Rakenneyhtälömallit (Structural Equation Models, SEM)

Transkriptio

1 Työpaja: Rakenneyhtälömallit (Structural Equation Models, SEM) Helsingin yliopisto Mikko Ketokivi /5

2 SISÄLLYSLUETTELO I. KURSSIN SISÄLTÖ JA AIKATAULU 3 II. KURSSIN KUVAUS JA TARVITTAVAT ESITIEDOT 4 III. MIKÄ ON AMOS? 5 IV. LYHYT AMOS-KÄYTTÄJÄN OPAS (VERSIO 4.0) 6 V. AINEISTON SYÖTTÄMINEN AMOS-OHJELMAAN 8 VI. OHJEITA GRAAFISEN ULKOASUN MUOKKAAMISEEN 9 VII. AMOS-ESIMERKIT 2/5

3 I. Kurssin sisältö ja aikataulu. päivä 9 2 Tutustuminen AMOS-rakenneyhtälömalliohjelmaan Kovarianssirakenteen selittäminen tutkimusongelmana Regressio- ja faktorianalyysi sekä välittäjähypoteesi rakenneyhtälömallin erikoistapauksina Esimerkkejä ja tietokoneharjoituksia:, 2, 3, Mallin spesifiointi ja estimointi AMOS-ohjelmalla Matemaattinen ja empiirinen identifiointi, estimointi, AMOSoutputin tulkinta Esimerkkejä ja tietokoneharjoituksia: 4, 5 2. päivä 9 2 Rakenneyhtälömallit empiirisessä tutkimustyössä Reliabiliteetin ja validiteetin arviointi AMOS-ohjelmalla Piilomuuttujaregressio Puuttuvan datan ongelma Esimerkkejä ja tietokoneharjoituksia: 6, 7, Rakenneyhtälöt empiirisessä tutkimustyössä, jatkuu SEM heterogeenisissä populaatioissa Esimerkkejä ja tietokoneharjoituksia: 9 Tulosten raportointi Mallien graafinen ulkoasu Esimerkkejä ja tietokoneharjoituksia: 0 3/5

4 II. Kurssin kuvaus ja tarvittavat esitiedot Kurssin tarkoituksena on antaa osallistujille yleiskatsaus rakenneyhtälömallien testaamiseen siihen tarkoitetulla ohjelmistolla. Kurssin jälkeen osallistujilla on hyvät perusvalmiudet analysoida omaa aineistoaan AMOS-rakenneyhtälömalli-ohjelmalla. Tämä ei siis ole rakenneyhtälömallintamisen teoriakurssi, vaan mallien testaamiseen keskittyvä sovellettu kurssi. Mallien rakentamista ja testaamista käydään läpi esimerkkien ja tietokoneharjoitusten avulla. Tietokone-sovelluksena käytetään AMOS 4.0 -ohjelmistoa. Rakenneyhtälömallittamisen teoriaa voidaan myös käsitellä tarpeen vaatiessa, oletusarvoisesti se ei kuitenkaan kuulu kurssin sisältöön. Suositeltavat esitiedot osallistujille:. Hyvät matemaattisen tilastotieteen perustiedot a. Estimointi (pienimmän neliösumman menetelmät, suurimman uskottavuuden menetelmät), estimaattien ominaisuudet (harhattomuus, tarkentuvuus, tehokkuus) b. Hypoteesien testaus (H 0 /H, hylkäämisvirhe/hyväksymisvirhe, tilastollinen voimakkuus) c. Keskeinen raja-arvolause 2. Hyvät perustiedot regressio- ja faktorianalyyseistä a. Vähintään yksi yliopistotason kurssi molempia, mieluiten sekä teoreettinen että sovellettu kurssi 3. SPSS-ohjelmiston käyttökokemus a. Regressioanalyysi b. Varianssianalyysi c. Faktorianalyysi 4. Reliabiliteetin ja validiteetin käsitteiden tunteminen a. Klassinen testiteoria (classical test theory) b. Yleistettävyysteoria (generalizability theory, G-theory) 4/5

