Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen
|
|
- Tapani Hakala
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5:
2 Sisältö
3
4 Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset eivät päde. Tämän vuoksi jakaumaoletusten paikkansapitävyyttä on syytä testata erikseen.
5
6 Normaalijakaumalla on keskeinen asema tilastotieteessä. Havaintojen normaalisuuden testaamisen on kehitetty useita erilaisia menetelmiä. Tarkastelemme niistä muutamia lähemmin.
7 Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet x 1, x 2,..., x n ovat riippumattomia ja samoin jakautuneita. Nollahypoteesi H 0 : Satunnaismuuttuja x on normaalijakautunut. Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : Satunnaismuuttuja x ei ole normaalijakautunut.
8 Bowmanin ja Shentonin testi Bowmanin ja Shentonin testin testisuure on vinouden ja huipukkuuden funktio BS = n( v k 2 24 ), missä v on ensimmäisellä luennolla esitetty otosvinouskerroin ja k on ensimmäisellä luennolla esitetty otoshuipukkuuskerroin. Normaalijakauman vinouskerroin ja huipukkuuskerroin ovat molemmat 0. Testisuure saa suuria arvoja, jos havaintojen vinous ja/tai huipukkuus poikkeavat paljon normaalijakauman vinoudesta ja/tai huipukkuudesta.
9 Bowmanin ja Shentonin testi Kun n on suuri, niin nollahypoteesin vallitessa testisuure BS noudattaa likimain χ 2 (2) jakaumaa. Testisuureen normaaliarvo on 2, koska nollahypoteesin pätiessä E[BS] = 2. Suuret testisuureen arvot (verrattuna normaaliarvoon) viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni.
10 Bowmanin ja Shentonin testi Bowmanin ja Shentonin testi sopii suurille otoksille. Testin modifoitu versio, Jarque-Bera -testi, toimii paremmin myös pienillä otoksilla. Enemmän Jarque-Bera -testistä esim. Wikipediasta.
11 Järjestysluku-kuvaaja Olkoot z 1, z 2,..., z n havainnot x 1, x 2,..., x n suuruusjärjestyksessä pienimmästä suurimpaan, ja olkoon E(y i ) havainnon y i odotusarvo, kun y i on suuruusjärjestyksessä i. havainto normaalijakaumasta N(0, 1) poimitusta n kappaleen satunnaisotoksesta. Piirretään kuvaaja (E(y i ), z i ), i = 1, 2,..., n. Jos havainnot x i ovat peräisin normaalijakaumasta, niin pisteet (E(y i ), z i ) asettuvat (satunnaisvaihtelua lukuun ottamatta) suoralle. Poikkeamat suorasta viittaavat normaalijakaumasta poikkeamiseen. Kuviosta voidaan tunnistaa mm. havaintoarvojen jakauman vinous ja poikkeavat havainnot
12 Wilkin ja Shapiron testi Wilkin ja Shapiron testisuure on järjestysluku-kuvaajan pisteistä (E(Yi), Zi), i = 1, 2,..., n lasketun Pearsonin otoskorrelaatiokertoimen neliö. Pienet testisuureen arvot viittaavat siihen, että normaalisuusoletus ei päde. Suuret testisuureen arvot ovat sopusoinnussa normaalisuusoletuksen kanssa. Tietokone laskee testin p-arvon. Nollahypoteesi hylätään, jos p-arvo on riittävän pieni. Myös tämä testi vaatii toimiakseen riittävän suuren otoskoon.
13 Numeerinen esimerkki normaaliuden testaamisesta Eräässä aikaisemmassa esimerkissä vertailtiin Kallen superkeksien ja Panun pahanmakuisten prinsessakeksien hintaa ja tehtiin symmetriaoletus hintojen erotukselle. Tutkitaan hintojen erotuksen normaaliutta. Otos erotuksista: Erotus Taulukko: Kallen ja Panun keksipakettien hintojen erotukset.
