Avainsanat: matematiikan historia, geometria, trigonometria

Transkriptio

1 Tero Suokas OuLUMA sivu 1 Arkhimedes Syrakusalainen Avainsanat: matematiikan historia geometria trigonometria Luokkataso: 9 lk ja lukio Välineet: kynä paperia viivain harppi laskin Tavoitteet: Tehtävässä tutustutaan matematiikan historiaan ja sen yhteen merkkihenkilöön Arkhimedeeseen Samalla harjoitellaan geometrisen tehtävän ratkaisemista ja suorakulmaisen kolmion trigonometriaa Ohjeita opettajalle: Matematiikan historian tarinoiden on tarkoitus nostaa mielenkiintoa aihetta kohtaan Historiaosiota voi käyttää myös ilman tehtäviä johdantona esimerkiksi geometrian tuntien alussa Tehtävässä 1 ei ole tarkoituksena että oppilaat laskisivat jokainen itse kaikki vaihtoehdot Sen sijaan voidaan jakaa jokaiselle oma monikulmio jonka avulla tehtävä suoritetaan Ei tarvitse välttämättä pysytellä 5-6- tai 8-kulmioissakaan Tuloksia voidaan sitten vertailla ryhmissä jolloin huomataan että useampisivuisilla monikulmioilla arvio paranee Tehtävä on yksinkertaisempi mutta vaatii hieman hoksaamista

2 Tero Suokas OuLUMA sivu Arkhimedes (n 87eaa - n 1 eaa) Historian yhtenä suurimpana matemaatikkona pidetty Arkhimedes syntyi tuolloin osana antiikin Kreikan valtakuntaa olleella Sisilian saarella Hän sai oppinsa Egyptin rannikolla Alexandriassa mutta eli suurimman osan elämästään synnyinkaupungissaan Syrakusassa Matemaattisten saavutustensa lisäksi hän niitti mainetta myös fyysikkona tähtitieteilijänä ja keksijänä Arkhimedes oli aikaansa edellä monella tieteen eri alalla Hän oli ensimmäisiä jotka käyttivät matematiikkaa luonnonilmiöiden selittämiseen Fysiikassa hän tutki ja kehitti vivun tasapainosääntöjä ja hydrostatiikkaa eli Arkhimedes (Dr Manuel Wikimedia Commons) tasapainotilassa olevan nesteen ominaisuuksia Nosteeseen liittyvä lainalaisuus onkin nimetty Arkhimedeen laiksi Arkhimedeen kotikaupunki Syrakusa joutui vuosina 14 eaa-1 eaa Rooman valtakunnan sotilaiden piirittämäksi Koko piirityksen ajan hän auttoi keksimällä kaupungin puolustamiseksi nerokkaita sotalaitteita kuten katapultteja köysiä väkipyöriä ja koukkuja joilla hän sai kaadettua roomalaisia laivoja tai nostettua niitä ilmaan ja iskettyä niitä kallioita vasten Arkhimedeen laki Arkhimedeen lakiin liittyy ehkä tunnetuin Arkhimedeestä kerrottu tarina Sen mukaan Syrakusan kuningas oli tilannut kultasepältään kultaisen kruunun ja epäilleen että tämä on sekoittanut kultaan halvempaa hopeaa Kuningas antoi Arkhimedeelle tehtäväksi selvittää oliko kruunu aitoa kultaa Kruunun hankalan muodon vuoksi sen tilavuus oli vaikea määrittää sulattamatta sitä Kertoman mukaan Arkhimedes olisi huomannut kylpiessään että vedenpinta nousi kun hän upottautui kylpyammeen veteen Tästä hän päätteli että syrjäytetyn veden tilavuus on sama kuin siihen upotetun kappaleen tilavuus Ideastaan riemastuneena Arkhimedeen kerrotaan hypänneen ylös kylvystään juosseen alasti Syrakusan kaduilla ja huutaneen "Heureka!" joka suomennettuna tarkoittaa suurinpiirtein "Olen keksinyt sen!" Upottamalla kruunun veteen hän sai selvitettyä sen tilavuuden ja sitä kautta tiheyden jota voitiin nyt verrata kullan tiheyteen Keksijänä Arkhimedes palveli yleensä kotikaupunkinsa tarpeita Tarinan mukaan Syrakusan kuninkaalle oli rakennettu laiva joka oli liian suuri ja painava vesille laskettavaksi Arkhimedes onnistui kuitenkin vipuvoimaa ja väkipyöriä käyttämällä saamaan laivan liikkeelle Hänen sanotaan kehuskelleen että mikäli hänellä olisi riittävän pitkä vipu ja kiintopiste niin hän vipuaisi Maan pois radaltaan Toinen

