Kokonaislukuoptimointimallinnus projektiportfolion valinnasa
|
|
- Marja-Leena Niemelä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kokonaislukuoptimointimallinnus projektiportfolion valinnasa Mat Optimointiopin seminaari kevät 2011 Lähteet: Brown & Dell & Newman: Optimizing Military Capital Planning Pachamanova: Introducing Integer Modeling with Excel Solver
2 Kokonaislukuoptimoinnin historiaa Yhdysvaltain armeija edelläkävijöitä lineaarisen ohjelmoinnin kehittämisessä toisen maailmansodan jälkeen Tarve suunnitella valtavan budjetin tehokas käyttö Eroja armeijan ja siviilimaailman välillä: Armeijalla ei veroja, poistoja, taseita, tuottolaskelmia jne. Toisaalta erittäin pitkä suunnitteluhorisontti ja paljon erikoisia sääntöjä Kuitenkin erittäin paljon yhteneväisyyksiä ja siten opittavaa malleista: verosuojan yms. lisääminen on vain tekninen toimenpide
3 Lineaarisuudesta Lineaarisuus helpottaa optimointitehtävän ratkaisemista ja takaa globaalin optimiratkaisun löytymisen useimmissa tapauksissa (esimerkiksi Simplex-menetelmällä) Excelin Solver on kätevä apuväline, sillä se sisältää Simplextoiminnon: kaikki tämän esitelmän esimerkit on ratkaistu sitä käyttäen Normaalissa Excelin käytössä hyödylliset IF-funktiot eivät toimi Simplex-menetelmän kanssa Muuttujien keskenään kertomista tulisi myös välttää (tulee vastaan ainakin synergialaskuissa), sillä useimmissa tapauksissa on olemassa lineaarinen keino toimittaa sama asia
4 Lähtökohta: Knapsack-ongelma a viittaa yksittäisen vaihtoehdon indeksiin
5 Lähtökohta: Knapsack-ongelma Olet ostamassa aseita kotisi turvaksi ja pohdiskelet, mitkä pyssyt valitsisit, kun budjettirajoitteesi on 3000 dollaria Hinta (k$) Hyöty VALINTA Aseet RK-62 1,5 1,3 0 AK-47 0,7 1,0 1 M-16 1,4 1,4 0 M-231 FPW 1,8 1,9 1 Valituksi tulee yksi AK-47 ja yksi M-231 TOTAL 2,5 2,9 Budjettirajoite 3,0 Budjettia ei saa ylittää Haluat maksimoida hyödyn eli vaikkapa pelotevaikutuksen
6 Määrän lisääminen Valinnasta aiheutuva kiinteä hyöty Kunkin lisäyksikön tuoma muuttuva hyöty Kiinteä kustannus Muuttuva (yksikkö)kustannus
7 Määrän lisääminen Armeijan asebudjetti on 500 tuhatta dollaria, mitkä aseet sen kannattaa hankkia? Kiinteä hinta (k$) Yksikköhinta (k$) Kiinteä hyöty Yksikköhyöty VALINTA MÄÄRÄ Aseet RK-62 15,0 1,5 1,3 0, AK-47 10,0 0,7 1,0 0, M-16 20,0 1,4 1,4 0, M-231 FPW 25,0 1,8 1,9 0, TOTAL ,6 18,38 Kokonaishyöty 23,98 Kokonaiskustannus 500 Kokonaisbudjetti 500 Nyt sekä hyödyt että kustannukset koostuvat kiinteästä ja muuttuvasta osasta Koska kiinteä hyöty on niin edullista, jokaista asetta ostetaan
8 Määrän rajoittaminen Jos valitaan vaihtoehto a, on tilattava vähintään minimierän suuruinen määrä
