ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Rakenteiden mekaniikka VI. Prof. (ma) Hannu Hirsi.

Transkriptio

1 ARK-A.3000 Rakennetekniikka (4op) Rakenteiden mekaniikka VI Prof. (ma) Hannu Hirsi.

2 Objectives in lecture 6 of mechanics : Palkit ja pilarit, niiden sisäiset rasitukset : Taivutusjännitykset Leikkausjännitykset. Taipumat. Betonisen seinän kuormituskoe. News : Laskuharjoitukset jatkuvat 3 luentokerran jälkeen.

3 Kertausta, Miten mallintaa rakenteita : Rakennelmat voidaan yksinkertaistaa sellaisiksi, että osaamme mallintaa (VKK) ne seuraavilla tavoilla : 1) Palkkirakenteilla : ulokkeita, ulokepalkkeja, nivelpakkeja sekä jatkuvia palkkeja, kolminivel ja jäykkiä kehiä. astopilari / ( levyjäykistys) 2) Sauvarakenteilla : ristikot, kaarevat ristikot sekä avaruusristikot. Ristikkojäykistys ristikot ja palkit. 3) Kaarilla ja köysillä : korkeat kaarevat palkit, kaaret sekä kuoret ja vedetyt rakenteet Ristikkojäykistys palkit ja kaari

4 Esimerkki 1, mallin luonnista : Harustettu ristikkorunkoinen masto : 1. tuenta korvataan kitkattomalla ideaalinivelellä. 2. ristikkosauvat korvataan palkeilla. 3. harukset korvataan jousilla, huomaa pystykomponentti N i 4. tuulikuormitus korvataan vakiokuormalla q 5. jääkuormat mukaan omaan painoon. 1. Suunnitelma : 2. Malli : Edellisten luentojen perusteella osaat arvoida rakenteen sisäiset voimat

5 Esimerkki 2, mallin luonnista kerrostalolle : Prof. Jari Puttonen

6 Rakenteiden mekaniikan analyysit osana suunnitteluprosessia : Kevään asiaa! Tässä luennossa Roper

7 Leikkausvoimat ja momentit tavanomaisilla rakenteilla : Yleensä alustavissa laskelmissa kannattaa käyttää pistekuormia. Maximirasitusten tarkistaminen murtorajatilassa riittää. Käyttörajatilat, taipumat ja värähtelyt ovat monasti mitoittavia

8 Momentin, leikkausvoiman ja kuorman yhteys : Palkista on leikattu elementti, tasapainoehdoista seuraa : dq + q(x) * dx = 0 (1) Palkin differentiaalielementti q(x) dm + Q * dx = 0 ; (piste O ) (2) (1) (2) Tästä saadaan : dq / dx = - q(x) dm / dx = Q(x) d 2 M / dx 2 = - q(x) Nämä voidaan siis johtaa suoraan statiikan säännöillä palkin osan VKK:sta! M, Q dx O M + dm, Q + dq

9 Rakenteiden sisäiset rasitukset ja jännitykset : Rakennelaskelmat perustuvat aina rakenetta ja rakennusaineita kuvaaviin malleihin : Rakenne voitiin mallintaa sauvana, palkkina, levynä, laattana tai kuorena. Tärkein materiaalimalleista on otaksuma aineen muodonmuutosten ja jännitysten välisestä lineaarisesta riippuvuudesta : Hooken laki Suurin materiaalin kestämää jännitystä sanotaan lujuudeksi f.

10 Vedetyt ja puristetut sauvat : Ulkoisen voiman aiheuttamat sisäiset voimat : katkaistun sauvan poikkileikkauksessa vaikuttaa sisäinen resultanttivoima joka on yhtä suuri kuin ulkoinen voima. sisäinen resultantti voidaan jakaa äärettömän tiheässä oleviksi pieniksi voimiksi, eli normaalijännitykseksi -. pinta-alana käytetään N/mm F = * = F / A 4

11 Vedetyt ja puristetut sauvat jatkuu...

12 Vedetyt ja puristetut sauvat jatkuu... Rakenteen poikkileikkaus pysyy puristettuna jos voima on poikkileikkauksen sydänkuvion sisäpuolella. Jos epäkeskeisyys e tulee suuremmaksi rakenteen reunalla on vetojännityksiä. Sydänkuvio

