1. Nollahypoteesi on, että teksti on kirjoitettu lyhyemmällä murteella. Mahdollisiavaihtoehtojaonvainyksieliettäteksti
|
|
- Aimo Laaksonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Sosiaalitieteiden laitos Tilastotieteen jatkokurssi, kevät laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset. Nollahypoteesi on, että teksti on kirjoitettu lyhyemmällä murteella. Mahdollisiavaihtoehtojaonvainyksieliettäteksti on kirjoitettu pidemmällä murteella. Testi tulee siten tehdä yksisuuntaisena. Nollahypoteesin mukaan sanan pituuden odotusarvo on 6,2 ja vastahypoteesin mukaan 7,6. Molemmissa murteissa sanan pituuden keskihajonta on 2, 5 kirjainta. Tekstissä sanan pituuden keskiarvo X = 98/30 = 6, 6 kirjainta. Tehtävässä ei kerrota sanojen pituuden jakaumasta muuta kuin odotusarvo ja keskihajonta. Keskeisen raja-arvolauseen (kirjan s. 08) mukaan keskiarvo riippumattomista satunnaismuuttujista, joiden odotusarvo (μ) ja keskihajonta (σ) ovat vakioita, noudattaa suurilla havaintomäärillä normaalijakaumaa N(μ, σ 2 ) eli approksimatiivisesti tunnusluku z = X μ σ/ n as. N(0, ) noudattaa standardinormaalijakaumaa. Sanojen pituudet on tehtävässä todettu riippumattomiksi satunnaismuuttujiksi, joten lausetta voidaan soveltaa. Testisuure on siten 6, 6 6, 2 z = 2, 5/ 0, 876, 30 ja sen arvoa (0, 876) voidaan verrata standardinormaalijakauman 95 persentiiliin (, 645; yksisuuntainen testi 5 %:n riskitasolla). Koska 0, 876 <, 645, niin nollahypoteesi jää voimaan. Ei ole syytä luopuaoletuksesta,ettätekstion kirjoitettu lyhyemmällä vanhalla murteella. 2. H 0 : p = 0, 5. Vastahypoteesi on kaksisuuntainen eli H : p 6= 0, 5, jossa p on naisen todennäköisyys tulla nimitetyksi. Testisuureen laskeminen tapahtuu täysin samoin kuin yksisuuntaisen testin tapauksessa tehtävässä 6.2: Merkitään satunnaismuuttujalla X nimitettyjen naisten lukumäärää. Tehtävän oletusten mukaan n =22ja p =0, 5 eli X Bin(22; 0, 5). Voimme käyttää binomijakauman normaaliapproksimaatiota sillä np = nq = 22 0, 5 = > 5 (kirjan s. 0). Binomijakautuneen satunnaismuuttujan normaalijakaumaapproksimaatioon perustuva nollahypoteesin pätiessä standardinormaalijakautunut testisuure on z = X np npq = X/n p ( npq)/n = ˆp p p pq/n as. N(0, ). Koska naisia tuli nimitetyiksi 8 kappaletta niin aineistosta laskettu naisten suhteellinen osuus ˆp =8/22 0, 364, joten z = 0, 364 0, 5 p 0, 5 0, 5/22, 276.