14 Bowmanin ja Shentoinin testi: Testisuuretta varten on laskettava ensin vinous ja huipukkuusluvut v ja k. Otoskeskihajonta s ja otoskeskiarvo x = v = m 1 n 3 s 3 = n i=1 (x i x) 3 s 3 = = ( 1 10 k = m 1 4 s 4 3 = ( n i=1 (x i ( )) n i=1 (x i x) 4 s 4 ) 3 10 i=1 (x i ( )) ) = Testisuureen arvoksi saadaan BS = n( v k 2 24 ) = 10( ( 1.186)2 ) Nollahypoteesin vallitessa testisuure noudattaa suurilla otoskoilla χ 2 (2)-jakaumaa. Kriittisiksi arvoiksi 5% merkitsevyys tasolla saadaan ja Koska < < 7.378, näyttöä ei-normaaliudesta ei löytynyt.
15 Järjestysluku-kuvaaja: Kuva: Järjestysluku-kuvaaja hintojen erotuksista.
16 Shapiron ja Wilkin testi: Laskettu R:n valmiilla shapiro.test-funktiolla. Shapiro-Wilk normality test data: erot W = , p-value = p-arvo on suuri, joten näyttöä ei-normaaliudesta ei löytynyt.
17 Voidaanko tuloksiin luottaa? Täyttyvätkö kaikki testien vaatimukset? Mikä olikaan tyypin 2 virhe?
18
19 Multinomijakauma Multinomijakauma liittyy satunnaiskokeisiin, joissa on useampia kuin kaksi toistensa poissulkevaa tulosvaihtoehtoa. Toistettaessa tällaisia moniulotteisia riippumattomia satunnaiskokeita n kappaletta, saatujen tulosten frekvenssijakauma voidaan kuvata multinomijakauman avulla. Tarkastellaan tilannetta, missä satunnaiskokeella on k kappaletta toistensa poissulkevaa tulosvaihtoehtoa.
20 Multinomijakauma Satunnaismuuttujat x 1, x 2,..., x k noudattavat multinomijakaumaa parametrein n, p 1, p 2,..., p k, jos pistetodennäköisyysfunktio p(x 1,..., x k ) = n! x 1!x 2! x k! px 1 1 px 2 2 px k k, missä ja k x i = n i=1 k p i = 1. i=1
21 Multinomijakauma Oletetaan, että x 1, x 2,..., x k noudattavat multinomijakaumaa parametrein n, p 1, p 2,..., p k. Tällöin, kun n on suuri, niin k (x i np i ) 2 i=1 np i noudattaa likimain χ 2 (k 1) jakaumaa.
22 χ 2 -yhteensopivuustesti Yhteensopivuustestissä tutkitaan onko satunnaismuuttujan x jakauma yhtäpitävä jonkin oletetun jakauman kanssa. Nollahypoteesi H 0 : Satunnaismuuttuja x noudattaa jakaumaa F x (jolla saattaa tai saattaa olla olematta tuntemattomia parametreja.) Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : Satunnaismuuttuja x ei noudata jakaumaa F x.
23 χ 2 -yhteensopivuustesti Olkoot x 1, x 2,..., x n satunnaismuuttujan x havaitut arvot. Oletetaan, että havaintopisteet x 1, x 2,..., x n ovat riippumattomia ja samoin jakautuneita. Luokitellaan havainnot (n kpl) erillisiin luokkiin, joiden lukumäärä on k kpl. Määritetään frekvenssit O i, i {1, 2,..., k}, missä O i on luokan i havaittu frekvenssi/lukumäärä. Huomaa, että nyt k i=1 O i = n. Olkoon p i todennäköisyys sille, että nollahypoteesin vallitessa satunnaismuuttuja x kuuluu luokkaan i. Määritetään luokkaan i kuuluvien havaintojen odotettu frekvenssi E i = np i. Huomaa, että k i=1 p i = 1. Nyt, nollahypoteesin vallitessa, satunnaismuuttujat O 1, O 2,..., O k noudattavat multinomijakaumaa parametrein n, p 1, p 2,..., p k.
