Luento 6: Geometrinen mallinnus
|
|
|
- Santeri Järvenpää
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tietokonegrafiikan perusteet T op Luento 6: Geometrinen mallinnus Lauri Savioja 11/05 Geometrinen mallinnus / 1 Mitä on mallintaminen? Perusmenetelmät Mallihierarkiat Sisältö Geometrinen mallinnus / 2 1
2 Mitä on mallintaminen? Mallintamisella tarkoitetaan sellaisen keinotekoisen objektin rakentamista, jolla on samat ominaisuudet kuin mallinnettavalla kohteella - niiltä osin kuin tarkastelunäkökulma edellyttää. Geometrinen malli esittää objektin: muotoa kokoa sijaintia asentoa yms. avaruudellisia ominaisuuksia. Riittävää on siis tieto siitä, mitkä avaruuden pisteet kuuluvat objektiin. Muut ominaisuudet ovat joko tästä johdettavissa tai eigeometrisia lisäominaisuuksia. Geometrinen mallinnus / 3 Mallintaminen? (jatkuu) Geometrisia mallintamismenetelmiä ja -järjestelmiä voidaan luonnehtia sen mukaan, kuinka moniulotteisia objekteja niillä voidaan käsitellä. Mallinnusavaruuden dimensio >= objektin sisäinen dimensio Esimerkiksi 3-ulotteinen (3D) mallintaminen sinänsä tarkoittaa vain mallintamista 3-ulotteisessa avaruudessa, mikä voi pitää sisällään: 1-ulotteisista viivoista koostuvia ns. rautalankamalleja (wireframe model) 2-ulotteisia pintamalleja (surface model) 3-ulotteisia tilavuusmalleja (solid model). Sovelluksissa, esim. tietokoneavusteisessa suunnittelussa (CAD) tarvitaan usein kaikkia näitä rinnakkain Grafiikassa käytettävät tietorakenteet ovat itse asiassa 2- ulotteisia geometrisia malleja. Samoin kukin tulostusprimitiivi voidaan ymmärtää geometrisena peruselementtinä. Geometrinen mallinnus / 4 2
3 Perusmenetelmiä Lähes kaikkien menetelmien peruselementtinä on piste. Se esitetään koordinaattiensa avulla, joita on yhtä monta kuin on käsiteltävän avaruuden ulottuvuus. Piste on siis vektori: p = [ x, y, z ]. Usein käytetään ns. homogeenista koordinaatistoa, jolloin kuhunkin vektoriin lisätään ylimääräinen skaalaustekijä w : p = [ wx, wy, wz, w ] <=> p = [ x, y, z ] Geometrinen mallinnus / 5 Reunaesitys Jana (suora viiva) voidaan esittää kahden päätepisteensä avulla, ja murtoviiva (polyline) pidempänä jonona pisteitä: s = [ p 1, p 2 ] ; poly = [ p 1, p 2,..., p n ] Monikulmio (polygon t. fill-area) on viivaketju, jonka molemmat päätepisteet ovat samat, jolloin niistä toinen voidaan jättää pois. Se rajaa sisäänsä tietyn 2-ulotteisen alueen. Monitahokaspinta 3-ulotteisessa avaruudessa voidaan esittää joukkona monikulmioita, joiden yleensä oletetaan olevan tasomaisia. Koska vierekkäiset monikulmiot jakavat keskenään samoja nurkkapisteitä ja reunajanoja, esitetään yhtenäinen pinta usein verkkorakenteena, joka kuvaa vain tahojen väliset liittymät l. topologian. Kustakin verkon osasta on viite osien muodot l. geometrian sisältävään tietorakenteeseen siten, että kukin jaettu tieto (pisteiden koordinaatit, janojen ja tahojen yhtälöt) on talletettu vain kerran. Geometrinen mallinnus / 6 3
4 Jos pinta on sulkeutuva, se rajaa sisälleen tietyn 3-ulotteisen tilavuuden. Tällöin puhutaan monitahokaskappaleen reunaesityksestä (boundary representation). Sitä kuvaavan verkon erityisominaisuus on, että kukin särmä rajaa täsmälleen kahta tahoa. Verkkomainen reunaesitys voidaan yleistää myös monitahokkaisiin, joiden särmät ovat käyriä ja tahot kaarevia. Geometrinen mallinnus / 7 Parametrikäyrät ja -pinnat Rajattu, jatkuva käyrä (minkä ulotteisessa avaruudessa hyvänsä) voidaan esittää kuvauksena reaalilukusuoran rajatulta intervallilta avaruuteen eli yhden muuttujan vektoriarvoisena funktiona: p (t) = [ x (t), y (t), z (t) ] ; t [0 1] t = Geometrinen mallinnus / 8 4
