johtaja ensin): (Punainen, Punainen) ja (Sininen, Sininen) 2

3 Peräkkäisen pelin Nash-tasapainot (Imitaattori ensin): (Punainen, Sininen) ja (Sininen, Punainen) Esimerkissä 4, on hyötyä jos on vasta toinen vuorossa ja pystyy reagoimaan parhaan mukaan toisen toimenpiteeseen. Kun Johtaja valitsee ensin, imitaattori pystyy matkimaan. Kun Imitaattori valitsee ensin, Johtaja pystyy valitsemaan juuri päinvastoin. Kuva 5 Kuva 6 2. (a) Yritykset valitsevat kapasiteettinsa samanaikaisesti. Muodostetaan ensin käänteiskysyntä: Q d (p) = p P (Q) = 20 2Q ja merkitään kokonaistuotantoa Q = Q A + Q B. Yrityksen A voittofunktio on π A (Q A, Q B ) = P (Q A + Q B ) Q A C(Q A ) = (20 2Q A 2Q B )Q A 5 Q A Etsitään voitot maksimoiva tuotannon taso: π A (Q A,Q B ) Q A = 19 4Q A 2Q B = 0 Ratkaisemalla tästä Q A saadaan yrityksen A reaktiofunktio eli optimituotanto funktiona yrityksen B tuotannosta: BR A (Q B ) = 19/4 0.5Q B. Koska yritykset ovat identtisiä, yrityksen B reaktiofunktio on vastaavasti BR B (Q A ) = 19/4 0.5Q A. Nash-tasapainossa kumpikin yritys ottaa toisen yrityksen tuotantapäätöksen annettuna, ja valitsee tällä perusteella oman tuotantonsa. Lasketaan ensin A:n tuotanto, kun se tietää, että B vastaa parhaan vastauksen mukaan: Q A = BR A (BR B (Q A )) Q A = 19/4 0.5(19/4 0.5Q A ) Q A

4 Vastaavasti myös yrityksen B tuotanto on Q B = Tällöin kokonaismäärä on Q = Hinta ratkaistaan käänteiskysyntäkäyrästä: P = Sijoittamalla hinta ja määrä yritysten voittofunktioon saadaan seuraavat voitot π A = π B = Huomaa, että toisin kuin tehtävässä HT7.3, nyt peliin jäi vain yksi tasapaino jatkuvan muuttujan ansiosta. (b) Jos uusia yrityksiä voisi tulla vapaasti markkinoille, niin niitä tulisi niin kauan kunnes seuraavan tulijan ansiosta voitot menisivät negatiivisiksi. Tasapainossa kaikki yritykset tuottavat saman verran, koska kaikilla on samat kustannukset. Merkitään yksittäistä yritystä i:llä ja yrityksiä on yhteensä N kappaletta. Nyt kokonaistuotanto Q = NQ i. Q i on muun yrityksen kuin yrityksen i:n tuotanto. Muodostetaan Yrityksen i voittofunktio: π i (Q i, Q i ) = P (Q)Q i T C(Q i ) = (20 2Q i 2(N 1)Q i )Q i 5 Q i Etsitään voittoa maksimoiva tuotannon taso: π i(q i, Q i ) = 19 4Qi 2(N 1)Q i = 0 Ratkaisemalla tästä Q i saadaan Yrityksen i reaktiofunktio: Q i = BR i (Q i ) = (19 2(N 1)Q i )/4 = 19/4 0.5(N 1)Q i Koska kaikki firmat ovat identtisiä, eli Q i = Q i : Q i = 19/4 0.5(N 1)Q i Q i = 19 2(N+1) Yritysten määrä N voidaan ratkaista asettamalla yrityksen voitot nollaksi: π i (Q i ) = P (Q)Q i T C(Q i ) = (20 2Q i 2(N 1)Q i )Q i 5 Q i = 20Q i 2Q 2 i 2NQ 2 i + 2Q 2 i 5 Q i = = 19Q i 2NQ 2 i 5 = (N+1) 2N( 19 2(N+1) )2 5 = 361 2(N+1) 2 5 = 0 Kertomalla viimeinen yhtälö (2(N + 1) 2 ):lla ja käyttämällä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saamme N:n arvoksi N 5.01 (sekä järjetön N 7.01). Koska voitot ovat pienenvät yritysten lukukmäärässä, niin N = 5 on suurin määrä yrityksiä, jolla voitot ovat ei-negatiiviset. Kuuden yrityksen tilanteessa kaikki tekisivät jo tappiota. Voimme laskea määrän, jonka yksi yritys tuottaa: Q i = 19 2(5+1) Tällöin kokonaismäärä on Q = NQ i = = 7.9. Hinta on tällöin P = = 4.2 Lisähuomio. Yritysten lukumäärän tasapainossa voi selvittää myös laskemalla yksittäisen yrityksen voitot arvoilla n = 2, 3, 4, On selvää, että voitot ovat sitä pienemmät mitä enemmän on yrityksiä. Kokeilemalla eri n arvoja selviää, että viisi on pienin lukumäärä yrityksiä, jolla voitot ovat ei-negativiiset. Jos kuudeskin yritys tulisi markkinoille, niin yritykset tekisivät tappiota, ja jos markkinoilla olisi vain neljä yritystä, sinne kannattaisi perustaa 4

