JHS 154 ETRS89-järjestelmään liittyvät karttaprojektiot, tasokoordinaatistot ja karttalehtijako, Liite 1: Projektiokaavat

Transkriptio

1 LUONNOS JHS 15 ETRS89-järjestelmään liittyvät karttaprojektiot, tasokoordinaatistot ja karttalehtijako, Liite 1: Projektiokaavat Versio: Julkaistu: Voimassaoloaika: Toistaiseksi Transverse Mercator-projektiolle on esitetty laskentakaavoja esimerkiksi seuraavissa lähteissä: Hirvonen, R.A., Matemaattinen Geodesia, Teknillisen korkeakoulun ylioppilaskunta, Helsinki, 197 Hirvonen, R.A. The Use of Subroutines in Geodetic Computations, Maanmittaus, Hooijberg, Marten: Practical Geodesy, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1997, pages 81-8 Krüger L: Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene, B. G. Teubner Verlag Leipzig 191, pages 11- König, R.; Weise, K. H.: Mathematische Grundlagen der höheren Geodäsie und Kartographie, Springer Verlag Berlin Göttingen Heidelberg, 1951 Meade, B. K., Program for Computing Universal Transverse Mercator (UTM) Coordinates for Latitudes North or South and Longitudes East or West, Surveying and Mapping, Vol. 7, No. 1, pages Poder, K.; Engsager, K.: Some Conformal Mappings and Transformations for Geodesy and Topographic Cartography, Publications series, volume 6, National Survey and Cadastre Denmark, 1998 Seuraavaksi esitettävät kaavat ovat R.A. Hirvosen kirjasta Matemaattinen Geodesia ja Maanmittaus-lehden artikkelista. Suomessa käytettävien ellipsoidien parametreja Ellipsoidi Isoakselin Pikkuakselin Litistyssuhde f puolikas a (m) puolikas b (m) Kansainvälinen /97.0 (Hayford 1909) GRS / WGS / Kaavoissa esiintyvät symbolit ja niiden määritelmät kaavoissa käytetään kulmayksikkönä radiaania. Symboli Määritelmä a = ellipsoidin isoakselin puolikas b = ellipsoidin pikkuakselin puolikas f = ellipsoidin litistyssuhde k 0 = mittakaavakerroin keskimeridiaanilla 0 = projektion keskimeridiaani E 0 = Itäkoordinaatin arvo keskimeridiaanilla = geodeettinen leveys = geodeettinen pituus E = projektion itäkoordinaatti N = projektion pohjoiskoordinaatti = meridiaanikonvergenssi k = mittakaavakerroin 1/6

2 LUONNOS Symboli Määritelmä A 1 = meridiaanin pituisen ympyrän säde e = ensimmäisen epäkeskisyyden neliö e' = toisen epäkeskisyyden neliö n = toinen litistyssuhde t = suuntakulma tasolla (suuntakorjauksen kaavassa = T - t) c = napakaarevuussäde M = meridiaanikaarevuussäde N = poikittaiskaarevuussäde (kaavassa ()) Hyperboliset ja käänteiset hyperboliset (area) funktiot: (Vain hyperbolisten funktioiden kaavoissa e = Neperin luku, muutoin e = ensimmäinen epäkeskisyys) sinh(x) = x x e e cosh(x) = x x e e tanh(x) = x x sinh( x) e e x x cosh( x) e e arsinh(x) = ln( x x 1) artanh(x) = 1 1 x ln( ) 1 x sech(x) = 1 x x cosh( x) e e arsech(x) = 1 1 x ln( ) x Apusuureet n = f a b f a b A 1 = a n n (1 ) 1 n 6 (0) e = f f (03) e' = e 1 e (0) V = 1 + e cos () (05) (01) h 1 = h = h 3 = n n n n n n n n n (06) /6

3 LUONNOS h = h 1 = h = h 3 = h = Projektiokaavat 397 n n n n n n n n n n n (07) Geodeettisista koordinaateista () tasokoordinaateiksi (N, E) Syöte: pisteen geodeettiset koordinaatit () pisteen tasokoordinaatit (N, E) projektiotasolla, Q = arsinh[tan()] (08) Q = artanh[esin()] (09) Q = Q - eq (10) l = - 0 (11) = arctan[sinh(q)] (1) = artanh[cos()sin(l)] (13) = sin( ) arcsin[ ] sech( ') (1) 1 = h 1 sin( )cosh( ) (15) = h sin( )cosh( ) 3 = h 3 sin(6 )cosh(6 ) = h sin(8 )cosh(8 ) 1 = h 1 cos( )sinh( ) (16) = h cos( )sinh( ) 3 = h 3 cos(6 )sinh(6 ) = h cos(8 )sinh(8 ) = + ( ) (17) = + ( ) (18) N = A 1 k 0 (19) E = A 1 k 0 + E 0 (0) 3/6