5 III. Mikä on AMOS? AMOS tulee sanoista Analysis of MOment Structures, eli vapaasti käännettynä kovarianssirakenteiden analyysi. AMOS on kovarianssirakenteiden analysointiin erikoistunut ohjelmisto, jolla käyttäjä voi hyvin joustavasti testata rakenneyhtälömalleja. AMOS-ohjelmisto on toiminnoiltaan ja käyttötarkoitukseltaan hyvin samanlainen kuin esim. LISREL. AMOS-ohjelmistoa kehittää ja myy amerikkalainen SmallWaters ( Suomessa sen myynnistä vastaa SPSS Finland ( AMOS on sosiaalitieteilijälle hyvä lisä SPSS-ohjelmistoon kahdesta syystä. Ensinnäkin SPSS tukee rakenneyhtälömalliohjelmistoista juuri AMOS:ta, jolloin esim. SPSS-tietokannassa olevan aineiston linkittäminen AMOS-ohjelmaan analyysia varten on hyvin helppoa. Toiseksi, AMOS-ohjelmistolla voi tehdä hyvin paljon sellaisia analyyseja, jotka eivät ole mahdollisia (ainakaan yhtä tehokkaasti) SPSS:llä, esimerkkinä konfirmatiivinen faktorianalyysi sekä reliabiliteetti- ja validiteettitarkastelut. Toisaalta on myös paljon analyyseja, jotka onnistuvat AMOSohjelmistolla, mutta jotka onnistuvat aivan yhtä hyvin ellei paremmin SPSS:llä, mm. eksploratiivinen faktorianalyysi, regressioanalyysi ja varianssianalyysi. Muita rakenneyhtälömallittamisen erikoisohjelmistoja ovat mm. LISREL, M-Plus, SAS Proc Calis ja EQS. Vertailuja eri ohjelmistojen kesken on vaikea tehdä, useat tutkijat käyttävät useita eri ohjelmistoja aina tilanteesta riippuen. AMOS on erityisen hyvä sovellus kun mitattavat muuttujat ovat jatkuvia, kategorisen datan analyysiin soveltuu paremmin esim. M-Plus. AMOS-ohjelmiston kyky käsitellä vaillinaista aineistoa (missing data) on myös todettu hyväksi. AMOS:ta on myös kehuttu käyttäjäystävälliseksi. 5/5

6 IV. Lyhyt AMOS-käyttäjän opas (Versio 4.0) AMOS-ohjelmistoa voi käyttää mm. seuraavaa 5-vaihemallia seuraten:. Linkitä AMOS aineistoon (FILE DATA FILES) a. Tämä kannattaa tehdä ensin, koska silloin muuttujat voi nimetä komennolla drag-and-drop -menetelmällä. b. Optio: Aseta filter-muuttujat, mikäli et halua käyttää koko aineistoa analyysissa (FILE DATA FILES ja siellä Grouping Variable -alavalikko). 2. Piirrä malli a. Piirrä piilomuuttujat komennolla, indikaattorit jäännöstermeineen on helppo piirtää tämän jälkeen kaikille piilomuuttujille DRAW INDICATOR - komennolla. b. Kaikilla endogeenisillä muuttujilla (muuttujat joihin osoittaa ainakin yksi nuoli) pitää olla jäännöstermi, jonka voi piirtää komennolla. DRAW INDICATOR -komento luo jäännöstermin automaattisesti. c. Nimeä kaikki muuttujat: piilomuuttujat, indikaattorit, jäännöstermit, VIEW/SET OBJECT PROPERTIES (OBJECT PROPERTIES -ikkunaan pääset helpommin tuplaklikkaamalla haluaamasi objektia) d. Varmista, että malli on matemaattisesti identifioitu, eli se on mahdollista estimoida. e. Määritä alkuarvot valituille parametreille (OBJECT PROPERTIES -ikkunan Parameters -alavalikko). i. kaikkien piilomuuttujien mittayksikkö pitää määritellä (useimmin yksi faktorilataus tai piilomuuttujan varianssi ) f. Optio: Määrittele mitkä muuttujista ja poluista haluat kuvissa näkyviin ja mitkä piiloon (Visibility -alavalikko). 3. Määritä analyysivaihtoehdot (VIEW/SET ANALYSIS PROPERTIES) a. Määritä estimointitapa (Estimation -alavalikko). i. suurimman uskottavuuden menetelmä (ML), neliösummamenetelmät (GLS, ULS) 6/5

