RC- PIIRIT: KONDENSAATTORIN PURKAMINEN

Transkriptio

1 RC PIIRIT: KONDENSAATTORIN PURKAMINEN Puretaan kondensaa<ori vastuksen kau<a, ei virtalähde<ä (emf=0) KII à R dq(t) dt Q(t) C = 0 1. kertaluvun differen0aaliyhtälö. Ratkaisu on Qt () = Qe trc e = Q t 0 0 τ Missä siis Q 0 on nyt kondensaaen varaus alussa τ=rc on aikavakio, joka kertoo kuinka nopeash kondensaa<ori purkautuu. Aika, joka kuluu kondensaa<orin purkautumiseen riippuu siis vastuksen resistanssista ja kapasitanssista.

2 Pohdi läpi kertausluennolle Purkautuuko kondensaa<ori siis nyt nopeammin vai hitaamminen kun aikavakio on suuri/pieni? Ja varsinkin miksi (siis pohdi resishivisyyden ja kapasitanssin vaikutusta purkautumisnopeuteen)

3 RC PIIRIT: KONDENSAATTORIN VARAAMINEN Nyt loppu%lanne (final state, f) on Hlanne kun kondensaa<ori on latautunut. Tällöin KII näkee virta I f =0 à Q f =emf C (varaus Q f riippuu siis vain pariston lähdejänni<eestä ja kondensaa<orin kapasitanssista, vastus ei vastuksesta) Virta kondensaa<oria vara,aessa on I(t) = emf Q(t ) C R Alku%lanne, kun kondensaa<ori on varaamaton, Q(t=0)=0 ja virta piirissä sama kuin ilman kondensaa<oria eli I(t=0)=emf/R Nopeus, jolla varaus kerääntyy kondensaa<oriin on dq(t)/dt, eli ajassa dt kondensaa<ori saa varauksen dq=idt

4 RC PIIRIT:KONDENSAATTORIN VARAAMINEN KII à " dq(t) = $ # emf Q(t ) C R % ' dt & Numeerinen integroinh à saadaan ekspontenhaalikäyrää muistu<ava tulos, arvata, ratkaisun muoto. Tai laskea ensin ratkaisu virralle di/dt=(1/rc)i (emf on siis vakio) à ratkaisu I=(emf/R)e t/rc muoto ja varaukselle saadaan tästä dq=idt ja integroi: Q(t) = C(emf )(1 e t τ ) Vara<aessa varaus kasvaa eksponen HaalisesH nollasta arvoon Q f =(emf)c ja virta pienenee eksponenhaalisesh arvosta I(t=0)=emf/R nollaan. Taas τ=rc

5 Pohdi vielä kertausluennolle Varautuuko kondensaa<ori siis nyt nopeammin vai hitaammin kun aikavakio on suuri/pieni? Ja varsinkin miksi (taas pohdi resishivisyyden ja kapasitanssin vaikutusta varaamisnopeuteen, tässä au<aa kun muistelet mitä kapasitanssi oikein siis tarkoiekaan)

6 SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken<ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken<ä 16 Viikko 2 Sähköinen potenhaalienergia ja potenhaali 17 Viikko 3 Sähköken<ä ja aine 15 Viikko 3 MagneeEken<ä 18 Viikko 4 Kertausta Viikko 5 Sähköken<ä johhmissa, sähkövirta 19 Viikko 5 sähköiset piirit, komponenht 20 Viikko 6 MagneeEnen voima 21 Viikko 7 Viikko 8 Kertausta tene

7 TAVOITTEET Oppia miten magneeenen voima vaiku<aa liikkuvaan varaukseen (ns. Lorentzin voima ja esimerkkejä hiukkasten liikkeestä magneeekenhssä) Ymmärtää ns. Hallin ilmiö Ymmärtää voimat virtajohhmien välillä Ymmärtää minkälaisia voimia vaiku<aa virtajohhmeen (sekä paikallaan olevaan, e<ä liikkuvaan) magneeekentässä

