Ilmataisteluohjuksen ohjauslain identifiointi Bayesin. Mat Sovelletun matematiikan erikoistyöt

Transkriptio

1 Ilmataisteluohjuksen ohjauslain identifiointi Bayesin päättelyllä Mat-2.18 Sovelletun matematiikan erikoistyöt Jarno Ruokokoski 5792K 2. marraskuuta 26

2 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Ongelman kuvaus Väistötehtävä Vektorisuureita Laukaisijan dynamiikka Ohjauslait Suora takaa-ajo (Pure Pursuit, PP) Seurantalinjaohjaus (Command to Line-of-Sight,CLOS) Suhteellinen navigointi (Proportional Navigation, PN) 7 3 Ratkaisumenetelmät Tiheysfunktioiden valinta Numeeriset esimerkit Esimerkki Esimerkki Esimerkki 2a Esimerkki 2b Esimerkki 2c Yhteenveto 15 1

3 1 Johdanto Nykyaikaiset ilmataistelut ratkaistaan pääsääntöisesti ilmataisteluohjuksilla, jotka navigoivat kohti maalejaan käyttäen ennalta määrättyjä ohjauslakeja. Ohjuksenväistöongelmassa tutkitaan, kuinka maalin tulisi liikehtiä välttääkseen ohjuksen osuman. Tehokasta väistöä varten maalin tarvitsee tuntea ohjuksen ja laukaisijan parametrit, kuten sijaintitiedot, ohjuksen rakettimoottorin palovaiheet ja ohjuksen ohjauslain. Viitteen [3] menetelmällä voidaan ratkaista maalin optimaalinen trajektori valitun kriteerin suhteen, kun ohjuksen parametrit oletetaan tunnetuksi. Todellisessa tilanteessa maalin saamat tiedot ohjuksesta esimerkiksi tutkan avulla ovat vähäisiä ja niihin liittyy paljon epävarmuutta. Siksi yllä mainittu oletus on varsin väkevä. Tässä työssä tätä oletusta puretaan poistamalla maalilta tieto ohjuksen käyttämästä ohjauslaista. Tämä on varsin todenmukaista, sillä reaalimaailmassakaan mikään mittalaite ei kerro suoraan ohjuksen todellista ohjauslakia. Ohjauslakia voidaan kuitenkin yrittää identifioida seuraamalla tiettyjä ohjuksen trajektoriin liittyviä suureita, jotka saavat tyypillisesti eri arvoja eri ohjauslaeilla. Tällaisia suureita ovat esimerkiksi seurantalinjapoikkeama, eli ohjuksen poikkeama laukaisijan ja maalin väliseltä seurantalinjalta ja seurantakulma, eli ohjuksen nopeusvektorin ja ohjuksen ja maalin välisen näkölinjavektorin välinen kulma. Näiden suureiden perusteella voidaan päivittää uskomuksia ohjuksen ohjauslaista ohjuksen lähestyessä maalia. Tämä päivitys tehdään Bayesin päättelyllä. Samanlaista menetelmää on sovellettu ilmataistelua käsittelevässä artikkelissa [11], missä eri uhkatilojen todennäköisyyksiä päivitetään samassa hengessä. Uhkatilalla tarkoitetaan artikkelissa lentäjän taktista asemaa suhteessa vastustajaan. Luvussa 2 kuvaillaan ohjuksenväistöongelma ja esitellään lyhyesti käytetyt lentolaitemallit. Lisäksi luvussa määritellään seurantalinjapoikkeama ja seurantakulma, joiden avulla ohjauslakia yritetään selvittää sekä esitellään lyhyesti työssä sovelletut ohjauslait. Luvussa 3 esitellään menetelmä, jolla maali identifioi ohjuksen käyttämän ohjauslain. Luvussa 4 tutkitaan menetelmän toimivuutta numeeristen esimerkkien avulla. 2 Ongelman kuvaus Ohjuksenväistöongelmassa tutkitaan maalia lähestyvän ohjuksen tehokasta väistämistä. Ongelma ratkaistaan laskemalla lentokoneen optimaaliset ohjaukset, kun tavoitteena on maksimoida esimerkiksi kiinniottoaikaa [6], ohitusetäisyyttä [7], seurantakulmaa [2] tai sen kulmanopeutta [1]. Ensimmäisessä kriteerissä tavoitteena on maksimoida ajanhetki, jolloin ohjus on ennalta määrätyn etäisyyden r f päässä maalista. Tämän kriteerin käyttö on järkevää silloin, kun ohjus on laukaistu kinemaattisen kantamansa rajalta. 2