7 b. Optio: uudelleenotantamenetelmä ja ei-parametriset estimaatit (Bootstrap -alavalikko). c. Määritä output-vaihtoehdot (Output -alavalikko). i. Standardized estimates (standardoidut parametrien arvot) ii. Squared multiple correlations (varianssien selitysasteet endogeenisille muuttujille) iii. Residual moments (jäännöskovarianssit) iv. Modification indexes (modifikaatioindeksit) v. Indirect, direct and total effects (muuttujien suorat, välilliset ja kokonaisvaikutukset) vi. Factor score weights (faktoripistemäärät) vii. Tests for normality and outliers (normaalijakauma- ja outlier- testit) d. Puuttuva data i. Mikäli data on vaillinaista, estimointi voidaan silti tehdä tehokkaasti AMOS-ohjelmiston full-information maximum likelihood with missing data -ominaisuutta hyväksikäyttäen. Tällöin täytyy kuitenkin valita Analysis Properties -alavalikosta vaihtoehto Estimate Means and Intercepts. Tämä toiminto olettaa yleensä, että muuttujat ovat normaalijakautuneita (multivariate normality). Puuttuvan datan ei kuitenkaan tarvitse olla satunnaisesti puuttuvaa. ii. Dataa voi myös täyttää tai vaillinaisia havaintoja poistaa SPSS:ssä. 4. Estimoi parametrit (MODEL-FIT ESTIMATE PARAMETERS) a. Iteraatioiden määrä > 00 todennäköisesti estimointiongelma. b. Poikkeuksellisen suuret estimaattien keskivirheet empiirinen identitiointi pielessä. 5. Tulkitse ja raportoi tulokset a. Table output (antaa tulosteen sivu tai taulukko kerrallaan; taulukot voi viedä leikkaa ja liitä -menetelmällä esim. Excel-taulukkoon, VIEW/SET TABLE OUTPUT. b. Text output (tuloste tekstitiedostona), VIEW/SET TEXT OUTPUT. c. Polkudiagrammin saa leikkaa ja liitä -menetelmällä helposti esim. Worddokumenttiin. 7/5

8 V. Aineiston syöttäminen AMOS-ohjelmaan AMOS-ohjelmaa käytettäessä aineisto on yleensä jommassa kummassa seuraavista muodoista: () raakana datana (esim. SPSS-tiedosto) tai (2) kovarianssimatriisina. Mikäli aineisto on raakana datana SPSS-tiedostona, sen linkittäminen AMOSohjelmaan on hyvin yksinkertaista (edellisen 5-vaihemallin ensimmäinen vaihe). Mikäli aineisto on kovarianssimatriisina, sen syöttäminen AMOS-ohjelmaan tapahtuu helpoimmin Excelin avulla. Excel-sivulle luodaan seuraavanlaista formaattia tarkasti noudattava taulukko: rowtype_ varname_ var var2... varm n N N... N corr var corr var Data tähän corr varm stddev mean Esimerkiksi 0 muuttujan korrelaationmatriisi otoskoolla n=80: rowtype_ varname_ X X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X0 n corr X corr X2 0.5 corr X corr X corr X corr X corr X corr X corr X corr X stddev mean Tämä tiedosto linkitetään AMOS-ohjelmaan 5-vaihemallin. vaiheessa. 8/5

