Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio
|
|
|
- Ritva Katajakoski
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio Esitelmä algoritmiikan tutkimusseminaarissa Kimmo Palin Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin Yliopisto Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 1
2 Sisältö Tällä kertaa tarjolla toisiinsa liittymättömiä käytännön ongelmia otsikolla nice to know. Töiden skedulointi. Rasituksen tasaus. Robotin navigointi tuntemattomassa ympäristössä. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 2
3 Merkintöjä Jonon σ = J 1, J 2,..., J n työt saapuvat online. Työllä J k on aikatarve p k. Saapuva työ skeduloidaan välittömästi jollekin m koneesta. Perusongelmasta saadaan eri muunnoksia rippuen siitä, tunnetaanko p k etukäteen vai ei, ovatko koneet identtisiä vai ei, ovatko kaikki koneet aina käytettävissä vai ei, mitä kohdefunktiota optimoidaan,... Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 3
4 Skedulointi Klassisessa tapauksessa prosessin aikatarve tunnetaan ja koneet ovat identtisiä. Tavoitteena on minimoida viimeisen työn valmistumiseen kuluva aika. AHNE algoritmi: skeduloi saapuva työ vähiten kuormitetulle koneelle. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 4
5 Skedulointi Klassisessa tapauksessa prosessin aikatarve tunnetaan ja koneet ovat identtisiä. Tavoitteena on minimoida viimeisen työn valmistumiseen kuluva aika. AHNE algoritmi: skeduloi saapuva työ vähiten kuormitetulle koneelle. Lause 28 AHNE algoritmi on (2 1 m ) kilpailukykyinen. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 4
6 Todistus Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 5
7 Todistus J 1 Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 5
8 Todistus J 1 J 2 Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 5
9 Todistus J 1 J 2 J 3 Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 5
10 Todistus J 1 J 2 J 3 J 4 Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 5
11 Todistus J 1 J 2 J 5 J 3 J 4 Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 5
12 Todistus J 1 J 2 J 3 J 4 J 5 T G (σ) työjonon valmistumisaika AHNE algoritmin skeduloimana. T OP T (σ) optimaalinen valmistumisaika. T OP T (σ) T G (σ) Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 5
13 Todistus J 1 J 2 J 3 J 4 J 5 t 1 T OP T (σ) T G (σ) T G (σ) työjonon valmistumisaika AHNE algoritmin skeduloimana. T OP T (σ) optimaalinen valmistumisaika. t 1 aika, johon asti kaikki koneet ovat käytössä. t 2 = T G (σ) t 1. t 2 Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 5
14 Todistus J 1 J 2 J 3 J 4 J 5 t 1 T OP T (σ) T G (σ) t 2 T G (σ) työjonon valmistumisaika AHNE algoritmin skeduloimana. T OP T (σ) optimaalinen valmistumisaika. t 1 aika, johon asti kaikki koneet ovat käytössä. t 2 = T G (σ) t 1. Osoitetaan, että T G (σ) 2T OP T (σ). Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 5
15 Todistus Viimeiseksi valmistuva työ alkaa hetkellä t t 1, joten sen kesto on vähintään t 2. Huomataan t 2 max p k ja t 1 1 m pk. Selvästi T OP T (σ) max{t 1, t 2 }, joten T G (σ) = t 1 + t 2 2 max{t 1, t 2 } 2T OP T (σ) Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 6
16 Parempia ratkaisuja AHNE algoritmi pyrkii pitämään kaikkien koneiden rasituksen mahdollisimman tasaisena. Tämä tuottaa ongelmia, kun ajettavaksi tulee pitkä työ. Algoritmi IMBALANCE varautuu uusiin töihin kevyesti kuormitetuilla koneilla. IMBALANCE: Olkoon α = 1.945, h i i:ntenä pysähtyvän koneen pysähtymisaika. Olkoon A i i 1:n aikaisimmin pysähtyvien koneiden keskimääräinen pysähtymisaika ja A 0 =. Skeduloi työ J k viimeiseksi pysähtyvälle koneelle j siten että h j + p k αa j Algoritmi IMBALANCE on kilpailukykyinen. Paras tunnettu deterministinen algoritmi on kilpailukykyinen ja paras satunnaisalgoritmi on kilpailukykyinen [Albers, 2002]. Kilpailukyvyn alaraja deterministiselle algoritmille on [Albers, 1999] Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 7
