Teema 9: Tilastollinen merkitsevyystestaus
|
|
- Tuomo Nurmi
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Teema 9: Tilastollinen merkitsevyystestaus Tärkeä päättelyn osa-alue on tilastollinen merkitsevyystestaus, johon päästään luontevasti edellisen teeman aiheista: voidaan kysyä, menevätkö kahden vertailtavan ryhmän luottamusvälit päällekkäin, ts. onko ryhmien välillä havaittavaa eroa esim. odotusarvon suhteen. Idea: testataan perusjoukkoa koskevia oletuksia havaintoaineistoa vasten. Aineisto edustaa todisteita, joiden avulla tehdään johtopäätöksiä (vrt. rikostutkinta!). Oletuksia voidaan kumota vain, mikäli siihen on riittävät todisteet. Jälleen sana riittävät on määriteltävä vähän tarkemmin. Kuten aiemminkin, johtopäätökset eivät ole ehdottoman varmoja vaan niihin liittyy satunnaisvaihtelun johdosta epävarmuuksia riskejä, joiden käytännön merkitystä on kyettävä arvioimaan. Nollahypoteesi ja vaihtoehtoinen hypoteesi Perusjoukkoa koskevia oletuksia kutsutaan yleisesti hypoteeseiksi. Tutkimuksen kannalta kiinnostavia kysymyksiä on tapana muotoilla tutkimushypoteeseiksi, joista johdetaan varsinaiset testattavat hypoteesit. Tilastolliseen testaukseen kuuluu kahden tyyppisiä hypoteeseja: Nollahypoteesi H 0 : testattava oletus tai vakiintunut käsitys testataan havaintoaineistoa vasten sanamuoto tyyppiä ei eroa, ei vaikutusta tms. ikään kuin skeptinen kanta tutkimushypoteesiin Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : pikemminkin tutkimushypoteesin mukainen vaihtoehto voimaan vain jos H 0 :aa vastaan saadaan riittävästi näyttöä sanamuoto tyyppiä eroa on, vaikutusta on tms. H 1 :n määrittelyä tarkennetaan hieman tuonnempana.
2 Merkitsevyystestauksen periaate Kun nollahypoteesi H 0 on asetettu, sitä voidaan testata aineistoa vasten jollakin tilastollisella merkitsevyystestillä. Eri testausasetelmiin on eri tyyppisiä testejä. Yhteistä niille on testauksen ja päättelyn periaate: 1. kerätään todisteet yhteen testisuureeksi 2. tiivistetään testauksen tulos p-arvoksi 3. tehdään p-arvon perusteella johtopäätökset Edellä mainittu p-arvo tarkoittaa havaittua merkitsevyystasoa. Se kertoo kuinka vahvat todisteet H 0 :aa vastaan on esitetty. Tämän teeman puitteissa tarkastellaan muutamia erilaisia testausasetelmia. Niitä täydennetään vielä hieman Teema 10:n yhteydessä. Testien ja testisuureiden yksityiskohdat vaihtelevat, mutta periaate on kaikissa asetelmissa täysin sama. Jakaumien yhteensopivuuden testaus Testaamalla voidaan tutkia, kuinka hyvin empiirinen jakauma sopii yhteen jonkin teoreettisen jakauman kanssa. Esimerkki: H 0 : Perusjoukon jakauma on diskreetti tasainen jakauma P( saadaan silmäluku i ) = 1/6, kun i = 1, 2,..., 6. H 1 : Perusjoukon jakauma ei ole diskreetti tasainen jakauma. Testataan tätä simuloimalla nopanheittoa 60 heiton otoksella: FILE MAKE NOPPA,1,60,X,1 VAR X=6*rand(2008)+1 TO NOPPA GHISTO NOPPA,X,END+2 / X=0.5(1)6.5 XSCALE=0.5:?,1(1)6,6.5:? pistetodennäköisyydet: FIT=MATRIX(NOPPA_H0) YSCALE=0(5)15 Class midpoint f % Sum % e f X^ Fitted by MATRIX(NOPPA_H0) distribution Chi-square=6.000 df=5 P= Teoreettisen jakauman mukaan kunkin silmäluvun odotettu frekvenssi olisi 10. Havaitut vaihtelevat välillä [5,14]. Näiden poikkeamista muodostuu testisuure, jonka jakauman avulla saadaan testin p-arvo Johtopäätös: H 0 jää voimaan.
