Törmäyksen tunnistus. Törmäyksen tunnistus tietokonopeleissä. Törmäyksen tunnistus. Sijainti pelisilmukassa. Timo Suomela
|
|
- Aurora Kähkönen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Törmäyksen tunnistus tietokonopeleissä Timo Suomela Törmäyksen tunnistus Halutaan tietää, kun Pelaajahahmo kävelee seinää päin Jotta hahmon animaatio sekä liike voidaan pysäyttää/muuttaa Auto palaa ilmahypyn jälkeen maan pinnalle Auto pystyy kiihdyttämään jälleen, sillä renkaat koskettavat taas tienpintaan Pelaajahahmo koskee merkittyyn kohtaan pelikentässä Pelin tapahtumia ohjaava laukaisin (trigger) käynnistää käsikirjoitetun sekvenssin (scripted sequence), esim. välianimaation Törmäyksen tunnistus Sijainti pelisilmukassa Törmäyksen tunnistus (collision detection) Törmäysten löytämistä sekä ajassa että avaruudessa Ketkä törmäävät Milloin törmäys tapahtuu Missä törmäys tapahtuu Törmäyksen ratkaisu (collision resolution) Mitä törmäyksestä seuraa Riippuu vahvasti pelissä käytetystä fysiikkamallista, käsitellään ainoastaan periaatetasolla. while (gamerunning) { processinput(); performai(); moveobjects(); drawgraphics(); playsounds(); sleepremainder(); } Pelisilmukka toistaa aikakehyksestä (frame) toiseen samat toimenpiteet Törmäykset voidaan tunnistaa joko ennen kun kappaleita liikutetaan (intersection testing), tai sen jälkeen kun ne ovat jo liikkuneet (overlap testing). 1
2 Ongelma? Algoritmin valinta Kuten aina, käytettävissä olevat resurssit ovat niukat Aika, muisti Periaattessa jokainen liikkuva kappale voi törmätä jokaisessa aikakehyksessä jokaiseen toiseen liikkuvaan tai staattiseen kappaleeseen 3D-ympäristöissä kappaleet koostuvat kymmenistä, sadoista, tuhansista kolmioista (verkko, mesh) Naiivi algoritmi tarkistaa kaikki kappaleet pareittain, törmäävätkö ne. 3D-ympäristöissä tämä siis tarkoittaa että tarkistetaan jokaisen tarkistusparin kaikki kolmiot leikkauksen varalta Jos liikkuvia kappaleita on n ja staattisia kappaleita m, niin tarvittavien testien määrä on mn + n(n-1) / 2 Vastaa O(n²) aikavaatimusta Törmäävien kappaleiden geometria on keskeisin tekijä sopivan algoritmin valinnassa Kappaleet voi olla pisteitä tai viivoja tai jotain moniulotteisempia muotoja (kolmio, neliö, kuutio...) Kappale voi olla kupera (convex) tai kovera (concave), umpinainen tai ontto, joustava tai jäykkä,... Kappaleiden liike on toinen tekijä Kunka nopeasti kappaleet liikkuvat Kuinka usein kappaleita päivitetään Yleiset algoritmille asetetut vaatimukset Nopeus Yksinkertaisuus Vankkuus (robustness) Sopivan algoritmin periatteita Sijaiskappale Karsitaan nopeilla karkeilla testeillä kalliiden tarkempien testin lukumäärää Aproximoidaan kappaleet yksinkertaisemmalla geometrisella muodolla Hyväksikäytetään paikallisuutta Ainoastaan ne kappaleet voivat törmätä, jotka ovat tarpeeksi lähellä toisiaan Käytetään hyväksi peräkkäisten testien yhtenäisyyttä Aikakehyksestä toiseen tapahtuu vain vähän muutosta Proxy Kahden kolmioverkon leikkaustestaus on kallista Käytetään kappaleen sijaisean yksinkertaisempi geometrinen muoto -> halvemmat testit Jos kaksi sijaista törmää toisiinsa tehdään lisätarkistuksia selvittääkseen, törmäävätkö myös alkuperäiset kappaleet Jos kaksi sijaista ei törmää, ei tarvita listätestejä, jos sijainen ympäröi kappaleen kokonaan. Hyvä sijaiskappale on mahdollisimman samanmuotoinen alkuperäisen kappaleen kanssa Vähemmän false positives, eli tilanteita, joissa sijaiskappaleet leikkavaat, mutta ei alkuperäiskappaleet 2