9 VI. Ohjeita graafisen ulkoasun muokkaamiseen Perusidea: Piirrä kuva kerralla siistiksi ja valmiiksi.. Piilomuuttujat ja indikaattorit a. Piirrä piilomuuttuja komennolla. b. Käytä indikaattorien piirtämiseen DRAW INDICATOR VARIABLE - komentoa c. Jos haluat piirtää useamman piilomuuttujan ja indikaattoreita: Kun olet piirtänyt yhden piilomuuttujan indikaattoreineen, valitse PRESERVE SYMMETRIES ja sen jälkeen DUPLICATE OBJECTS. Nyt voit kopioida koko piilomuuttujan indikaattoreineen viemällä kursorin piilomuuttujan päälle, klikkaamalla hiiren vasemman näppäimen pohjaan ja viemällä kursorin kohtaan, johon haluat faktorin kopion. Tuloksena syntyy eksakti kopio sekä piilomuuttujasta että sen indikaattoreista. d. ROTATE INDICATORS -komennolla voit vaihtaa indikaattorien paikkaa piilomuuttujan puolelta toiselle. e. Sekä indikaattorien että piilomuuttujien muotoa ja kokoa voi muokata CHANGE THE SHAPE OF OBJECTS -komennolla 2. DRAG PROPERTIES -komennolla voit tehdä kahdesta tai useammasta objektista samanlaiset valittujen ominaisuuksien suhteen a. Valitse DRAG PROPERTIES. Avautuvasta ikkunasta voit valita ne objektin ominaisuudet, jotka haluat yhtenäistää, esim: i. X coordinate (kun haluat objektit horisontaalisesti samaan kohtaan), vastaavasti Y coordinate ii. Font (kun haluat yhtenäistää tekstifontin) iii. Height, Width (kun haluat yhtenäistää objektin koon) b. Vie kursori sen objektin päälle, jonka ominaisuudet haluat kopioida, pidä pohjassa hiiren vasenta nappia ja vie kursori sen objektin päälle, jolle haluat samat ominaisuudet. 3. VISIBILITY SETTINGS komennolla voit piilottaa haluamasi muuttujat, nimet tai estimaatit a. Valitse objekti muokattavaksi (esim. tuplaklikkaamalla muuttujaa) b. Valitse OBJECT PROPERTIES -ikkunasta Visibility -alavalikko. c. Valitse alavalikosta ne ominaisuudet, jotka haluat esille (picture, parameters, name) d. Samasta valikosta voit asettaa päälle Visibility-ominaisuudet USE VISIBILITY SETTINGS -komennolla 9/5

10 4. TOUCH-UP komennolla AMOS siivoaa valitun muuttujan ulkoasun optimaaliseksi, tämä komento ei kuitenkaan ole kovinkaan hyödyllinen 5. SELECT OBJECTS -komento a. SELECT OBJECTS -komennoilla voit valita yhden tai kaikki muuttujat, joiden ominaisuuksia voit työstää yhtäaikaa. Valinnat voi poistaa komennolla. b. Jos olet valinnut SELECT OBJECTS -komennolla useita objekteja, käyttämäsi muut komennot kuten MOVE OBJECTS valittuihin objekteihin vaikuttaa kaikkiin 6. Muuttujien nimet a. Muuttujien nimet ovat samat kuin niiden SPSS- tai Excel- tietokannassa olevat nimet. Joskus nämä nimet voivat olla epäselviä esim. nimen SPSS:n rajoitetun muuttujanimien merkkimäärän takia. b. Muuttujille voi antaa omia nimiä (ml. isot ja pienet kirjaimet, ei ylärajaa merkkimäärällä) OBJECT PROPERTIES -ikkunan Text -alavalikosta. 7. Parametrien nimet, sijainti ja orientaatio a. Monesti muuttujien lisäksi on hyvä nimetä parametrit, joskin tämä ei aina ole tarpeellista. Moniryhmämalleissa (multi-group models) tämä on kuitenkin välttämätöntä. Parametrejä voi muokata OBJECT PROPERTIES -ikkunan Parameters -alavalikosta. b. Parametrien sijaintia voi muuttaa Move Paratemeters -komennolla. Parametrien orientaatiota voi vaihtaa OBJECT PROPERTIES -ikkunan Parameters -alavalikosta, joskin horisontaalinen orientaatio on yleensä kaikkein toimivin ja selkein. 8. Valittujen tulosten raportointi kuvion yhteydessä Kuvan alle voi lisätä tekstialueen, jossa raportoidaan tärkeimmät testisuureet, esim. χ 2 -suure, mallin vapausasteet ja p-arvo. Tämä tehdään komennolla ADD FIGURE CAPTIONS. Jos tekstialueeseen haluaa erilaisten suureiden arvoja, ne tulee tehdä seuraavasti: i. χ 2 -suure: Chisquare = \cmin ii. vapausasteet: Degrees of freedom = \df iii. p-arvo: P-value = \p Kun malli on estimoitu, tulostuu em. suureiden numeroarvo kyseisessä otoksessa ja mallissa. 0/5