3 Johtopäätösten tekeminen p-arvon perusteella Äskeisessä testauksessa saatu p-arvo ei anna mitään todisteita H 0 :aa vastaan, joten voidaan pysyä nollahypoteesin mukaisessa oletuksessa. Otos on siis saatu diskreetistä tasaisesta jakaumasta. Jos testausta toistettaisiin, esiintyisi nyt nähdyn kaltainen tilanne noin joka kolmas kerta. Tilanne on siis tyypillinen. Poikkeamat teoreettisesta jakaumasta johtuvat vain satunnaisvaihtelusta. P-arvoa kutsutaan siis myös havaituksi merkitsevyystasoksi. Tällä kertaa se jää niin korkeaksi, että testitulos ei ole (likimainkaan) tilastollisesti merkitsevä. P-arvo on samalla todennäköisyys tai riski tehdä hylkäämisvirhe, ts. hylätä H 0 väärin perustein. Jos edellä hylättäisiin H 0, olisi väärän johtopäätöksen tekemisen riski 30 % (aivan liian suuri!). Yhteensopivuus normaalijakaumaan Normaalisuuden testaaminen on tärkeää, sillä useat tilastolliset menetelmät perustuvat normaalijakaumaoletukseen. Tarkastellaan Teema 4:stä tuttua tyytyväisyysesimerkkiä. Hypoteesit ovat: H 0 : Perusjoukon jakauma on normaalijakauma. H 1 : Perusjoukon jakauma ei ole normaalijakauma. GHISTO KPT2001 TYYTALUE END+2 / TYYTALUE=0.75(0.5)5.25 XSCALE=0.5:?,1(1)5,5.5:? YSCALE=0(10)70 tiheysfunktio (parametrit estimoidaan): FIT=NORMAL Class midpoint f % Sum % e e f X^ Fitted by NORMAL(3.7655,0.3504) distribution Chi-square=10.77 df=3 P= KPT (2001): Tyytyväisyys asuinalueeseen Vastaajina tamperelaiset vuotiaat naiset vastanneita: 177 vastaamatta: Testaustapa on sama kuin edellä, nyt vain jatkuva muuttuja on luokiteltu yhdeksään luokkaan. (Jakauman sovitus on yhdistänyt kolme ensimmäistä luokkaa neljänteen havaintojen pienen määrän vuoksi.) Odotetut ja havaitut frekvenssit poikkeavat niin paljon, että p-arvoksi tulee Todisteet puhuvat puolestaan: H 0 hylätään. Perusjoukon jakauma ei ole normaalijakauma.
4 Pohdintaa tilastollisesta merkitsevyydestä Edellä johtopäätökset tehtiin havaitusta merkitsevyystasosta: H 0 jäi voimaan (p = 0.306) H 0 hylättiin (p = 0.013). Milloin todisteet riittävät? Onko tähän jokin yleinen sääntö? Tilastollisen merkitsevyystestauksen kehittäjä R.A.Fisher esitti aikoinaan, että johtopäätökset testeistä tehtäisiin p-arvoista. Koska niiden laskeminen oli työlästä, Fisher tyytyi kompromissiin, jossa käytettiin valmiiksi laskettuja taulukoita kolmelle merkitsevyystasolle: 0.05, 0.01 ja (toisin sanoen 5 %, 1 % ja 0.1 %). Samoihin aikoihin (1930-luvulla) J.Neyman ja E.S.Pearson kehittivät kiinteään merkitsevyystasoon nojaavaa päätösteoriaa, jossa valitaan etukäteen esim. α = 0.05, ja hylätään H 0 mikäli α alittuu. (Vrt. luottamusvälit, joissa α valitaan samaan tapaan.) Nykyisin ohjelmat kertovat p-arvot, mutta aikojen saatossa tasot (etenkin 5 %) ovat iskostuneet lujasti käytäntöön. Niitä sovelletaan myös usein aivan liian mekaanisesti, esim. hylätään H 0 jos p = muttei hylätä jos p = Jälkimmäisen tyyppisissä tapauksissa tieteelliset lehdet saattavat jopa kieltäytyä julkaisemasta tutkimustuloksia vedoten siihen, ettei tilastollista näyttöä saatu riittävästi! Onko tässä mitään järkeä? Kyseessähän on oleellisesti saman suuruinen (n. 5 %:n) riski. Käytännössä vielä tärkeämpää on tulosten merkittävyys: onko havaitulla erolla tms. mitään käytännön merkitystä? Se ei ole ensinkään tilastotieteen asia. Tilastollinen merkitsevyys (huom. eri sana!) tarjoaa vain todisteet havaitulle erolle. Johtopäätösten tekeminen ja siihen liittyvän riskin arviointi on tutkijan vastuulla. Mitä jos otoskoko ei ole kovin suuri? Tätä pohti yli 100 vuotta sitten Dublinissa panimomestari