3 Sijasikappale: Rajauskehikko Rajauskehikko : Ympyrä Bounding Volume Tarkoitus on yksinkertaistaa monimutkaista geometriaa yksinkertaisemmalla Jos kahden kappaleen rajauskehikot eivät leikkaa, niin ei myöskään itse kappaleet leikkaa ja voidaan jättää tekemättä tarkempaa testausta. Kehyksen ja kehystetyn kappaleen välillä pitää olla mahdollismman vähän tilaa Mitä enemmän tilaa, sitä suurempi todennäköisyys väärille tunnistuksille (false positive) Bounding Sphere Geometrisesti yksinkertaisin kehikko Pyöreen kehikon määrittelyyn riittää kaksi arvoa, keskipiste ja säde Kappaletta voidaan vapaasti pyörittää pyöreän kehikon sisällä Pyöreiden kehysten yhteentörmäys on helppo tunnistaa Jos keskipisteet ovat lähempänä kuin säteiden summa niin ympyrät leikkaavat. Rajauskehikot : Lieriö Rajauskehikot : Rajauslaatikko Bounding Cylinder Lieriön muotoisen kehikon määrittleyyn riittää kolme arvoa Pohjana toimivan ympyrän keskipiste Kantena toimivan ympyrän keskipiste Ympyröiden säde Lieriö sopii hyvin sellaisen kappaleen kehikoksi joka liikkuu tasaisella alustalla ja pyörii ainoastaan pystyakselin (x) ympäri Esimerkiksi pelaajahahmo Kahden x-akselin suuntaisen, samalla tasolla seisovan lieriön leikkaus on helppo todeta: Jos kappaleiden akseleiden välinen etäisyys on pienempi kui niiden yhteenlaskettu säde, niin kappaleet leikkaavat. Bounding Box Rajauslaatikko on laatikkomainen kehikko kappaleen ympärillä. Parempi kuin ympyrä sellaisissa tilanteissa, joissa kappaleet on hyvin lähellä toisiaan kuitenkin törmäämättä toisiinsa. Katua pitkin avajan auton tapauksessa kappaletta ympyröivä ympyrä leikkaa katua, vaikka auto on sen pinnalla. Tämä aiheuttaa turhia (kalliita) lisätestejä joka aikakehyksessä. Rajauslaatikko ei leikkaa kadun pintaa, joten ei tarvita lisätestejä. 3
4 Rajauskehikot : AABB Rajauskehikot : AABB Axis Aligned Bounding Box Laatikonmallinen kehys jonka särmät ovat maailman koordinaatiston akseleiden suuntaiset. Kahden AABB -kehikon leikkaus helppo tarkistaa tarkistamalla, onko yhden kehikon jokin nurkkapiste toisen kehikon sisälllä. Kaksi AABB kehystä A ja B ei leikkaa, joss: max(ax) < min(bx) tai max(bx) < min(ax) max(ay) < min(by) tai max(by) < min(ay) max(az) < min(bz) tai Joudutaan laskemaan yleensä uudestaan, kun kehystettävää kappaletta pyöritetään Voidaan myös laskea kappaleen pisimmän akselin mukaisesti. Kappaletta voidaan sillon pyörittää vapaasti kehikon sisällä joutumatta laskemaan sitä uudestaan. Kappaleen ympärille jää näin kylläkin paljon hukkatilaa. Rajauskehikot : OBB Rajauskehikot : AABB Oriented Bounding Box Laatikonmallinen kehikko, joka on samansuuntainen kuin kehystetty kappale Voidaan pyörittämään kappaleen mukana Yleensä parempi istuvuus kuin ympyröillä ja AABBkehikoilla Kahden OBB:n leikkauksen laskeminen kalliimpaa kuin kahden AABB:n AABB voidaan laskea kappaleen pyörityksen jälkeen myös OBB:n avulla. OBB:n avulla AABB:n laskeminen on halvempaa kuin monimutkaisen kappaleen perusteella Saattaa jätää paljon enemään turhaa tilaa kehystetyn kappaleen ympärille verrattuna itse kappaleen perusteellaa laskettuun AABB-kehykseen. 4