2 Tehtävän 6.2 ratkaisuehdotuksessa ei tarkkaan määritetty yksisuuntaisen testin p-arvoa vaan todettiin vain sen olevan yli 0, 05. Yksisuuntaisen testin p-arvo on Z-jakauman yhden, tehtävän 6.2 tapauksessa vasemman, hännän todennäköisyys. Arvioidaan se z-jakauman taulukkoa hyödyntäen: P(Z.276) P(Z.28) = , 0. Kaksisuuntaisen testin p-arvo on molempien häntätodennäköisyyksien summa testisuureen itseisarvosta eteenpäin. Tässä tapauksessa p-arvo on P(Z.276) + P(Z.276) 0, 20. Kaksisuuntaisen testin p-arvo on kaksinkertainen yksisuuntaisen testin p- arvoon verrattuna, mikä johtuu normaalijakauman symmetrisyydestä. 3. Kun tutkittavan perusjoukon ominaisuuden, eli tässä tapauksessa palkan, oletetaan olevan normaalijakautunut, voidaan käyttää t-testisuuretta. t-testi ei nojaudu normaaliapproksimaatioon, joten sen tulokset ovat tarkempia erityisesti pienillä otoskooilla kuin normaaliapproksimaatioon perustuvan z-testin. t- testisuuretta verrataan Studentin t-jakaumaan, jonka muoto riippuu vapausasteiden lukumäärästä, joka puolestaan riippuu otoskoosta (tämän tehtävän tapauksessa molempien otosten koista). Pienillä vapausasteiden lukumäärillä t-jakauma on selvästi paksuhäntäisempi kuin Z-jakauma ja tällöin t-testiin liittyvät p-arvot ovat suurempia kuin z-testin. Suurilla vapausasteiden lukumäärillä t- ja z- testien p-arvot ovat hyvin lähellä toisiaan, sillä t-jakauma menee standardinormaalijakaumaan ja z-testin pohjana oleva normaaliapproksimaatio tarkentuu otoskoon kasvaessa. a) H 0 : Palkoissa ei ole eroa hetero- ja homoseksuaalisten naisten välillä. H : Heteroseksuaalisten naisten palkka on pienempi kuin homoseksuaalisten naisten. Kahden ryhmän vertailun t-testisuure lasketaan samalla kaavalla kuin z- testisuure laskettiin tehtävässä 6.4: t = X X r s + = r n n , t-testisuuretta verrataan Studentin t-jakaumaan vapausasteilla n + n 2 2 eli = 203.Vapausasteiden määrä on nyt niin suuri, että t-jakauman ja Z-jakauman välinen ero on pieni. Toisaalta testisuureen itseisarvo on niin suuri, että vastaavaa häntätodennäköisyys eli p- arvo on monen desimaalin tarkkuudella nolla sekä t- ettäz-testin tapauksessa, esimerkiksi kurssin kotisivulla linkitetty t-testin todennäköisyyslaskuri antaa vastaavaksi p-arvoksi 0, Huvin vuoksi lasketaan tilasto-ohjelmistolla tarkat p-arvot: P (Z 3, 245) = 2,
3 P (t 3, 245) = 9, Kummassakin testissä nollahypoteesi hylätään millä tahansa riskitasolla. Heteroseksuaaliset naiset ansaitsevat vähemmän kuin homoseksuaaliset naiset. b) H 0 : hetero- ja homoseksuaalisten miesten palkkojen välillä ei ole eroa. H : Hetero- ja homoseksuaalisten miesten palkkojen välillä on eroa. t = X X r s + = r n n , Vapausasteita on nyt = Kaksisuuntaisessa testissä p-arvo on kaksi kertaa yhden hännän todennäköisyys. p-arvot ovat nyt vielä suhteellisesti paljon pienempiä kuin a)-kohdassa eli vielä useamman desimaalin tarkkuudella nollia. Tarkkaan laskettuna p-arvot ovat P (Z 8, 389) + P (Z 8, 389) = 2 8, =, P (t 8, 389) + P (t 8, 389) = 2 3, =6, t-testin p-arvo on yli kymmentuhatkertainen z-testin p-arvoon verrattuna, mutta absoluuttinen ero on häviävän pieni. Molemmat p-arvot ovat käytännössä