5 Kullekin koordinaatille annettu funktio voi periaatteessa olla mikä hyvänsä, mutta matala-asteiset (2-3 ) polynomit ovat laskennan kannalta käyttökelpoisimpia. Monimutkaisia käyriä voidaan koota liittämällä rajattuja käyriä yhteen ketjuksi. Tällaista yhdistelmää kutsutaan palapolynomikäyräksi eli spliniksi. Jotta yhdistelmä näyttäisi sileältä käyrältä, on palojen liityttävä toisiinsa samansuuntaisesti l. tangentiaalisesti (ns. C1- jatkuvuus) ja mahdollisesti myös niiden kaarevuuksien on oltava samat (ns. C2 -jatkuvuus). Geometrinen mallinnus / 9 Vastaavaan tapaan kaareva splinipinta muodostuu paloista, jotka ovat kuvauksia tason yksikköneliöstä avaruuteen eli kahden muuttujan vektorifunktioita: p (u,v) = [ x (u,v), y (u,v), z (u,v) ] ; u,v [0 1] Koska polynomien kertoimien määrääminen numeromuodossa on epähavainnollista, johdetaan ne yleensä splinikäyrän tai -pinnan geometrisista ohjauspisteistä. Ohjauspisteet sijaitsevat käyrän/pinnan läheisyydessä siten, että ohjauspisteen siirtäminen vetää pintaa mukanaan samaan suuntaan. Alijakopinnat v=1 v=0 u=0 u=1 Geometrinen mallinnus / 10 5
6 Algebralliset yhtälöt Rajoittamaton taso 3-ulotteisessa avaruudessa (tai vastaavasti suora tasossa) voidaan esittää myös tason jokaiselle pisteelle p pätevänä lineaarisena yhtälönä: F (x,y,z) = ax + by + cz + d = n p = 0, missä tason piste p = [ x, y, z, 1 ] esitetään homogeenisessa koordinaatistossa ja n = [ a, b, c, d ] on tason normaalivektori, jonka osa [a,b,c] on normaalin suunta ja d on tason etäisyys origosta. Suora voidaan ilmaista kahden tason leikkauksena (kahden yhtälön ryhmänä) ja piste vastaavasti kolmen (eli siis suoran ja tason leikkauksena). Geometrinen mallinnus / 11 Myös kaarevia pintoja voidaan ilmaista algebrallisilla yhtälöillä. Esimerkiksi ns. kvadraattiset pinnat (pallo, ellipsoidi, sylinteri, kartio, paraboloidi, hyperboloidi) toteutuvat eri kertoimilla samasta 2 yhtälöstä. Yhtälön määrittämä pinta jakaa avaruuden kahteen erilliseen pistejoukkoon eli puoliavaruuteen, jotka kumpikin saadaan vastaavista epäyhtälöistä: F (x,y,z) < 0 ja F (x,y,z) > 0 Geometrinen mallinnus / 12 6
7 Perusmenetelmät - CSG Jos puoliavaruus on rajattu, sillä on tietty tilavuus eli se on tilavuusmalli. Epäyhtälöitä voidaan yhdistellä loogisin operaatioin (JA, TAI, EI), jotka vastaavat niiden määrittämien joukkojen yhdistelmiä (unioni, leikkaus, komplementti). Tällainen joukko-opillinen malli voidaan esittää binääripuuna (periaate tunnetaan usein nimellä CSG eli Constructive Solid Geometry): + - = Geometrinen mallinnus / 13 Solumallit Monimutkainen geometrinen malli voidaan myös esittää yksinkertaisista perusosista (neliö, kolmio, tetraedri, kuutio, jne.) yhteen "liimattuna" solurakenteena, jossa solut koskettavat toisiaan, mutta eivät ulotu toistensa sisälle. Esimerkiksi lujuusanalyysissä käytettävät ns. FEM-mallit (Finite Element Method). Kullakin solulla voi olla erilaisia ominaisuuksia, kuten materiaali ja sen kimmoisuus, väri, jne. Solut voivat muodostua myös avaruuden säännöllisestä osiinjaosta. Esimerkiksi grafiikan rasterikuva on tasavälinen 2-ulotteinen jako, jonka elementit ovat pikseleitä. Vastaava 3-ulotteinen jako koostuu vokseleista. Homogeeninen kappale voidaan esittää luettelemalla kaikki siihen kuuluvat vokselit. Geometrinen mallinnus / 14 7
8 Solumallit (jatkuu) Osiinjaon ei tarvitse olla kaikkialla samanlainen, vaan se voi olla tiheämpi siellä, missä mallissa on pienempiä yksityiskohtia (yleensä mallin pinnalla) ja taas harvempi muualla (mallin sisäja ulkopuolella). Näin voidaan esittää tarkempia malleja vähemmällä tietomäärällä. Lähtemällä liikkeelle koko tarkasteltavan 2-D (3-D) avaruuden sisältävästä neliöstä (kuutiosta), jota jaetaan aina tarvittaessa neljään (kahdeksaan) yhtä suureen osaan, saadaan hierarkkinen puurakenne, quadtree (octree): NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL NIL Geometrinen mallinnus / 15 Proseduraaliset mallit Monia geometrisia muotoja on kätevintä kuvata kyseisen muodon tuottavan proseduurin avulla. Esimerkiksi kartio, lieriö tai yksivaippainen hyperboloidi voidaan määritellä niiden pisteiden urana, joiden kautta annettu jana kulkee pyörähtäessään akselina toimivan suoran ympäri. Vastaavasti tilavuusmalli saadaan, kun annettu 2-ulotteinen kuvio (esim. monikulmio tai ympyrä) liikkuu määriteltyä rataa pitkin muodostaen samalla ns. pyyhkäisykappaleen (sweep model): Geometrinen mallinnus / 16 8