4 Toisella kriteerillä maali pyrkii pysymään ohjuksen tuhovaikutusalueen ulkopuolella. Kaksi viimeistä kriteeriä perustuvat ohjuksen hakupään rajoitteisiin. Näitä kriteereitä käytettäessä maali pyrkii liikehtimään siten, että seurantakulma tai seurantakulmanopeus kasvavat hetkellisesti niin suuriksi, että ohjuksen hakupään lukitus maaliin purkautuu, jolloin ohjus ei kykene enää navigoimaan maalia kohti. Tässä työssä käytetään kriteerinä ohitusetäisyyttä, koska tällä kriteerillä saatuja numeerisia tuloksia voidaan helposti vertailla keskenään. Myöskin kiinniottoajan maksimointi voisi käyttää. 2.1 Väistötehtävä Lentolaitteiden dynamiikat on kuvattu kolmen vapausasteen pistemassamalleilla [5]. Käytetty dynaaminen optimointitehtävä maksimietäisyydelle on muotoa max r(t f ) s.t. ẋ = f(x,u,t) x(t ) = x (1) g(x, u) v c (t f ) =, jossa loppuehtona on lähestymisnopeuden putoaminen nollaan. Tämä tilanne syntyy juuri sillä rajalla, kun ohjuksen lähestyminen maalia kohti muuttuu loittonemiseksi. Tällainen tilanne syntyy ennemmin tai myöhemmin, koska ohjuksen kiihtyvyys lakkaa polttoaineen loputtua, jolloin ohjus alkaa hidastua ja maali voi liikehtiä koko optimoinnin ajan vapaasti omien rajoitusehtojensa puitteissa. Tilayhtälöt ja rajoitusehdot on esitelty viitteessä [3]. Tehtävässä on kuusi tilayhtälöä maalille ja kahdeksan yhtälöä ohjukselle. Koneen tilamuuttujat ovat x a - ja y a -koordinaatit ja korkeus h a, sekä ratakulma γ a, suuntakulma χ a ja lentonopeus v a. Ratakulma on nopeusvektorin ja xy-tason välinen kulma ja suuntakulma nopeusvektorin ja xz-tason välinen kulma. Lentokonetta ohjataan kolmella ohjausmuuttujalla: kohtauskulmalla α α max kallistuskulmalla µ ja kaasuasetuksella η 1. Kallistuskulma on koneen kiertymä keskiakselin ympäri. Kohtauskulma on lentokoneen keskiakselin ja nopeusvektorin välinen kulma. Ohjaus- ja tilamuuttujia on havainnollistettu kuvassa 1. Kuvan musta piste esittää lentokoneen massakeskipistettä ja pisteestä lähtevät katkoviivoitukset koneen siipien kärkien kautta kulkevaa akselia ja keskiakselia. Ohjuksen kuuden ensimmäisen tilamuuttujien tulkinnat ovat samat kuin lentokoneen dynamiikassa. Kaksi jäljellä olevaa tilamuuttujaa ovat pituusja leveyssuunnan kallistuksien kiihtyvyyskomponentit a p ja a y, joita vastaavat vektorit ovat kohtisuorassa ohjuksen nopeusvektoria vastaan siten, että a y -akseli on aina xy-tason suuntainen. Näitä vektoreita on havainnollistettu 3

5 µ η h γ a α v a v h = v a sinγ a y v x = v a cos γ a cos χ a χ a v y = v a cos γ a sin χ a Kuva 1: Lentokoneen tila- ja ohjausmuuttujat x a p h v m y a y Kuva 2: Ohjuksen pituus- ja sivusuunnan kallistuksien kiihtyvyyskomponentit x 4

6 kuvassa 2. Ohjusta ohjataan kahdella ohjausmuuttujalla, komennetuilla sivuttaiskiihtyvyyksillä a pc ja a yc, jotka määräytyvät käytetyn ohjauslain mukaisesti ja vaikuttavat viiveellä suoraan sivuttaiskiihtyvyyskomponentteihin a p ja a y. 2.2 Vektorisuureita r lm e r δ r lt v m v a v l Kuva 3: Ohjuksenväistöongelman geometria Ohjuksen trajektorista tarkkaillaan seurantalinjapoikkeamaa e ja seurantakulmaa δ, joiden avulla päivitetään maalin uskomuksia ohjuksen todellisesta ohjauslaista. e on minimietäisyys ohjuksesta seurantalinjalle r lt. δ on ohjuksen ja maalin välisen näkölinjavektorin r ja ohjuksen nopeusvektorin v m välinen kulma. Kuvan 3 ohjukseen osoittava seurantalinjavektoria vastaan kohtisuorassa oleva vektori on muotoa e = r lmrlt + r lm, (2) missä r lm on vektori laukaisijasta ohjukseen ja r lmrlt on r lm :n vektoriprojektio r lt :lle. r lt on seurantalinjavektori, eli vektori laukaisijasta maaliin. e on e-vektorin pituus. δ on muotoa δ = arccos(1 r 1 vm ), (3) missä 1 r ja 1 vm ovat r:n ja v m :n suuntaisia yksikkövektoreita. Kuvan 3 v l ja v t ovat laukaisijan nopeusvektori ja maalin nopeusvektori. 2.3 Laukaisijan dynamiikka Seurantalinjapoikkeaman e laskemiseksi tarvitaan ohjuksen ja maalin tilatietojen lisäksi laukaisijan paikkakoordinaatit. Tässä työssä laukaisijan ole- 5