24 χ 2 -yhteensopivuustesti Muodostetaan testisuure χ 2 y = k i=1 (O i E i ) 2 E i. Kun n on suuri, niin nollahypoteesin vallitessa testisuure χ 2 y noudattaa likimain χ 2 (k 1 e) jakaumaa, missä e on jakauman estimoitujen parametrien lukumäärä. Testisuureen normaaliarvo on k 1 e, koska nollahypoteesin pätiessä E[χ 2 y] = k 1 e. Suuret ja pienet testisuureen arvot (verrattuna normaaliarvoon) viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni.
25 χ 2 -yhteensopivuustesti Huom: Jos testisuureen arvo on suuri, otosfrekvenssit poikkeavat odotetuista huomattavan paljon, joten on selvää, että nollahypoteesi tulee hylätä. Jos taas testisuureen arvo on hyvin pieni, niin tällöin otosfrekvenssit poikkeavat odotetuista erikoisen vähän. Kyseessä on ns. overfitting ongelma. Yleisesti overfitting ongelma voi esiintyä esim. silloin jos mallin varianssi oletetaan liian suureksi.
26 Yhteensopivuustesti, Esimerkki 1 Tarkastellan keramiikkatehtaassa valmistettujen jättimukien laatua. Nollahypoteesina on se, että tuotteessa on muotovika todennäköisyydellä 2/14, värivika todennäköisyydellä 2/14, molemmat viat todennäköisyydellä 1/14 ja tuote on virheetön todennäköisyydellä 9/14. Valitaan satunnaisesti 200 tuotetta. Näistä muotoviallisia on 40 kpl, väriviallisia 44 kpl, molemmat viat omaavia 26 kpl ja virheettömiä 90 kpl. Nyt O 1 = 40, O 2 = 44, O 3 = 26, O 4 = 90, E 1 = 200 2/14, E 2 = 200 2/14, E 3 = 200 1/14, E 4 = 200 9/14, ja χ 2 y = 4 (O i E i ) 2 = E i i=1 Nollahypoteesin vallitessa testi noudattaa likimain χ 2 (4 1) = χ 2 (3) jakaumaa. Koska P(χ 2 (3) 34.08) < , niin nollahypoteesi hylätään.
27 Yhteensopivuustesti, Esimerkki 2 Testataan noudattaako suomalaisten kuukausipalkka normaalijakaumaa. Arvotaan n kpl suomalaisia ja kirjataan kuukausipalkat muistiin. Nollahypoteesi on se, että havainnot noudattavat normaalijakaumaa, jonka odotusarvo ja varianssi ovat tuntemattomia. Estimoidaan tuntemattomat parametrit havainnoista. Diskretoidaan jatkuva palkkamuuttuja esim. 100 euron väleihin. Lasketaan havaitut luokkafrekvenssit. Toisin sanoen lasketaan kuhunkin osaväliin=luokkaan sijoittuvien palkkahavaintojen lukumäärä. Määritetään luokkiin liittyvät todennäköisyydet normaalijakaumasta, esim...., P(1900 < X < 2000), P(2000 < X < 2100),... Lasketaan odotetut luokkafrekvenssit. Lasketaan testisuureen arvo. Nollahypoteesin vallitessa testi noudattaa likimain χ 2 (k 1 2) = χ 2 (k 3) jakaumaa, missä k on osavälien eli luokkien lukumäärä. Tarkastellaan testistä saadun lukuarvon todennököisyyttä ja tehdään johtopäätös.
28 χ 2 -homogeenisuustesti Homogeenisuustestissä tarkastelun kohteena on monta (r kpl) havaintoaineistoa. Nollahypoteesi H 0 : Havaintoaineistot tulevat samasta jakaumasta F x. Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : Havaintoaineistot eivät tule samasta jakaumasta.