9 Proseduraaliset mallit (jatkuu) Mallin muodostava proseduuri voi olla myös rekursiivinen, itseään toistava. Täten voidaan määritellä äärettömän määrän pieniä yksityiskohtia sisältäviä fraktaalimalleja. Tämän kaltaisia mallinnettavia kohteita esiintyy runsaasti luonnossa, esimerkiksi järven rantaviiva sisältää mielivaltaisen määrän mutkia, mittaustarkkuudesta riippuen. Geometrinen mallinnus / 17 Mallien hierarkia Ihmiselle luontainen taipumus on jäsentää laajoja kokonaisuuksia hierarkkisesti. Kokonaisuus koostuu osista, jotka edelleen kukin koostuvat pienemmistä osista ja niin edelleen. Vastaavaan tapaan geometriset mallitkin yleensä esitetään puurakenteina, joissa puun "juuri" on koko käsiteltävä maailma (world) ja sen oksina (lapsina) on pienempiä osamaailmoja (subworld). Osamaailmoista puu haarautuu edelleen pienempiin oksiin, kunnes lopulta tullaan "lehtiin", primitiivisiin mallielementteihin. Geometrinen mallinnus / 18 9
10 Mallien hierarkia (jatkuu) Tavallista on, että laajassa mallissa on useita samankaltaisia osia. Kutakin eri tyyppistä osaa kannattaa yksityiskohtaisesti mallintaa vain yksi alkuperäiskappale (master copy), jonka moninkertaiset ilmentymät (instance) sitten esitetään vain kopiointiviitteinä. Jokaiseen ilmentymään liittyy geometrinen muunnos (modeling transformation), joka osoittaa mihin paikkaan ja asentoon (ja minkä kokoisena) mallin kopio asettuu. Näin puurakenteen oksat saattavat myös osittain yhtyä ensin haarauduttuaan. Esimerkiksi liikennesimulaatio voisi sisältää suuren määrän eri merkkisiä autoja. Näistä kukin merkki esitetään omana alkuperäismallinaan, joiden ilmentymät asettuvat omille paikoilleen tiellä. Auton alkuperäismallista puolestaan on neljä ilmentymäviitettä samaan renkaan määrittelyyn, joka voi olla jaettu eri automerkkienkin kesken. Renkaan määrittely taas käyttää hyväkseen standardipultin mallia, jne. Geometrinen mallinnus / 19 Mallien hienorakenne Mallin kaikkia eri tasoisia yksityiskohtia ei kannata aina kuvata samalla perusmenetelmällä, vaan useita tapoja voidaan yhdistää - varsinkin hierarkian eri tasoilla. Samasta mallista voi olla myös useampia vaihtoehtoisia esitysmuotoja, joiden kesken valinta voidaan tehdä tilanteen vaatimusten mukaan (LOD - Level of Detail). Esimerkiksi hyvin kaukaa katsottuna talo voidaan kuvata pelkkänä kuutiona, vähän lähempää tulevat näkyviin katto, ikkunat ja ovet, ja lopulta avaimenreiästä kurkistettaessa näkyvät lukon pienimmätkin yksityiskohdat. Geometrinen mallinnus / 20 10
11 Mallien hienorakenne (jatkuu) Mallin perusmuoto, hahmo, voidaan yleensä kuvata suhteellisen karkealla tasolla jotakin edellä kuvatuista perusmenetelmistä käyttäen. Hahmon hienorakennetta eli tekstuuria kuvataan puolestaan rasterilla tai proseduraalisella mallilla, joka kiinnitetään mallin geometrisiin koordinaatteihin. Menetelmää läheisesti vastaava analogia on koristekuvion liimaaminen vaikkapa kahvikupin sileään pintaan. Paitsi mallin pinnan väritystä ja muita valaistusparametreja, tekstuurilla voidaan kuvata myös pieniä poikkeamia (offset) geometrisesta perusmuodosta, tai vaikkapa pinnan karvoitusta. Geometrinen mallinnus / 21 11
Luento 6: Geometrinen mallinnus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Geometrinen mallinnus Lauri Savioja, Janne Kontkanen 11/2007 Geometrinen mallinnus / 1 Sisältö Mitä on geometrinen mallinnus tietokonegrafiikassa