17 Rajoitetumpia skedulointiongelmia Identtiset koneet, rajoitettu käyttö m identtistä konetta mutta uusia töitä annetaan vain rajoitetulle joukolle koneista. AHNE algoritmi O(log m) kilpailukykyinen. Samankaltaiset koneet (related machines) Konella on nopeus s i. Työn J k ajoaika on p k /s i. AHNE algoritmi O(log m) kilpailukykyinen. Olemassa myös 8 kilpailukykyinen algoritmi. Erilaiset koneet (unrelated machines) Työn J k ajo koneella i kestää p k,i. AHNE on m kilpailukykyinen. Olemassa myös O(log m) kilpailukykyinen algoritmi. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 8
18 Rasituksen tasaus Työllä J k on paino w(k) ja työn kesto on tuntematon. Koneen i rasitus hetkellä t on l i (t). Tavoitteena on minimoida työsarjan σ = J 1,..., J n ajosta seuraava maksimaalinen rasitus. Identtisten koneiden ja rajoitetun käytön tapauksessa, kilpailukyvyllä on Ω( m) alaraja, joka saavutetaan esim ROBIN HOOD algoritmilla. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 9
19 ROBIN HOOD ROBIN HOOD: Ylläpidetään arviota L OP T. Hetkellä t, kone i on rikas, jos l i (t) ml. Muuten kone on köyhä. Työn J k saapuessa, päivitetään L max{l, w(k), 1 m (w(k) + m i=1 l i (t))}. Jos mahdollista, skeduloi J k köyhälle koneelle. Muuten skeduloi se rikkaalle, joka rikastui viimeksi. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 10
20 ROBIN HOOD ROBIN HOOD: Ylläpidetään arviota L OP T. Hetkellä t, kone i on rikas, jos l i (t) ml. Muuten kone on köyhä. Työn J k saapuessa, päivitetään L max{l, w(k), 1 m (w(k) + m i=1 l i (t))}. Jos mahdollista, skeduloi J k köyhälle koneelle. Muuten skeduloi se rikkaalle, joka rikastui viimeksi. Lause 29 ROBIN HOOD on O( m) kilpailukykyinen. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 10
21 ROBIN HOOD Lemma 5 Korkeintaan m konetta voi olla kerrallaan rikkaita. Muuten m ml ml, vaikka L 1 m m i=1 l i(t). Lemma 6 Aina L OP T. Induktiolla ajossa olevien töiden suhteen kun L muuttuu. Huomataan w(k) OP T ja 1 m m i=1 l i(t) OP T. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 11
22 ROBIN HOOD Lause 29 ROBIN HOOD on 2 m kilpailukykyinen. Tarkastellaan ajan hetkeä t. Osoitetaan, että l i (t) m (L + OP T ). Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 12
23 ROBIN HOOD Lause 29 ROBIN HOOD on 2 m kilpailukykyinen. Tarkastellaan ajan hetkeä t. Osoitetaan, että l i (t) m (L + OP T ). Jos kone i on köyhä, väite on selvä. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 12
24 ROBIN HOOD Lause 29 ROBIN HOOD on 2 m kilpailukykyinen. Tarkastellaan ajan hetkeä t. Osoitetaan, että l i (t) m (L + OP T ). Jos kone i on köyhä, väite on selvä. Olkoon t 0 hetki, jolloin kone i tuli viimeksi rikkaaksi. Olkoon M(t 0 ) koneet, jotka ovat rikkaita hetkellä t ja jotka tulivat rikkaiksi viimeistään hetkellä t 0. Olkoon S ne käynnissä olevat työt, jotka skeduloitiin koneelle i hetken t 0 jälkeen. Joukon S työt voitiin skeduloida vain joukon M(t 0 ) koneille sillä muuten ne olisi skeduloitu köyhille koneille eikä koneelle i. Selvästi OP T 1 M(t 0 ) J k S w(k). Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 12
25 ROBIN HOOD Olkoon J q työ, joka aiheutti koneen i rikastumisen. Oletetaan aluksi, että M(t 0 ) m 1. Nyt l i (t) m L + w(q) + J k S w(k) m (L + OP T ). Viimeinen epäyhtälö seuraa siitä, että w(q) OP T ja w(k) M(t0 ) OP T. Jos M(t 0 ) = m niin l i (t 0 ) = ml. Muuten jouduttaisiin ristiriitaan, että yhteisrasitus olisi suurempi kuin ml vaikka L on vähintään keskimääräinen rasitus konetta kohti. Tästä seuraa l i (t) ml + J k S w(k) m (L + OP T ). Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 13