5 Rajauskehikot : k-dop Rajauskehikot : k-dop Discrete Orientation Polytype Kappale kehystetään k tunnetulla tasolla Voidaan ajatella, että kappale joutuu tasojen puristukseen Kaksiulotteinen k-dop on polygoni Kolmiulotteinen k-dop on polyhedron Kolmiulotteisessa koordinaatistossa AABB ja OBB vastaavat 6-DOP -kehikkoa Yleensä vähemmän hukkatilaa kuin OBB -kehikolla ja paras istuvuus kaikista kehikoista Joudutaan laskemaan Rajauskehikot : Kupera kehys Rajauskehikot : Hierarkiat Convex Hull Pienin mahdollinen kupera polytyyppi Vähiten hukkatilaa kappaleen ympärillä Toisin kuin k-dop:in kohdalla, tasot eivät ole ennestään tiedossa Bounding Volume Hierarchy Koko kappaleen kehystävä kehikko jaetaan rekursiivisesti pienempiin kehikkoihin Kappaleet muodostavat binääripuun Rekursio voi ylettyä alimmalle tasolle, jolloin kappaleen verkon yksittäiset kolmiot muodostavat puun lehdet. Rekursion syvyydellä voidaan säätää tunnistuksen tarkkuutta. 5
6 Rajauskehikot : Hierarkiat Törmäyksen testaus Oheisen kuvan kaksi AABB:tä törmäävät toisiinsa. Ihminen pystyy näkemään, että itse kappaleet eivät kuitenkaan törmää. Mistä tiedetään törmäävätö kaksi kappaletta toisiinsa? Jos pystymme löytämään tason, joka erottaa annetut kaksi kappaletta, niin tiedetään, etteivät ne törmää. Törmäyksen testaus Törmäyksen testaus Erottavan tason etsintä voidaan aloittaaa kappaleen tasoista. Tasolle määritellään normaalivektori Nurkkapisteiden normaalivektoreiden keskiarvo tai kahden tason muodostavan vektorin ristitulo Muodostetaan vektorit tason jostain nurkkapisteestä jokaisen toisen kappaleen nurkkapisteisiin (kuvassa ba) Jos tälläisen vekorin ja tason normaalivektorin pistetulo on positiivinen, niin nurkkapiste on tason omistavan kappaleen ulkopuolella Entä jos ollaan käyty läpi kaikki kappaleen tasot ja ei olla löydetty erottavaa tasoa? Mahdollisia tasoja on ääretön määrä. Muodostetaan taso käyttämällä yhden kappaleen yhtä särmää ja toisen kappaleen yhtä nurkkapistettä. Jos yhden kappaleen kaikki nurkkapisteet ovat tämän tason yhdellä puolella, ja toisen kappaleen kaikki nurkkapisteet tason toisella puolella, ollaan löydetty erottava taso. 6
7 Törmäyksen testaus Törmäyksen ajankohta Jos kappaleet erottava taso löydetään, se kannattaa tallentaa jonnekkin seuraavan aikakehyksen tarkistusta varten Testit toimivat ainoastaan kuperilla kappaleilla Jos kappaleet ovat koveria, tarvitaan kappaleen ympärille kupera kehys Kovera kappale voidaan jakaa pienempiin kuperiin kappaleisiin Voidaan käyttää menetelmiä, jotka luovat automaattisesti kuperan kehyksen koveran kappaleen ympärille Kappaletta varten voidaan käsin mallintaa törmäystarkistuksessa käytettävä kupera kappale. Näin 3D-artisti voi päätää, mitkä ovat kappaleen törmäystarkistuksen kannalta tärkeimmät piirteet. Yleiseensä kahden kappaleen törmäyksen ajankohta on aikakehyksen sisällä, harvemmin jommassakummassa päässä. Kehyksen alussa kappaleet ovat erillään