7 tetaan etenevän vakionopeudella v m, vakioratakulmalla γ m ja vakiosuuntakulmanopeudella χ l laukaisuhetkestä eteenpäin. Laukaisijan dynamiikka on muotoa ẋ = v m cos γ m cos(χ m + χ l t) (4) ẏ = v m cos γ m sin(χ m + χ l t) (5) ḣ = v m sin γ m, (6) minkä ratkaisuna saatava laukaisijan paikkavektori on muotoa v m cos γ m ( ) χ l sin( χl t + χ m ) sin χ m + xm v m cos γ m ( ) χ l cos( χl t + χ m ) + cos χ m + ym kun χ l x l (t) = v m sin γ m t + h m v m cos γ m cos(χ m )t + x m v m cos γ m sin(χ m )t + y m kun χ l =. v m sin γ m t + h m (7) 2.4 Ohjauslait Tässä luvussa esitellään työssä sovelletut ohjuksen mahdolliset ohjauslait. Ohjauslaki laskee komennetun kiihtyvyysvektorin, josta kommennetut sivuttaiskiihtyvyydet saadaan projisoimalla vektori pituus- ja leveyssuunnan kallistuksien kiihtyvyysakseleille viiittessä [3] esitetyllä tavalla Suora takaa-ajo (Pure Pursuit, PP) Suoraa takaa-ajoa käyttävän ohjuksen nopeusvektori suunnataan kohti maalia [9]. Komentovektori on muotoa (v m r) v m a c,pp = kv m δ (v m r) v m, (8) missä k on navigointivakio ja δ on kaavan (3) mukainen seurantakulma Seurantalinjaohjaus (Command to Line-of-Sight,CLOS) Seurantalinjaohjauksessa ohjus pyritään pitämään maalin ja ohjuksen laukaisseen koneen välisellä seurantalinjavektorilla r lt (ks. kuva 3) [9]. Komentovektori on muotoa a c,clos = k 1 e + k 2 ė + k 3 a cor, (9) 6

8 missä k 1,k 2 ja k 3 ovat navigointivakioita, e on kuvan 3 mukainen poikkeamavektori ja ė on edellä mainitun vektorin muutosnopeusvektori, joka on muotoa ė = w lt r lmrlt (1 rlt v m ) 1 rlt, (1) missä ensimmäinen termi on laukaisijan ja maalin liikeiden aiheuttama e:n muutosnopeus ja jälkimmäinen termi ohjuksen aiheuttama muutosnopeus. Kaavassa (1) 1 rlt on laukaisijan ja maalin välisen näkölinjavektorin yksikkövektori. Kaavassa (9) a cor on seurantalinjavektorin kiertymisestä johtuva coriolistermi a cor = w lt v m r lt r lt 2. (11) Kaavoissa (1) ja (11) w lt on seurantalinjavektorin maalin ja laukaisijan välisestä lähestymisnopeusvektorista aiheutuva kulmanopeusvektori w lt = r lt (v a v l ) r lt r lt. (12) Tässä työssä ei etsitty kaikkiin alkutiloihin sopivia navigointivakioita k1,k2 ja k3. Varmaa on, että vakioiden oikea valinta on hyvin olennaista ohjauslain toimivuuden kannalta ja niiden täytyy olla tilariippuvia. Koska toimivia navigointivakioita ei ollut käytössä, ei luvun 4 esimerkissä kaksi anneta tätä ohjauslakia käyttävää esimerkkiä Suhteellinen navigointi (Proportional Navigation, PN) Suhteellinen navigointi perustuu ideaaliseen tilanteeseen, jossa maali lentää vakionopeudella suuntansa säilyttäen. Tällöin ohjus laukaistaan ja pyritään pitämään sellaisessa ennakkokulmassa δ, että se on törmäyskurssilla maaliin nähden. Oikeasti monimutkaisemmassa tilanteessa ohjus pyritään pitämään törmäyskurssilla maaliin säätämällä seurantakulmakiihtyvyyttä kohti nollaa. Suhteellisesta navigoinnista on useita variaatioita, joista tässä työssä käytetään ideaalista (ideal proportional navigation, IPN [9], [12]), puhdasta (pure proportional navigation, PPN [9]) ja todellista (true proportional navigation, TPN [9]) suhteellista navigointia. Komentovektorit ovat muotoa a c,ipn = Nw v c (13) a c,ppn = Nw v m (14) a c,tpn = Nv m w 1 r, (15) missä w = r ( v c) r r 7 (16)