29 χ 2 -homogeenisuustesti Tarkastellaan usean havaintoaineiston, r kpl, satunnaismuuttujien arvoja. Oletetaan, että jokaisen joukon havaintopisteet ovat riippumattomia ja joukon sisällä samoin jakautuneita. Oletetaan, että aineistossa i, i {1,..., r} on n i havaintoa. Luokitellaan havainnot luokkiin, lukumäärä c kpl, luokkien koot C j Määritetään frekvenssit O ij, i {1, 2,..., r}, j {1, 2,..., c}, missä O ij ryhmän i luokkaan j kuuluvien havaintojen havaittu frekvenssi (eli lukumäärä).
30 Homogeenisuustesti, havaitut frekvenssit Muodostetaan havaituista frekvensseistä taulukko. 1 2 c summa 1 O 11 O 12 O 1c n 1 2 O 21 O 22 O 2c n 2 r O r1 O r2 O rc n r summa C 1 C 2 C c n
31 χ 2 -homogeenisuustesti Olkoon p j = C j /n. (Jos nollahypoteesi pätee, jokaisen ryhmän i kohdalla luokan j todennäköisyys on sama p j.) Määritetään ryhmässä i luokkaan j kuuluvien havaintojen odotettu frekvenssi E ij = n i p j.
32 Homogeenisuustesti, odotetut frekvenssit Muodostetaan odotetuista frekvensseistä taulukko. 1 2 c summa 1 E 11 E 12 E 1c n 1 2 E 21 E 22 E 2c n 2 r E r1 E r2 E rc n r summa C 1 C 2 C c n
33 χ 2 -homogeenisuustesti Muodostetaan testisuure χ 2 h = r c i=1 j=1 (O ij E ij ) 2 E ij. Kun n on suuri, niin nollahypoteesin vallitessa testisuure χ 2 h noudattaa likimain χ2 ((r 1)(c 1)) jakaumaa. Testisuureen normaaliarvo on (r 1)(c 1), koska nollahypoteesin pätiessä E[χ 2 h ] = (r 1)(c 1). Suuret testisuureen arvot (verrattuna normaaliarvoon) viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni.
34 Homogeenisuustesti, Esimerkki Kylän kunnaninsinööri on tehnyt uuden tiesuunnitelman. Kyläläisiltä kysyttiin mielipidettä insinöörin visiosta. 250 miestä ja 300 naista valittiin satunnaisesti vastaamaan kyselyyn. Myönteisesti suhtautuvia miehiä oli 169 ja myönteisesti suhtautuvia naisia oli 125. Kielteisesti suhtautuvia miehiä oli 52 ja kielteisesti suhtautuvia naisia 144. Miehistä 29 ja naisista 31 ei ottanut kantaa.
35 Esimerkki, havaitut frekvenssit myönt kielt ei kantaa yht miehet naiset yht
36 Esimerkki, odotetut frekvenssit myönt kielt ei kantaa yht miehet naiset yht
37 Homogeenisuustesti, Esimerkki Testisuureen arvo χ 2 h = r c (O ij E ij ) 2 E ij i=1 j=1 = ( ) 2 /133.6+( ) 2 /89.1+( ) 2 /27.3 +( ) 2 /160.4+( ) 2 /106.9+( ) 2 /32.7 = Nollahypoteesin vallitessa testi noudattaa likimain χ 2 (2 1)(3 1) = χ 2 (2) jakaumaa. Koska P(χ 2 (2) ) < , niin todetaan että naisten ja miesten mielipiteet tiesuunnitelmasta eroavat toisistaan.
38 χ 2 -riippumattomuustesti Riippumattomuustestissä tarkastellaan kahden satunnaismuuttujan (tekijän/faktorin) välistä stokastista riippumattomuutta. Nollahypoteesi H 0 : Muuttujat ovat riippumattomia. Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : Muuttujat eivät ole riippumattomia.