11 VII. AMOS-esimerkit. Regressioanalyysi 2. Faktorianalyysi: yksiulotteinen 3. Faktorianalyysi: moniulotteinen 4. Välittäjähypoteesi 5. Matemaattinen identifiointi: Kaksisuuntainen kausaalihypoteesi 6. Faktorianalyysi: moniulotteinen 7. Faktorianalyysi: mittarin stabiilisuus 8. Piilomuuttujaregressioanalyysi 9. Moniryhmämalli 0. Mallin graafinen ulkoasu /5

12 Example : Multiple regression analysis X r_y X2 Y X3 2/5

13 Example : Multiple regression analysis Unstandardized estimates X X2 X Y r_y.02 3/5

14 Example : Multiple regression analysis (Fully) standardized estimates X X Y r_y X3 4/5

15 Example 2: -factor-4-indicator CFA r_x r_x2 r_x3 r_x4 X X2 X3 X4 ksi_ Chi-square = \cmin DF = \df P-value = \p 5/5

16 Example 2: -factor-4-indicator CFA Unstandardized estimates r_x r_x2 r_x3 r_x4 X X2 X3 X ksi_.48 Chi-square =.89 DF = 2 P-value =.64 6/5

17 Example 2: -factor-4-indicator CFA Standardized estimates r_x r_x2 r_x3 r_x4 X.54 X2.90 X3.72 X ksi_ Chi-square =.89 DF = 2 P-value =.64 7/5

18 Example 3a: -factor-4-indicator CFA r_y r_y2 r_y3 r_y4 Y Y2 Y3 Y4 eta_ Chi-square = \cmin DF = \df P-value = \p 8/5

19 Example 3a: -factor-4-indicator CFA Standardized estimates r_y r_y2 r_y3 r_y4 Y.47 Y2.70 Y3.6 Y eta_ Chi-square = DF = 2 P-value =.000 9/5

20 Example 3b: -factor-4-indicator CFA, modified r_y r_y2 r_y3 r_y4 Y Y2 Y3 Y4 eta_ Chi-square = \cmin DF = \df P-value = \p 20/5

21 Example 3b: -factor-4-indicator CFA, modified Standardized estimates.58 r_y r_y2 r_y3 r_y4 Y.57 Y2.9 Y3.39 Y eta_ Chi-square =.632 DF = P-value =.426 2/5

22 Example 4a: Test of the full mediation hypothesis r_y2 b2 Y2 b32 r_y3 Y Y3 Chi-square = \cmin DF = \df P-value = \p 22/5

23 Example 4a: Test of the full mediation hypothesis Standardized estimates r_y2.36 Y.60 Y2.70 r_y3 Y3.49 Chi-square = DF = P-value = /5

24 AMOS Output, Example 4a 24/5

25 Title Example_04a:. kesäkuuta :08 Your model contains the following variables Y2 observed endogenous Y3 observed endogenous Y observed exogenous r_y2 r_y3 unobserved exogenous unobserved exogenous Number of variables in your model: 5 Number of observed variables: 3 Number of unobserved variables: 2 Number of exogenous variables: 3 Number of endogenous variables: 2 Summary of Parameters Weights Covariances Variances Means Intercepts Total Fixed: Labeled: Unlabeled: Total: NOTE: The model is recursive. Assessment of normality min max skew c.r. kurtosis c.r Y Y Y Multivariate Observations farthest from the centroid (Mahalanobis distance) Observation Mahalanobis number d-squared p p /5