Luento 2: Tulostusprimitiivit
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento : Tulostusprimitiivit Lauri Savioja 11/06 D primitiivit / 1 Sisältö Mallintamisen alkeita Perusprimitiivit (GKS) attribuutteineen Näyttömuisti D primitiivit
Luento 6: Tulostusprimitiivien toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Tulostusprimitiivien toteutus Lauri Savioja 11/07 Primitiivien toteutus / 1 ntialiasointi Fill-algoritmit Point-in-polygon Sisältö Primitiivien toteutus
2.2. Kohteiden konstruktiivinen avaruusgeometrinen esitys
.. Kohteiden konstruktiivinen avaruusgeometrinen esitys Avaruusgeometrinen esitys on käyttäjäriippuvainen ja vaati erikoismenetelmiä tai lopuksi konversion monikulmiomalliksi. Se on korkean tason esitys
Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora
Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen
T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011
T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 Vastaa kolmeen tehtävistä 1-4 ja tehtävään 5. 1. Selitä lyhyesti mitä seuraavat termit tarkoittavat tai minkä ongelman algoritmi ratkaisee
2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Luento 3: 2D Katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 3: 2D Katselu Lauri Savioja 11/06 2D katselu / 1 Sisältö Ikkuna ja näyttöalue Viivanleikkaus ikkunaan Monikulmion leikkaus ikkunaan Tekstin leikkaus
Luento 2: 2D Katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 2: 2D Katselu Lauri Savioja 11/07 2D katselu / 1 Sisältö Ikkuna ja näyttöalue Viivanleikkaus ikkunaan Monikulmion leikkaus ikkunaan Tekstin leikkaus
Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
Objektien deformaatiot
T-111.450 Tietokoneanimaatio ja mallintaminen Lauri Savioja Teknillinen korkeakoulu Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio 03/02 Animaatio / 1 Objektien deformaatiot Perinteisessä animaatiossa
Luento 3: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran
HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Millä vektorin c arvoilla voidaan vektoreita a + b, a + c ja b +2 c siirtelemällä muodostaa kolmio?
Pitkäranta: Calculus Fennicus II.2. Tason vektorit Koska ilmeisesti pätee v 1, v 2 W v 1 + v 2 W, v W λ v W λ R, on W itsekin vektoriavaruus. Sen kantaan tarvitaan vain yksi vektori, esim a, joten dim
Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
4. Esittäminen ja visualisointi (renderöinti)
4. Esittäminen ja visualisointi (renderöinti) Tutkitaan erilaisia renderöintimenetelmiä, joita käytetään luvuissa 2 ja 3 esitettyjen kuvien esitysmuotojen visualisointiin. Seuraavassa selvitetään: (1)
T Tietotekniikan peruskurssi: Tietokonegrafiikka. Tassu Takala TKK, Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio
T-106.1041 Tietotekniikan peruskurssi: Tassu Takala TKK, Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio Luennon aiheita (1) mitä on tietokonegrafiikka? tietokone piirtää kuvia mikä on digitaalinen
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
Perusteet 5, pintamallinnus
Perusteet 5, pintamallinnus Juho Taipale, Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Ota piirustus fin_basic_4.pdf (Sama piirustus kuin harjoituksessa basic_4). Käytä piirustuksessa annettuja mittoja ja
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Kartio ja pyramidi
Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota
I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien
I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien Koko geometrian voidaan ajatella koostuvan pisteistä. a) Matemaattinen piste on sellainen, millä EI OLE LAINKAAN ULOTTUVUUKSIA. Oppilaita voi johdatella pisteen
massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5
A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.