39 χ 2 -riippumattomuustesti Tarkastellaan yksinkertaista satunnaisotosta, otoskoko n. Luokitellaan havaintoyksiköt tekijän A suhteen luokkiin, r kpl, ja tekijän B suhteen luokkiin, c kpl. Olkoon R i tekijän A luokkaan i kuuluvien havaintojen frekvenssi/lukumäärä, olkoon C j tekijän B luokkaan j kuuluvien havaintojen frekvenssi ja olkoon O ij tekijän A luokkaan i ja tekijän B luokkaan j kuuluvien havaintojen havaittu frekvenssi.
40 Riippumattomuustesti, havaitut frekvenssit 1 2 c summa 1 O 11 O 12 O 1c R 1 2 O 21 O 22 O 2c R 2 r O r1 O r2 O rc R r summa C 1 C 2 C c n
41 χ 2 -riippumattomuustesti Olkoon P j = C j /n. (Jos nollahypoteesi pätee, jokaisen tekijän A luokan i kohdalla tekijän B luokan j todennäköisyys on sama P j.) Määritetään tekijän A luokkaan i ja tekijän B luokkaan j kuuluvien havaintojen odotettu frekvenssi E ij = R i P j.
42 Riippumattomuustesti, odotetut frekvenssit 1 2 c summa 1 E 11 E 12 E 1c R 1 2 E 21 E 22 E 2c R 2 r E r1 E r2 E rc R r summa C 1 C 2 C c n
43 χ 2 -riippumattomuustesti Muodostetaan testisuure χ 2 r = r c i=1 j=1 (O ij E ij ) 2 E ij. Kun n on suuri, niin nollahypoteesin vallitessa testisuure χ 2 r noudattaa likimain χ 2 ((r 1)(c 1)) jakaumaa. Testisuureen normaaliarvo on (r 1)(c 1), koska nollahypoteesin pätiessä E[χ 2 h ] = (r 1)(c 1). Suuret testisuureen arvot (verrattuna normaaliarvoon) viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos p arvo on kyllin pieni.
44 Riippumattomuustesti, Esimerkki Tarkastellaan avioliitossa elävien miehen ja naisen äänestyskäyttäytymisien riippumattomuutta. Otoksessa on 120 avioparia ja luokat ehdokas K. Närhi, ehdokas P. Hömötiainen ja MUU (jokin muu ehdokas). Yhteensä luokkia on siis yhdeksän luokkaa NN, NH, NMUU, HN, HH, HMUU, MUUN, MUUH ja MUUMUU.
45 Esimerkki, havaitut frekvenssit N, mies H, mies MUU, mies yht N, nainen H, nainen MUU, nainen yht
46 Esimerkki, odotetut frekvenssit N, mies H, mies MUU, mies yht N, nainen H, nainen MUU, nainen yht
47 Riippumattomuustesti, Esimerkki Testisuureen arvo χ 2 r = r c (O ij E ij ) 2 = E ij i=1 j=1 Nollahypoteesin vallitessa testi noudattaa likimain χ 2 (3 1)(3 1) = χ 2 (4) jakaumaa. Koska P(χ 2 (4) 21.46) = , niin todetaan että miesten ja naisten välisissä avioliitoissa puolisoiden äänestyskäyttäytyminen ei ole riippumatonta.
48 Homogeenisuustesti ja riippumattomuustesti χ 2 -riippumattomuustesti ja χ 2 -homogeenisuustesti muistuttavat toisiaan. Testisuureet ja testisuureiden vapausasteet lasketaan samalla tavalla. Testien testausasetelmat ovat kuitenkin täysin erilaiset.