5 vielä yksi yritys lisää. (c) Yritys A valitsee kapasiteettinsa ensin. Mietitään ensin tilannetta B:n kannalta. Kun se tekee päätöstään, yrityksen A tuotanto Q A on jo selvillä. Yritys B maksimoi siis voittojaan annettuna yrityksen A tuotanto. B:n paras vastaus yrityksen A tuotantoon ratkaistiin kohdassa 2a: BR B (Q A ) = 19/4 0.5Q A. Kun A tekee tuotantopäätöksensä, se tietää, että B reagoi funktion BR B (Q A ) mukaan. Yritys A huomioi tämän voittofunktiossaan: π A (Q A, Q B ) = π A (Q A, BR(Q A )) = P (Q A + BR(Q B )) Q A C(Q A ) = [20 2 (19/4 0.5Q A + Q A )] Q A 5 Q A = Q 2 A + 9.5Q A 5 Maksimoidaan voitto Q A :n suhteen: π A Q A = 2Q A = 0 Q A = 4.75 Yritys B:n vastaus A:n tuotantoon on BR B (4.75) = 19/ = Kokonaistuotanto on tällöin = 7.125, ja markkinahinta P (7.125) = = Yritys A:n voitot ovat π A = ja B:n voitot π B = Nyt A:lla on kustannusetu: sen rajakustannus on puolittunut. Siten MC A = 0.5. A:n kokonaiskustannukset ovat C A (q) = Q A. (a) Yrityksen A voitto on nyt (sijoittamalla uusi kustannusfunktio kohdan 2a voittofunktioon): π A (Q A, Q B ) = (20 2Q A 2Q B )Q A 5 0.5Q A Derivaatan nollakohdasta saadaan yrityksen A uusi reaktiofunktio, Q A = BR A (Q B ) = 19.5/4 0.5Q B. Yrityksen B reaktiofunktio ei riipu A:n kustannuksista, joten sen paras vastaus on edelleen BR B (Q A ) = 19/4 0.5Q A. Lasketaan A:n tuotanto, kun se tietää, että B vastaa parhaan vastauksen mukaan: BR A (BR B (Q A )) = 19.5/4 0.5(19/4 0.5Q A ) Q A 3.33 Tällöin B:n kapasiteetti on BR B (3.33) = 19/ = Hinta saadaan kysyntäkäyrältä kokonaismäärällä = 6.415: P = = A:n voitto on π A =