Kehyksen lopussa kappaleet ovat ainakin osittain päällekkäin Tarvitaan törmäyksen tarkka ajankohta sekä paikka Reaktio saadaan tarkemmaksi Etäisyyden puolittaminen Distance halving Jos kappaleet ovat ainakin osittain päälekkäin, voidaan laskea törmäyksen ajankohta palaamalla ajassa taakseppäin Tiedetään, että kehyksen alussa kappaleet eivät olleet pällekkäin (tämä on meidän alaraja) kehyksen lopussa kappaleet ovat päällekkäin (tämä on meidän yläraja) törmäys on siis tapahtunut kuluvan aikakehyksen sisällä Puolittamalla etäisyyttä kappaleen ylä- ja alarajan välillä lähestytään törmäyksen ajankohtaa. Jos puolituksen jälkeen kappaleet ovat päällekkäin tulee pisteestä tulee uusi yläraja Jos puolituksen jälkeen kappaleet eivä ole päällekkäin tulee pisteestä uusi alaraja Jatketaan, kunnes ylä- ja alaraja ovat samat tai tarpeeksi lähellä toisiaan Etäisyyden Kuvassa näkyy liikkuva kappale A ja staattinen kappale B ajassa t=0 7
8 Etäisyyden Ajassa t=1 kappale A törmää kappaleeseen B Etäisyyden Puolittamalla etäisyyden kappaleen A:n sijainneista ajassa t=0 ja t=1 saadaan uusi sijanti kappaleelle A ajassa t=0,5. Kappale A ei enään leikkaa kappale B:n aluetta mutta on vielä törmäyksen kannalta liian kaukan siitä. Mennään ajassa hieman eteenpäin Etäisyyden Puolitetaan matka kappale A:n sijainnista ajassa t=0,5 ja t=1 ja saadaan kappaleen A:n sijainti ajassa t=0,75. Nyt kappaleet leikkaavat taas, eli mennään ajassa hieman taakseppäin Etäisyyden Puolitetaan matka kappale A:n sijainnista ajassa t=0,5 ja t= 0,75 ja saadaan kappaleen A:n sijainti ajassa t= Kappaleet eivät leikka toisiaan, mutta ovat vielä hieman liian kaukana toisistaan. Mennään ajassa hieman eteenpäin 8
9 Etäisyyden Puolitetaan matka kappale A:n sijainnista ajassa t=0,625 ja t=0,75 ja saadaan kappaleen A:n sijainti ajassa t=0,6875. Kappaleet leikkaavat jälleen, eli mennään hieman ajassa taakseppäin Etäisyyden Puolitetaan matka kappale A:n sijainnista ajassa t=0,625 ja t=0,6875 ja saadaan kappaleen A:n sijainti ajassa t=0,65625 Etäisyyden Kappaleet ovat tarpeeksi lähellä toisiaan, ja ollaan löydetty ajankohta, jolla kappaleet A ja B törmäävät (t=0,65625) Etäisyyden puolittaminen Eniten käytetty menetelmä törmäyksen ajankohdan selvittämiseen Suhtellisen edullinen Ei huomaa liian nopeasti liikkuvien kappaleiden törmäystä window t -1 t 0 t 1 t 2 bullet 9
10 Nopeasti liikkuvat kappaleet Nopeasti liikkuvat kappaleet Joitakin vaihtoehtoisia ratkaisumahdollisuuksia Yksinkertaisin ratkaisu on jättää vaikeimmat tapaukset huomioimatta. Pelaaja ei välttämättä huomaa kaikkia 'vilppejä'. Mallinnetaan liikerata viivasegmentillä kappaleen keskipisteestä kehyksen alussa kehyksen loppuun + Yksinkertainen - Vieläkin jää joitakin törmäyksiä huomaamatta, eli vaikka viivasegmentti ei törmää, kappale voi törmätä Pienennetään kehyksen pituutta + Kaikki törmäykset löydetään - Kehyksen maksimipituus pitää ensin selvittää, kallis Rajoitetaan kappaleiden ominaisuuksia Määritellään kappaleille maksiminopeus ja minimikoko Askelpituuten ylärajaksi muodostuu minimikoko jaettuna maksiminopeudella. Voidaan käyttää muita lisärajoitteita Rajoitetaan kappaleiden liike: Lineaari liike Luodaan