49 J. S. Milton, J. C. Arnold: Introduction to Probability and Statistics, McGraw-Hill Inc R. V. Hogg, J. W. McKean, A. T. Craig: Introduction to Mathematical Statistics, Pearson Education Pertti Laininen: Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen, Otatieto 1998, numero 586. Ilkka Mellin: Tilastolliset menetelmät,
Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Jakaumaoletuksien
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme
LisätiedotYhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
Lisätiedot1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden ja homogeenisuden testaaminen Bowmanin ja Shentonin testi, Hypoteesi, 2 -homogeenisuustesti, 2 -yhteensopivuustesti,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
Lisätiedot11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut
11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
Lisätiedot2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN...
!" # 1. 1. JOHDANTO... 3 2. 2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... 4 2.1. T-TESTI... 4 2.2. RANDOMISAATIOTESTI... 5 3. SIMULOINTI... 6 3.1. OTOSTEN POIMINTA... 6 3.2. TESTAUS... 7 3.3. TESTIEN TULOSTEN VERTAILU...
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotH0: otos peräisin normaalijakaumasta H0: otos peräisin tasajakaumasta
22.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet Luento 22.1.2019 Luku 3 2 -yhteensopivuus- ja riippumattomuustestit 3.1 2 -yhteensopivuustesti H0: otos peräisin tietystä jakaumasta H1: otos ei peräisin
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotHypoteesin testaus Alkeet
Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
LisätiedotHAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT
HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
Lisätiedot1. Nollahypoteesi on, että teksti on kirjoitettu lyhyemmällä murteella. Mahdollisiavaihtoehtojaonvainyksieliettäteksti
Sosiaalitieteiden laitos Tilastotieteen jatkokurssi, kevät 20 7. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset. Nollahypoteesi on, että teksti on kirjoitettu lyhyemmällä murteella. Mahdollisiavaihtoehtojaonvainyksieliettäteksti
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotTilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely. Geneettinen analyysi
Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely Geneettinen analyysi Tilastollisen testaamisen tarkoitus Tilastollisten testien avulla voidaan tutkia otantapopulaatiota (perusjoukkoa) koskevien väittämien
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotIdentifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotTutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)
1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas JAKAUMAN MUOTO Vinous, skew (g 1, γ 1 ) Kertoo jakauman symmetrisyydestä Vertailuarvona on nolla, joka vastaa symmetristä jakaumaa (mm. normaalijakauma)
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?
MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotPOPULAATIO. Oikeastaan arvot, joista ollaan kiinnostuneita (mitatut numeeriset suureet, luokittelut).
KÄSITTEITÄ POPULAATIO Joukko, jota tutkitaan (äärellinen, ääretön). Oikeastaan arvot, joista ollaan kiinnostuneita (mitatut numeeriset suureet, luokittelut). Näiden välillä ei aina tehdä eroa, kun puhutaan
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti Wilcoxonin
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotKaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu.
Ka6710000 TILASTOLLISEN ANALYYSIN PERUSTEET 2. VÄLIKOE 9.5.2007 / Anssi Tarkiainen Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Tehtävä 1. a) Gallupissa
Lisätiedot4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa:
Lisätehtäviä (siis vanhoja tenttikysymyksiä) 1. Erään yrityksen satunnaisesti valittujen työntekijöiden poissaolopäivien määrät olivat vuonna 003: 5, 3, 16, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4, 6, 1, 15,
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotHavaintoaineiston trimmauksen vaikutus otoskeskiarvoon
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Teknillisen fysiikan ja matematiikan koulutusohjelma Mat-.108 Sovelletun matematiikan erikoistyöt 13.11.001 Havaintoaineiston trimmauksen vaikutus otoskeskiarvoon Kalle Soukka 4193W
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotKynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto
Kynä-paperi -harjoitukset Taina Lehtinen 43 Loput ratkaisut harjoitustehtäviin 44 Stressitestin = 40 s = 8 Kalle = 34 pistettä Ville = 5 pistettä Z Kalle 34 8 40 0.75 Z Ville 5 8 40 1.5 Kalle sijoittuu
Lisätiedot