W.S.Gosset, joka vastasi Guinnessin olutpanimon laadunvalvonnasta. Hänen empiirinen tutkimuksensa johti (laadukkaan oluen ohella) merkittävään teoreettiseen tutkimustulokseen. Se julkaistiin (panimon sääntöjen vuoksi) salanimellä Student vuonna Kyseessä on t-jakauma, joka muistuttaa standardoitua normaalijakaumaa: N(0,1) t(5) t(2) Oletetaan perusjoukko normaaliseksi. Asetetaan nollahypoteesi H 0 : Odotusarvo on jokin µ 0 (lyhyemmin: µ = µ 0 ). Kun hajonta σ korvataan otoshajonnalla s (Teema 8), saadaan t-testisuure, joka noudattaa t-jakaumaa vapausastein n 1. Kuvassa t-jakaumia vapausastein 2, 5 ja (ääretön), joka on sama kuin N(0, 1). Käytännössä usein jo n = 30 riittää tämän äärettömyyden saavuttamiseen.
5 Odotusarvon testaus Olkoon nollahypoteesi edellä esitetty H 0 : µ = µ 0. Hypoteesin testaukseen on siis kaksi tapaa: 1. Oletetaan perusjoukon jakaumaksi normaalijakauma. Testisuure on tällöin t = x µ 0 s/ n, ja pienempikin n riittää. Havaittu merkitsevyystaso saadaan esim. t-jakauman taulukosta. 2. Ei oleteta perusjoukon jakaumasta mitään. Testisuure on tällöin z = x µ 0 s/ n, mutta n on hyvä olla suurempi. Havaittu merkitsevyystaso saadaan esim. N(0, 1)-jakauman taulukosta. Jos H 0 hylätään, niin johtopäätökset riippuvat testin suunnasta, jonka määrää vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 (ks. seuraava sivu). Vaihtoehtoinen hypoteesi ja testin suunta Kun nollahypoteesi on edellä esitettyä tyyppiä (µ = µ 0 ), niin vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 on jokin kolmesta seuraavasta: (1a) H 1 : µ > µ 0 (1b) H 1 : µ < µ 0 (2) H 1 : µ µ 0 0 t t 0 -t 0 t Kuvat havainnollistavat testien p-arvoja näissä kolmessa tilanteessa. Hypoteeseja ja niitä vastaavia testejä kutsutaan yksisuuntaisiksi (1a) ja (1b) tai kaksisuuntaisiksi (2). Eri suuntaisia hypoteeseja voidaan tietenkin asettaa muissakin kuin odotusarvoa koskevissa testauksissa. Käytännössä yleisempiä ovat kaksisuuntaiset hypoteesit (ja testit). Yksisuuntainen edellyttää enemmän esitietoja tutkimuskohteesta.
6 Suhteellisen osuuden testaus Vastaavasti asetetaan suhteellista osuutta koskeva hypoteesi H 0 : Suhteellinen osuus p on jokin p 0 (lyhyemmin: p = p 0 ). Hypoteesin testaukseen voidaan käyttää testisuuretta z = ˆp p 0, ˆp(1 ˆp) n jossa otoskokoa koskevat samat huomautukset kuin Teemassa 8. Myös lausekkeen nimittäjä, suhteellisen frekvenssin keskivirhe (eli hajonnan estimaattori) on tuttu luottamusvälien yhteydestä. Testin havaittu merkitsevyystaso saadaan N(0, 1)-jakaumasta. Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 voi olla yksi- tai kaksisuuntainen. Edellä olevat testisuureet t ja z ovat samaa muotoa kuin ylläoleva z: osoittajassa esiintyy testattava ero ja nimittäjässä estimaattorin ( x tai ˆp) keskivirhe. Myös monet muut testisuureet ovat rakenteeltaan samankaltaisia. Muita testausasetelmia Edellä esitetyt testit yleistyvät myös kahden odotusarvon tai kahden suhteellisen osuuden vertailuun. Näissä tilanteissa otokset voivat olla toisistaan riippumattomia tai ne voivat riippua toisistaan (kuten esim. toistomittauksissa), jolloin testit ovat hieman erilaisia. Kaikkiaan tässä esitetyt testit ovat luonteeltaan sellaisia, että niissä tehdään oletuksia perusjoukon parametreista tai todennäköisyysjakaumista. On helppo tehdä oletuksia, mutta niiden toteutumistakin pitäisi testata. Jos oletukset eivät päde, testit eivät välttämättä toimi luotettavasti. Yksi tapa välttää oletuksia on siirtyä ns. ei-parametristen testien käyttöön. Niihin ei kuitenkaan perehdytä tarkemmin tämän kurssin puitteissa.