13 Palkin taivutusjännitykset : Maximijännitysten seuraa suoraan momenttikuviosta : Jos momentti muuttuu jatkuvasti palkin matkalla, niin samoin jännitykset. maximijännitykset aina momentin maksimin kohdalla symmetrisen palkin ylä- ja alareunassa. Voit korvata tasaisen jännityksen voimaresultantilla. Tässä tapauksessa taivutusjännitys on suurimmillaan pistekuorman kohdalla. Tuella taivutusjännitys = 0

14 Taivutetut palkit : Tarkastellaan ainoastaan taivutettua poikkileikkausta. Hooken laki on voimassa : M = F * 2/3 * h * b = ( * h/2 ) / 2 * 2/3 * h * b = * b * h / 6 = * W M M = M / W W = taivutusvastus Mitoitusehto : Taivutusrasituksen seurauksena jännitykset b rakenteen ylä-tai alareunassa eivät saa ylittää materiaalin taivutuslujuutta f b = b </= f b

15 Materiaalien lujuus, jäykkyys ja sitkeys : Teräksen jännitys- muodonmuutoskuvaaja. Teräksen ja betonin jännitys- muodon- Muutoskuvaajat puristusrasituksen alaisena

16 Jännitysten vaihtelu ulokepalkissa : Jännitysten vaihtelu seuraa suoraan momenttikuviosta : Ulokkeilla ja tuilla yläpinta vedetty ja alapinta puristettu. Palkkien kentissä merkit toisinpäin. Kuvassa on yleisin tapa määritellä positiivinen monentin kiertosuunta.

17 Ulokkepalkin optimipoikkileikkaus : Ulokepalkin kuormituksena pistekuorma : jos rakenteen korkeutta pidetään vakiona :, leveys muuttuu lineaarisesti jos rakenteen leveys pidetään vakiona :, korkeus muuttuu parabeelisesti.

18 Palkin optimipoikkileikkaus jatkuu... Ulokepalkin kuormituksena tasainen kuorma : jos rakenteen korkeutta pidetään vakiona :, ulokkeen leveys muuttuu parabeelisesti. jos rakenteen leveys pidetään vakiona :, ulokkeen korkeus muuttuu lineaariasesti.

19 Rakenteiden taivutusrasitus : Tekninen taivutusteoria lähtee liikkeelle Bernoullin otaksumasta : Palkin poikkileikkaus säilyy taivutuksessa tasona joka on kohtisuorassa palkin pituussäikeitä vastaan. Voidaan johtaa : 1 / R = M / ( E * I ) Tästä voidaan edelleen johtaa jännityksille kaava : = M * y / I Edelleen voidaan johtaa : v (x) = - M / ( E * I ) Rakennetta taivutettaessa se kaareutuu ja vakiomomentin alueella kaarevuussäde R on vakio. näissä: v = taipuma, E = kimmokerroin ja I = jäyhyysmomentti

20 Palkin leikkausjännitykset : Leikkausjännitys saadaan laskettua suoraan leikkausvoimasta : Pistevoiman ja tuen välillä leikkausjännitys on vakio. Tasaisella kuormalla suurin leikkausjännitys on yleensä tuen vieressä. Leikkausjännityksen maximiarvo on keskellä uumaa suorakaidepoikkileikkauksella. Tässä tapauksessa leikkausjännitys on suurimmillaan pistekuorman oikealla puolella. Leikkausjännitys on aina > 0

21 Leikkausrasitetut palkit : Tarkastellaan taivutettua uloketta, jossa on päässä pistekuorma. Tarkastellaan halkaistua palkkia : S = F = ( * h/2 ) / 2 * b = * b * h/4 Edellä todettiin : M = P * L= * (b * h 2 /6) = 6 * P * L/(b * h 2 ), saadaan S = [6 * P * L/(b * h 2 )]*[b * h/4] S = 3/2 * P * L / h Jaetaan leikkausvoima koko pinnalle : = S / b * L = 3/2 * P / A P Mitoitusehto : Leikkausrasituksen seurauksena rakenteen leikkausjännitykset rakenteen keskellä eivät saa ylittää materiaalin taivutuslujuutta f v.

