Kokonaislukuoptimointimallinnus projektiportfolion valinnasa

Transkriptio

1 Kokonaislukuoptimointimallinnus projektiportfolion valinnasa Mat Optimointiopin seminaari kevät 2011 Lähteet: Brown & Dell & Newman: Optimizing Military Capital Planning Pachamanova: Introducing Integer Modeling with Excel Solver

2 Kokonaislukuoptimoinnin historiaa Yhdysvaltain armeija edelläkävijöitä lineaarisen ohjelmoinnin kehittämisessä toisen maailmansodan jälkeen Tarve suunnitella valtavan budjetin tehokas käyttö Eroja armeijan ja siviilimaailman välillä: Armeijalla ei veroja, poistoja, taseita, tuottolaskelmia jne. Toisaalta erittäin pitkä suunnitteluhorisontti ja paljon erikoisia sääntöjä Kuitenkin erittäin paljon yhteneväisyyksiä ja siten opittavaa malleista: verosuojan yms. lisääminen on vain tekninen toimenpide

3 Lineaarisuudesta Lineaarisuus helpottaa optimointitehtävän ratkaisemista ja takaa globaalin optimiratkaisun löytymisen useimmissa tapauksissa (esimerkiksi Simplex-menetelmällä) Excelin Solver on kätevä apuväline, sillä se sisältää Simplextoiminnon: kaikki tämän esitelmän esimerkit on ratkaistu sitä käyttäen Normaalissa Excelin käytössä hyödylliset IF-funktiot eivät toimi Simplex-menetelmän kanssa Muuttujien keskenään kertomista tulisi myös välttää (tulee vastaan ainakin synergialaskuissa), sillä useimmissa tapauksissa on olemassa lineaarinen keino toimittaa sama asia

4 Lähtökohta: Knapsack-ongelma a viittaa yksittäisen vaihtoehdon indeksiin

5 Lähtökohta: Knapsack-ongelma Olet ostamassa aseita kotisi turvaksi ja pohdiskelet, mitkä pyssyt valitsisit, kun budjettirajoitteesi on 3000 dollaria Hinta (k$) Hyöty VALINTA Aseet RK-62 1,5 1,3 0 AK-47 0,7 1,0 1 M-16 1,4 1,4 0 M-231 FPW 1,8 1,9 1 Valituksi tulee yksi AK-47 ja yksi M-231 TOTAL 2,5 2,9 Budjettirajoite 3,0 Budjettia ei saa ylittää Haluat maksimoida hyödyn eli vaikkapa pelotevaikutuksen

6 Määrän lisääminen Valinnasta aiheutuva kiinteä hyöty Kunkin lisäyksikön tuoma muuttuva hyöty Kiinteä kustannus Muuttuva (yksikkö)kustannus

7 Määrän lisääminen Armeijan asebudjetti on 500 tuhatta dollaria, mitkä aseet sen kannattaa hankkia? Kiinteä hinta (k$) Yksikköhinta (k$) Kiinteä hyöty Yksikköhyöty VALINTA MÄÄRÄ Aseet RK-62 15,0 1,5 1,3 0, AK-47 10,0 0,7 1,0 0, M-16 20,0 1,4 1,4 0, M-231 FPW 25,0 1,8 1,9 0, TOTAL ,6 18,38 Kokonaishyöty 23,98 Kokonaiskustannus 500 Kokonaisbudjetti 500 Nyt sekä hyödyt että kustannukset koostuvat kiinteästä ja muuttuvasta osasta Koska kiinteä hyöty on niin edullista, jokaista asetta ostetaan

8 Määrän rajoittaminen Jos valitaan vaihtoehto a, on tilattava vähintään minimierän suuruinen määrä

9 Määrän rajoittaminen Aseiden toimittajat kykenevät myymään tulevana vuonna vain seuraavan suuruisia eriä Kiinteä hinta (k$) Yksikköhinta (k$) Kiinteä hyöty Yksikköhyöty Minimierä Maksimierä VALINTA MÄÄRÄ Alaraja Yläraja Aseet RK-62 15,0 1,5 1,3 0, AK-47 10,0 0,7 1,0 0, M-16 20,0 1,4 1,4 0, M-231 FPW 25,0 1,8 1,9 0, TOTAL ,9 18,6 Kokonaishyöty 21,5 Kokonaiskustannus 499 Kokonaisbudjetti 500 Käytännön toteutus Nyt ratkaisu ottaa Excelin Solveria eräkoot huomion varten: VALINTA*minimierä