kappaleen kehystävä ympyrä Luodaan laatikon malllinen kehys joka kehystää kappaleen kehystävän ympyrän sekä aikakehyksen alussa että lopussa Törmäyksen ennustaminen Törmäyksen ennustaminen Törmäyksen voidaan ennustaa myös aikakehyksen alussa tarkistamalla, leikkaavatko kahden kappaleen liikeradat (intersection testing) Testattavat kappaleet venytetään liikeradan suuntaisesti Jos venytetyt kappaleet menevät päällekkäin, tiedetään törmäyksen tapahtuvan annetun aikakehyksen aikana. A+ B:A X and B Y Kahdesta testattavasta kappaleesta voidaan tehdä uusi geometrinen muoto ottamalla niiden Minkowski summa, joka helpoittaa trömäyksen ennustamista Uusi kappale lasketaan lisäämällä kappaleen X pisteisiin kaikki kappaleen Y pisteet. t 0 t 1 X Y = X Y = X Y 10
11 Törmäyksen ennustaminen Törmäyksen ennustaminen Nyt riittää, että tarkistetaan, leikkaako liikkuvan kappaleen liikerataa uutta summana saatua kappaletta. t 1 t 1 Törmäyksen ennustamisella saadaan tarkempi tulos törmäyksen ajankodalle, kuin esim. etäisyyden puolittamalla. Vaikea ellei mahdoton erottaa pelin fysiikkamoottorista Asettaa rajoituksia pelin fyysiikanmallille Kappaleiden nopeus pitää olla vakio, kiihtyvyys nolla, liikkeen lineaarinen t 0 t 0 Testattavien kappaleparien vähentämien Testattavien kappaleparien vähentämien Annetussa pelissä on 36 vapaasti liikkuvaa kappaletta Teoreettisesti jokainen voi törmätä jokaiseen annetussa aikakehyksessä Törmäysten löytämiseen kappaleet pitää testata pareittain -> tarvitaan n(n-1) / 2 testiä joka vastaa O(n^2) aikavaatimusta 36 kappaleen kohdalla pitää testata 630 paria Ratkaisu: Jaetaan kenttä soluihin Nyt tarvitaan ainoastaan testata niitä kappalepareja, jotka ovat annetussa aikakehyksessä saman solun alueella Jos solut valitaan tarpeeksi pieniksi ja kappaleet jakautuvat pelikentälle tasaisesti, parien läpikäynti lähenee O(n), eli tarvitaan ainoastaan 36 testiä Periaattessa kaikki kappaleet voivat olla myös saman solun sisällä, jolloin aikavaatimus ei ole parantunut aikaisemmasta 11
12 Testattavien kappaleparien vähentämien Testattavien kappaleparien vähentämien BSP puu (Binary Space Partitioning Tree) Pelikenttä on jaettu tasoilla rekursiivisesti soluihin Puun juuressa on koko avaruuden kahteen osaan jakava taso. Tasoina voidaan käyttää pelikentän polygonien tasoja Jokaisella tasolla on etu- ja takapuoli, jokaisen solmun vasen lapsi vastaa tason etupuolta, solmun oikea lapsi tason takapuolta Jos jokin käsiteltävä taso leikkaa jo puuhun otettua tasoa, se jaetaan kahteen osaan Mitä tasapainoisempi puu (jokaisella ei-lehtisolmulla kaksi lasta) ja mitä vähemmän polygoneja pitää leikata pienempiin osiin, sitä parempi lopputulos Haastavaa löytää oikea jako -> käytetään BSP-kääntäjää joka käytännössä brute force -menetelmällä käy läpi vaihtoehdot ja valitsee parhaan Myös pelikentää voidaan jakaa puumaiseen hierarkiaan siten, että jaetaan kentän staattisia kappaleita soluihin Puuta voidaan käyttää sitten pelaajan ja kentän välisen törmäyksen selvittämiseen Pyyhkäisymenetelmä Törmäyksen ratkaisu Sweep and prune Jos on käytössä AABBkehikkoja voidaan hyödyntää sen ominaisuuksi kappaleparien karsimisessa Jos kaksi AABB-kehikkoa