6 ja B:n voitto π B = (b) Nyt yritys matalamman kustannustason yritys A valitsee kapasiteettinsa ensin. Ratkaistaan tehtävä kuten kohdassa 2c. B:n paras vastaus yrityksen A tuotantoon on edelleen: BR B (Q A ) = 19/4 0.5Q A. Kun A tekee tuotantopäätöksensä, se tietää, että B reagoi funktion BR B (Q A ) mukaan. Yritys A huomioi tämän voittofunktiossaan: π A (Q A, Q B ) = π A (Q A, BR(Q A )) = P (Q A + BR(Q B )) Q A C(Q A ) = [20 2 (19/4 0.5Q A + Q A )] Q A 5 0.5Q A = Q 2 A + 10Q A 5 Maksimoidaan voitto Q A :n suhteen: π A Q A = 2Q A + 10 = 0 Q A = 5 Yritys B:n vastaus A:n tuotantoon on BR B (5) = 19/ = Kokonaistuotanto on tällöin = 7.25, ja markkinahinta P (7.25) = = 5.5. Yritys A:n voitot ovat π A = ja B:n voitot π B = Nyt yritykset eivät ole enää symmetrisiä, eli täytyy ratkaista myös voitot tilanteessa, jossa B valitsee ensin. Kun B tekee tuotantopäätöksen, se tietää A:n reagoivan BR A (Q B ) = Q B. B:n voittofunktio on π B (Q A, Q B ) = π B (Q B, BR A (Q B )) = P (Q B + BR A (Q B )) Q B C B (Q B ) = [20 2 (19.5/4 0.5Q B + Q B )] Q B 5 Q B = Q 2 B Q B 5 Maksimoidaan voitto Q B :n suhteen: π B Q B = 2Q B = 0 Q A = Yritys A:n vastaus B:n tuotantoon on BR A (4.625) = 19.5/ = Kokonaistuotanto on tällöin = , ja markkinahinta P (7.1875) = = Yritys B:n voitot ovat π B = ja A:n voitot π A = (c) Kuluttajan ylijäämä lasketaan: CS = (20 p ) Q 0.5. Vaihtoehtojen tuottamat kuluttajien ylijäämät ovat: 6

7 Samanaikainen: CS = ( ) A ensin: CS = (20 5.5) B ensin: CS = ( ) Korkein CS saadaan, kun matalamman kustannustason firma (tässä A) valitsee ensin. Toiseksi paras tilanne kuluttajien kannalta olisi, jos B valitsisi ensin, ja huonoin jos firmat valitsevat samanaikaisesti. (d) Toimialan voitot saadaan laskemalla yritysten voitot yhteen eli π = π A + π B. Vaihtoehtojen tuottamat toimialan voitot ovat: Samanaikainen: π = = A ensin: π = = B ensin: π = = Toimialan voittojen kannalta tilanne on täysin päinvastainen kuin kuluttajan ylijäämän: suurimmat voitot saavutetaan samanaikaisella valinnalla. Toiseksi suurimmat kun korkeamman kustannustason yritys B valitsee ensin ja pienimmät kun A valitsee ensin. 4. (a) Koska lääkkeiden hinta on kummassakin apteekissa sama 10e, asiakkaiden hankintakustannuksiin tekee eroa vain apteekin etäisyydestä aiheutuva vaiva. Asiakkaat minimoivat kustannuksensa siten valitsemalla heitä lähinnä sijaisevan apteekin. Miten apteekkien kannattaisi sijoittua? Kuvitellaan aluksi, että apteekit asettuvat pääkadun päihin siten, eli A kohtaan 0 km ja B kohtaan 1 km. Tällöin asiakkaat jakautuisivat tasan apteekkien välille, ja kaikilla asiakkailla olisi enintään puolen kilometrin matka apteekkiin. Nyt apteekki A pystyisi kuitenkin parantamaan tulostaan. Sen kannattaisi sijoittua pääkadun kohtaan A, jolloin se saisi kaikki asiakkaat pätkältä [0, A] ja puolet asiakkaista pätkältä [A, B] km. Tästä apteekki B pystyisi parantamaan omaa tulostaan: senkin kannattaisi siirtyä A:ta lähemmäs pääkadun keskikohtaa, jotta se saisi kaapattua osan A:n asiakkaista. Tasapainossa kumpikin apteekki pelaa parasta vastaustaan toisen apteekin strategiaan. Apteekit pystyvät parantamaan tulostaan suhteessa toistensa sijaintiin niin kauan, kunnes ne saavuttavat kadun keskikohdan. Apteekkien sijoittuminen kadun keskikohtaan (0.5km, 7