9 on lähestymisnopeusvektorin aiheuttama näkölinjavektorin kulmanopeusvektori. Lähestymisnopeus on muotoa v c = ṙ = missä N [3, 5] navigointivakio. [ ẋ m ẋ a ẏ m ẏ a ḣ m ḣa] T, (17) 3 Ratkaisumenetelmät Viitteessä [3] esitetty ratkaisumenetelmä laskee optimiohjaukset etenevän horisontin ohjausmenetelmällä, joka ratkaisee maalin ohjaukset diskreetille ajanhetkelle t k = k t, missä k on ajanhetken indeksi ja t on päätöksentekohetkien välinen aika. Etenevän horisontin tehtävässä tilasta x(t k ) ajanhetkellä t k lasketaan optimaaliset avoimen silmukan ohjaukset maalille aikavälin [t k,t k + T] yli, missä T on horisontin pituus. Saatu epälineaarinen optimointitehtävä ratkaistaan suoralla ammuntamenetelmällä diskretoimalla suunnitteluhorisontti t k = t k < t1 k <... < tn k = t k + T, (18) missä N on diskretointipisteiden lukumäärä ja parametrisoimalla ohjaukset u i k = ui (t k ). Suunnitteluhorisontin aika-askelten pituus ei ole vakio, vaan muotoa t i+1 k t i k = t + qi t, i =,1,...,N 1, (19) missä q on aikavälin kasvunopeus, jolloin voidaan käyttää pidempiä suunnitteluhorisontteja vähemmillä integrointiaskelten määrillä. Etenevän horisontin tehtävä tuottaa ratkaisunaan optimaaliset avoimen silmukan ohjaukset aikavälille [t k,t k +T]. Niistä otetaan ensimmäiset ohjaukset ja päivitetään niillä tilaa aikavälin t [t k,t k+1 ] yli tilayhtälöitä eksplisiittisesti integroimalla. Ajanhetkellä t k+1 muodostetaan etenevän horisontin tehtävä ja ratkotaan se kuten edellä ja käytetään saatuja ensimmäisiä ohjauksia ajanhetken t [t k+1,t k+2 ] yli. Tätä prosessia toistetaan jokaisella päätöksentekohetkellä, jolloin saadaan ohjaukset takaisinkytketyssä muodossa ajanjakson [t,t f ] yli siten, että ohjaukset päivittyvät vain diskreeteillä ajanhetkillä t k. Mikäli on odotettavissa, että ohjus saavuttaa maalin suunnitteluhorisontin loppuun mennessä, tehdään tasavälinen diskretointi arvioituun loppuaikaan t f asti ja ratkaistaan avoimen silmukan ohjaus koko aikavälin [t k,t f ] yli. Saatuja ensimmäisiä ohjauksia käytetään kuten edellä ja seuraavalla ajanhetkellä käytetään yhtä diskretointipistettä vähemmän. Prosessia toistetaan kunnes saavutaan tilanteeseen, jossa diskretointipisteitä on enää yksi jäljellä, 8