leikkavat toisiaan, niin ne tekee niin jokaisella koordinaatiston akselilla Käydään kaikki akselit vuorotellen läpi ja kerätään ne parit listaan, joiden projektiot annetulle akselille menevät päällekkäin Jos jo talteen otettu pari ei leikkaa myöhemmin tarkistetulla akselilla, se y x Mitä tapahtuu, kun törmäys kahden kappaleen välillä on tunnistettu, riippuu pelistä. Jompikumpi tai kummatkin kappaleet tuhoutuvat Näytetään jonkinlainen visuaalinen efekti Soitetaan jonkinlainen ääniefekti Käynnistetään jokin tapahtumaketju 12
13 Loppu 13
x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
LisätiedotLieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotSuorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt
6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran
LisätiedotGEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita
GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.
LisätiedotMAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
LisätiedotTietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja
Tietorakenteet, laskuharjoitus, ratkaisuja. Seuraava kuvasarja näyttää B + -puun muutokset lisäysten jälkeen. Avaimet ja 5 mahtuvat lehtisolmuihin, joten niiden lisäys ei muuta puun rakennetta. Avain 9
LisätiedotKartio ja pyramidi
Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 11 Ti 24.4.2018 Timo Männikkö Luento 11 Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Kauppamatkustajan ongelma Paikallinen etsintä Lyhin virittävä puu Vaihtoalgoritmit Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotMATEMATIIKKA JA TAIDE I
1 MATEMATIIKKA JA TAIDE I Tehtävät sopivat peruskoulun alaluokille. Ne on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomeista I VI. Sivunumerot viittaavat näiden diplomitehtävien sivuihin. Aihepiirejä:
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
LisätiedotYMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne
YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin
LisätiedotJypelin käyttöohjeet» Miten voin liittää törmäyksiin tapahtumia?
Muilla kielillä: English Suomi Jypelin käyttöohjeet» Miten voin liittää törmäyksiin tapahtumia? Kun kaksi fysiikkaoliota törmää toisiinsa, syntyy törmäystapahtuma. Nämä tapahtumat voidaan ottaa kiinni
Lisätiedot4.3 Kehäkulma. Keskuskulma
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet
LisätiedotTaso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora
Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 10 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 10 To 19.4.2018 Timo Männikkö Luento 10 Peruutusmenetelmä Osajoukon summa Verkon 3-väritys Pelipuut Pelipuun läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 10 To 19.4.2018 2/34 Algoritmien
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Lisätiedot2.2. Kohteiden konstruktiivinen avaruusgeometrinen esitys
.. Kohteiden konstruktiivinen avaruusgeometrinen esitys Avaruusgeometrinen esitys on käyttäjäriippuvainen ja vaati erikoismenetelmiä tai lopuksi konversion monikulmiomalliksi. Se on korkean tason esitys
LisätiedotKenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6
Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.