26 Sample size: 00 Sample Covariances Y Y2 Y Y.24 Y Y Eigenvalues of Sample Covariances 4.3e e e+000 Condition number of Sample Covariances =.74037e+00 Sample Correlations Y Y2 Y Y.000 Y Y Eigenvalues of Sample Correlations 2.264e e e+000 Condition number of Sample Correlations =.04623e+00 Determinant of sample covariance matrix = e-00 Model: Default model Computation of degrees of freedom Number of distinct sample moments: 6 Number of distinct parameters to be estimated: Degrees of freedom: 0e 0 2.4e e e e e+004 e 0 2.3e e e e e+000 2e 0 6.6e e e e e+000 3e 0 4.9e e e e e-00 4e 0.6e e e e+00.09e+000 5e 0.9e e e e+00.02e+000 6e 0.6e e e e+00.00e+000 Minimum was achieved 26/5

27 Chi-square = Degrees of freedom = Probability level = Maximum Likelihood Estimates Regression Weights: Estimate S.E. C.R. Label Y2 < Y b2 Y3 < Y b32 Standardized Regression Weights: Estimate Y2 < Y Y3 < Y Variances: Estimate S.E. C.R. Label Y r_y r_y Squared Multiple Correlations: Estimate Y Y Implied Covariances Y Y2 Y Y.24 Y Y Implied Correlations Y Y2 Y Y.000 Y Y /5

28 Residual Covariances Y Y2 Y Y Y Y Standardized Residual Covariances Y Y2 Y Y Y Y Total Effects Y Y Y Y Standardized Total Effects Y Y Y Y Direct Effects Y Y Y Y Standardized Direct Effects Y Y Y Y Indirect Effects Y Y Y Y /5

29 Standardized Indirect Effects Y Y Y Y Modification Indices Covariances: M.I. Par Change r_y3 <-----> Y r_y3 <---> r_y Variances: M.I. Par Change Regression Weights: M.I. Par Change Y3 < Y Summary of models Model NPAR CMIN DF P CMIN/DF Default model Saturated model Independence model Model RMR GFI AGFI PGFI Default model Saturated model Independence model DELTA RHO DELTA2 RHO2 Model NFI RFI IFI TLI CFI Default model Saturated model Independence model Model PRATIO PNFI PCFI Default model Saturated model Independence model /5

30 Model NCP LO 90 HI Default model Saturated model Independence model Model FMIN F0 LO 90 HI Default model Saturated model Independence model Model RMSEA LO 90 HI 90 PCLOSE Default model Independence model Model AIC BCC BIC CAIC Default model Saturated model Independence model Model ECVI LO 90 HI 90 MECVI Default model Saturated model Independence model HOELTER HOELTER Model Default model 0 7 Independence model 6 8 Execution time summary: Minimization: 0.00 Miscellaneous: 0.22 Bootstrap: Total: /5

31 Example 4b: Test of the partial mediation hypothesis r_y2 b2 Y2 b32 r_y3 Y b3 Y3 Chi-square = \cmin DF = \df P-value = \p 3/5

32 Example 4b: Test of the partial mediation hypothesis Standardized estimates r_y2.60 Y2.39 r_y3 Y.5 Y3 Chi-square =.000 DF = 0 P-value = \p 32/5

33 Example 5a: Identification: The case of reciprocal causation X b3 r_x3 X3 b34 b43 X2 b42 X4 r_x4 Chi-square = \cmin DF = \df P-value = \p 33/5

34 Example 5a: Identification: The case of reciprocal causation Standardized estimates r_x3 X.54 X X2.64 X4.43 r_x4 Chi-square =.058 DF = P-value =.80 34/5

35 Example 5b: Identification: The case of reciprocal causation X b3 r_x3 X3 b32 b34 b43 X2 b42 X4 r_x4 Chi-square = \cmin DF = \df P-value = \p 35/5

36 AMOS Output: Title Example_05b: 24. kesäkuuta :36 NOTE: The model is nonrecursive. Sample size: 00 Model: Default model Computation of degrees of freedom Number of distinct sample moments: 0 Number of distinct parameters to be estimated: Degrees of freedom: 0 The specified model is probably unidentified In order to achieve identifiability, it will probably be necessary to impose additional constraint(s). 36/5