10 Erilliset budjetit Budjettiin c kohdistettu hinta

11 Ajoneuvokustannukset 4490 Ajoneuvobudjetti 4500 Erilliset budjetit Havainnollisuuden vuoksi kukin erä kohdistetaan vain yhteen budjettiin Kiinteä hinta (k$) Yksikköhinta (k$) Kiinteä hyöty Yksikköhyöty Minimierä Maksimierä VALINTA MÄÄRÄ Aseet RK-62 15,0 1,5 1,3 0, AK-47 10,0 0,7 1,0 0, M-16 20,0 1,4 1,4 0, M-231 FPW 25,0 1,8 1,9 0, Ajoneuvot 0 0 Humvee 25,0 50, M1 Abrams 120,0 250, KrAZ 20,0 45, T ,0 225, TOTAL ,9 429,6 Kokonaiskustannus 4989 Kokonaishyöty 572,5 Kokonaisbudjetti 5000 Asekustannukset 499 Asebudjetti 500 Erilliset budjetit aseille ja ajoneuvoille Kun kukin kustannus allokoidaan vain yhteen budjettiin, kyseessä on käytännössä kaksi erillistä tehtävää

12 Päätösten väliset riippuvuudet Päätökset ovat usein toisistaan tavalla tai toisella riippuvia Joitain yleisiä riippuvuuksia: valitse enintään, täsmälleen tai vähintään k vaihtoehtoa tästä ryhmästä vaihtoehto x pitää valita, jotta voisit toteuttaa jonkin ryhmän A valinnoista jos valitset jonkin vaihtoehdon ryhmästä A, tulee valita vähintään yksi vaihtoehto ryhmästä B Esimerkiksi: aseisiin tulee ostaa ammuksia, vieläpä oikeanlaisia

13 Päätösten väliset riippuvuudet Aseisiin on hankittava ammuksia oikea määrä oikeaa laatua Venäjä myy KrAZeja vain T-72-asiakkaille Kaksi eri toimittajaa, erilaiset hyöty- ja kustannusprofiilit VALINTA MÄÄRÄ 7.62? Määrä 5.56? Määrä Aseet RK AK M M-231 FPW Ammukset A B NATO Ajoneuvot 0 0 Humvee 1 15 M1 Abrams 0 0 KrAZ 1 29 T Asetetaan KrAZin valinta pienemmäksi tai yhtäsuureksi kuin T-72:n valinta A B Vaaditaan, että: - jos valitaan ase, valitaan siihen ammuksia (B A) - ammuslaatikkoja on tilattava yhtä monta kuin aseita Valintamuuttuja kerrottu kahdella, jotta asetettu rajoitus toimii, vaikka molemmat 7.62-kaliiberiset valittaisiin

14 Synergiat päätösten välillä

15 Synergiat päätösten välillä Ajoneuvojen hankintaan liittyy poliittisia hyötyjä ja haittoja Suurvallat suosivat omien vaihtoehtojensa yhdistämistä eivätkä pidä siitä, jos ostaa molemmilta BOTH on lineaariseen malliin lisätty liikkuva muuttuja, joka täyttää edellisellä kalvolla olevat ehdot Ajoneuvot 1 Humvee 2 M1 Abrams 3 KrAZ 4 T-72 Synergiat (kiinteitä) BOTH Toteutuneet synergiat (kiinteitä) BOTH? a a' S(a) S(a') S(a)+S(a') Synergioiden takia ostetaan enää KrAZeja ja T-72:ia

16 Monijaksoinen päätöshorisontti Tänä vuonna käytössä = ensi vuonna käytössä + tämän vuoden poistot Vuonna y käyttöön otettujen yksiköiden määrä vuonna y+1

17 Monijaksoinen päätöshorisontti Kiinteä hinta (k$) Yksikköhinta (k$) Kiinteä hyöty / tilaus Yksikköhyöty / käyttökausi Minimierä / kausi Maksimierä / kausi Käyttöikä Ajoneuvot KrAZ 20,0 45, T-72 50,0 225, Kokonaishyöty 2394 Vuosi Vuosibudjetti Kokonaiskustannus Vuosibudjetti ei saa ylittyä Ajoneuvot poistetaan rivistä käyttöiän päätyttyä KrAZ VALINTA MÄÄRÄ MIN MAX Yksikköjä käytössä Hyöty Kustannus Modifikaatio: joka vuosi päätetään erikseen, ostetaanko vai ei T-72 VALINTA MÄÄRÄ MIN MAX Yksikköjä käytössä Hyöty Kustannus Esitelmä Koponen 0 0 0