LisätiedotMATEMATIIKKA JA TAIDE II
1 MATEMATIIKKA JA TAIDE II Aihepiirejä: Hienomotoriikkaa harjoittavia kaksi- ja kolmiulotteisia väritys-, piirtämis- ja askartelutehtäviä, myös sellaisia, joissa kuvio jatkuu loputtomasti, ja sellaisia,
LisätiedotOpetusmateriaali. Tarvittavat välineet: KUVA 1. Rullakko 1. KUVA 2. Rullakko 2, jossa kiekoissa on kuhmu
Opetusmateriaali Tämän materiaali on suunniteltu yhdensuuntaisuuden käsitteen opettamiseen. Yhdensuuntaisuuden käsitettä tarkastellaan ympyrän käsitteen kautta tutkimalla sitä, miten ympyrän kaikki halkaisijat
LisätiedotHelsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan
LisätiedotKenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)
Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 Ke 29.3.2017 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 6 Ke 29.3.2017 2/31 B-puu
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
LisätiedotEye Pal Solo. Käyttöohje
Eye Pal Solo Käyttöohje 1 Eye Pal Solon käyttöönotto Eye Pal Solon pakkauksessa tulee kolme osaa: 1. Peruslaite, joka toimii varsinaisena lukijana ja jonka etureunassa on laitteen ohjainpainikkeet. 2.
Lisätiedota b c d
1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
LisätiedotPong-peli, vaihe Koordinaatistosta. Muilla kielillä: English Suomi. Tämä on Pong-pelin tutoriaalin osa 2/7. Tämän vaiheen aikana
Muilla kielillä: English Suomi Pong-peli, vaihe 2 Tämä on Pong-pelin tutoriaalin osa 2/7. Tämän vaiheen aikana Laitetaan pallo liikkeelle Tehdään kentälle reunat Vaihdetaan kentän taustaväri Zoomataan
Lisätiedotv 8 v 9 v 5 C v 3 v 4
Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi
LisätiedotJakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen
Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0
LisätiedotJohdatus matematiikkaan - tarinaosasto Tero Kilpeläinen
Tero Kilpeläinen Syksy 2011 Mitä todistettavaa? Seuraavassa esimerkkejä lauseista, joiden todistukset eivät ole ilmeisiä. Aritmetiikan peruslause Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää yksikäsitteisellä
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 7 Ti 4.4.2017 Timo Männikkö Luento 7 Joukot Joukko-operaatioita Joukkojen esitystapoja Alkiovieraat osajoukot Toteutus puurakenteena Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 7 Ti 4.4.2017 2/26
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 6 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 To 28.3.2019 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 6 To 28.3.2019 2/30 B-puu 40 60 80 130 90 100
Lisätiedot58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen)
58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 1. Avaimet 1, 2, 3 ja 4 mahtuvat samaan lehtisolmuun. Tässä tapauksessa puussa on vain yksi solmu, joka on samaan aikaan juurisolmu
LisätiedotSuorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
LisätiedotDemo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
LisätiedotPelimatematiikka ja ohjelmointi ATMOS, Mikkeli - 16.11.2012
Pelimatematiikka ja ohjelmointi ATMOS, Mikkeli - 16.11.2012 Teemu Saarelainen, lehtori teemu.saarelainen@kyamk.fi GameLab gamelab.kyamk.fi & facebook.com/kyamk.gamelab Sisältö Miksi pelimatematiikkaa?