9 Määrän rajoittaminen Aseiden toimittajat kykenevät myymään tulevana vuonna vain seuraavan suuruisia eriä Kiinteä hinta (k$) Yksikköhinta (k$) Kiinteä hyöty Yksikköhyöty Minimierä Maksimierä VALINTA MÄÄRÄ Alaraja Yläraja Aseet RK-62 15,0 1,5 1,3 0, AK-47 10,0 0,7 1,0 0, M-16 20,0 1,4 1,4 0, M-231 FPW 25,0 1,8 1,9 0, TOTAL ,9 18,6 Kokonaishyöty 21,5 Kokonaiskustannus 499 Kokonaisbudjetti 500 Käytännön toteutus Nyt ratkaisu ottaa Excelin Solveria eräkoot huomion varten: VALINTA*minimierä
10 Erilliset budjetit Budjettiin c kohdistettu hinta
11 Ajoneuvokustannukset 4490 Ajoneuvobudjetti 4500 Erilliset budjetit Havainnollisuuden vuoksi kukin erä kohdistetaan vain yhteen budjettiin Kiinteä hinta (k$) Yksikköhinta (k$) Kiinteä hyöty Yksikköhyöty Minimierä Maksimierä VALINTA MÄÄRÄ Aseet RK-62 15,0 1,5 1,3 0, AK-47 10,0 0,7 1,0 0, M-16 20,0 1,4 1,4 0, M-231 FPW 25,0 1,8 1,9 0, Ajoneuvot 0 0 Humvee 25,0 50, M1 Abrams 120,0 250, KrAZ 20,0 45, T ,0 225, TOTAL ,9 429,6 Kokonaiskustannus 4989 Kokonaishyöty 572,5 Kokonaisbudjetti 5000 Asekustannukset 499 Asebudjetti 500 Erilliset budjetit aseille ja ajoneuvoille Kun kukin kustannus allokoidaan vain yhteen budjettiin, kyseessä on käytännössä kaksi erillistä tehtävää
12 Päätösten väliset riippuvuudet Päätökset ovat usein toisistaan tavalla tai toisella riippuvia Joitain yleisiä riippuvuuksia: valitse enintään, täsmälleen tai vähintään k vaihtoehtoa tästä ryhmästä vaihtoehto x pitää valita, jotta voisit toteuttaa jonkin ryhmän A valinnoista jos valitset jonkin vaihtoehdon ryhmästä A, tulee valita vähintään yksi vaihtoehto ryhmästä B Esimerkiksi: aseisiin tulee ostaa ammuksia, vieläpä oikeanlaisia
13 Päätösten väliset riippuvuudet Aseisiin on hankittava ammuksia oikea määrä oikeaa laatua Venäjä myy KrAZeja vain T-72-asiakkaille Kaksi eri toimittajaa, erilaiset hyöty- ja kustannusprofiilit VALINTA MÄÄRÄ 7.62? Määrä 5.56? Määrä Aseet RK AK M M-231 FPW Ammukset A B NATO Ajoneuvot 0 0 Humvee 1 15 M1 Abrams 0 0 KrAZ 1 29 T Asetetaan KrAZin valinta pienemmäksi tai yhtäsuureksi kuin T-72:n valinta A B Vaaditaan, että: - jos valitaan ase, valitaan siihen ammuksia (B A) - ammuslaatikkoja on tilattava yhtä monta kuin aseita Valintamuuttuja kerrottu kahdella, jotta asetettu rajoitus toimii, vaikka molemmat 7.62-kaliiberiset valittaisiin
14 Synergiat päätösten välillä
15 Synergiat päätösten välillä Ajoneuvojen hankintaan liittyy poliittisia hyötyjä ja haittoja Suurvallat suosivat omien vaihtoehtojensa yhdistämistä eivätkä pidä siitä, jos ostaa molemmilta BOTH on lineaariseen malliin lisätty liikkuva muuttuja, joka täyttää edellisellä kalvolla olevat ehdot Ajoneuvot 1 Humvee 2 M1 Abrams 3 KrAZ 4 T-72 Synergiat (kiinteitä) BOTH Toteutuneet synergiat (kiinteitä) BOTH? a a' S(a) S(a') S(a)+S(a') Synergioiden takia ostetaan enää KrAZeja ja T-72:ia
16 Monijaksoinen päätöshorisontti Tänä vuonna käytössä = ensi vuonna käytössä + tämän vuoden poistot Vuonna y käyttöön otettujen yksiköiden määrä vuonna y+1