7 Katsaus tähänastiseen sisältöön (Teema 9) Tähän mennessä on käyty läpi testaukseen liittyviä perusasioita yleisellä tasolla: tilastollisen merkitsevyystestauksen idea ja periaatteet (esimerkkinä empiirisen ja teoreettisen jakauman yhteensopivuuden testaus), käytännön ohjeita sekä vähän historiallista taustaa ja ripaus lisätietoa, teknisellä tasolla: testisuureita tilanteisiin, joissa testataan perusjoukon jotakin hypoteettista arvoa joko odotusarvoa tai suhteellista osuutta. Käytännössä testaus (kuten muutkin tilastolliset menetelmät) suoritetaan tilastollisilla ohjelmistoilla, mutta ohjelmien järkevä käyttö edellyttää menetelmien perusteiden ymmärtämistä. Siihen tähtäävät myös tällä kurssilla (eritoten Teemoissa 6 9) käsitellyt teknisemmät asiat. Ilman todennäköisyyslaskennan ja tilastollisen päättelyn perusteita käytännön menetelmäosaaminen jää helposti pinnalliseksi. Katsaus kurssin loppuosan sisältöihin Tästä eteenpäin asiat muuttuvat teknisellä tasolla vaikeammiksi, eikä niiden tarkastelu ole tällä kurssilla tarkoituksenmukaista. Sen sijaan asioihin voi ja on syytä perehtyä käytännön tasolla (siinä laajuudessa kuin on mahdollista ilman tietokoneharjoituksia). Neljä eniten käytettyä tilastollista menetelmää lienevät kiistatta t-testi, χ 2 -testi ( khi-toiseen tai khi-neliö ), regressioanalyysi ja varianssianalyysi. Kaikkiin näihin tutustutaan vielä kurssin kuluessa, mutta nyt lähestymistapa muuttuu toisenlaiseksi: keskitytään ohjelmien tulosteiden analysointiin. Seuraavien sivujen taulukoihin ja tulosteisiin perehdytään tarkemmin luennoilla ja harjoituksissa.
8 Kahden odotusarvon vertailu (riippumattomat otokset) Tutkitaan KPT-aineiston avulla, ovatko helsinkiläiset miehet ja naiset yhtä tyytyväisiä asuinalueeseensa. Käytetään aiemmin esillä ollutta summamuuttujaa TYYTALUE. H 0 : Helsinkiläiset miehet ja naiset ovat yhtä tyytyväisiä (µ 1 = µ 2 ). H 1 : Tyytyväisyydessä on eroa sukupuolten välillä (µ 1 µ 2 ). H 1 on siis kaksisuuntainen. Testataan tätä SPSS:n t-testiproseduurilla: (Analyze - Compare Means - Independent-Samples T Test) TYYTALUE [k03] Vastaajan sukupuoli Mies Nainen Group Statistics Std. Std. Error N Mean Deviation Mean Independent Samples Test Levene's Test for Equality of Variances TYYTALUE assumed not assumed F Sig Aluksi saadaan otoksesta lasketut tunnusluvut. Sitä seuraa Levenen testi ryhmien varianssien yhtäsuuruudelle, joka on t-testin oletus. Kahden odotusarvon vertailu (jatkoa) Seuraavaksi tulee varsinainen t-testin osuus. Tuloste sisältää testisuureen ym. tiedot sekä samojen että eri varianssien tilanteissa: Independent Samples Test TYYTALUE assumed not assumed t-test for Equality of Means t df Sig. (2-tailed) Mean Difference Lopuksi tulostuu 95 % luottamusväli edellisen taulukon reunassa raportoidulle havaitulle erolle: Independent Samples Test TYYTALUE assumed not assumed t-test for Equality of Means 95% Confidence Interval Std. Error of the Difference Difference Lower Upper Page 1
9 Odotusarvon testaus t-testillä Kevään 2008 kurssin osallistujien ikä: ikä ikä ikä One-Sample Statistics Std. Std. Error N Mean Deviation Mean One-Sample Test Test Value = 23 95% Confidence Interval Mean of the Difference t df Sig. (2-tailed) Difference Lower Upper One-Sample Test Test Value = 24 95% Confidence Interval Mean of the Difference t df Sig. (2-tailed) Difference Lower Upper One-Sample Test ikä Test Value = 25 95% Confidence Interval Mean of the Difference t df Sig. (2-tailed) Difference Lower Upper Kahden odotusarvon vertailu: t-testi ym. testejä Lomapäivät (Prices and Earnings -aineisto): COMPARE Non-OECD(Vacdays),OECD(Vacdays) END+2 Independent samples Non-OECD(Vacdays) OECD(Vacdays) Sample size Mean Standard deviation Student s t= df=68 (P= one-sided test) Sum of ranks (R) Mann-Whitney (U) (P= one-sided Mann-Whitney, normal approximation) Page 1 Critical levels by simulation: Mean R or U Critical level N= Standard error
Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?
MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
Lisätiedotvoidaan hylätä, pienempi vai suurempi kuin 1 %?
[TILTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, Syksy 2011 http://www.uta.fi/~strale/tiltp1/index.html 30.9.2011 klo 13:07:54 HARJOITUS 5 viikko 41 Ryhmät ke 08.30 10.00 ls. C8 Leppälä to 12.15 13.45 ls. A2a Laine
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotOHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi. Luento 3
OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi Luento 3 Tutkimussuunnitelman rakenne-ehdotus Otsikko 1. Motivaatio/tausta 2. Tutkimusaihe/ -tavoitteet ja kysymykset
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotEstimointi. Luottamusvälin laskeminen keskiarvolle α/2 α/2 0.1
Estimointi - tehdään päätelmiä perusjoukon ominaisuuksista (keskiarvo, riskisuhde jne.) otoksen perusteella - mitä suurempi otos, sitä tarkemmat estimaatit Otokseen perustuen määritellään otantajakaumalta
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotEstimointi. Otantajakauma
Otantajakauma Otantajakauma kuvaa jonkin parametrin arvojen (esim. keskiarvon) jakauman kaikille tietyn kokoisille otoksille. jotka perusjoukosta voidaan muodostaa Histogrammissa otantajakauman parametrin
LisätiedotTeema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit
Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin
Lisätiedot11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut
11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa
LisätiedotHAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT
HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
Lisätiedotpisteet Frekvenssi frekvenssi Yhteensä
806118P JOHDATUS TILASTOTIETEESEEN Loppukoe 15.3.2018 (Jari Päkkilä) 1. Kevään -17 Johdaus tilastotieteeseen -kurssin opiskelijoiden harjoitusaktiivisuudesta saatujen pisteiden frekvenssijakauma: Harjoitus-
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen
LisätiedotMTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta)
MTTTP5, luento 7.12.2017 7.12.2017/1 6.1.3 Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) y = lepopulssi x = sukupuoli y = musikaalisuus x = sukupuoli
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
LisätiedotTilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely. Geneettinen analyysi
Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely Geneettinen analyysi Tilastollisen testaamisen tarkoitus Tilastollisten testien avulla voidaan tutkia otantapopulaatiota (perusjoukkoa) koskevien väittämien
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotBIOSTATISTIIKKAA ESIMERKKIEN AVULLA. Kurssimoniste (luku 2) Janne Pitkäniemi. Helsingin Yliopisto Kansanterveystieteen laitos
BIOSTATISTIIKKAA ESIMERKKIEN AVULLA Kurssimoniste (luku 2) Janne Pitkäniemi Helsingin Yliopisto Kansanterveystieteen laitos Helsinki, 2005 Biostatistiikkaa esimerkkien avulla 1 Janne Pitkäniemi, syksy
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli
LisätiedotOngelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta?
Yhden otoksen suhteellisen osuuden testaus Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Hypoteesit H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 tai H 1 : p > p 0 tai H 1 : p < p 0 Suhteellinen osuus
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotValitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi.