8 KERTAUSTA Edellisillä luennoilla havaiein e<ä paikallaan oleva varaus synny<ää sähkökentän, mu<a jos varaus liikkuu niin siihen lii<yy myös toisenlainen ken<ä, magnee7ken,ä Ensin puhuimme minkälaisen kentän virtajohdin aiheu<aa, tämän pää<elivät alun perin Biot ja Savart ΔB = µ 0 IΔl ˆr 4π r 2 (tämä siis pienelle johdinpätkälle Δl, integroimalla saa erilaisten konfiguraahoiden keneä laske<ua) Sähkövirran käsi<eestä ylläolevasta saahin liikkuvan pistevarauksen aiheu<ama magneeeken<ä B = µ 0 qv ˆr 4π r 2 magneeeseen dipoliin palaamme myöhemmin

9 MAGNEETTINEN VOIMA KokeellisesH voidaan havaita, e<ä liikkuva varaus kokee magneeekentässä voimavaikutuksen joka on muotoa F=qv B Voiman suunta on siis kohhsuorassa nopeuden ja magneeekentän suuntaa vastaan (käytä oikean käden sääntöä!) Milloin tämä magnee9nen voima hiukkaseen on nolla? jos hiukkasella ei ole sähkövarausta (q=0) kun hiukkanen ei liiku (v=0) kun hiukkanen liikkuu magneeekentän suuntaan (v B=0) Miten magnee9nen voima vaiku<aa liikkuvan hiukkasen nopeuden suuruuteen ja siten liike energiaan? voima on kohhsuorassa nopeu<a vastaan (ei nopeuden suuntaista komponenea) à magneeenen voima ei vaikuta liikkuvan varatun hiukkasen nopeuden suuruuteen, eikä muuta sen liike energiaa.

10 F MAGNEETTINEN VOIMA B α v F=qv B voiman suuruus on F=qvBsinα Milloin voima on suurimmillaan? kun varaus liikkuu kohhsuoraan magneeeken<ää vastaan (eli kun α=90 )

11 MAGNEETTINEN JA SÄHKÖINEN VOIMA Entäpä jos vara<uun hiukkaseen vaiku<aa lisäksi sähköinen voima? muistetaan e<ä se oli muotoa F=qE Nyt siis saadaan kokonaisvoimaksi F=qEqv B Tämä on Lorentzin voima ja (perustuu siis aikaisempiin töihin, mm. C.A. Coulomb, M. Ampère, H.C. Ørsted, M. Faraday). J.C. Maxwellin yhtälöt siis yhdishvät ensimmäistä kertaa sähköiset ja magneeeset Ilmiöt ja kuvaavat miten varaukset ja virrat synny<ävät nämä kentät. Lorentzin voima taas kuvaa miten sähkömagneeeset voimat vaiku<avat liikkuvaan varaukseen. (huomaa, e<ä kollekhivisessa käy<äytymisessä pitää o<aa lisäksi huomioon hiukkasten itse luomat kentät ja päädytään hyvinkin monimutkaisiin yhtälöihin.) Henrik Antoon Lorentz

12 ESIMERKKEJÄ LIIKKEESTÄ SMG KENTISSÄ Tarkastellaan Hlanne<a, jossa sähköken<ä ja magneeeken<ä kohhsuoraan toisiaan vastaan. E F=qEqv B Kuvan Hlanteessa posihivinen varaus liikkuu vaakasuoraan sähkökentässä joka osoi<aa alas ja magneeekentässä, joka osoi<aa taulun sisään qv B sähköinen voima: vaiku<aa alaspäin Huomaa, sähköinen ja magneeenen voiman vaikutukset hiukkaseen voivat myös kumota toisensa eli jos qe=qv B ja siis nyt v=e/b qe magneeenen voima: vaiku<aa ylöspäin v v B v B B

13 KYSYMYS PosiHivisesH vara<u hiukkanen lähestyy x akselia pitkin y akselilla lepäävää virtajohdinta, jossa kulkee virta I. Kuvan hetkellä hiukkaseen vaiku<ava kokonaisvoima on 1) x akselin suuntaan 2) y akselin suuntaan 3) z akselin suuntaan 4) nolla 5) muu vastaus 6) eos (mieekää myös vai suuntaan jos liikkuu)

14 F v = m r ESIMERKKEJÄ LIIKKEESTÄ SMG KENTISSÄ Pohdi hetki mitä tapahtuu jos vara<u hiukkanen liikkuu staa9sessa ja homogeenisessa magnee9kentässä jossa ei ole sähköken<ää. Oleta ensin e<ä hiukkasella on nopeu<a vain koh0suoraan magnee9ken<ää vastaan. V: MagneeEken<ä muu<aa hiukkasen nopeuden suuntaa. Se on kokoajan kohhsuorassa hiukkasen nopeu<a vastaan. Hiukkanen alkaa kiertää ympyrää kohhsuorassa magneeeken<ää vastaan 2 q vb = m v2 r kulmanopeus ω =v/r=( q B)/m r = mv q B Kumpi pyörii nopeammin, elektroni vai protoni? B Kumman radan säde on suurempi?