17 Monijaksoinen päätöshorisontti Kiinteä hinta (k$) Yksikköhinta (k$) Kiinteä hyöty / tilaus Yksikköhyöty / käyttökausi Minimierä / kausi Maksimierä / kausi Käyttöikä Ajoneuvot KrAZ 20,0 45, T-72 50,0 225, Kokonaishyöty 2394 Vuosi Vuosibudjetti Kokonaiskustannus Vuosibudjetti ei saa ylittyä Ajoneuvot poistetaan rivistä käyttöiän päätyttyä KrAZ VALINTA MÄÄRÄ MIN MAX Yksikköjä käytössä Hyöty Kustannus Modifikaatio: joka vuosi päätetään erikseen, ostetaanko vai ei T-72 VALINTA MÄÄRÄ MIN MAX Yksikköjä käytössä Hyöty Kustannus Esitelmä Koponen 0 0 0
18 Kumulatiivinen budjetti
19 Kumulatiivinen budjetti Kiinteä hinta (k$) Yksikköhinta (k$) Kiinteä hyöty / tilaus Yksikköhyöty / käyttökausi Minimierä / kausi Maksimierä / kausi Käyttöikä Ajoneuvot KrAZ 20,0 45, T-72 50,0 225, Kokonaishyöty 2494 Vuosi Kumulatiivinen budjetti Vuosibudjetti Kumulatiivinen kustannus Kokonaiskustannus Kumulatiivinen budjetti ei saa ylittyä Budjetti tulee käytettyä paremmin KrAZ VALINTA MÄÄRÄ MIN MAX Yksikköjä käytössä Hyöty Kustannus T-72 VALINTA MÄÄRÄ MIN MAX Yksikköjä käytössä Hyöty Esitelmä Koponen Kustannus
20 Joustava budjetti Oikeassa maailmassa pieni, hyvin perusteltu budjetinylitys käy järkeen, jos täällä saavutettava hyöty on suuri Tätä varten voidaan määritellä haittatermi, joka rankaisee budjetista poikkeamisen Mikäli malli on ei-lineaarinen jo valmiiksi, voi haittatermin määritellä esimerkiksi poikkeaman neliön avulla Myös haittatermistä voidaan tehdä kumulatiivinen
21 Kiinteä hinta (k$) Joustava budjetti Yksikköhinta (k$) Kiinteä hyöty / tilaus Yksikköhyöty / käyttökausi Minimierä / kausi Maksimierä / kausi Käyttöikä Ajoneuvot KrAZ 20,0 45, T-72 50,0 225, Kokonaishyöty 2323 Vuosi Vuosibudjetti Kokonaiskustannus Erotus budjettiin Erotus budjettiin ABS(Ero budjettiin) Sakkotermin kerroin 1 (tässä irrelevantti, koska lähemmäs budjettia ei voi päästä) Sakko Malli sakottaa myös alituksista KrAZ VALINTA MÄÄRÄ MIN MAX Yksikköjä käytössä Hyöty Kustannus Sallii budjetin ylitykset, mikäli saavutettu hyöty voittaa sakkotermin Nämä rivit ovat itseisarvon lineaarista toteutusta varten T-72 VALINTA MÄÄRÄ MIN MAX Yksikköjä käytössä Hyöty Kustannus
22 Päätösten aikariippuvuudet Valittavat projektit voivat riippua toisistaan ajallisesti, esim.: Projekti B1 (alkaa vuonna y ja loppuu vuonna y ) voidaan toteuttaa vain silloin, kun projekti A (y y) on käynnissä Tässä VALINTAmuuttuja ei ole vuosittainen, vaan kertoo, valitaanko jokin projekti ylipäänsä Rajoitusehdot y y y y sekä VALINTA a VALINTA a Projekti B2 (y y ) voidaan toteuttaa projektin A alkamisen jälkeen Rajoitusehdot y y sekä VALINTA a VALINTA a Projekti B3 (y y ) voidaan toteuttaa vain tasan projektin A loppuessa Rajoitusehdot y = y sekä VALINTA a VALINTA a Jos mikä tahansa ryhmän Ω projekteista mahdollistaa projektin a toteuttamisen, jälkimmäinen ehto on: VALINTA a VALINTA a a Ω
23 Päätösten aikariippuvuudet Ehdot edellisellä kalvolla A B1 A B2 A B3 y y