10 jolloin loppuaika vapautetaan, ja käytetään avoimen silmukan optimoinnin tuottamia ohjauksia loppuun asti. Koska päätös ohjauksista tehdään jokaisella päätöksentekohetkellä t k erikseen, on mahdollista käyttää joka kerta erilaista dynamiikkaa. Toisin sanoen jokaisella päätöksentekohetkellä voidaan käyttää sen hetken tilan perusteella laskettuja arvoja ohjauslakien uskomuksista uusien ohjauksien laskennassa. Uskomuksien laskenta etenee käytännössä siten, että ensimmäiselle päätöksentekohetkelle jokaiselle tässä työssä sovellettavalle ohjauslaille i kiinnitetään etukäteen valittu todennäköisyys P(i δ,e ) = i siten että kaikkien uskomusten summa on 1. Lennon alussa ajanhetkillä t [t,t a ] uskomuksia ei päivitetä, koska tällöin seurantalinjapoikkeama e on aina lähellä nollaa ja seurantakulma δ lähellä laukaisukulmaa. Myöhemmillä päätöksentekohetkillä t k > t a uskomuksia päivitetään Bayesin kaavasta [1] P k (i δ k,e k ) = P k (i)p k (δ k,e k i) 3 j=1 P k(j)p k (δ k,e k j) (2) johdetulla kaavalla P k (i δ k,e k ) = P k 1 (i δ k,e k )p k (δ k,e k i) 3 j=1 P k 1(j δ k,e k )p k (δ k,e k j), (21) missä i {PP,CLOS,PN} ja k on ajanhetken indeksi. Bayesin kaavan todennäköisyydet P k (δ k,e k ) on korvattu ehdollistetuilla tiheysfunktioilla p k (δ k,e k ) viitteen [8] nojalla. Lisäksi Bayesin kaavan prioritodennäköisyydet P k ( ) on korvattu edellisen vaiheen posteriori-uskomuksilla P k 1 (j δ k,e k ), koska ne ovat yhtä suuria. PN tarkoittaa mitä tahansa suhteellisen navigoinnin variaatioista IPN, PPN ja TPN, sillä tässä työssä maali ei erottele niitä toisistaan. Oletetaan, että ehdollistetut satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, jolloin p k (δ k,e k i) = p(δ k i)p(e k i), (22) missä p( ) on ehdollinen todennäköisyys. Tästä oletuksesta voi aiheutua virhettä, sillä todellisuudessa ehdollistetut satunnaismuuttujat eivät ole toisistaan riippumattomia. Mutta numeeristen esimerkkien valossa ohjuksen todellinen ohjauslaki valikoituu nopeasti tutkittavien ohjauslakien joukosta tälläkin oletuksella, jolloin virhekään ei voi olla liian merkittävä. Lisäksi oletetaan, että e k ja δ k ovat jatkuvia satunnaismuuttujia. Lennon viimeisten sekuntien aikana (t b t t f ) uskomusten päivittäminen lopetetaan, sillä e pienenee ja yleensä δ kasvaa hyvin voimakkaasti. Hetkestä t b eteenpäin käytetään siis hetkellä t b saatuja arvoja. t b kiinnitetään siksi ajanhetkeksi t k, kun on ensimmäisen kerran mahdollista, että ohjus saavuttaa maalin suunnitteluhorisontin T loppuun mennessä. 9

11 Kun uskomukset on määritetty ajanhetkelle t k, käytetään kahta eri menetelmää ohjukseen sovellettavan komentovektorin määrittämiseksi. Jälkimmäinen menetelmistä on realistisempi. 1. Maksimisääntö. Maali valitsee päätöksentekohetkellä t k ohjauslain i, jonka saama ehdollinen todennäköisyys P k (i δ k,e k ) on suurin. 2. Odotusarvosääntö. Ohjukseen sovellettava ohjauslaki määritetään painotettuna keskiarvona eri ohjauslakien yli. a c = P k (i δ k,e k )a c,i, (23) missä a c,i on ohjauslain i antama komentovektori. 3.1 Tiheysfunktioiden valinta Menetelmän toimivuuden kannalta on tärkeää valita ehdollistetut tiheysfunktiot huolella. Tiheysfunktion massan on painotuttava alueille, missä e tai δ saavat tyypillisimpiä arvoja kyseisellä ohjauslailla. Seuraavaksi perustellaan, miten eri ohjauslakien ehdollistetut tiheysfunktiot tulisi valita. Koska CLOS pyrkii pitämään ohjuksen seurantalinjavektorilla r lt, on ohjuksen poikkeama e tästä vektorista pieni (e 1m). Lisäksi CLOS:in δ on pienehkö ajanjaksolla [t a,t b ], koska suuret δ:n arvot johtavat e:n kasvamiseen. Tässä päättelyssä täytyy kuitenkin olettaa, että seurantalinjavektorin kulmanopeus on pieni, toisin sanoen laukaisija ja maali ovat kaukana toisistaan koko takaa-ajon ajan. Käytännössä näin aina onkin. Sopivaksi tiheysfunktioksi δ:lle valitaan siis suurimmat arvonsa nollan lähellä saava funktio. Suhteellisella navigoinnilla ohjautuva ohjus säilyttää tyypillisesti ennakkokulman δ. Tiheysfunktioksi δ:lle voidaan siis valita funktio, joka saa suurimmat arvonsa ennakkokulman läheisyydessä. Mikäli δ on kuitenkin lähellä nollaa, kasvatetaan ehdollistetun tiheysfunktion jakaumassa käytettyä δ :aa hieman. Ohjauslaki ei navigoi e:n funktiona, jolloin voimme käyttää tasajakaumaa tiheysfunktiona e:lle. Tässä työssä ei ole yritetty erottaa suhteellisen navigoinnin eri variaatioita, sillä niiden e:n ja δ:n kuvaajat eivät juuri poikkea toisistaan. Työtä voisi laajentaa tutkimalla, voiko tämän erottelun tehdä luotettavasti, ja onko siihen yleensä tarvetta. Jos maali uskoo ohjuksen käyttävän jollakin päätöksentekohetkellä suhteellista navigointia, valitaan puhdas suhteellinen navigointi (PPN). Muutkin variaatiot voisivat tulla kyseeseen. PP-laki pyrkii pitämään ohjuksen suunnattuna koko ajan maaliin, joten δ pysyy lähellä nollaa; ehdollistetuksi tiheysfunktioksi δ:lle valitaan suurimmat arvonsa nollan lähellä saava funktio. PP-lain δ on tyypillisesti voimakkaammin lähellä nollaa kuin CLOS-lailla. Näin ollen tiheysfunktion on saatava 1