26 Robotin navigointi Navigaatio ongelmassa on tarkoitus löytää reitti lähteestä s kohteeseen t. Kartoitusongelmassa on tarkoitus rakentaa koko ympäristön kartta. Molemmissa tapauksissa tavoitteena on minimoida kuljettu matka. Navigaatioalgoritmi on c kilpailukykyinen, jos robotin kulkema matka on korkeintaan c kertaa lyhimmän s:n ja t:n välisen polun pituus. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 14
27 Sokea robotti suoralla Tarkastellaan robotin navigointia 1 ulotteisessa avaruudessa. Robotti on aluksi origossa s = 0 eikä tiedä kummassa suunnassa t sijaitsee. Robotti havaitsee vain saavuttaneensa t:n. Optimaalinen strategia on edetä kerralla i origosta matka f(i) = ( 2) i. Kun etäisyys t s = n, saadaan 2 log n +1 i=1 2 i + n 9n. Tarkastellaan seuraavaksi pelkästään tuntoaistia käyttävää robottia 2 ulotteisessa avaruudessa. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 15
28 Alaraja robottinavigoinnille Lause 30: Jokaisen deterministisen online navigointialgoritmin kilpailukyky on vähintään Ω( n), mikäli avaruudessa on n suorakulmaista ja akselien suuntaista estettä. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 16
29 Alaraja robottinavigoinnille Lause 30: Jokaisen deterministisen online navigointialgoritmin kilpailukyky on vähintään Ω( n), mikäli avaruudessa on n suorakulmaista ja akselien suuntaista estettä. s t Lähteen ja kohteen etäisyys on n. Kohde sijaitsee äärettömän leveällä seinällä. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 16
30 Alaraja robottinavigoinnille Lause 30: Jokaisen deterministisen online navigointialgoritmin kilpailukyky on vähintään Ω( n), mikäli avaruudessa on n suorakulmaista ja akselien suuntaista estettä. s t Robotti etenee kohti t:tä. Etäisyyden 1 jälkeen eteen tulee este. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 16
31 Alaraja robottinavigoinnille Lause 30: Jokaisen deterministisen online navigointialgoritmin kilpailukyky on vähintään Ω( n), mikäli avaruudessa on n suorakulmaista ja akselien suuntaista estettä. s 2n t 1 2 Kaikkien esteiden leveys on 1 2 ja pituus 2n Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 16
32 Alaraja robottinavigoinnille Lause 30: Jokaisen deterministisen online navigointialgoritmin kilpailukyky on vähintään Ω( n), mikäli avaruudessa on n suorakulmaista ja akselien suuntaista estettä. s t Jossain vaiheessa robotti kiertää esteen ja etenee oikealle. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 16
33 Alaraja robottinavigoinnille Lause 30: Jokaisen deterministisen online navigointialgoritmin kilpailukyky on vähintään Ω( n), mikäli avaruudessa on n suorakulmaista ja akselien suuntaista estettä. s t Kun robotti on edennyt matkan 1 oikealle, sen eteen asetetaan uusi este. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 16
34 Alaraja robottinavigoinnille Lause 30: Jokaisen deterministisen online navigointialgoritmin kilpailukyky on vähintään Ω( n), mikäli avaruudessa on n suorakulmaista ja akselien suuntaista estettä. s t Näin asetetaan n estettä. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 16
35 Alaraja robottinavigoinnille Lause 30: Jokaisen deterministisen online navigointialgoritmin kilpailukyky on vähintään Ω( n), mikäli avaruudessa on n suorakulmaista ja akselien suuntaista estettä. s t Näin asetetaan n estettä. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 16