37 Example 6: 2-factor-7-indicator CFA r_x r_x2 r_x3 r_x4 X X2 X3 X4 ksi_ eta_ Y r_y Y2 r_y2 Y3 r_y3 Chi-square = \cmin DF = \df P-value = \p 37/5

38 Example 6: 2-factor-7-indicator CFA Standardized estimates r_x r_x2 r_x3 r_x4 X X2 X3 X ksi_.38 eta_.40 Y Y Y3 r_y r_y2 r_y3 Chi-square = DF = 3 P-value =.58 38/5

39 Example 7: Measurement stability X_ r_x_ ksi_ time t= X2_ X3_ r_x2_ r_x3_ X4_ r_x4_ X_2 r_x_2 ksi_ time t=2 X2_2 X3_2 r_x2_2 r_x3_2 r_ksi t2 X4_2 r_x4_2 Chi-square = \cmin DF = \df P-value = \p 39/5

40 Example 7: Measurement stability Standardized estimates ksi_ time t= X_ X2_ X3_ r_x_ r_x2_ r_x3_.3.64 X4_ r_x4_.04.4 ksi_ time t= X_2 X2_2 X3_2 r_x_2 r_x2_2 r_x3_ r_ksi t2 X4_2 r_x4_2 Chi-square = 7.0 DF = 5 P-value = /5

41 Example 8: Latent-variable regression analysis r_x r_x2 r_x3 r_x4 X X2 X3 X4 ksi_ r_z Z eta_ Y r_y Y2 r_y2 Y3 r_y3 Chi-square = \cmin DF = \df P-value = \p 4/5

42 Example 8: Latent-variable regression analysis Standardized estimates r_x r_x2 r_x3 r_x4 X.62 X2.72 X3.74 X ksi_.3 r_z Z eta_ Y Y2 Y r_y r_y2 r_y3 Chi-square = DF = 8 P-value = /5

43 Example 9: Multi-group CFA (00 men, 00 women) Men s model v_m v_m2 v_m3 v_m4 r_x r_x2 r_x3 r_x4 X X2 X3 X4 m m2 m3 m4 ksi_ Chi-square = \cmin DF = \df P-value = \p 43/5

44 Example 9: Multi-group CFA (00 men, 00 women) Women s model v_n v_n2 v_n3 v_n4 r_x r_x2 r_x3 r_x4 X X2 X3 X4 n n2 n3 n4 ksi_ Chi-square = \cmin DF = \df P-value = \p 44/5

45 Example 9: Multi-group CFA (00 men, 00 women) Separate models: Men (unstandardized estimates) r_x r_x2 r_x3 r_x4 X X2 X3 X ksi_.00 Chi-square = 7.64 DF = 4 P-value =.06 45/5

46 Example 9: Multi-group CFA (00 men, 00 women) Separate models: Women (unstandardized estimates) r_x r_x2 r_x3 r_x4 X X2 X3 X ksi_.00 Chi-square = 7.64 DF = 4 P-value =.06 46/5

47 Example 9: Multi-group CFA (00 men, 00 women) Equal loadings: Men (unstandardized estimates) r_x r_x2 r_x3 r_x4 X X2 X3 X ksi_.00 Chi-square = DF = 8 P-value = /5

48 Example 9: Multi-group CFA (00 men, 00 women) Equal loadings: Women (unstandardized estimates) r_x r_x2 r_x3 r_x4 X X2 X3 X ksi_.00 Chi-square = DF = 8 P-value = /5

49 Example 9: Multi-group CFA (00 men, 00 women) Equal loadings and error terms: Men (unstandardized estimates) r_x r_x2 r_x3 r_x4 X X2 X3 X ksi_.00 Chi-square = DF = 2 P-value = /5

50 Example 9: Multi-group CFA (00 men, 00 women) Equal loadings and error terms: Women (unstandardized estimates) r_x r_x2 r_x3 r_x4 X X2 X3 X ksi_.00 Chi-square = DF = 2 P-value = /5

51 Example 0: Using the graphical tools e e2 e3 X X2 X3 ksi_ e7 eta_ e5 e6 Y e4 Y2 Y3 5/5