12 vielä suurempia arvoja lähellä nollaa kuin CLOS:in tapauksessa. Myöskään tämä laki ei navigoi e:n funktiona, jolloin tasajakauma soveltuu ehdollistetuksi tiheysfunktioksi e:lle. Tässä työssä käytetyt tiheysfunktiot on esitetty taulukossa 1. Funktiot ovat suuntaa antavia. Jakaumissa olevat vakioparametrit a,b ja c on määritetty simulointien perusteella, jolloin arvoiksi saatiin a = 7, b =.4 ja c = 4. Myöskin tasajakaumat on valittu simulointien perusteella, jolloin tiheysfunktiot ovat välillä [, 13m] taulukon mukaisia, muualla nollaa. PN:n δ : n funktioksi valitaan Gamma-jakauma parametrien arvoilla α = 2 ja β = δ [4]. Jakauma saa suurimmat arvonsa pisteen δ läheisyydessä. Kuvassa 4 on esitetty p(δ PN) kun δ = 2. Ohjauslaki i p(e i) p(δ i) 1 PPU 13 ae aδ CLOS be be ce cδ 1 PN 13 e δ/δ δ δ 2 Taulukko 1: Ehdollistetut tiheysfunktiot P Kuva 4: Ehdollistettu jakauma p(δ PN) 11

13 4 Numeeriset esimerkit Tässä kappaleessa demonstroidaan työssä esitellyn menetelmän toimivuutta numeeristen esimerkkien avulla. Ensimmäisessä esimerkissä tutkitaan, millaisia arvoja e ja δ saavat tyypillisesti. Toisessa esimerkissä suoritetaan päivityksiä kolmelle edustavalle alkutilalle käyttäen luvussa 3 esitettyjä maksimija odotusarvosääntöjä. Esimerkeissä käytetyt navigointivakiot ovat suhteelliselle navigoinnille N = 4, seurantalinjaohjaukselle k 1 = 5 + 9a(t k ),k 2 = 7 3a(t k ), k 3 = 3 + 3a(t k ), missä a(t k ) on alkuhetken ja ajanhetken t k etäisyyden erotuksen ja alkuetäisyyden välinen suhde ja suoralle takaa-ajolle k = Etenevän horisontin ohjausmenetelmässä parametrit ovat N = 8, t =.25s, q =.25, jolloin horisontin pituudekse saadaan T = 3.5s. Ohjauslakiuskomuksia ei päivitetä ensimmäisten 2.75 sekunnin aikana. Päivittäminen lopetetaan silloin, kun ensimmäisen kerran näyttää siltä, että ohjus voi saavuttaa maalin suunnitteluhorisontin loppuun mennessä. 4.1 Esimerkki 1 Analysoidaan, millaisia arvoja saavat seurantalinjapoikkeama e ja seurantakulma δ tyypillisesti eri ohjauslaeilla. Lentokoneen ja ohjuksen alkukorkeudet ja nopeudet ovat h a = h m = 6m, v a = 2 ja v m = 3m/s. Lisäksi x m = 155m, x a =, y a = y m =, γ a = γ m = ja χ a = 45, χ m = 16. Laukaisijan suuntakulmanopeus χ l on /s ja maali tietää ohjuksen ohjauslain. Kuvassa 5 on esitetty tuloksina saadut e:n ja δ:n kuvaajat ajan funktiona. Kuvaajien käyrät noudattavat kullekin ohjauslaille tyypillistä käyttäytymistä. Muilla alkutiloilla saadaan tyypillisesti samankaltaisia tuloksia. 4.2 Esimerkki 2 Tutkitaan kuinka ohjauslain identifiointi onnistuu erilaisilla alkutiloilla käyttäen luvussa 3 esitettyjä maksimisääntöä ja odotusarvosääntöä ohjuksen komentovektorin arvioimiseksi. Tutkitaan kolmea edustavaa alkutilaa ja piirretään ehdollistettujen todennäköisyyksien arvot kullakin päätöksentekohetkellä samaan kuvaajaan. Jokaisesta alkutilasta on esitetty kuva, jossa vasemmalla puolella on käytetty maksimisääntöä ja oikealla odotusarvosääntöä. Ehdollistettujen todennäköisyyksien alkuarvot ovat P(CLOS δ,e ) = P(PP δ,e ) =.33 ja P(PPN δ,e ) =.34. (24) 12