4 LUONNOS Tasokoordinaateista (N, E) geodeettisiin koordinaatteihin () Syöte: = = pisteen tasokoordinaatit (N, E) projektiotasolla, pisteen geodeettiset koordinaatit () N A 1 k 0 E E A k (1) () 1 = h 1 sin()cosh() (3) = h sin()cosh() 3 = h 3 sin(6)cosh(6) = h sin(8)cosh(8) 1 = h 1 cos()sinh() () = h cos()sinh() 3 = h 3 cos(6)sinh(6) = h cos(8)sinh(8) = - ( ) (5) = - ( ) (6) = arcsin[sech( )sin( )] (7) l = tanh( ') arcsin[ ] cos( ) (8) Q = arsinh[tan()] (9) Q = Q + eartanh[etanh(q)] (30) Q = Q + eartanh[etanh(q )] iterointi, kunnes muutos =0 (31) = arctan[sinh(q )] (3) = 0 + l (33) Käytännössä kaavassa (31) riittää kolme iteraatiokierrosta. Ensin kaavalla (9) laskettu Q sijoitetaan kaavaan (30), jolla saadaan Q :n ensimmäinen likiarvo. Q :n likiarvo sijoitetaan kaavaan (31), jota iteroidaan. Meridiaanikonvergenssi Syöte: pisteen geodeettiset koordinaatit (), keskimeridiaani 0 meridiaanikonvergenssikulma () 1 = l sin( ) [1 V (V 1)cos ( ) l ], missä l 0 3 (3) /6

5 Mittakaavakorjaus ja pituuskorjaus JUHTA - Julkisen hallinnon tietohallinnon neuvottelukunta LUONNOS Syöte: pisteen geodeettiset koordinaatit (), keskimeridiaani 0 mittakaavakerroin (k) pisteessä () k = 1 k0 [ 1 cos ( ) l ], missä l 0 (35) Mittakaavakerroin muuttuu hitaasti ja sitä voidaan monissa tarkoituksissa pitää vakiona noin 10 km :n suuruisella alueella. Pidemmillä etäisyyksillä mittakaavakerroin voidaan laskea kaavalla: k = 1/6(k 1 + k m + k ) (36) missä k 1 ja k ovat mittakaavakertoimet linjan päissä ja k m on mittakaavakerroin linjan puolessavälissä. Maastomittauksissa voidaan käyttää kaavalla (35) määritettyä mittakaavakertoimen arvoa k, mikäli esimerkiksi takymetrissä tehdään muutkin etäisyysmittauksen reduktiot mittaushetkellä. Muuten ellipsoidin pinnalla tehty ja ellipsoidin kaareksi redukoitu etäisyyshavainto korjataan projektiotasolle kertomalla se k:lla, joka saadaan joko kaavalla (36) tai tasokoordinaateista laskien kaavalla: 1 k = k0[1 ( E1 E1E E )] 6R (37) Suuntakorjaus Ellipsoidin pinnalla havaittu suunta korjataan tasolle suuntakorjauksella (Arc-to-chord Correction = T - t). Suuntakorjaus lasketaan seuraavilla kaavoilla: Syöte: kahden pisteen koordinaatit (N 1, E 1 ) ja (N, E ) suuntakorjaus 1- ja = 1 ( N N1)(E1 E) 6R (38) -1 = 1 ( N1 N)(E E1 ) 6R (39) Kaavoissa (37) (39) käytettävistä itäkoordinaateista E 1 ja E on vähennettävä m (itäkoordinaatin arvo keskimeridiaanilla). R on keskikaarevuussäde, joka voidaan laskea kaavalla: R = M N M = c 3 V N = c V (0) (1) () c = a (3) b Suuntakulma (t) projektiotasolla, atsimuutti (), konvergenssikulma () ja suuntakorjaus () riippuvat toisistaan seuraavan kaavan mukaisesti: t = - - () 5/6

6 LUONNOS NAPAPOHJOINEN (Geodetic north) KARTTAPOHJOINEN (Grid north) Meridiaani projektiotasolla T t P Havaittu suunta projektiotasolla Havaittu suunta ITÄ P 1 Kuva. Karttapohjoinen, napapohjoinen, konvergenssikulma ja suuntakorjaus. Kun piste on keskimeridiaanin itäpuolella, karttapohjoinen on itään napapohjoisesta ja meridiaanikonvergenssi on positiivinen. Pisteen ollessa länteen keskimeridiaanista, karttapohjoinen on länteen napapohjoisesta ja meridiaanikonvergenssi on negatiivinen. Katso myös kuva 3. 6/6