24 Muita sovelluksia Systeemin osien muutoksia tilasta toiseen voidaan kuvata binäärimuuttujalla, joka muistuttaa tilansiirtomatriisin solua Päivitetyn suunnitelman eroa vanhaan voidaan rajoittaa, tämä pienentää suurista muutoksista aiheutuvaa haittaa Koska suunnitteluhorisontin loppupuoli on vähintäänkin epävarma, lopputilan määrittäminen etukäteen johtaa erilaisiin ongelmiin horisontin lopussa ( end effects ). Voidaan osittain kiertää pidentämällä suunnitteluhorisonttia huomattavasti raportoitavaa loppua pidemmälle Hyötyjen (ja haittojen) diskonttaaminen nopeuttaa mallin laskemista ja painottaa aiempia, varmempia tapahtumia. Tuottaa parempia lyhyen aikavälin suunnitelmia, kun kaukaisen tulevaisuuden epävarmoilla hyödyillä on vain pieni painoarvo
25 Kotitehtävä: Ilma- ja merisodankäynnin hankinnat Kuvat: Wikipedia
26 Tehtävä 1: Hävittäjähankinnat Keskikokoinen länsimainen valtio pohtii, millaisia hävittäjiä ostaisi viiden miljardin US-dollarin budjetillaan Liitteenä olevasta Excel-taulukosta löytyy kunkin hävittäjän sekä ohjusvaihtoehtojen ominaisuudet: Kiinteä hinta: Järjestelmän valinnasta aiheutuva kiinteä kustannus (tilauskulut & huolto-organisaation perustaminen) Yksikköhinta: Yhden yksikön (lentokone/ohjus) hinta Kiinteä hyöty: Hankitun asejärjestelmän pelotevaikutus Yksikköhyöty: Kunkin asejärjestelmän yksikön tuoma lisäpelote (myös ensimmäisellä hankitulla yksiköllä) Minimi- ja maksimierät: Asejärjestelmää on tilattava vähintään tietty määrä ja toisaalta myyvät valtiot rajoittavat toimitusmääriä
27 Tehtävä 1: Hävittäjähankinnat Yhteen hävittäjään on hankittava tasan 4 kappaletta siihen sopivia ohjuksia (lisäohjuksista ei ole hyötyä ja jos ohjuksia on vähemmän, hävittäjän hyöty putoaa dramaattisesti) Amerikkalaisiin hävittäjiin (a=1,2) sopii vain AIM-ohjukset ja venäläisiin (a=3,4) vain Vympelin ohjukset Lisäksi, jos hankkii kahta eri hävittäjää samalta suurvallalta, tämä pitää valtiotasi liittolaisenaan (USA vahvemmin kuin Venäjä, kts. taulukko) Jos hankit hävittäjiä molemmilta suurvalloilta, maailmanpoliittinen asemasi heikkenee huomattavasti (kts. taulukko) Vinkki: käytä synergioita määrittäessäsi synergiakalvojen kaavoja näin mallisi pysyy lineaarisena (tämä vaatii BOTH-muuttujan määrittämistä Solverin muuttujaksi) Synergiat (kiinteitä)
28 Tehtävä 1: Hävittäjähankinnat Kohta a: Kuinka monta (ja mitä) hävittäjää ja ohjusta on optimaalista ostaa? Mikä on tällöin hyötyfunktion arvo? Kohta b: Entä ilman synergioita? (Tässä kannattaa yksinkertaisesti korvata synergiataulukon luvut nollilla ja ajaa optimointimalli uudelleen) Mallin tulee olla lineaarinen ja se tulee ratkaista lineaarisella menetelmällä (esim. Solverin Simplex LP -algoritmilla) Excelissä on korostettu solut, jotka täyttämällä malli on havainnollisimmin ratkaistavissa Exceliä ei ole pakko käyttää Palautus sähköpostilla liitä mukaan myös käyttämäsi tiedosto (Excel, Matlab tms ).