nollia. Nollahypoteesi siis hylätään molemmissa testeissä millä tahansa riskitasolla. Hetero- ja homoseksuaalisten miesten palkkojen välillä on eroa. 4. Testisuure on ˆp ˆp 2 ˆp( ˆp)( +, ) n n 2 jossa ˆp =(n ˆp +n 2 ˆp 2 )/(n +n 2 ) ja joka noudattaa standardinormaalijakaumaa suurilla havaintomäärillä (kirjan s:t 70 7). Merkitään indeksillä naisia ja indeksillä 2 miehiä. Todetaan ensin, että annetut tiedot ovat keskenään yhtäpitäviä eli että sukupuolten vastustusosuudet tuottavat yleiseksi vastustusosuudeksi kerrotun 0, 5: 485 0, , 38 ˆp = ( = 007). Lasketaan testisuure: 0, 65 0, 38 0, 5 0, 49 ( ) 0, 50 =8, 564. Kriittiset arvot kaksisuuntaisessa testauksessa 5 prosentin riskitasolla ovat ±, 960 (kirjan lopussa olevassa standardinormaalijakauman taulukossa kriittinen arvo on kahden desimaalin tarkkuudella). Havaittu testisuure on (itseisarvoltaan) huomattavasti suurempi, joten nollahypoteesi voidaan hylätä 5 %:n 3
4 riskitasolla (ja tavattomasti pienemmilläkin riskitasoilla). Lisäydinvoiman vastustajien osuudet ovat erisuuret sukupuolissa. Tehtävä on mahdollista ratkaista myös χ 2 -testillä. Muodostetaan taulukot havaituista ja odotetuista solufrekvensseistä: ei vastusta vastustaa yhteensä miehet naiset yhteensä ei vastusta vastustaa yhteensä miehet 256, , naiset 237, , yhteensä Testisuure (aputulos ja kirjan s. 80) on nyt X 2 = 2X 2X i= j= (O ij E ij ) 2 E ij ( , 075)2 (35 247, 075) , , , 075 O ij on havaittu frekvenssi. Odotetut frekvenssit E ij on laskettu kaavalla C j E ij = R i n n n = R ic j n, jossa R i on i. rivifrekvenssi, C j on j. sarakefrekvenssi ja n on havaintojen kokonaislukumäärä (kirjan s. 85). Esimerkiksi E = /007 = 256, 075. Nollahypoteesin pätiessä testisuure noudattaa asymptoottisesti χ 2 (2 )(2 ) -eli χ 2 -jakaumaa (kirjan s. 85). Sen kriittinen arvo 5 prosentin riskitasolla on 3, 84 (kirjan lopussa olevasta taulukosta). Nollahypoteesi hylätään selkeästi 5 %:n riskitasolla (ja %:n riskitasolla, jolla kriittinen arvo on 6, 635). Ylitse kurssin menevää pohdintaa: Ensin laskettu testisuure neliöitynä on 8, , 34, jokaonχ 2 -jakautuneen testisuureen arvo 73, 43. Testien p- arvot ovat siten oleellisesti identtiset. (Standardinormaalijakautuneen muuttujan neliö noudattaa χ 2 -jakaumaa.) 5. Lehtien teettämiä kyselyitä voitanee pitää toisistaan riippumattomina. Kyseessä on siten kolmen jakauman yhteensopivuustesti (kirjan s:t 78 ja 86). Testisuure on (kirjan s. 80) rx cx X 2 (O ij E ij ) 2 = χ 2 (r )(c ) E. ij i= j= O ij on havaittu frekvenssi. Odotetut frekvenssit E ij lasketaan kaavalla 4
5 E ij = C j n n i, jossa C j on j. sarakefrekvenssi ja n i on i. ryhmän otoskoko (kirjan s. 78). Tehtävässä on kolme ryhmää (kyselyt) ja kolme luokkaa (kantaa) eli i, j =, 2, 3. Odotetut frekvenssit on koottu taulukkoon alla. Esimerkiksi E = (47/3007) , 53. vastustaa ei kantaa kannattaa yhteensä (lkm) Yle 474,53 08,50 423, HS 47,23 07,75 42, Aamulehti 47,23 07,75 42, yhteensä (lkm) Testisuure saa arvon 3X 3X X 2 = i= j= (O ij E ij ) 2 E ij (57 474, 53)2 (390 42, 02) , , 53 42, 02 Nollahypoteesi on, että jakaumat kullakin taulukon rivillä (kyselyssä) ovat samoja. Nollahypoteesin pätiessä testisuure