18 Kumulatiivinen budjetti

19 Kumulatiivinen budjetti Kiinteä hinta (k$) Yksikköhinta (k$) Kiinteä hyöty / tilaus Yksikköhyöty / käyttökausi Minimierä / kausi Maksimierä / kausi Käyttöikä Ajoneuvot KrAZ 20,0 45, T-72 50,0 225, Kokonaishyöty 2494 Vuosi Kumulatiivinen budjetti Vuosibudjetti Kumulatiivinen kustannus Kokonaiskustannus Kumulatiivinen budjetti ei saa ylittyä Budjetti tulee käytettyä paremmin KrAZ VALINTA MÄÄRÄ MIN MAX Yksikköjä käytössä Hyöty Kustannus T-72 VALINTA MÄÄRÄ MIN MAX Yksikköjä käytössä Hyöty Esitelmä Koponen Kustannus

20 Joustava budjetti Oikeassa maailmassa pieni, hyvin perusteltu budjetinylitys käy järkeen, jos täällä saavutettava hyöty on suuri Tätä varten voidaan määritellä haittatermi, joka rankaisee budjetista poikkeamisen Mikäli malli on ei-lineaarinen jo valmiiksi, voi haittatermin määritellä esimerkiksi poikkeaman neliön avulla Myös haittatermistä voidaan tehdä kumulatiivinen

21 Kiinteä hinta (k$) Joustava budjetti Yksikköhinta (k$) Kiinteä hyöty / tilaus Yksikköhyöty / käyttökausi Minimierä / kausi Maksimierä / kausi Käyttöikä Ajoneuvot KrAZ 20,0 45, T-72 50,0 225, Kokonaishyöty 2323 Vuosi Vuosibudjetti Kokonaiskustannus Erotus budjettiin Erotus budjettiin ABS(Ero budjettiin) Sakkotermin kerroin 1 (tässä irrelevantti, koska lähemmäs budjettia ei voi päästä) Sakko Malli sakottaa myös alituksista KrAZ VALINTA MÄÄRÄ MIN MAX Yksikköjä käytössä Hyöty Kustannus Sallii budjetin ylitykset, mikäli saavutettu hyöty voittaa sakkotermin Nämä rivit ovat itseisarvon lineaarista toteutusta varten T-72 VALINTA MÄÄRÄ MIN MAX Yksikköjä käytössä Hyöty Kustannus

22 Päätösten aikariippuvuudet Valittavat projektit voivat riippua toisistaan ajallisesti, esim.: Projekti B1 (alkaa vuonna y ja loppuu vuonna y ) voidaan toteuttaa vain silloin, kun projekti A (y y) on käynnissä Tässä VALINTAmuuttuja ei ole vuosittainen, vaan kertoo, valitaanko jokin projekti ylipäänsä Rajoitusehdot y y y y sekä VALINTA a VALINTA a Projekti B2 (y y ) voidaan toteuttaa projektin A alkamisen jälkeen Rajoitusehdot y y sekä VALINTA a VALINTA a Projekti B3 (y y ) voidaan toteuttaa vain tasan projektin A loppuessa Rajoitusehdot y = y sekä VALINTA a VALINTA a Jos mikä tahansa ryhmän Ω projekteista mahdollistaa projektin a toteuttamisen, jälkimmäinen ehto on: VALINTA a VALINTA a a Ω

23 Päätösten aikariippuvuudet Ehdot edellisellä kalvolla A B1 A B2 A B3 y y

24 Muita sovelluksia Systeemin osien muutoksia tilasta toiseen voidaan kuvata binäärimuuttujalla, joka muistuttaa tilansiirtomatriisin solua Päivitetyn suunnitelman eroa vanhaan voidaan rajoittaa, tämä pienentää suurista muutoksista aiheutuvaa haittaa Koska suunnitteluhorisontin loppupuoli on vähintäänkin epävarma, lopputilan määrittäminen etukäteen johtaa erilaisiin ongelmiin horisontin lopussa ( end effects ). Voidaan osittain kiertää pidentämällä suunnitteluhorisonttia huomattavasti raportoitavaa loppua pidemmälle Hyötyjen (ja haittojen) diskonttaaminen nopeuttaa mallin laskemista ja painottaa aiempia, varmempia tapahtumia. Tuottaa parempia lyhyen aikavälin suunnitelmia, kun kaukaisen tulevaisuuden epävarmoilla hyödyillä on vain pieni painoarvo