29 Tehtävä 2: Merisodankäynnin hankinnat Valtiosi haluaa ostaa myös laivoja ja sukellusveneitä. Tiukan karsinnan jälkeen on päädytty yhteen hävittäjä- ja yhteen sukellusvenetyyppiin Excelistä löytyy kummankin sodankäynnin välineen tiedot: Kiinteä hinta on nyt tilauskohtainen hinta (tilauskulut) Yksikköhinta on edelleen yhden yksikön hankintakustannus, käyttökustannuksia ei huomioida Tilauksella on kiinteä, tilausvuonna realisoituva hyöty: muut maat näkevät, kun päivität armeijasi kalustoa Yksikköhyöty aiheutuu kustakin käytössä olevasta yksiköstä kausittain siihen asti, että yksikkö poistetaan käytöstä Minimi- ja maksimierät ovat kausikohtaisia Asejärjestelmillä on käyttöikä, jonka jälkeen ne poistetaan käytöstä (esimerkiksi vuonna 2010 hankittu sukellusvene ei ole enää käytössä vuonna 2050)
30 Tehtävä 2: Merisodankäynnin hankinnat Kohta a: Miten hankinnat jaksottuvat, kun vuosibudjetit eivät saa ylittyä? Kohta b: Miten hankinnat jaksottuvat, jos budjetti on kumulatiivinen (eli edellisiltä vuosilta jääneet varat voi käyttää tulevien vuosien hankinnoissa)? Mallin tulee olla lineaarinen ja se tulee ratkaista lineaarisella menetelmällä (esim. Solverin Simplex LP -algoritmilla) Excelissä on korostettu solut, jotka täyttämällä malli on havainnollisimmin ratkaistavissa Exceliä ei ole pakko käyttää Palautus sähköpostilla liitä mukaan myös käyttämäsi tiedosto (Excel, Matlab tms ).
Projektiportfolion valinta
Projektiportfolion valinta Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari kevät 2011 Kotitehtävän 1 ratkaisu Kotitehtävä Kirkwood, G. W., 1997. Strategic Decision Making: Multiobjective Decision Analysis with Spreadsheets,
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotProjektiportfolion valinta
Projektiportfolion valinta Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari kevät 2011 Portfolion valinta Käytettävissä on rajallinen määrä resursseja, joten ne on allokoitava mahdollisimman hyvin eri projekteille
LisätiedotHarjoitus 8: Excel - Optimointi
Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen
LisätiedotDemo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
LisätiedotAki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI
Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen
LisätiedotDemo 1: Branch & Bound
MS-C05 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 7 Ehtamo Demo : Branch & Bound Ratkaise lineaarinen kokonaislukuoptimointitehtävä käyttämällä Branch & Boundalgoritmia. max x + x s.e. x + 4x 9 5x + x 9 x Z
LisätiedotRobust portfolio modeling (RPM) epätäydellisellä hintainformaatiolla ja projektiriippuvuuksilla
Robust portfolio modeling (RPM) epätäydellisellä hintainformaatiolla ja projektiriippuvuuksilla Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari kevät 2011 Lähde: Liesiö, J., Mild, P., Salo, A., 2008. Robust portfolio
LisätiedotLineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 9..7 Luento Kokonaislukuoptimoinnin algoritmeja (kirja.-.) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Luentorunko Gomoryn leikkaava taso Branch & Bound Branch & Cut Muita menetelmiä
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotLuento 7: Kokonaislukuoptimointi
Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus
LisätiedotEsimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista
Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista (eli mitä kaikkea kokonaisluvuilla voi mallintaa) 27. marraskuuta 2013 Pääoman budjetointiongelma Kulut Projekti Vuosi 1 Vuosi 2 Vuosi 3 Tuotto 1 5 1 8 20 2
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Optimointitehtävät, joissa muuttujat tai osa niistä voivat saada vain kokonaislukuarvoja Puhdas kokonaislukuoptimointitehtävä: Kaikki muuttujat kokonaislukuja Sekoitettu kokonaislukuoptimointitehtävä:
LisätiedotEräs tyypillinen virhe monitavoitteisessa portfoliopäätösanalyysissa + esimerkkitapaus
Eräs tyypillinen virhe monitavoitteisessa portfoliopäätösanalyysissa + esimerkkitapaus Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari 2.3.2011 Lähteet: Clemen, R. T., & Smith, J. E. (2009). On the Choice of Baselines
LisätiedotHaitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli
Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Mikko Hyvärinen 29.1.2008 Haitallinen valikoituminen kahden tyypin malli Haitallinen valikoituminen tarkoittaa että päämies
LisätiedotHarjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox
Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
LisätiedotSimplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala
Simplex-algoritmi T-6.5 Informaatiotekniikan seminaari..8, Susanna Moisala Sisältö Simplex-algoritmi Lähtökohdat Miten ongelmasta muodostetaan ns. Simplextaulukko Miten haetaan käypä aloitusratkaisu Mitä
LisätiedotArvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)
Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.