noudattaa jakaumaa χ 2 (3 )(3 ) = χ2 4,kun havaintoja on paljon. Kriittinen arvo %:n riskitasolla on 3, 277 (kirjan lopussa olevasta taulukosta), joten nollahypoteesi hylätään tällä riskitasolla. Nollahypoteesi hylätään selkeästi jopa 0, %:n riskitasolla, jolloin kriittinen arvo on 8, 467. Testin mukaan vastausjakaumien eroja ei voida tulkita kyselyjen satunnaisvaihtelusta johtuvaksi. Lisäpohdintaa: Kaikki kyselyt on tehty maaliskuussa 200. Mielipiteet eivät näin lyhyellä aikavälillä yleensä muutu paljoa, joten kyselyiden erot ja testin tulos ovat yllättäviä. Eritoten Helsingin Sanomien kyselyssä vastausten jakauma vaikuttaa poikkeavan muiden kyselyiden tuloksista, vaikka se on tehty Ylen ja Aamulehden kyselyjen välissä. Testataan mielenkiinnosta, eroavatko Ylen ja Aamulehden alku- ja loppumaaliskuusta tehtyjen kyselyiden jakaumat toisistaan χ 2 -testin mukaan. Taulukoihin alla on laskettu uuden kysymyksenasettelun mukaiset sarakesummat (ylempi taulukko) ja odotetut frekvenssit (alempi taulukko, jossa esim. E = (987/2007) , 22). vastustaa ei kantaa kannattaa yhteensä (lkm) Yle Aamulehti yhteensä (lkm)
6 vastustaa ei kantaa kannattaa yhteensä (lkm) Yle 495,22 42,50 369, Aamulehti 49,78 4,50 366, yhteensä (lkm) Testisuure saa arvon 2X 3X X 2 (O ij E ij ) 2 (57 495, 22)2 ( , 72)2 = + + 4, 900. E ij 495, , 72 i= j= Vertailujakauma on nyt χ 2 (2 )(3 ) = χ2 2. Riskitasoja 5 ja 0 % vastaavat kriittiset arvot olisivat 5, 99 ja 4, 605. Testinp-arvo sijoittuu välille (0, 05; 0, 0), joten tavanomaisilla riskitasoilla nollahypoteesia ei hylätä. Vaikuttaa siltä, että nollahypoteesin selkeä hylkäys edellä johtui Helsingin Sanomien teettämän kyselyn tuloksista. Mieleen tulee, että tässä kyselyssä on ollut jotain poikkeuksellista. Huomio kiinnittyy esimerkiksi luokan "ei kantaa" pieneen osuuteen Helsingin Sanomien tutkimuksessa (4 %vs. 4 %muissa kyselyissä). 6. Testaukset on kätevintä tehdä suhteellisen osuuden z-testillä. Testisuure on kirjan sivulla 70 esitetty ˆp ˆp 2 ˆp( ˆp)( +, ) n n 2 jossa ˆp =(n ˆp + n 2 ˆp 2 )/(n + n 2 ). Merkitään tällä kertaa indeksillä miehiä ja indeksillä 2 naisia. a) H 0 : Väkivaltaa puolisonsa taholta joskus kokeineiden miesten ja naisten osuudet ovat samat H : Väkivaltaa puolisonsa taholta joskus kokeineiden miesten ja naisten osuudet ovat eri suuret. Nyt ˆp = (9 0, , 43)/(9 + 79) = 0, , 42 0, 43 0, 424( 0, 424)( 9 + 0, ) Kaksisuuntaisessa z testissä 5 %:n riskitason kriittiset arvot ovat ±, 96. Jos havaittu testisuure on pienempi kuin, 96 tai suurempi kuin, 96 niin H 0 hylätään. 0, 066 ei ole pienempi kuin, 96, jotenh 0 jää voimaan. 6
7 H 0 : Väkivaltaa puolisonsa taholta viimeisen 2 kuukauden aikana kokeneiden miesten ja naisten osuudet ovat samat H : Väkivaltaa puolisonsa taholta viimeisen 2 kuukauden aikana kokeneiden miesten ja naisten osuudet ovat eri suuret. ˆp = (9 0, , 037)/(9 + 79) = 0, 040 0, 044 0, 037 0, 040( 0, 040)( 9 + =0, ) Testisuure on pienempi kuin kriittinen arvo, 96, jotenh 0 jää voimaan. b) H 0 : miesten ja naisten osuudet ovat samat ryhmässä, joka kokee väkivallan alkaneen viimeisen 2 kuukauden aikana. H : miesten ja naisten osuudet ovat eri suuret ryhmässä, joka