3 Tero Suokas OuLUMA sivu laivan suuruuden mukana tuoma ongelma oli se että sen rakosista vuosi vettä joka piti jollain keinolla saada pois laivasta Arkhimedes keksi käyttää sylinterin sisään mahdutettua ruuvin muotoista metallikierrettä jolla vesi saatiin nostettua pois laivan ruumasta Menetelmä on edelleen käytössä ja sitä kutsutaan Arkhimedeen ruuviksi Arkhimedes ja matematiikka Arkhimedeen ruuvi (lanmacm Wikimedia Commons) Matematiikassa Arkhimedes oli kiinnostunut eritoten geometriasta Hän laski vaikeitakin pinta-aloja ja tilavuuksia menetelmillä joita voidaan pitää modernin differentiaali- ja integraalilaskennan esiasteena Ympyrän kehän ja halkaisijan suhteen eli piin likiarvon hän määritti käyttämällä niin sanottua ekshaustiomenetelmää Hän piirsi ensin ympyrän sisään mahdollisimman suuren monikulmion Sen jälkeen hän piirsi mahdollisimman pienen sellaisen monikulmion jonka sisälle ympyrä mahtui Lisäämällä monikulmioiden sivuja hän sai yhä tarkempia arvioita ympyrälle Arkhimedeen käyttämä ekshaustiomenetelmä säännöllisillä viisi- kuusi- ja kahdeksankulmioilla Päästyään 96-kulmioihin Arkhimedes laski monikulmioiden sivut yhteen ja sai näin likiarvon ympyrän kehän pituudelle Tämän jälkeen hän jakoi kehän pituuden arvion ympyrän halkaisijalla ja osoitti näin että piin likiarvo osuu lukujen ja välille Mikäli hän käytti laskelmissaan näiden keskiarvoa hän pääsi 9999 prosentin laskutarkkuuteen Samalla hän osoitti myös että ympyrän pinta-ala on piin ja ympyrän säteen neliön tulo eli A πr Tehtävä 1: Muodostakaa kolmen hengen ryhmiä Laskekaa piille likiarvo käyttäen hyväksi ympyrän sisä- ja ulkopuolelle piirrettyjä viisi- kuusi- ja kahdeksankulmioita siten että yksi oppilas saa aina yhden monikulmion vastuulleen Sisälle piirretystä monikulmiosta saatte alarajan ja ulos piirretystä ylärajan piille

4 Tero Suokas OuLUMA sivu 4 Vaikka Arkhimedes oli parhaiten tunnettu keksijänä hän itse ei arvostanut nerokkaita laitteitaan yhtä korkealle kuin ajatustensa tuotoksia Suurimmaksi saavutuksekseen hän itse mainitsi pallon ja sitä ympäröivän lieriön tilavuuksien suhteen määrittämisen Tehtävä : Määritä pallon ja sitä ympäröivän lieriön tilavuuksien suhde Arkhimedeellä oli myös käytössään suuria lukuja varten kehittämänsä lukuun myriad (10 000) perustuva paikkajärjestelmä jonka avulla hän arvioi maailmankaikkeudessa olevien hiekanjyvästen lukumäärää päätyen tulokseen Hän kuitenkin pystyi merkitsemään järjestelmällään sellaisiakin lukuja joiden kirjoittamiseen tarvittaisiin 80 tuhatta miljoonaa miljoonaa numeroa Arkhimedeen kuolema Arkhimedes kuoli 75-vuotiaana roomalaisen sotilaan surmaamana Tarinan mukaan hän oli uppoutunut johonkin matemaattiseen ongelmaan eikä suostunut lopettamaan kun eräs roomalainen sotilas vaati häntä lähtemään mukaansa Arkhimedes pyysi sotilasta odottamaan hetken ettei ongelma jäisi ratkaisematta Sotilas ei ymmärtänyt tätä ja surmasi hänet Legendan mukaan Arkhimedeen viimeisiksi sanoiksi jäi "Älä sotke ympyröitäni!" Arkhimedes oli toivonut ennen kuolemaansa että saisi hautakiveensä kuvan pallosta ja sitä ympäröivästä lieriöstä Sotaa Syrakusaa vastaan johtanut roomalaiskenraali totetutti tuon toiveen ja näin Arkhimedes sai tärkeimpänä saavutuksenaan pitämänsä idean kuvatuksi hautakiveensä