LisätiedotKimppu-suodatus-menetelmä
Kimppu-suodatus-menetelmä 2. toukokuuta 2016 Kimppu-suodatus-menetelmä on kehitetty epäsileiden optimointitehtävien ratkaisemista varten. Menetelmässä approksimoidaan epäsileitä funktioita aligradienttikimpulla.
LisätiedotLuento 7: Kokonaislukuoptimointi
Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus
LisätiedotLineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen
Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Jos sallittuja kokonaislukuratkaisuja ei ole kovin paljon, ne voidaan käydä kaikki läpi yksitellen Käytännössä tämä ei kuitenkaan ole yleensä mahdollista
LisätiedotVarastonhallinnan optimointi
Varastonhallinnan optimointi Timo Ranta Tutkijatohtori TTY Porin laitos OPTIMI 4.6.215 Peruskysymykset Kuinka paljon tilataan? Milloin tilataan? 2 (46) Kustannuksia Tavaran hinta Varastointikustannukset
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa
LisätiedotTrimmitysongelman LP-relaksaation ratkaiseminen sarakkeita generoivalla algoritmilla ja brute-force-menetelmällä
Trimmitysongelman LP-relaksaation ratkaiseminen sarakkeita generoivalla algoritmilla ja brute-force-menetelmällä Vesa Husgafvel 19.11.2012 Ohjaaja: DI Mirko Ruokokoski Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
Lisätiedot4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä
LisätiedotOsakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.
LisätiedotKuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij
Kuljetustehtävä Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Lähtöpaikan i kapasiteetti on a i (oletetaan, että a i > 0
LisätiedotSovelluksia additiivisen arvofunktion käytöstä projektiportfolion valinnassa
Sovelluksia additiivisen arvofunktion käytöstä projektiportfolion valinnassa Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari kevät 2011 Kleinmuntz ja Kleinmuntz1999 TEHTÄVÄ Sairaalan strategisen investointibudjetin
LisätiedotKokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät
Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat
LisätiedotOvatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi.
5..0 Tehtävä Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. (c) (d) Arvostelu Kanta on degeneroitunut jos ja vain jos sitä vastaava kantamatriisi on singulaarinen. Optimissa muuttujan
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) vasemman puolen
LisätiedotTEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio. Kimmo Berg. Mat Optimointioppi. 9. harjoitus - ratkaisut
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 9. harjoitus - ratkaisut 1. a) Viivahakutehtävä pisteessä x suuntaan d on missä min f(x + λd), λ f(x + λd) = (x
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
LisätiedotReferenssipiste- ja referenssisuuntamenetelmät
Referenssipiste- ja referenssisuuntamenetelmät Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 1 Esitelmän sisältö Menetelmien ideat Menetelmien soveltaminen Menetelmien ominaisuuksia Optimointiopin seminaari
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu
LisätiedotJoonas Haapala Ohjaaja: DI Heikki Puustinen Valvoja: Prof. Kai Virtanen
Hävittäjälentokoneen reitin suunnittelussa käytettävän dynaamisen ja monitavoitteisen verkko-optimointitehtävän ratkaiseminen A*-algoritmilla (valmiin työn esittely) Joonas Haapala 8.6.2015 Ohjaaja: DI
LisätiedotHaitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu
Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Matias Leppisaari 29.1.2008 Esityksen rakenne Yleinen malli Käypyys ja rajoitusehdot Mallin ratkaisu Kotitehtävä
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
LisätiedotMat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.
Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan luento Netspace
Johdatus verkkoteoriaan luento 3.4.18 Netspace Matriisioperaatio suunnatuissa verkoissa Taustoitusta verkkoteorian ulkopuolelta ennen kuljetusalgoritmia LP-ongelma yleisesti LP = linear programming =
LisätiedotPiiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
LisätiedotKaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine
Vaasan yliopiston julkaisuja 97 5 DETERMINANTIT Ch:Determ Sec:DetDef 5.1 Determinantti Tämä kappale jakautuu kolmeen alakappaleeseen. Ensimmäisessä alakappaleessa määrittelemme kaksi- ja kolmiriviset determinantit.
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3 7.3.07 Tehtävä Olkoon tilamuuttujat Tällöin saadaan rekursioyhtälö f n (x n ) = max yn {0,} ynwn xn f 0 ( ) = 0. x n = vaiheessa n jäljellä oleva paino, n =,...,N, esine n pakataan
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan 4. luento
Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,
LisätiedotHarjoitus 5 ( )
Harjoitus 5 (24.4.2014) Tehtävä 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.34 Lineaarinen ohjelmointi..27 Luento 5 Simplexin implementaatioita (kirja 3.2-3.5) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 27 / Luentorunko (/2) Simplexin implementaatiot Naiivi Revised Full tableau Syklisyys
LisätiedotHarjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
LisätiedotKun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla
LisätiedotNollasummapelit ja bayesilaiset pelit
Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1
LisätiedotLuento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotKorko Mela-laskelmissa
juha.lappi.sjk@gmail.com Taksaattoriklubin kevätseminaari 9.4.09 Korko tule mukaan Mela-laskelmiin neljässä eri merkityksessä: Tavoitefunktion korkoprosentti Uudistamisen ja harvennusten läpimitta- ja
LisätiedotLyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2
Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2 Ilkka Männistö Esitelmä 10 - Ilkka Männistö Optimointiopin seminaari - Kevät 2003 / 1 Kilpailun aste Markkinahinta ei kerro mitään kilpailun asteesta jos kustannusrakennetta
LisätiedotYhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu
Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu Tommi Lehtonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Bayesilainen tasapaino Täysi informaatio Vajaa informaatio Staattinen Nash Bayes Dynaaminen Täydellinen
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä.
LisätiedotHarjoitus 3 (3.4.2014)
Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotT 61.152 Informaatiotekniikan seminaari: Kombinatorinen Optimointi
T 61.152 Informaatiotekniikan seminaari: Kombinatorinen Optimointi Johdantoluento (22.1.2008) Nikolaj Tatti ntatti@cc.hut.fi Johdantoluento Kurssijärjestelyt ja vaatimukset. Kurssin sisällöstä. Hyvä esitelmä
LisätiedotInformaation arvo. Ohjelmistotekniikan laitos OHJ-2550 Tekoäly, kevät
259 Informaation arvo Öljykenttään myydään porausoikeuksia, palstoja on n kappaletta, mutta vain yhdessä niistä on C euron edestä öljyä Yhden palstan hinta on C/n euroa Seismologi tarjoaa yritykselle tutkimustietoa
LisätiedotMat Investointiteoria Laskuharjoitus 4/2008, Ratkaisut
Projektien valintapäätöksiä voidaan pyrkiä tekemään esimerkiksi hyöty-kustannus-suhteen (so. tuottojen nykyarvo per kustannusten nykyarvo) tai nettonykyarvon (so. tuottojen nykyarvo - kustannusten nykyarvo)
LisätiedotDemo 1: Excelin Solver -liitännäinen
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 1 Ehtamo Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen Ratkaise tehtävä käyttäen Excelin Solveria. max 3x 1 + x 2 s.e. 2x 1 + 5x 2 8 4x 1 + 2x 2 5 x 1, x 2 0 Ratkaisu
LisätiedotDuaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen
LisätiedotLuento 3: Simplex-menetelmä
Luento 3: Simplex-menetelmä Kuten graafinen tarkastelu osoittaa, LP-tehtävän ratkaisu on aina käyvän alueen kulmapisteessä, eli ekstreemipisteessä (extreme point). Simplex-menetelmässä ekstreemipisteitä,
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 5..7 Luento Kertausta Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / LP ja Simplex Kurssin rakenne Duaalisuus ja herkkyysanalyysi Verkkotehtävät Kokonaislukutehtävät Lineaarinen ohjelmointi
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.3140 Lineaarinen ohjelmointi 4.10.2007 Luento 4 Ekstreemipisteiden optimaalisuus ja Simplex (kirja 2.4-2.6, 3.1-3.2) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 2007 / 1 Luentorunko Degeneroituvuus Ekstreemipisteiden
