DIDAKTISTA MATEMATIIKKAA TAI AINAKIN UUSI
|
|
- Niko Järvenpää
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TIMO TOSSAVAINEN DIDAKTISTA MATEMATIIKKAA TAI AINAKIN UUSI NÄKÖKULMA MATEMATIIKAN AINEENOPETTAJA- KOULUTUKSEEN TIMO TOSSAVAINEN MATEMATIIKAN AINEENOPETTAJAKOULUTUKSEN ONGELMIA MATEMATIIKKA, KOULUMATEMATIIKKA JA MATEMATIIKAN DIDAKTIIKKA TÄYDENTÄVÄ NÄKÖKULMA MATEMATIIKKAKASVATUKSEEN DIDAKTISEN MATEMATIIKAN TUTKIMUSONGELMISTA JA -MENETELMISTÄ LÄHTEET MATEMATIIKAN AINEENOPETTAJAKOULUTUKSEN ONGELMIA Vaikka matematiikan aineenopettajakoulutusta on Suomessa kehitetty ja uudistettu kymmenen viime vuoden aikana varsin määrätietoisesti, sen läheskään kaikkia ongelmia ei vielä ole kyetty ratkaisemaan. Suurin haaste tuntuu olevan opiskelijoiden matematiikkakuvan (Pietilä 2002) ja yliopisto-opintojen vaatimustason yhteensovittamisessa. Opiskelijoiden matemaattiset taidot, uskomukset matematiikasta ja sen oppimisesta sekä odotukset yliopisto-opintojen sisällöistä eivät ole yhteismitallisia perinteisten yliopistomatematiikan arvosanakokonaisuuksien sisältöjen ja vaatimusten kanssa. Matematiikan aineenopettajakoulutukseen tulevilla opiskelijoilla on vakavia puutteita jopa peruslaskutaidoissa (Keranto 2004) ja lukukäsitteen ymmärtämisessä (esim. Merenluoto 2001). Analyysi on perinteisesti ollut sekä lukiomatematiikan että yliopistomatematiikan keskeisin osa Suomessa, mutta sen peruskäsitteiden hallinta on suorastaan surkeaa (Virtanen 1994). Vain mekaanista laskemista edellyttävissä tehtävissä opiskelijoilla voidaan sentään katsoa olevan kohtuulliset taidot (esim. Kupari, Reinikainen, Nevanpää & Törnroos 2001). Kuitenkin aineenopettajakoulutukseen osallistuvien opiskelijoiden matematiikan laitoksilla saama koulutus on koostunut pääosin samoista sisällöistä kuin varsinaisten matemaatikkojen koulutus. Lopputuloksena on se, että valmistuneet matematiikanopettajat eivät ole kokeneet hyötyneensä ammattinsa kannalta matematiikan opinnoistaan juuri millään tavalla (esim. Laine 2003; Sorvali tässä teoksessa). Tämän ongelman tiedostaneet yliopistojen matematiikan laitokset ovat tilanteen parantamiseksi ryhtyneet viime vuosina järjestämään ns. didaktisen matematiikan kursseja. Käytännössä didaktisella matematiikalla on melko usein tarkoitettu sellaisia matematiikan kursseja, jotka ovat syntyneet siten, että perinteisiltä matematiikan kursseilta on yksinkertaisesti jätetty pois niiden raskain aines, tai sellaisia kursseja, jotka voitaisiin pitää yhtä hyvin matematiikan didaktiikan nimellä. Joissakin yliopistoissa didaktisen matematiikan kursseille on kuitenkin 118
2 DIDAKTISTA MATEMATIIKKAA TAI AINAKIN UUSI NÄKÖKULMA... pyritty aidosti luomaan muista matematiikan kursseista ja matematiikan perinteisestä didaktiikasta poikkeava ilme ja uudenlaiset toimintatavat. Tämäntyyppinen kehitystyö on tosin vasta ottamassa ensimmäisiä askeleitaan. Tässä artikkelissa tarkastellaan aluksi matematiikkaa tieteenä ja koulun oppiaineena. Tällöin käy ilmi, että koulumatematiikka ja tieteellinen matematiikka ovat varsin erilaisia. Perinteisessä matematiikan didaktiikassa on keskitytty lähinnä koulumatematiikan opetuksen problematiikkaan (esim. Malinen & Kupari 2003). Tähän mennessä siinä on käsitelty vain vähän varsinaisen matematiikan oppimisen ja opettamisen ongelmia. Toisaalta varsinaisen matematiikan tieteellisessä tutkimuksessa matematiikan oppimisen kysymyksiin on ymmärrettävästi kiinnitetty hyvin vähän jos ollenkaan huomiota. Näin matematiikan ja sen didaktiikan välimaastoon on jäänyt toistaiseksi vähän tutkittu alue. Tässä kirjoituksessa pyritään osoittamaan, että varsinaisen matematiikan opettamisen ja erityisesti matematiikan aineenopettajakoulutuksen kehittäminen edellyttää tämän harmaan alueen kartoittamista. Epäoleellista lienee se, kutsutaanko tällä alueella tapahtuvaa toimintaa didaktiseksi matematiikaksi vai luokitellaanko se matematiikkaan tai sen didaktiikkaan jo kuuluvaksi asiaksi. Didaktisen matematiikan käsitteen sisältöä ei ole julkisuudessa tarkasteltu artikkelien Tossavainen & Sorvali 2003 