14 9 8 delta 1 9 e delta[deg] 5 4 e[m] (a) PP-laki:δ 8 16 (b) PP-laki:e 9 8 delta 1 9 e delta[deg] 5 4 e[m] (c) CLOS-laki:δ (d) CLOS-laki:e 9 8 delta 1 9 e delta[deg] 5 4 e[m] (e) PPN-laki:δ 8 16 (f) PPN-laki:e Kuva 5: Tutkittavien suureiden e ja δ tyypillisiä arvoja lennon aikana Esimerkki 2a Tässä esimerkissä alkutila on h a = h m = 6m, v a = v m = 3m/s, x m = 15m, x a = y a = y m =, γ a = γ m = ja χ a = χ m = 18. Ohjuksen kiihtyvyyskomponentit ovat a p = a y =. Laukaisijan suuntakulmanopeus χ l on 3 /s ja ohjus navaigoi PPN-lailla. Ohjus laukaistaan suoraan maalin takaa, jolloin δ pysyy kauan lähellä nollaa. Tästä aiheutuu 13

15 1.9.8 PP CLOS PN PP CLOS PN.7.7 todennäköisyys todennäköisyys (a) Maksimisääntö,ohitusetäisyys: 6.65m (b) Odotusarvosääntö,ohitusetäisyys: 7.22m Kuva 6: Uskomusjakaumien historia esimerkissä 2a ohjuksen todellisena ohjauslakina PPN PP CLOS PN PP CLOS PN.7.7 todennäköisyys todennäköisyys (a) Maksimisääntö,ohitusetäisyys: 43.7m (b) Odotusarvosääntö,ohitusetäisyys: 46.41m Kuva 7: Uskomusjakaumien historia esimerkissä 2b ohjuksen todellisena ohjauslakina PP PP-laille piikki ajanjaksolla t [2.75,5.5] Esimerkki 2b Tässä esimerkissä alkutila on h a = h m = 6m, v a = v m = 3m/s, x m = 11m, x a = y a = y m =, γ a = γ m = ja χ a = 9,χ m = 16. Ohjuksen kiihtyvyyskomponentit ovat a p = a y =. Laukaisijan suuntakulmanopeus χ l on 2 /s ja ohjus navigoi PP-lailla. Ohjus laukaistaan suoraan maalin sivulta ennakkokulmaan δ = Esimerkki 2c Tässä esimerkissä alkutila on h a = h m = 5m, v a = v m = 3m/s, x m = 155m, x a = y a = y m =, γ a = γ m = ja χ a =,χ m = 14