36 Alaraja robottinavigoinnille Lause 30: Jokaisen deterministisen online navigointialgoritmin kilpailukyky on vähintään Ω( n), mikäli avaruudessa on n suorakulmaista ja akselien suuntaista estettä. s t Näin asetetaan n estettä. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 16
37 Alaraja robottinavigoinnille Lause 30: Jokaisen deterministisen online navigointialgoritmin kilpailukyky on vähintään Ω( n), mikäli avaruudessa on n suorakulmaista ja akselien suuntaista estettä. s t Näin asetetaan n estettä. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 16
38 Alaraja robottinavigoinnille Lause 30: Jokaisen deterministisen online navigointialgoritmin kilpailukyky on vähintään Ω( n), mikäli avaruudessa on n suorakulmaista ja akselien suuntaista estettä. s t Robotti joutuu kulkemaan vähintään matkan O(n 2 ). Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 16
39 Alaraja robottinavigoinnille Koska avaruudessa on vain n estettä, jollain y koordinaatin arvolla, joka on korkeintaan n 3/2 sivussa s:stä, edessä on vain n estettä. Tämä nähdään siitä, että 2n levyisiä viipaleita voidaan peittää n esteellä korkeintaan n/ n = n kappaletta. Yhteensä peitetty alue siis on 2n n = 2n 3/2. Yhä edessä olevien n esteen kiertäminen vaatii korkeintaan n n = n 3/2 matkan. Näin ollen mikä tahansa deterministinen online algoritmi on Ω( n) huonompi kuin paras offline algoritmi. Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 17
40 Robottinavigointi Blum et.al. kehitti rajan O( n) saavuttavan deterministisen online navigointialgoritmin vuonna Samana vuonna Papadimitriou et.al. todisti itse alarajan. Bergman esitti vuonna 1996 satunnaisalgoritmin, joka saavuttaa välinpitämätöntä vastustajaa kohti kilpailukyvyn O(n 4/9 log n). Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 18
41 Harjoitustehtävät 1. Todista että erilaisilla koneilla AHNE algoritmin kilpailukyky on Ω(n). 2. Todista että erilaisilla koneilla AHNE algoritmin kilpailukyky on O(n). Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 19
42 Kirjallisuus References [Albers, 1999] Albers, S. (1999). Better bounds for online scheduling. SIAM Journal on Computing, 29(2): [Albers, 2002] Albers, S. (2002). On randomized online scheduling. In Proceedings of the thiry-fourth annual ACM symposium on Theory of computing, pages Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio p. 20
Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä. Niko Välimäki Hajautetut algoritmit -seminaari
Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä Niko Välimäki 30.11.2007 Hajautetut algoritmit -seminaari Konsensusongelma Päätöksen muodostaminen hajautetussa järjestelmässä Prosessien välinen viestintä
Algoritmit 1. Luento 13 Ma Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ma 26.2.2018 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä
Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä Niko Välimäki Helsinki 29.10.2007 Seminaarityö HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö i 1 Johdanto 1 2 Konsensusongelma 2 2.1 Ratkeamattomuustodistus........................
Täydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Dominointianalyysi. Teppo Niinimäki. Helsinki Approksimointialgoritmit HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
Dominointianalyysi Teppo Niinimäki Helsinki 10.5.2010 Approksimointialgoritmit HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta
Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi
Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi Panu Luosto 23. marraskuuta 2007 3 4 putki 1 2 α α+1 α+2 α+3 0 K 1 kehä K 2 K 3 K 4 Lähdeartikkeli Boulinier, C., Petit, F. ja Villain, V., When graph
Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.
Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.