15 SOVELLUS: MASSASPEKTROMETRI MagneeEken<ä ero<elee varatut hiukkaset eri radoille niiden m/q suhteen mukaan. On siis tärkeä sovellutus. Esim. käytetään avaruusluotaimissa mi<aamaan aurinkotuulen ja planee<ojen plasmaympäristöjen ominaisuuksia. r = mv qb

16 Harjoitus 6, Tehtävä 1 Massaspektrometrissä posihivisia molekyyli ioneja kiihdytetään levosta kiihdytysjänni<eessä ΔV. Ionit kulkevat magneeekentässä kaarevaa rataa ja osuvat ilmaisimelle. Kiihdytysjännite<ä muu<amalla eri aineen ionit voidaan ero<aa ilmaisimessa. MagneeEvuon Hheyden itseisarvo on 0.22 T ja kuvan etäisyys d = 10 cm. Mikä jännite vaaditaan, jo<a ilmaisimessa havaitaan a) O 2 ja b) CO? (Oleta e<ä lukuarvot on anne<u 6 merkitsevän numeron tarkkuudella, M(12C) = u, M(16O) = u, missä atomimassayksikkö 1 u = 1, kg) MieH sähkökentän tekemää työtä ja kineeestä energiaa ja magneeekentäm vaikutusta hiukkasen rataan. Saisiko näiden perusteella laske<ua jänni<een?

17 SOVELLUS: MAGNEETTINEN PULLO B v v B kela F F F B kela muistele minkälainen ken<ä on Helmholtzin kelojen välissä v MagneeEsella pullolla voit mm. vangita plasmaa. Hiukkasen liikkuessa kohh voimistuvaa magneeeken<ää Lorentzin voimalla on komponene vastakkaiseen suuntaan. à Tämä voima pienentää hiukkasen kentänsuuntaista nopeus komponenea.

18 Maan diopliken<ä vangitsee energeeesiä hiukkasia à Van Allenin säteilyvyöt MAAN MAGNEETTIKENTTÄ Maapallon magneeeken<ä syntyy maan sulassa yhmessä tapahtuvista vara<ujen hiukkasten liikkeistä. Maan magneeekentän etelänapa on pohjoisessa ja pohjois napa etelässä. Kentän voimakkuus vaihtelee n. välillä µt. Maan magneeeken<ää on kohtuu hyvällä tarkkuudella dipoliken<ä S N

19 MAAN MAGNEETTIKENTTÄ Vuorovaikutus aurinkotuulen* kanssa muovaa Maan magneee kentän magnetosfääriksi, jossa ken<ä on venytyt pitkälle yöpuolella (usean sadan Maan säteen päähän) Maan magneeeken<ää on dipoli vain suhteellisen lähellä Maata (noin 6 8 Maan säteeseen ash) *Auringosta lähetevä jatkuva vara<ujen hiukkasten (eli plasman) virtaus. Aurinkotuuli on koostuu pääosin elektroneista ja protoneista ja se on hyvin harvaa (n=~5 cm 3 ).

20 AURINGON MAGNEETTIKENTTÄ Auringon akhivisuus vaihtelee noin 11 vuoden sykleissä Auringon akhivisuuden minimin aikaan Auringon ken<ä muistu<aa dipolia. AkHivisuus maksimin aikaan se on paljon monimutkaisempi suljettu magneettikenttä Auringosta poispäin osoittava avoin kenttä Aurinkoon päin osoittava avoin kenttä

21 KYSYMYS PosiHivisten varaustenkulje<ajien muodostama virta etenee kuvan mukaisesh. Varaustenkulje<ajiin vaiku<avan magneeesen voiman suunta on 1) x akselin suuntaan 2) y akselin suuntaan 3) z akselin suuntaan 4) nolla 5) muu vastaus 6) eos

22 HALLIN ILMIÖ tasapainohlassa: E = v B (E johtuu varausseparaahosta) v B E I F B B F B F E E E E I jännite ΔV H =E s levyn yli on Hallin jännite Mi<aamalla kumpi levyn reuna on korkeammassa potenhaalissa, saadaan varauksenkulje<ajien merkki selville. ΔV H I