8 0.5km) on pelin ainoa tasapaino: tästä sijainnista kummankaan apteekin ei kannata poiketa niin kauan, kun toinenkaan apteekki ei muuta sijaintiaan. Tasapainossa kumpikin apteekki saa puolet asiakkaista, ja voitot ovat π A = π B = = 2.5 (tai tämän moninkerta). (b) Tasapainohinnat ovat suuremmat tai yhtäsuuret kuin MC = 5, koska tätä alemmalla hinnalla kummankaan ei kannata käydä kauppaa. Koska tilanne on symmetrinen kummallekin apteekille, tasapainossa niiden valitsemat hinnat ovat yhtä suuret. Janakylän asukkaalle on samantekevää, kumman apteekin hän valitsee, jos p A + 10(x A x i ) 2 = p B +10(x B x i ) 2. Kun asukkaan sijainti kadulla on sellainen, että p A +10(x A x i ) 2 < p B + 10(x B x i ) 2, asukas valitsee apteekin A. Määritetään rajatapaus, joka on sellaisella etäisyydellä apteekeista, että apteekkivalinta hintojen p A ja p B vallitessa on samantekevä: p A + 10(x A x i ) 2 = p B + 10(x B x i ) 2 p A + 10(0.25 x i ) 2 = p B + 10(0.75 x i ) 2 10x i + p A p B 5 = 0 x i = 5 p A + p B 10 Apteekki A saa osuuden asiakkaista, joiden sijainti on lähempänä janan alkupäätä kuin rajatapauksen sijainti, eli osuuden x i. Apteekin A voitto on siis π A (p A, p B ) = (p A 5)x i = (p A 5) 5 p A + p B 10 A:n reaktiofunktio hinnan P B suhteen löydetään maksimoimalla voittofunktio hinnan p A suhteen: π A p A = (10 2p A + p B )/10 = 0 2p A = p B + 10 p A = 0.5p B + 5 Koska tilanne on symmetrinen B:lle, sen reaktiofunktio on vastaavasti p B = 0.5p A + 5. Tasapainossa kumpikin apteekki pelaa parasta vastaustaan. Sijoittamalla B:n hinta (reaktiofunktio) A:n reaktiofunktioon saadaan A:n tasapainohinnaksi p A = 10. (Yhtä lailla voitaisiin myös todeta, että koska tilanne on apteekeille symmetrinen, p A = p B ja ratkaista tätä identiteettiä käyttämällä tasapainohinta jommasta kummasta reaktiofunktiosta.) Tällöin kate yhdestä myydystä lääkkeestä on 5, ja yritysten voitot ovat samansuuruiset: kummankin saadessa puolet asiakkaista π A = π B = 2.5 (tai tämän moninkerta). 8