Todista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f,
7. Taso- ja avaruusintegraali 7.1. Tasointegraalin määrittely 205. Tarkastellaan funktiota f (x,y) = x+y neliössä {(x,y) 0 x 1, 0 y 1}. Neliö jaetaan suorilla x = a ja y = b neljään osasuorakulmioon; 0
Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8
Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8 Piirtoalue ja algebraikkuna Piirtoalueelle piirretään työvälinepalkista löytyvillä työvälineillä
, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio
Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.
Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
Perusteet 3, tilavuus ja pintamallinnus
Perusteet 3, tilavuus ja pintamallinnus Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Ota piirustus fin_basic_3_1.pdf, sama piirustus kuin harjoituksessa basic_3_1. Käytä piirustuksessa annettuja mittoja
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Geogebra -koulutus. Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen
Geogebra -koulutus Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen Geogebra Ilmainen dynaaminen matematiikkaohjelmisto osoitteessa http://www.geogebra.org Geogebra-sovellusversion voi asentaa tietokoneilla ja
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Ratkaisut: loppuviikko 2
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Ratkaisut: loppuviikko 2 Harjoitustehtävät 11-13 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, 15-17 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävä 14 palautetaan MyCourses-sivulle
Sisältö. Luento 6: Piilopinnat. Peruskäsitteet (jatkuu) Peruskäsitteitä. Yksinkertaisia tapauksia. Yksinkertaiset tapaukset jatkuu
Tietokonegrafiikka / perusteet T-111.300/301 4 ov / 2 ov Peruskäsitteitä Z-buffer Syvyyslajittelu Juovalajittelu Rekursiivinen aluejako Piiloviivat Sisältö Luento 6: Piilopinnat Marko Myllymaa 09/03 Piilopinnat
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 2 7.2.2013 1. Matematiikan lukiokurssissa on esitetty, että ylöspäin aukeavan paraabelin f(x) = ax 2 +bx+c,a > 0,minimikohtasaadaan,kunf
MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste
MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.
MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms.
OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa
Suorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.
VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten
Luento 3: Tulostusprimitiivien toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 3: Tulostusprimitiivien toteutus Lauri Savioja 11/05 Primitiivien toteutus / 1 Suora ja ympyrä Antialiasointi Fill-algoritmit Point-in-polygon Sisältö
Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt
6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran
Luento 7: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikka / perusteet Tik-.3/3 4 ov / 2 ov Luento 7: 3D katselu Lauri Savioja /4 3D katselu / Sisältö Koorinaattimuunnokset Kameran ja maailmankoorinaatiston yhteys Perspektiivi 3D katselu / 2
3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
Luento 7: Lokaalit valaistusmallit
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 7: Lokaalit valaistusmallit Lauri Savioja 11/07 Lokaalit valaistusmallit / 1 Sävytys Interpolointi Sisältö Lokaalit valaistusmallit / 2 1 Varjostustekniikat
Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
POHDIN - projekti. Funktio. Vektoriarvoinen funktio
POHDIN - projekti Funktio Funktio f joukosta A joukkoon B tarkoittaa sääntöä, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon jonkin alkion joukosta B. Yleensä merkitään f : A B. Usein käytetään sanaa kuvaus synonyymina
Ensimmäinen osa: Rautalankamallinnus. Rautalankamallinnus
Ensimmäinen osa: Rautalankamallinnus Rautalankamallinnus Tampereen ammattiopisto - CAD -perusharjoitukset Rautalankamallinnus I: Jana, suorakulmio ja ympyrä Harjoitusten yleisohje Valitse suunnittelutilan
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
Teoriatausta. Mallinnuksen vaiheet. CAD työkalut harjoituksessa. Uppokipinätyöstön elektrodi
Uppokipinätyöstön elektrodi Tuula Höök, Tampereen teknillinen yliopisto Teoriatausta Muotin perusrakenne Uppokipinätyöstö Kipinätyöstön elektrodit Muottipesän valmistettavuus CAD työkalut harjoituksessa
Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa
1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,
Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2
BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden
Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Epäeuklidista geometriaa
Epäeuklidista geometriaa 7. toukokuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Euklidinen geometria....................... 1 1.2 Epäeuklidinen geometria..................... 2 2 Poincarén kiekko 2 3 Epäeuklidiset
Vektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen
Painevalut 1. Teoriatausta Knit. Mallinnuksen vaiheet. CAD työkalut harjoituksessa diecasting_1.sldprt. CAE DS Kappaleensuunnitteluharjoitukset
Painevalut 1 Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Hae piirustus diecasting_1_1.pdf. Käytä piirustuksessa annettuja mittoja ja tuota niiden pohjalta teknisesti hyvälaatuinen ruisku tai painevalukappale,
Perusteet 6, lisää pintamallinnusta
Perusteet 6, lisää pintamallinnusta Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Hae piirustus fin_basic_6_3.pdf. Käytä piirustukseen merkittyjä mittoja ja mallinna kappale pinta ja tilavuusmallinnustyökaluja
Luento 2: Viivan toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento : Viivan toteutus Lauri Savioja 11/07 Primitiivien toteutus / 1 GRAAFISTEN PRIMITIIVIEN TOTEUTUS HUOM! Oletuksena on XY-koordinaatisto Suorien viivojen
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
Tietokonegrafiikka. Jyry Suvilehto T Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan kevät 2014
Tietokonegrafiikka Jyry Suvilehto T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan kevät 2014 1. Sovellusalueita 2. Rasterigrafiikkaa 3. Vektorigrafiikkaa 4. 3D-grafiikkaa 1. Säteenheitto
Muotin rakenne Ruisku tai painevalukappaleen rakenteen perusasiat: hellitys eli päästö, kulmapyöristys, jakopinta ja vastapäästö.
Jakopinta 1 Tuula Höök, Tampereen teknillinen yliopisto Esitiedot Muotin rakenne Ruisku tai painevalukappaleen rakenteen perusasiat: hellitys eli päästö, kulmapyöristys, jakopinta ja vastapäästö. Harjoituksessa
Pintamallintaminen ja maastomallinnus
1 / 25 Digitaalisen arkkitehtuurin yksikkö Aalto-yliopisto Pintamallintaminen ja maastomallinnus Muistilista uuden ohjelman opetteluun 2 / 25 1. Aloita käyttöliittymään tutustumisesta: Mitä hiiren näppäintä
Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1
Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Kenguru 2016 Student lukiosarja
sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä
1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa
Solmu 3/2008 1 Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Georg Metsalo georg.metsalo@tkk.fi Tämä kirjoitus on yhteenveto kaksiosaisesta esitelmästä Maunulan yhteiskoulun matematiikkapäivänä
GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita
GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Perusteet 5, pintamallinnus
Perusteet 5, pintamallinnus Tuula Höök Tampereen teknillinen yliopisto Ota piirustus fin_basic_4.pdf, sama piirustus kuin harjoituksessa basic_4. Käytä piirustuksessa annettuja mittoja ja tuota niiden
f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.
13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y
Kenguru 2019 Student Ratkaisut
sivu 0 / 22 3 pistettä TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 VASTAUS C B D C B E C A 4 pistettä TEHTÄVÄ 9 10 11 12 13 14 15 16 VASTAUS B B E D A E A A 5 pistettä TEHTÄVÄ 17 18 19 20 21 22 23 24 VASTAUS E E D D C C B
T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan: Tietokonegrafiikka. Tassu Takala. Mediatekniikan laitos 23.3.2012
T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan: Tassu Takala Mediatekniikan laitos Luennon aiheita (1) Mitä on tietokonegrafiikka? tietokone piirtää kuvia Mikä on digitaalinen kuva? rasterikuva
x = sinu z = sin2u sinv
9. Toisen asteen käyrät ja pinnat 9.1. Käyrän ja pinnan käsitteet 371. Piirrä seuraavat käyrät: { x = cos3t a) y = sin5t, t [0,2π], b) x = cost t y = sint t, t 0. 372. Lausu napakoordinaattikäyrät a) r