LisätiedotYhteistyötä sisältämätön peliteoria
Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jarkko.murtoaro@hut.fi Optimointiopin seminaari Kevät 2003 / 1 Sisältö Johdanto Käsitteistö Työkalut Nashin tasapaino Täydellinen tasapaino Optimointiopin seminaari
LisätiedotTaulukkolaskenta (30 pistettä)
Taulukkolaskenta (30 pistettä) Yleistä Tehtävässä käsitellään koiranäyttelyn budjettia varten tehtyä Excel -työkirjaa. Käytä kaavan kopiointia ja kiinteitä viittauksia aina kun mahdollista. Käytettävät
LisätiedotKaksi sovellusta robustien päätössuositusten tuottamisesta
Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Kaksi sovellusta robustien päätössuositusten tuottamisesta Antti Toppila 2.3.2011 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/19 Optimointiopin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotReaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla
Reaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esitelmän sisältö Investointien peruuttamattomuuden vaikutus investointipäätökseen Investointimahdollisuuksien
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 6 24.4.2017 Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomonisteen s. 107) mukaan yleisen muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on min θ(u,v)
LisätiedotMetsätila-arvio ja metsäsuunnitelma sukupolvenvaihdoksen suunnittelussa
Metsätila-arvio ja metsäsuunnitelma sukupolvenvaihdoksen suunnittelussa 1 Puheenaiheena tänään Ajantasainen metsäsuunnitelma Luopujan apuväline Jatkajan työkalu Metsätila-arvio Metsän arvon määritys verottajaa
LisätiedotY56 Mikron jatkokurssi kl 2009: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2
1 Y56 Mikron jatkokurssi kl 2009: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Palautus to 5.2. klo 16 mennessä Chiaran lokerolle Koetilantie 5, 3. krs. Tehtävät voidaan palauttaa myös to 5.2. luennon alussa. En ota vastaan myöhään
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
LisätiedotHarjoitus 3 (31.3.2015)
Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotDiskreettiaikainen dynaaminen optimointi
Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Usean kauden tapaus 2 kauden yleistys Ääretön loppuaika Optimaalinen pysäytys Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / Ongelma t 0 x 0 t- t T x t- + x t + x T u
LisätiedotHarjoitus 5 ( )
Harjoitus 5 (14.4.2015) Tehtävä 1 Figure 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan
LisätiedotUusien keksintöjen kannustimet
Uusien keksintöjen kannustimet Ville Koskenvuo 9.4.2003 Optimointiopin seminaari Kevät 2003 / 1 Päivän agenda 1. luento: Uusien keksintöjen kannustimet ja patenttikisat (Koskenvuo) 2. luento: Uusien keksintöjen
LisätiedotAdditiivinen arvofunktio projektiportfolion valinnassa
Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 1/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Additiivinen arvofunktio projektiportfolion valinnassa Antti Toppila 2.2.2011 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 2/19 Optimointiopin seminaari
LisätiedotMalliratkaisut Demot 6,
Malliratkaisut Demot 6, 19.2.21 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1
Mat-214 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A, säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB ja säiliöstä
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotHarha mallin arvioinnissa
Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö
Lisätiedotv AB q(t) = q(t) v AB p(t) v B V B ṗ(t) = q(t) v AB Φ(t, τ) = e A(t τ). e A = I + A + A2 2! + A3 = exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)), A N = =
Mat-214 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti Mallivastaukset kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB
LisätiedotMalliratkaisut Demo 1
Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,
LisätiedotMS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta
LisätiedotI I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A
II KULUTTAJANTEORIA.. Budjettirajoite * Ihmisten kaikkea toimintaa rajoittavat erilaiset rajoitteet. * Mikrotalouden kurssilla tärkein rajoite on raha. * Kuluttaja maksimoi hyötyään, mutta ei kykene toteuttamaan
LisätiedotLuento 4: Lineaarisen tehtävän duaali
Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea
Lisätiedot