9 Koska hinnat ovat ennallaan kohtaan 4a verrattuna, mutta asiakkaan etäisyys lähimpään apteekkiin on keskimäärin pienentynyt, kuluttajien kokonaishyvinvointi kasvaa kohtaan 4a verrattuna. Kannattaisiko A:n vaihtaa sijaintia, jos se olisi mahdollista? Tarkastellaan, mitä tapahtuisi, jos A sijoittuisi kadun alkupisteeseen 0 km kohdalle. (Mikä tahansa yksittäinen esimerkki kauemmas siirtymisestä riittää vastaukseksi.) Tällöin rajatapausasiakas sijoittuisi kadulla kohtaan p A + 10(0 x i ) 2 = p B + 10(0.75 x i ) 2 p A + 10x 2 i = p B + 10(0.75 x i ) 2 p A p B + 15x i = 0 x i = p A + p B 15 Tämä on yhtäsuuri kuin A:n asiakkaista saama osuus. Apteekin B voitto olisi ja reaktiofunktio π B (p A, p B ) = (p B 5)(1 x i ) = (p B 5)( p A + p B ) 15 π B p B = 0.133( p B 0.5p A ) = 0 p B = 0.5p A Sijoitetaan B:n reaktiofunktio A:n voittoon ja maksimoidaan hinnan suhteen: π A (p A, p B ) = (p A 5) p A + p B 15 = (p A 5) p A + 0.5p A π A p A = p A = 0 p A Tällöin p B = A:n voitto on siten π A (p A, p B ) Tämä on suurempi kuin voitto sijainnilla 0.25 km. A:n kannattaa siis siirtyä. Tässä sijoittumispäätös on tuotedifferentiaatiota: kun hinta ei ole säädelty, yritysten kannattaa sijoittua mahdollisimman kauas toisistaan. 9

10 5. (a) Kootaan ensin eri lopputulemista kertyvät tulokset pelimatriisiin. Valtio Herra Julmu Petos (q) Ei petosta (1-q) Tarkastus (p) -1, , 0 Ei tarkastusta (1-p) -4, 3 0, 0 Kuva 7: Tehtävän 5a pelimatriisi. Jos Julmu tekee veropetoksen, kannattaa Valtion tehdä tarkastus. Jos Julmu ei tee petosta, kannattaa valtion olla tarkastamatta. Jos Valtio tekee tarkastuksen, kannattaa Julmun olla tekemättä petos. Jos Valtio ei tarkasta, niin Julmun kannattaa tehdä petos. Kummallakaan ei ole dominoivaa strategiaa, eikä pelissä ei ole yhtään puhtaiden strategioiden tasapainoa. Etsitään sekastrategatasapaino. Valtio tekee tarkistuksen todennäköisyydellä p. Tasapainossa p:n täytyy olla tasolla, jolla Julmu on indifferentti petoksen suhteen: EV (Petos) = EV (Ei petosta) p( 5.5) + (1 p)3 = p 0 + (1 p) 0 8.5p = 3 p 0.35 Tasapainossa Julmun todennäköisyys tehdä petos q täytyy olla sellainen, että Valtio on indifferentti tarkastuksen tekemisen suhteen: EV (Tarkastus) = EV (Ei tarkastusta) q( 1) + (1 q)( 1) = q ( 4) + (1 q) 0 1 = 4q q = 0.25 Pelin ainoassa (sekastrategia)nash-tasapainossa Valtio tarkastaa todennäköisyydellä 0.35 ja Julmu tekee petoksen todennäköisyydellä (b) Merkitään nyt rangaistuksen arvoa Julmulle X. Veropetoksen todennäköisyys ei muutu, koska se riippuu vain Valtion tulosta, joka ei nyt muutu. Valtio Herra Julmu Petos (q) Ei petosta (1-q) Tarkastus (p) -1, -(X+1) -1, 0 Ei tarkastusta (1-p) -4, 3 0, 0 EV (Petos) = EV (Ei petosta) p(x + 1) + (1 p)3 = p 0 + (1 p) 0 10