(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n))
Määritelmä: on O(g(n)), jos on olemassa vakioarvot n 0 > 0 ja c > 0 siten, että c g(n) kun n > n 0 O eli iso-o tai ordo ilmaisee asymptoottisen ylärajan resurssivaatimusten kasvun suuruusluokalle Samankaltaisia
4.3. Matemaattinen induktio
4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta
1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
![Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.](/thumbs/61/46046056.jpg "Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.")
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 2.2.28 Tehtävä a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x + x 2 + x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x, x 2, x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto, n = 3 ja m =. b) Otetaan
Kombinatorinen optimointi
Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein
Rekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä
Rekursiolause Laskennan teorian opintopiiri Sebastian Björkqvist 23. helmikuuta 2014 Tiivistelmä Työssä käydään läpi itsereplikoituvien ohjelmien toimintaa sekä esitetään ja todistetaan rekursiolause,
Martingaalit ja informaatioprosessit
6A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, milloin satunnaisprosessi on martingaali annetun informaatioprosessin suhteen ja milloin satunnaishetki on
AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta
AVL-puut eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta pohjana jo esitetyt binäärihakupuiden operaatiot tasapainotus vie pahimmillaan lisäajan lisäys- ja
Avaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).
isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
Verkkoalgoritmeja. Henry Niveri. hniveri(at)cc.hut.fi
Verkkoalgoritmeja Henry Niveri hniveri(at)cc.hut.fi Seminaariesitelmä 16.4.008 T-106.5800 Satunnaisalgoritmit Tietotekniikan laitos Teknillinen korkeakoulu Tiivistelmä Tässä esityksessä käsitellään satunnaisalgoritmien
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S
= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja
![= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja](/thumbs/61/46167685.jpg "= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja")
44 E. VALKEILA 6. Geometrinen Brownin liike 6.1. Brownin liike ja Iton kaava. Tavoitteena on mallintaa osakkeen tuottoa jatkuvassa ajassa. Jos (S t ) t T on osakkeen hintaprosessi, niin tuotolla tarkoitetaan
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin
3 Yleistä estimointiteoriaa Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3.1 Johdanto Tähän mennessä olemme tarkastelleet estimointia
Satunnaisalgoritmit. Topi Paavilainen. Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
Satunnaisalgoritmit Topi Paavilainen Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsinki, 23. helmikuuta 2014 1 Johdanto Satunnaisalgoritmit ovat algoritmeja, joiden
a b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
6. Approksimointialgoritmit
6. Approksimointialgoritmit Tässä luvussa käsitellään lyhyesti approksimointiin liittyvät peruskäsitteet ja joitain keskeisiä approksimoituvuustuloksia. Tavoitteena on, että opiskelija näkee approksimointialgoritmien
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 19. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. syyskuuta 2016 Sisällys Neuvoja opintoihin tee joka päivä ainakin vähän uskalla mennä epämukavuusalueelle en
y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna
Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna. q 0 x solmuina laskennan mahdolliset tilanteet juurena alkutilanne lehtinä tilanteet joista ei siirtymää,
d ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
Vektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 29. toukokuuta 2013
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 29. toukokuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja muutakin) kieli LL(k) LR(1) kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti
Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm
Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua
Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, 652013, vastauksia 1 [6 pistettä] Vastaa jokaisesta alla olevasta väittämästä onko se tosi vai epätosi ja anna lyhyt perustelu Jokaisesta kohdasta
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
Determinantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
Konvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Suorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
C C. x 2. x 3 x 3. Lause 3SAT p m VC Todistus. Olk. φ = C 1 C 2 C m 3-cnf-kaava, jossa esiintyvät muuttujat. φ toteutuva:
Lause 3SAT p m VC Todistus. Olk. φ = C 1 C C m 3-cnf-kaava, jossa esiintyvät muuttujat x 1,..., x n. Vastaava solmupeiteongelman tapaus G, k muodostetaan seuraavasti. G:ssä on solmu kutakin literaalia
Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
Optimoinnin sovellukset
Optimoinnin sovellukset Timo Ranta Tutkijatohtori TTY Porin laitos OPTIMI 4.12.2014 Mitä optimointi on? Parhaan ratkaisun systemaattinen etsintä kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta Tieteellinen
1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli
7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.
Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla
Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla 5 12 30 19 72 34 Jukka Suomela 15 77 18 4 9. tammikuuta 2012 19 2 68 Verkko 2 Verkko solmu 3 Verkko solmu kaari 4 Hajautettu järjestelmä solmu (tietokone)
Miten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Vastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin
1 / 14 Lukiossa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Tarkastellaan aluksi tason vektoreita (R 2 ). Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä
Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä:
4. Tyhjentyvyys Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä: Voidaanko päätelmät perustaa johonkin tunnuslukuun t = t(y) koko aineiston y sijasta? Mitä
Peliteorian soveltaminen hajautettujen järjestelmien protokollasuunnittelussa (valmiin työn esittely)
Peliteorian soveltaminen hajautettujen järjestelmien protokollasuunnittelussa (valmiin työn esittely) Riku Hyytiäinen 23.02.2015 Ohjaaja: Harri Ehtamo Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa
Olkoon S(n) kutsun merge-sort(a, p, q) tilavaativuus kun p q + 1 = n. Oletetaan merge toteutetuksi vakiotyötilassa (ei-triviaalia mutta mahdollista).
Esimerkki Lomitusjärjestäminen merge-sort(a, p, q): var k % paikallinen muuttuja, vakiotila 1. if p < q then 2. r := (p + q)/2 3. merge-sort(a, p, r) 4. merge-sort(a, r + 1, q) 5. merge(a, p, r, q) Olkoon
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.6 Alternanttikoodin dekoodaus, kun esiintyy pyyhkiytymiä ja virheitä Joissakin tilanteissa vastaanotetun sanan kirjainta ei saa tulkittua
Yleistä. Esimerkki. Yhden palvelimen jono. palvelin. saapuvat asiakkaat. poistuvat asiakkaat. odotushuone, jonotuspaikat
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jonojärjestelmät 1 JONOJÄRJESTELMÄT Yleistä Jonojärjestelmät muodostavat keskeisen mallinnuksen välineen mm. tietoliikenne- ja tietokonejärjestelmien suorituskyvyn analysoinnissa.
DFA:n käyttäytyminen ja säännölliset kielet
säännölliset kielet TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 9. marraskuuta 2015 Sisällys toiminta formaalisti Olkoon M = (Q, Σ, δ, q 0, F) deterministinen
missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
Testaa: Vertaa pinon merkkijono syötteeseen merkki kerrallaan. Jos löytyy ero, hylkää. Jos pino tyhjenee samaan aikaan, kun syöte loppuu, niin
Yhteydettömien kielioppien ja pinoautomaattien yhteys [Sipser s. 117 124] Todistamme, että yhteydettömien kielioppien tuottamat kielet ovat tasan samat kuin ne, jotka voidaan tunnistaa pinoautomaatilla.
sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
Laskuharjoitus 7 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin 25.4. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 7 Ratkaisut 1. Kuvan
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
Ensimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
Säännölliset kielet. Sisällys. Säännölliset kielet. Säännölliset operaattorit. Säännölliset kielet
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 24. toukokuuta 2013 Sisällys Formaalit kielet On tapana sanoa, että merkkijonojen joukko on (formaali) kieli. Hieman
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
3. Laskennan vaativuusteoriaa
3. Laskennan vaativuusteoriaa tähän asti puhuttu siitä, mitä on mahdollista laskea äärellisessä ajassa siirrytään tarkastelemaan laskemista kohtuullisessa ajassa vaihtoehtoisesti voidaan laskenta-ajan
Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]
![Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]](/thumbs/59/42645644.jpg "Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]")
Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,
Ongelma 1: Ovatko kaikki tehtävät/ongelmat deterministisiä?
Ongelma 1: Ovatko kaikki tehtävät/ongelmat deterministisiä? 2013-2014 Lasse Lensu 2 Ongelma 2: Milloin ongelmat muuttuvat oikeasti hankaliksi? 2013-2014 Lasse Lensu 3 Ongelma 3: Miten hankalia ongelmia
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.