kokee väkivallan alkaneen viimeisen 2 kuukauden aikana. ˆp = (202 0, , 085)/( ) = 0, 305 0, 6 0, 085 0, 305( 0, 305)( ) =, 9626 Testisuureen arvo, 9626 riittäisi juuri ja juuri nollahypoteesin hylkäämiseen 5 % riskitasolla, mutta 0, %:n riskitasolla kriittinen arvo on taulukosta arvioituna ±3, 3. Testisuureen arvo, 9626 ei ole suurempi kuin 3, 3, jotenh 0 jää voimaan. H 0 : miesten ja naisten osuudet ovat samat ryhmässä, joka kokee väkivallan alkaneen yli 0 vuotta sitten. H : miesten ja naisten osuudet ovat eri suuret ryhmässä, joka kokee väkivallan alkaneen yli 0 vuotta sitten. ˆp = (202 0, , 494)/( ) = 0, 349 0, 258 0, 494 0, 349( 0, 349)( ) = 4, 378 Testisuureen arvo 4, 37 8 on pienempi kuin negatiivinen kriittinen arvo 3, 3, jotenh 0 hylätään. c) 7
8 H 0 : Seksuaalista häirintää kokeneiden miesten ja naisten osuudet ovat samat. H : Seksuaalista häirintää kokeneiden miesten ja naisten osuudet ovat eri suuret. ˆp = (98 0, , 643)/( ) = 0, 474 0, 263 0, 643 0, 47 4( 0, 47 4)( 98 + = 2, ) Kurssin kotisivulle linkitetyn laskurin tarkkuuden puitteissa p-arvo on 0, eli HT 7.3:ssakin laskettuja pienempi. Tässäkin tehtävässä voi käyttää χ 2 -testiä. Näytetään esimerkkinä c)-kohta. Palautetaan suhteelliset osuudet frekvensseiksi, esim. 98 0, ; 309 0, : kokenut häirintää ei ole kokenut häirintää yhteensä miehet naiset yhteensä Odotetut frekvenssit saadaan kertomalla miesten ja naisten lukumäärät vasemmassa sarakkeessa ˆp:lla ja oikeassa ( ˆp):lla. Esim.98 0, kokenut häirintää ei ole kokenut häirintää yhteensä miehet naiset yhteensä χ 2 -testisuureen arvo on ( ) (45 8)2 8 + ( ) ( )2 763 =463, 72. Voidaan taas huomata, että yhdellä vapausasteella χ 2 -testisuureen arvo on pyöristystarkkuuksien rajoissa sama kuin vastaavan suhteellisen osuuden z-testisuuren toinen potenssi: 2, = 462, 08. 8
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
Lisätiedot11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut
11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotKynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto
Kynä-paperi -harjoitukset Taina Lehtinen 43 Loput ratkaisut harjoitustehtäviin 44 Stressitestin = 40 s = 8 Kalle = 34 pistettä Ville = 5 pistettä Z Kalle 34 8 40 0.75 Z Ville 5 8 40 1.5 Kalle sijoittuu
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotHypoteesin testaus Alkeet
Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotHAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT
HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)
1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
Lisätiedot2. välikokeen mallivastaukset
TILASTOTIETEEN JATKOKURSSI, 10 OP, 19.1. 4.5.2010. Kijallisuus: Ilkka Mellin: Johdatus tilastotieteeseen, 2. kija. Luennoi: ylioisto-oettaja Pekka Pee. 2. välikokeen 4.5.2010 mallivastaukset 1. Täysiin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?
MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Sisältö Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotTeema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit
Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotValitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi.