11 3 p(x + 4) = 0 p = 3/(X + 4) Mikään arvo X > 0 ei muuta sitä, että pelissä on vain sekastrategiatasapaino. Ainoa ero kohtaan a) on, että tasapainossa tarkastus tehdään todennäköisyydellä p = 3/(X + 4). Huomaa, että tarkastuksen todennäköisyys on sitä pienempi, mitä enemmän varas kärsii rangaistuksesta. Jos X=0, niin Julmun ainoa tappio kiinnijäämisestä on hukkaan menneet kätyreiden palkkiot, jolloin p=0.75. Kun X kasvaa, p lähestyy nollaa sitä kuitenkaan ikinä saavuttamatta. (c) Nyt kyseessä on peräkkäinen peli, jossa valtio ensin sitoutuessaan joutuu pohtimaan, mikä on Herra Julmun paras vastaus valtion strategiaan. Tarkastellaan aluksi puhtaita strategioita. Jos valtio sitoutuu tarkastamaan, ei Julmu koskaan tekisi petosta, jolloin valtio kärsii tarkastuskustannuksen ja Julmu ei saa mitään. Jos valtio taas sitoutuu olemaan aina tarkastamatta, tekisi Julmu aina petoksen ja valtio menettäisi verotuloja 4 miljoonaa euroa, Julmun saadessa hyötyä 3 miljoonaa euroa. Puhtaissa strategioissa valtion kannattaisi aina sitoutua tekemään tarkastus ja valtion odotettu tuotto olisi - 1 miljoonaa euroa. Selvitetään olisiko mahdollista päästä parempaan tulokseen sitoutumalla sekastrategiaan. Koska tarkastaminen (ja rankaiseminen) maksaa, niin valtion kannattaa sitoutua tekemään tarkastus pienimmällä todennäköisyydellä, joka tekee petoksesta kannattamattoman. Näemme Herra Julmun odotusarvoista, että petos kannattaa jättää tekemättä jos p > Nyt ainoa erä kokonaishyvinvointia on todennäköisyydellä p toteutuva tarkastuskustannus -1, eli valtion odotusarvoinen kustannus on vain 0.35 ( 1) = 0.35, mikä on selvästi parempi kuin jos sitouduttaisiin tarkastamaan aina. Lisähuomio. Satunnaisen tarkastamisen optimaalisuus on yleinen tulos tämän tyyppisissä ns monitorointipeleissä. Jos rötöksen tutkimiseen ja/tai rankaisemiseen liittyy kustannuksia, niin monitorointi kannattaa toteuttaa satunnaisesti. Käytännössä tämän voi tulkita siten, että on populaatio potentiaalisia Julmuja, ja valtio sitoutuu tarkastuksiin palkkaamalla tietyn määrän verotarkastajia. Palkatut tarkastajat eivät ehdi tarkastaa kaikkia, vaan erityistarkastuksen kohteet valitaan satunnaisesti. Yksittäisen Julmun kannalta Valtio tarkastaa heidät todennäköisyydellä, joka riippuu tarkastajien ja potentiaalisten tarkastettavien määrästä. 6. Tehtiin luokassa. 11

12 Mikrotaloustiede 31C00100 Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto Syksy Luokkatehtävässä tuotettu data. Arviot N 53 Keskiarvo 29.4 Keskihajonta 7.7 Max Max 44. Md 29. Min Tarjoukset N 53 Keskiarvo 26.5 Keskihajonta 6.9 Max Max 39. Md 26. Min 11. N 53 Keskiarvo 28.1 Keskihajonta 8.9 Max Max 48. Md 28. Min PA 2PA 1

13 Mikrotaloustiede 31C00100 Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto Syksy 2017 Tarjous Arvio 1PA 2PA Luokkatehtävän pisteytys perustui kolmeen tekijään. i) Arvion piti olla positiivinen luku (4p). ii) 2. hinnan tarjouskilpailun tarjous ei saanut olla suurempi kuin arvio (5p). iii) 1. hinnan tarjouskilpailun tarjous ei saanut olla suurempi kuin 2. hinnan tarjouskilpailun tarjous (5p). Lisähuomio. Arvioiden keskiarvo 29.4 oli hyvin lähellä viivan todellista pituutta 30, eikä arvoiden keskiarvon ero totuudesta ole tilastollisesti merkittävä. Tämä on hyvin tyypillinen tulos tämän kokoiselle joukolle, ks James Surowiecki: Wisdom of the Crowds. 2