25 Kotitehtävä: Ilma- ja merisodankäynnin hankinnat Kuvat: Wikipedia

26 Tehtävä 1: Hävittäjähankinnat Keskikokoinen länsimainen valtio pohtii, millaisia hävittäjiä ostaisi viiden miljardin US-dollarin budjetillaan Liitteenä olevasta Excel-taulukosta löytyy kunkin hävittäjän sekä ohjusvaihtoehtojen ominaisuudet: Kiinteä hinta: Järjestelmän valinnasta aiheutuva kiinteä kustannus (tilauskulut & huolto-organisaation perustaminen) Yksikköhinta: Yhden yksikön (lentokone/ohjus) hinta Kiinteä hyöty: Hankitun asejärjestelmän pelotevaikutus Yksikköhyöty: Kunkin asejärjestelmän yksikön tuoma lisäpelote (myös ensimmäisellä hankitulla yksiköllä) Minimi- ja maksimierät: Asejärjestelmää on tilattava vähintään tietty määrä ja toisaalta myyvät valtiot rajoittavat toimitusmääriä

27 Tehtävä 1: Hävittäjähankinnat Yhteen hävittäjään on hankittava tasan 4 kappaletta siihen sopivia ohjuksia (lisäohjuksista ei ole hyötyä ja jos ohjuksia on vähemmän, hävittäjän hyöty putoaa dramaattisesti) Amerikkalaisiin hävittäjiin (a=1,2) sopii vain AIM-ohjukset ja venäläisiin (a=3,4) vain Vympelin ohjukset Lisäksi, jos hankkii kahta eri hävittäjää samalta suurvallalta, tämä pitää valtiotasi liittolaisenaan (USA vahvemmin kuin Venäjä, kts. taulukko) Jos hankit hävittäjiä molemmilta suurvalloilta, maailmanpoliittinen asemasi heikkenee huomattavasti (kts. taulukko) Vinkki: käytä synergioita määrittäessäsi synergiakalvojen kaavoja näin mallisi pysyy lineaarisena (tämä vaatii BOTH-muuttujan määrittämistä Solverin muuttujaksi) Synergiat (kiinteitä)

28 Tehtävä 1: Hävittäjähankinnat Kohta a: Kuinka monta (ja mitä) hävittäjää ja ohjusta on optimaalista ostaa? Mikä on tällöin hyötyfunktion arvo? Kohta b: Entä ilman synergioita? (Tässä kannattaa yksinkertaisesti korvata synergiataulukon luvut nollilla ja ajaa optimointimalli uudelleen) Mallin tulee olla lineaarinen ja se tulee ratkaista lineaarisella menetelmällä (esim. Solverin Simplex LP -algoritmilla) Excelissä on korostettu solut, jotka täyttämällä malli on havainnollisimmin ratkaistavissa Exceliä ei ole pakko käyttää Palautus sähköpostilla liitä mukaan myös käyttämäsi tiedosto (Excel, Matlab tms ).

29 Tehtävä 2: Merisodankäynnin hankinnat Valtiosi haluaa ostaa myös laivoja ja sukellusveneitä. Tiukan karsinnan jälkeen on päädytty yhteen hävittäjä- ja yhteen sukellusvenetyyppiin Excelistä löytyy kummankin sodankäynnin välineen tiedot: Kiinteä hinta on nyt tilauskohtainen hinta (tilauskulut) Yksikköhinta on edelleen yhden yksikön hankintakustannus, käyttökustannuksia ei huomioida Tilauksella on kiinteä, tilausvuonna realisoituva hyöty: muut maat näkevät, kun päivität armeijasi kalustoa Yksikköhyöty aiheutuu kustakin käytössä olevasta yksiköstä kausittain siihen asti, että yksikkö poistetaan käytöstä Minimi- ja maksimierät ovat kausikohtaisia Asejärjestelmillä on käyttöikä, jonka jälkeen ne poistetaan käytöstä (esimerkiksi vuonna 2010 hankittu sukellusvene ei ole enää käytössä vuonna 2050)

30 Tehtävä 2: Merisodankäynnin hankinnat Kohta a: Miten hankinnat jaksottuvat, kun vuosibudjetit eivät saa ylittyä? Kohta b: Miten hankinnat jaksottuvat, jos budjetti on kumulatiivinen (eli edellisiltä vuosilta jääneet varat voi käyttää tulevien vuosien hankinnoissa)? Mallin tulee olla lineaarinen ja se tulee ratkaista lineaarisella menetelmällä (esim. Solverin Simplex LP -algoritmilla) Excelissä on korostettu solut, jotka täyttämällä malli on havainnollisimmin ratkaistavissa Exceliä ei ole pakko käyttää Palautus sähköpostilla liitä mukaan myös käyttämäsi tiedosto (Excel, Matlab tms ).