9.10.2018/1 MTTTP1, luento 9.10.2018 KERTAUSTA TESTAUKSESTA, p-arvo Asetetaan H 0 H 1 Valitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi. Lasketaan otoksesta testisuureelle arvo. 9.10.2018/2
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotDiskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi
TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA0 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi Kuten tilastojakaumia voitiin esittää tunnuslukujen (keskiarvo, moodi, mediaani, jne.) avulla, niin vastaavasti
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen
LisätiedotTilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 9 (viikko 16) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi)
Tilastotieteen jatkokussi Sosiaalitieteiden laitos Hajoitus 9 (viikko 16) Ratkaisuehdotuksia (Laua Tuohilampi) 1. Alla mainituissa testitilanteissa saatiin otoskeskiavoon peustuvan testisuueen avoksi z
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotEstimointi. Otantajakauma
Otantajakauma Otantajakauma kuvaa jonkin parametrin arvojen (esim. keskiarvon) jakauman kaikille tietyn kokoisille otoksille. jotka perusjoukosta voidaan muodostaa Histogrammissa otantajakauman parametrin
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
Lisätiedot5 Lisa materiaali. 5.1 Ristiintaulukointi
5 Lisa materiaali 5.1 Ristiintaulukointi 270. a) Aineiston koko nähdään frekvenssitaulukon oikeasta alakulmasta: N = 559. Tilastotieteen johdantokurssille osallistui yhteensä 559 opiskelijaa. Huomaa: Opiskelijoiden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B
Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2
LisätiedotMatematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot
Matematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot Sievin lukio Tehtävien ratkaisut tulee olla esim. Libre officen -writer ohjelmalla tehtyjä. Liitä vastauksiisi kuvia GeoGebrasta ja esim. TI-nSpire
Lisätiedotriippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta
Lisätiedotc) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia.
Tehtävien ratkaisuja 4. Palloja yhteensä 60 kpl. a) P(molemmat vihreitä) = P((1. pallo vihreä) ja (. pallo vihreä)) = P(1. pallo vihreä) P(. pallo vihreä 1. pallo vihreä) = 0.05 (yleinen kertolaskusääntö)
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme
Lisätiedot2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN...
!" # 1. 1. JOHDANTO... 3 2. 2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... 4 2.1. T-TESTI... 4 2.2. RANDOMISAATIOTESTI... 5 3. SIMULOINTI... 6 3.1. OTOSTEN POIMINTA... 6 3.2. TESTAUS... 7 3.3. TESTIEN TULOSTEN VERTAILU...
LisätiedotTestaa onko myrkkypitoisuus eri ryhmissä sama. RATK. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: k T i = = 486.
Mat-.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Harjoitus 8, kevät 004 Esimerkkiratkaisut. 1. Myrkyllistä ainetta oli kaadettu jokeen, joka johtaa suurelle kalastusalueelle. Tie- ja vesirakennusinsinöörit
Lisätiedot2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet
Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot6.1.2 Yhdessä populaatiossa tietyn tyyppisten alkioiden prosentuaalista osuutta koskeva päättely
3.12.2018/1 MTTTP5, luento 3.12.2018 6.1.2 Yhdessä populaatiossa tietyn tyyppisten alkioiden prosentuaalista osuutta koskeva päättely H 0 : = 0 Oletetaan, että populaatiossa viallisia %. Olkoon X 1, X
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen
MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon
LisätiedotSisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4
Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
16.11.2017/1 MTTTP5, luento 16.11.2017 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla ~,, ~,,. 16.11.2017/2 Esim. Tutkittiin uuden menetelmän käyttökelpoisuutta
Lisätiedot11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita
11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden
LisätiedotEstimointi. Luottamusvälin laskeminen keskiarvolle α/2 α/2 0.1
Estimointi - tehdään päätelmiä perusjoukon ominaisuuksista (keskiarvo, riskisuhde jne.) otoksen perusteella - mitä suurempi otos, sitä tarkemmat estimaatit Otokseen perustuen määritellään otantajakaumalta
LisätiedotSisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS...
Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO... 9 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET... 11 TEHTÄVIÄ... 13
LisätiedotMatematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot
Matematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot Sievin lukio Tehtävien ratkaisut tulee olla esim. Libre officen -writer ohjelmalla tehtyjä. Liitä vastauksiisi kuvia GeoGebrasta ja esim. TI-nSpire
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
Lisätiedot