9.10.2018/1 MTTTP1, luento 9.10.2018 KERTAUSTA TESTAUKSESTA, p-arvo Asetetaan H 0 H 1 Valitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi. Lasketaan otoksesta testisuureelle arvo. 9.10.2018/2
LisätiedotTutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)
1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi
LisätiedotLuentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012
Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Otanta Otantamenetelmiä Näyte Tilastollinen päättely Otantavirhe Otanta Tavoitteena edustava otos = perusjoukko
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotPerusnäkymä yksisuuntaiseen ANOVAaan
Metsämuuronen 2006. TTP Tutkimuksen tekemisen perusteet ihmistieteissä Taulukko.51.1 Analyysiin mukaan tulevat muuttujat Mja selite Merkitys mallissa F1 Ensimmäinen faktoripistemuuttuja Selitettävä muuttuja
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
Lisätiedot1. Nollahypoteesi on, että teksti on kirjoitettu lyhyemmällä murteella. Mahdollisiavaihtoehtojaonvainyksieliettäteksti
Sosiaalitieteiden laitos Tilastotieteen jatkokurssi, kevät 20 7. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset. Nollahypoteesi on, että teksti on kirjoitettu lyhyemmällä murteella. Mahdollisiavaihtoehtojaonvainyksieliettäteksti
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotMTTTP5, luento Luottamusväli, määritelmä
23.11.2017/1 MTTTP5, luento 23.11.2017 Luottamusväli, määritelmä Olkoot A ja B satunnaisotoksen perusteella määriteltyjä satunnaismuuttujia. Väli (A, B) on parametrin 100(1 - ) %:n luottamusväli, jos P(A
LisätiedotSisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4
Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9
LisätiedotOtoskoon arviointi. Tero Vahlberg
Otoskoon arviointi Tero Vahlberg Otoskoon arviointi Otoskoon arviointi (sample size calculation) ja tutkimuksen voima-analyysi (power analysis) ovat tilastollisen tutkimuksen suunnittelussa keskeisiä kysymyksiä
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Sisältö Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset
Lisätiedot1 TILASTOJEN KÄYTTÖ 7. Mitä tilastotiede on 7 Historiaa 8 Tilastotieteen nykyinen asema 9 Tilastollisen tutkimuksen vaiheet 10
SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ 7 Mitä tilastotiede on 7 Historiaa 8 Tilastotieteen nykyinen asema 9 Tilastollisen tutkimuksen vaiheet 10 Tilastoaineisto 11 Peruskäsitteitä 11 Tilastoaineiston luonne 13 Mittaaminen
Lisätiedot2. Keskiarvojen vartailua
2. Keskiarvojen vartailua Esimerkki 2.1: Oheiset mittaukset liittyvät Portland Sementin sidoslujuuteen (kgf/cm 2 ). Mittaukset y 1 ovat nykyisestä seoksesta ja mittaukset y 2 uudesta seoksesta, jossa lisäaineena
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
6.10.2016/1 MTTTP1, luento 6.10.2016 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LisätiedotTilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
5.10.2017/1 MTTTP1, luento 5.10.2017 KERTAUSTA Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä,
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotSPSS-perusteet. Sisältö
SPSS-perusteet Sisältö Ikkunat 3 Päävalikot 5 Valikot 6 Aineiston käsittely 6 Muuttujamuunnokset 7 Aineistojen kuvailu analyysit 8 Havaintomatriisin luominen ja käsittely 10 Muulla sovelluksella tehdyn
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotKvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä
Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Harjoitukset: 2 Muuttujan normaaliuden testaaminen, merkitsevyys tasot ja yhden otoksen testit FT Joni Vainikka, Yliopisto-opettaja, GO218, joni.vainikka@oulu.fi
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
LisätiedotSisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS...
Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO... 9 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET... 11 TEHTÄVIÄ... 13
LisätiedotPienet ännät tutkimuksessa Tilastollisen analyysin työpaja. Jari Westerholm Niilo Mäki instituutti Jyväskylän yliopisto
Pienet ännät tutkimuksessa Tilastollisen analyysin työpaja Jari Westerholm Niilo Mäki instituutti Jyväskylän yliopisto Luennon sisältö Pienten otoskokojen haasteista Pieni otoskoko Suositeltuja metodeja
Lisätiedot