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotA Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7
1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ
LisätiedotAlgoritmi III Vierekkäisten kuvioiden käsittely. Metsätehon tuloskalvosarja 7a/2018 LIITE 3 Timo Melkas Kirsi Riekki Metsäteho Oy
Algoritmi III Vierekkäisten kuvioiden käsittely Metsätehon tuloskalvosarja 7a/2018 LIITE 3 Timo Melkas Kirsi Riekki Metsäteho Oy Algoritmi III vierekkäisten kuvioiden käsittely Lähtötietoina algoritmista
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit
KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,
LisätiedotLukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot
Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.
LisätiedotKenguru 2015 Mini-Ecolier (2. ja 3. luokka) RATKAISUT
sivu 1 / 10 3 pistettä 1. Kuinka monta pilkkua kuvan leppäkertuilla on yhteensä? (A) 17 (B) 18 (C) 19 (D) 20 (E) 21 Ratkaisu: Pilkkuja on 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 3 + 2 + 3 + 3 = 19. 2. Miltä kuvan pyöreä
Lisätiedot5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet
.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina
LisätiedotTässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms.
OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa
LisätiedotKenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotKenguru 2010 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 5
Kenguru 2010 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 5 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
LisätiedotPAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE
PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen
LisätiedotMohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa
Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain
LisätiedotM 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset
Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy
LisätiedotKombinatorinen optimointi
Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein
LisätiedotKenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
LisätiedotALGORITMIT 1 DEMOVASTAUKSET KEVÄT 2012
ALGORITMIT 1 DEMOVASTAUKSET KEVÄT 2012 1.1. (a) Jaettava m, jakaja n. Vähennetään luku n luvusta m niin kauan kuin m pysyy ei-negatiivisena. Jos jäljelle jää nolla, jaettava oli tasan jaollinen. int m,
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
LisätiedotMonikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio
Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.
Lisätiedot= = = 1 3.
9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala
LisätiedotTÖRMÄYKSEN TUNNISTUS 3D- YMPÄRISTÖSSÄ
Marko Huotari T076KN TÖRMÄYKSEN TUNNISTUS 3D- YMPÄRISTÖSSÄ Opinnäytetyö Tietotekniikka Maaliskuu 2011 KUVAILULEHTI Opinnäytetyön päivämäärä Tekijä(t) Marko Huotari Nimeke Koulutusohjelma ja suuntautuminen
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotMb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3
Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
LisätiedotLuento 3: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )
Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 30.4.2019 Timo Männikkö Luento 13 Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 13 Ti 30.4.2019
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 4 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 4 To 21.3.2019 Timo Männikkö Luento 4 Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Avoin osoitteenmuodostus Hajautusfunktiot Puurakenteet Solmujen läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 4
LisätiedotLuku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko
Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 2 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 2 To 14.3.2019 Timo Männikkö Luento 2 Tietorakenteet Lineaarinen lista, binääripuu Prioriteettijono Kekorakenne Keko-operaatiot Keon toteutus taulukolla Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 4 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 4 Ke 22.3.2017 Timo Männikkö Luento 4 Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Avoin osoitteenmuodostus Hajautusfunktiot Puurakenteet Solmujen läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 4
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
Lisätiedota) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella
Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.
Lisätiedot12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa
12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
Lisätiedot58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto)
811 Tietorakenteet (kevät 9) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto) 1. Bellmanin-Fordin algoritmin alustusvaiheen jälkeen aloitussolmussa on arvo ja muissa solmuissa on arvo ääretön. Kunkin solmun arvo
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotSuora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
LisätiedotLuento 6: Geometrinen mallinnus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Geometrinen mallinnus Lauri Savioja, Janne Kontkanen 11/2007 Geometrinen mallinnus / 1 Sisältö Mitä on geometrinen mallinnus tietokonegrafiikassa
LisätiedotGeometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio
Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun
Lisätiedot