22 Rakenteiden leikkausrasitus : Statiikan teorian perusteella voidaan kirjoittaa : dm / dx = Q Keskimääräinen leikkausjännitys : = Q / A Voidaan edelleen johtaa leikkausjännityksille kaava : = Q * S / ( I * b ) Suorakaidepoikkileikkaukselle : = 1.5 * Q / ( A ) näissä: A = pinta-ala S = staattinen momentti ja I = jäyhyysmomentti Leikkausjännitykset jakautuvat parabeelisesti Leikkausrasituksen seurauksena rakenteen jännitykset rakenteen ylä- tai elaraunassa voivat ylittää materiaalin leikkauslujuuden f v.

23 Leikkausrasitus jatkuu... Leikkausrasituksen seurauksena rakenne pyrkii leikkaantumaan: puurakenne pituussuuntaan. betonipalkki vinohalkeaa.

24 Esimerkkejä, Jännitysten jakautuminen : Suorakaide ja ohutuumaiset rakenteet : Liittorakenteet : Teräsbetonirakenteet : N A = Neutral Axis

25 Poikileikkaussuureet : Esim. Rakentajan kalenteri Jos rakenteen korkeus muuttuu : - Pinta-ala potenssiin 1 - Taivutusvastus potenssiin 2 - Jäyhyysmomentti potenssiin 3 Mutta Jos leveys muuttuu : -Kaikki potenssiin 1 eli lineaarinen muutos.

26 Palkin sisäiset rasitukset : Palkin sisällä jännitykset seuraavat vedettyjä ja puristettuja kaaria :

27 Rakenteiden nurjahdus : Hoikat puristetut sauvat pyrkivät nurjahtamaan : hoikat rakenteet on tuettava : tuen vapausasteita pitää rajoittaa tai sauva pitää tukea jänteen matkalta. Avaruussauva voi nurjahtaa moneen suuntaan, kaikki on tutkittava.

28 Nurjahdus jatkuu... Rakenteella on yleensä selvästi hoikempi suunta, mihin rakenne pyrkii nurjahtamaan : rakenne tuetaan yleensä ainoastaan heikompaan suuntaansa.

29 Nurjahdustuennat : Rakenteen nurjahdustuenta lisää sen kantavuuden moninkertaiseksi. Tuentavoimat muutama prosenttia pystykuormasta. Yleensä helppo toteuttaa.

30 Levyrakenteiden lommahdus : Ohuet levyt pyrkivät lommahtamaan : ohuet levyt on jäykistettävä : levyihin asennetaan lisäjäykisteet.

31 Palkkien kiepahdus : kapeat palkit pyrkivät kiepahtamaan, sivulle vääntyvät palkit on sivutuettava : palkit tuetaan tuilta haarukkalaakereilla jänteeltä palkit tuetaan pintarakenteilla tai sekundäärirakenteilla. Kiepahdusta on erityisesti tutkittava rakennusaikaisia kuormituksia ajatellen.

32 Vääntönurjahdus : Avoimilla poikkileikkauksilla, joilla vääntöjäykkyys on pieni stabiiliuden menetys voi seurata rakenteen vääntymisestä : rakenne on tuettava myös vääntymisen estämiseksi.

33 Muotovirheiden vaikutus kantavuuteen : Erityisesti kuorirakenteet ovat herkkiä muotovirheille :

34 Rakenteiden stabiilius : Stabiili rakenne menettää kantavuutensa murtumalla. Hoikka rakenne menettää kantavuutensa rakenteen muututtua labiiliksi. Nurjahdus, kiepahdus ja lommahdus muistuttavat hyvin paljon toisiaan : tässä esimerkki pilarin nurjahduksesta.

35 Pilarin stabiiliuden tarkistaminen : Puristetun sauvan nurjahdus tarkistetaan Eulerin kaavalla. Rakenteen hoikkuusluku ei saa olla liian suuri < 170. Rakenteen tuenta otetaan huomioon nurjahduspituuden L avulla. Nurjahduspituudet : L ef =

36 Ylikriittisen alueen hyödyntäminen : Vaaka Pysty Vino

37 Rakenteiden suunnittelu ja mitoitus : Rakenteiden yleissuunnittelu : Rakennejärjestelmän ja jäykistysjärjestelmän valinta sekä kuormat. Rakenteiden analyysi : Valitun rakennejärjestelmän analysointi mekaniikan avulla. Rakenteiden mitoitus : Valitun rakennejärjestelmän rakenteiden mittojen tarkistus. Rakenteiden detaljisuunnittelu : Liitosten ja liittymien suunnittelua. Mallipohjainen suunnittelu : Arkkitehdin tilamalli Rakennemalli Analyysimalli Toteuma malli