5 Tero Suokas OuLUMA sivu 5 Ratkaisut Tehtävä 1: Viisikulmio: Ympyrän sisään piirretty viisikulmio voidaan jakaa viideksi samanlaiseksi tasakylkiseksi kolmioksi Kolmion kylkenä on ympyrän säde r ja kantana viisikulmion sivu a Koska kolmiot ovat yhteneviä niin 60 β 7 5 Tällöin kulma α saadaan yhtälöstä α β 180 eli 180 β α 54 Piirretään kolmiolle korkeusjana jolloin syntyy suorakulmainen kolmio Tällöin a cos54 r a r cos54 Viisikulmion piiriksi ja samalla ympyrän kehän pituuden alarajaksi saadaan siis 5a 5 r cos54 10r cos54 Ympyrän kehän pituus lasketaan kaavalla jolloin saadaan yhtälö p πr Sijoitetaan saatu alaraja tähän 10r cos54 πr josta saadaan piille alaraja 10r cos54 π 5cos54 94 r

6 Tero Suokas OuLUMA sivu 6 Vastaavasti myös ympyrän ulkopuolelle piirretty viisikulmio voidaan jakaa viideksi yhteneväksi tasakylkiseksi kolmioksi Taas β 7 ja α 54 Nyt kolmion korkeusjana on ympyrän säde r ja kolmion kanta on edelleen viisikulmion sivun pituus a Saadaan r a a r Viisikulmion piiriksi ja tällä kertaa ympyrän kehän pituuden ylärajaksi saadaan r 10r 5a 5 Sijoitetaan saatu yläraja taas ympyrän kehän pituuden kaavaan jolloin saadaan josta saadaan piille yläraja 10r πr 10r π r 5 6 Kuusikulmio: Ympyrän sisään piirretty kuusikulmio puolestaan voidaan jakaa kuudeksi yhteneväksi tasakylkiseksi kolmioksi Tällöin 60 β 60 6 eli kolmio on tasasivuinen ja näin ollen α 60

7 Tero Suokas OuLUMA sivu 7 Piirretään taas kolmiolle korkeusjana kuten viisikulmiollekin Vastaavasti saadaan a r cos60 Kuusikulmion piiriksi eli ympyrän kehän alarajaksi saadaan nyt 6a 1r cos60 Sijoitetaan taas ympyrän kehän yhtälöön saadaan josta saadaan piille alaraja 1r cos60 πr 1r cos60 π 6cos60 r Sijoitetaan saatu yläraja taas ympyrän kehän yhtälöön saadaan Tästä saadaan edelleen piille ylärajaksi Ulkopuolelle piirretty kuusikulmio voidaan taas vastaavasti jakaa kuuteen yhtenevään tasasivuiseen kolmioon Edellisten tulosten nojalla saadaan kuusikulmion sivun pituudeksi r a tan 60 Edelleen saadaan ympyrän kehän ylärajaksi kuusikulmion piiri eli 1r πr tan 60 1r 6a tan 60 1r π r tan tan 60

8 Tero Suokas OuLUMA sivu 8 Kahdeksankulmio: Samaan tapaan kuin edellä ympyrän sisään piirretty kahdeksankulmio voidaan jakaa kahdeksaan tasakylkiseen kolmioon Huippukulmaksi saadaan nyt 60 β 45 8 Tällöin kulma α saadaan yhtälöstä 180 β α β 180 α 67 5 Edellisten kohtien nojalla saadaan nyt kahdeksankulmion sivun pituudeksi a r cos67 5 ja edelleen kahdeksankulmion piiriksi ja ympyrän kehän pituuden alarajaksi 8a 16r cos67 5 Tuttuun tapaan sijoitetaan saatu tulos ympyrän kehän yhtälöön jolloin saadaan ja tästä edelleen saadaan piille alarajaksi 16r cos675 πr 16r cos675 π 8cos r Edellisten kohtien nojalla saadaan ympyrän kehän ylärajaksi ympyrän ulkopuolelle piirretyn kahdeksankulmion piiri eli 16r 8a tan 675 ja edelleen sijoittamalla tämä ympyrän kehän yhtälöön saadaan 16r πr tan 675

9 Tero Suokas OuLUMA sivu 9 Tästä saadaan taas piille ylärajaksi 16r π r tan tan 675 Kootaan vielä tulokset yhteen: Alaraja Yläraja Viisikulmio 94 6 Kuusikulmio 46 Kahdeksankulmio 06 1 Huomataan että arvot alkavat lähestyä piin arvoa melko nopeastikin Tehtävä : Olkoon pallon säde r Pallon tilavuus on tällöin 4πr V pallo Lieriön tilavuus lasketaan yhtälöllä V lieriö Ah missä A on lieriön pohjan pinta-ala ja h sen korkeus Nyt lieriön pohjaympyrän säde on sama kuin pallon säde r eli pohjaympyrän pinta-alaksi saadaan πr Lieriön korkeus on sama kuin pallon halkaisija eli h=r Saadaan lieriön tilavuudeksi V lieriö Ah πr r πr Tilavuuksien suhde on siis V V pallo lieriö 4 πr πr 4