16 1.9.8 PP CLOS PN PP CLOS PN.7.7 todennäköisyys todennäköisyys (a) Maksimisääntö,ohitusetäisyys: 2.73m (b) Odotusarvosääntö,ohitusetäisyys: 4.2m Kuva 8: Uskomusjakaumien historia esimerkissä 2c ohjuksen todellisena ohjauslakina IPN 17. Ohjuksen kiihtyvyyskomponentit ovat a p = a y =. Laukaisijan suuntakulmanopeus χ l on 4 /s ja ohjus navigoi IPN-lailla. Ohjus laukaistaan suoraan maalin edestä ennakkokulmaan δ = 1. Kuvaajien yhteydessä mainitun ohitusetäisyyden perusteella näyttää, että maalin kannattaa käyttää odotusarvosääntöä, sillä se johtaa parempiin tuloksiin ohitusetäisyyden osalta silloin, kun ohjuksen todellinen ohjauslaki on jokin muu kuin alkujakauman suurimman todennäköisyyden saanut ohjauslaki. Odotusarvosäännön paremmuus johtuu osittain siitä, että maksimisääntö valitsee tässä työssä ensimmäisten sekuntien aikana 67%:n todennäköisyydellä täysin väärän ohjauslain. Kun alkujakauman suurin todennäköisyys on ohjuksen todellisen ohjauslain kohdalla, niin maksimisääntö on yleensä parempi kuin odotusarvosääntö. Esimerkeissä 2a ja 2c odotusarvosääntö on kuitenkin edelleen parempi. Ristiriitaiset tulokset johtuvat osittain siitä, että lopussa käytetty diskretointiaskeleen pituus vaikuttaa numeeriseen tarkkuuteen paljon. Lisäksi virhettä syntyy, kun etenevän horisontin tehtävä ei tuota aina globaalia optimiratkaisua [3], eikä maalin uskomus ollut aivan kaikilla päätöksentekohetkillä oikea. 5 Yhteenveto Tässä työssä esiteltiin, kuinka ohjuksenväistöongelmassa maali voi identifioida ohjuksen ohjauslain luotettavasti ohjuksen trajektorin perusteella. Tutkimuksessa oletettiin, ettei maali tiedä ohjuksen käyttämää ohjauslakia. Ohjauslain selvittäminen on kuitenkin oleellista, sillä sen tunteminen on välttämätöntä onnistuneen väistämisen kannalta. Tässä työssä identifiointi suoritettiin Bayesin päättelyllä. Tuloksista havaittiin, että ohjauslain identifiointi onnistuu luotettavasti ja melko pian ohjuk- 15

17 sen laukaisuhetkestä työssä käytettyjen ohjauslakien joukosta. Lisäksi havaittiin, että maalin kannattaa käyttää odotusarvosääntöä. Tämä työ jättää jälkeensä useita avoimia kysymyksiä. Mitä navigointivakioita kannattaisi käyttää seurantalinjaohjauksessa? Voiko suhteellisen navigoinnin variaatiot erottaa toisistaan, ja onko se yleensä edes tarpeen? Voiko systeemiä laajentaa siten, että ohjuksen mahdolliset ohjauslait sisältävät moderneja ohjauslakeja, kuten lineaarisneliöllisen ohjauslain Riccatin yhtälöineen [9]? Näiden kysymysten vastausten etsiminen tarjoaa oivallisia lisätutkimuksen aiheita. Viitteet [1] Andrew Gelman, John B. Carlin, Hal S. Stern, Donald B. Rubin; Bayesian Data Analysis; 2. painos; Chapman & Hall/CRC; 24. [2] Fumiaki Imado, Susumu Miwa; Fighter Evasive Maneuvers Against Proportional Navigation Missile; Journal of Aircraft 23(11):825 83; [3] Janne Karelahti, Kai Virtanen, Tuomas Raivio; Near-Optimal Missile Avoidance Trajectories via Receding Horizon Control; käsikirjoitus; 25. [4] Pertti Laininen; Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen; s. 92; 5. painos; Otatieto; 21. [5] Angelo Miele; Flight Mechanics Volume 1: Theory of Flight Paths; Addison-Wesley, Reading, MA; [6] Tuomas Raivio, Harri Ehtamo; On the Numerical Solution of a Class of Pursuit-Evasion Games; Annals of the International Society of Dynamic Games 5: ; 2. [7] Tuomas Raivio, Jukka Ranta; Optimal Missile Avoidance Trajectory Synthesis in the Endgame; teoksessa Proceedings of the AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference; ss. 1 11; AIAA, Monterey, California; myös AIAA:n paperi ; 22. [8] Sheldon Ross; A First Course in Probability; s. 293; 7. painos; Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ; 26. [9] Neryahu A. Schneydor; Missile Guidance and Pursuit; Horwood Publishing, Chichester;

18 [1] Leena Singh; Autonomous Missile Avoidance using Nonlinear Model Predictive Control; teoksessa Proceedings of the AIAA Guidance, Navigations, and Control Conference; ss. 1 15; AIAA, Providence, Rhode Island; myös AIAA:n paperi ; 24. [11] Kai Virtanen, Janne Karelahti, Tuomas Raivio; Modeling Air Combat by a Moving Horizon Influence Diagram Game; Journal of Guidance, Control and Dynamics 29(3); 26. [12] Pin-Jar Yuan, Jeng-Shing Chern; Ideal Proportional Navigation; Journal of Guidance, Control and Dynamics 15(5): ;