23 HALLIN JÄNNITE Varauksenkulje<ajien 0heyden ja magnee9kentän voimakkuuden yhteys? tasapainohlassa: evb = ee = ΔV H s ΔV H = svb Sähkövirran määritelmästä I=nevA (A on pinta ala, olkoon d levyn paksuus). Nämä yhdistämällä saadaan varauksenkulje<ajien Hheydeksi IB n = Δ Vet H Saadaan siis jos mitataan Hallin jännite ja magneee vuon Hheys. Kääntäen, jos n tunnetaan ja Hall jännite mitataan, saadaan magneeevuon Hheys. (mm. Hall anturi magneeekentän mi<aamiseen). F E ΔV H s E I B E F B

24 Harjoitus 6, Tehtävä 5 Poikkileikkaukseltaan neliönmuotoisessa tangossa, joka on valmiste<u natriumista (sivun pituus b = 1.0 cm, kuva) kulkee 1 A virta negahivisen x akselin suuntaan. Tanko on ulkoisessa magneeekentässä, jonka vuon Hheys on 1 T negahivisen z akselin suuntaan. Tällöin y akselin suunnassa havaitaan sähköken<ä, jonka ken<ävoimakkuus on 2,4 µv/m. Mikä on varauksenkulje<ajien merkki ja varauksenkulje<ajien määrä atomia kohden. MieH Lorentzin voimaa ja miten se vaiku<aa tangossa oleviin hiukkasiin. Minkälainen on tasapainohlanne? Tässä pitää myös pohha lukumäärähhey<ä ja lukumäärää. Tehtävä lii<yy tärkeään Hallin ilmiöön.

25 VIRTAJOHDIN MAGNEETTIKENTÄSSÄ Kuvassa on virtajohdin (virta I) magneeekentässä Voidaan havaita, e<ä magneeeken<ä kohdistaa virtajohhmeen voiman, joka on verrannollinen virran ja magneeekentän suuruuteen. F Tutkitaan tätä voimaa sähkövirran hiukkasmallin avulla: Varaukset, joiden vaellusnopeus on v d, kulkevat johhmessa matkan l ajassa Δt. JohHmen poikkipinta alan läpi kulkema varaus tässä ajassa on q=iδt=il/v d. Sijoita tämä F=qv B. à F=Il B (l on vaellusnopeuden, posihivisten virrankulje<ajien ja siis virran suuntainen johhmen pituinen vektori) Entä jos johdin ei ole suora? Kokonaisvoima saadaan pienten voima alkioiden summana: F B = df B = L I I dl B B

26 Voiman suunta: Esim. JohHmen 1 ken<ä kohh suoraan taulusta sisään (oikean kädensääntö). Kaavasta F=Il B nähdään e<ä voima osoi<aa kohh johdinta 2 (oikean kädensääntö). à vetovoima Voiman suuruus: F 12 =I 2 lb 1 Aikaisemmin näillä kurssilla johdeein suoran johhmen magneeekentälle: B=µ 0 I/2πd (missä d on tarkastelupisteen etäisyys johhmesta) F 12 = µ 0 I 1 I 2 l 2πd VIRTAJOHDINTEN VÄLINEN VOIMA A) virrat samaan suuntaan Entä jos virrat erisuun0in? I 1 F 21 I 2 F 12 virran I 2 aiheu<ama ken<ä B 2 virran I 1 aiheu<ama ken<ä B 1 à sama suuruus, mu<a hylkivät toisiaan

27 Harjoitus 6, Tehtävä 2 Kuvan kahdessa paikalleen kiinnitetyssä pitkässä yhdensuuntaisessa suorassa johhmessa kulkee virta samaan suuntaan. Niiden yläpuolella leijuu kolmas samanlainen ja samansuuntainen johdin. Kuinka suuri virta leijuvassa johhmessa kulkee jos johdin ase<uu siten, e<ä kolmen johhmen poikkileikkaus muodostaa tasasivuisen kolmion, jonka sivun pituus on d? JohHmien lineaarinen massahheys on µ (g/m). Hauska (?) lasku virtajohhmien välisistä magneeesista voimista. Biot n ja SavarHn laki ja magneeesen voiman käy<öä.