38 Mitoituksessa tarkasteltavia suureita : Jännitys : normaalijännitys taivutusjännitys leikkausvoima Muodonmuutos : absoluuttinen muodonmuutos - L suhteellinen muodonmuutos L / L Siirtymä : painuma taipuma sivusiirtymä Stabiilius : nurjahdus lommahdus Taivutusjännitys kiepahdus vääntönurjahdus Normaalijännitys Leikkausjännitys

39 Muut sisäiset rasitukset : Pääosa talojen rakenteista saa mittansa rakennusfysiikan, palotekniikan, lämpötekniikan tai rakenteiden äänitekniikan perusteella. Kuormitusten takia rakenteet saavat mittansa yleensä taivutusrasitusten, leikkausrasitusten, tukipaineiden perusteella tai sitten taipumien rajoittamisen takia. Vain taivutuksen aiheuttamat muodonmuutokset tarvitsee ottaa huomioon. Stabiliuden varmistaminen ei yleensä vaikuta rakenteen mittoihin koska se on helpommin hoidettavista tuentajärjestelyillä. Joskus poikkeuksellisesti vääntörasitus on merkittävä rasitustekijä. Kevyillä joustavilla rakenteilla saattavat rakenteiden värähtelyt muodostua mitoittaviksi. Kaarevilla rakenteilla on omat erityiset sisäiset rasituksensa, jotka on aina tutkittava erikseen ja jotka vaikuttavat voimakkaasti rakenteen mittoihin.

40 Estetyt muodonmuutokset : Rakenteeseen voi aiheutua jännityksiä myös estetyistä muodonmuutoksista : muodonmuutos on estetty jos tuet eivät salli liikkeitä. Muodonmuutokset ovat seurausta : rakenteiden tukien liikkumisesta. rakenteen lämpötilan muuttumisesta. puulla ja betoni rakenteen kosteuspitoisuuden muuttumisesta. Estetyt muodonmuutokset voivat aiheuttaa rakenteen murtumisen. T RH S L L L = * L * T L = * L * RH = E * = L / L = E * L / L L = * L * T L = L * / E = E * * T

41 Kesämökin lattiapalkin mitoitus : Selvitetään rakenteen toimintaperiaate, piirretään malli ja sille valitaan alustavat mitat. Lasketaan ulkoiset pysty- ja vaakakuormat ja kuormayhdistelmät. Lasketaan sisäiset voimasuureet, momentit ja leikkausvoimat. Tarkistetaan valitun rakenteen mitat mitoittavan voimasuureen perusteella murtumisen suhteen. Tarkistetaan muut voimasuureet murtumisen suhteen. Tarkistetaan taipuma. Otetaan huomioon muut rakenteelliset seikat; liitokset ja talotekniikka.

42 jatkuu... Kuormat : hyötykuorma : 1,5 kn/m 2 omapaino : lattialaudat 0,025 m x 600 kg/m 3 = 15 kg/m 2 rossilaudat 0,020 m x 600 kg/m 3 = 12 kg/m 2 mineraalivilla 0,05 m x 50 kg/m 3 = 3 kg/m 2 palkkia kohden: hyötykuorma 0,6 m x 1,5 kn/m 2 = 0,9 kn/m laudat + villa 0,6 m x 30 kg/m 2 = 18 kg/m palkin paino 0,25 m x 0,05 m x 600 kg/m 3 = 8 kg/m eli rakenteen paino yhteensä 26 kg/m = 0,26 kn/m Kokonaiskuormitus p = 1,16 kn/m

43 jatkuu... Onko palkki korkea, miten korkea se voi olla?

44 jatkuu... Kotitehtävä, laske miten suuri palkki riittää! Tämän lisäksi on tarkistettava aina tuen liitoksen rasitukset ja rakennusfysiikka, U-arvo.

45 Poikkileikauksen jäyhyysmomentti ja taivutusvastus :

46 Nomogrammit : Lyhyet palkit mitoittaa leikkaus, pidemmät taivutusrasitus ja pitkät palkit taipumamitoitus.

47 Esimerkki mallin luonnista : kuorma yläreunassa Malli on kuvattu sinisellä viivalla. Puristusviiva on kuvattu punaisella. Viivat kuvaavat jännitystä ja sen suuntaa levyn sisällä. Edellä esitetty palkkiteoria ei sovellu. kuorma alareunassa