ja Martio 2004 lisäksi juuri muualla. Tähän mennessä sitä, toisin kuin didaktista fysiikkaa, ei ole haluttu julistaa omaksi tieteenalakseen tai edes matematiikan itsenäiseksi osa-alueeksi. Kuitenkin Suomessa on jo ilmestynyt yksi didaktisen matematiikan väitöskirja (Joki 2002). Lisäksi mm. Jyväskylän yliopiston matematiikan ja tilastotieteen laitoksen viranhakuilmoituksissa didaktinen matematiikka on mainittu laitoksessa harjoitettavan tutkimuksen kehittämisalueeksi (Jyväskylän yliopisto 2001). Tämä sanapari on siis jo otettu käyttöön, vaikka nykyistä matematiikan aineenopettajakoulutusta täydentävälle matematiikkakasvatukselle (mathematics education) saattaa olla parempiakin nimivaihtoehtoja. Tässä artikkelissa didaktinen matematiikka käsitetään sekä näkökulmaksi matematiikkakasvatukseen että tavaksi harjoittaa matematiikkaa erityisesti matematiikanopettajien koulutuksessa. Tämän käsitteen tarkempi kuvaus on esitetty artikkelissa Tossavainen & Sorvali Käsitteen käytöllä halutaan mm. korostaa sitä, että perinteinen tapa järjestää aineenopettajakoulutus erillisinä oppiaineen ja sen didaktiikan opintokokonaisuuksina on ainakin peruskoulun matematiikan opetuksen kannalta epäonnistunut (vrt. Niemi 2001). Didaktista matematiikkaa ei kuitenkaan tarvitse nähdä aineenopettajakoulutuksessa nykyistä matematiikan didaktiikkaa saati varsinaista matematiikkaa korvaavaksi asiaksi vaan pikemminkin näitä yhdistäväksi sillaksi. Tämä näkökulma vaikuttaa hyvin yhteensopivalta sen kanssa, millaisena didaktiikan asema ylipäätään nähdään nykyisin suomalaisessa kasvatustieteessä (vrt. Kansanen 2004, 81). 119
3 TIMO TOSSAVAINEN MATEMATIIKKA, KOULUMATEMATIIKKA JA MATEMATIIKAN DIDAKTIIKKA Viime vuosisadan kenties merkittävimmän kulttuurien tuntijan Oswald Spenglerin mukaan ei ole mitenkään itsestään selvää, että matematiikka olisi tiede tai tieteenala. Nimittäin tieteellä on määritelmän mukaan oltava tutkimuksen kohde, eikä matematiikan tutkimuskohdetta ole tähän mennessä kyetty määrittelemään kunnolla. Määrittely-yritykset ovat poikkeuksetta jääneet joko liian ylimalkaisiksi tai liian kapea-alaisiksi (esim. Vala 1979). Jo kanonisoituneita matematiikan teorioita voidaan kuitenkin luonnehtia hyvin sanoilla aksiomaattinen, loogis-deduktiivinen, abstrakti ja immateriaalinen. Nämä teoriat on siis saatettu muotoon, jossa lähtökohtana on joukko apriorisia määritelmiä ja näiden välisiä relaatioita kuvailevia aksioomia. Näiden pohjalta pelkästään logiikkaa, eikä esim. reaalimaailman ominaisuuksia, käyttäen osoitetaan deduktiivisesti teorian alaan kuuluvat hypoteesit joko oikeiksi tai vääriksi siinä määrin kuin mahdollista. Viimeksi mainittu lisäys on tehtävä siksi, että logiikan ja ylipäätänsä ihmisten ajattelun epätäydellisyyden takia (vrt. kuuluisa Gödelin epätäydellisyyslause, esim. Väänänen 1987) minkä tahansa epätriviaalin teorian alaan intuitiivisesti kuuluvien kaikkien väitteiden totuusarvoa ei pystytä edes periaatteessa selvittämään pelkästään kyseisen aksioomajärjestelmän sisällä. Esimerkiksi kokonaislukujen teoria on tällä tavalla epätäydellinen. Jokaisen nykykulttuurin kannalta merkittävän matemaattisen teorian kypsyminen aksiomaattiseen muotoonsa on kestänyt hyvin pitkän, jopa useiden vuosituhansien, ajan. Tällainen prosessi on hionut kyseiset teoriat niin, että niistä on vaikeaa tunnistaa niiden syntymisen ja kehittymisen historian jälkiä. Aksiomaattisen teorian muoto tai kieli ei välttämättä anna teorian opiskelijalle pienintäkään vihjettä siitä, miten teoria on konstruoitu tai mitä kautta teorian käsitteet pitäisi palauttaa sille abstraktiotasolle, jolta normaali oppimisprosessi voi alkaa. Lienee täysin selvää, että minkä tahansa tällaisen teorian sisäistämiseen päättyvä oppimisprosessi on oppijalle hyvin epätriviaali sekä aikaa ja omistautumista vaativa tapahtumasarja. Koulussa matematiikan nimellä kulkeva oppiaine poikkeaa ratkaisevasti edellä kuvatusta. Jo moneen kertaan uudistetun (koulu-)matematiikan ja sitä edeltäneiden matemaattisten kouluaineiden sisältöjä ja merkitystä on jatkuvasti tarkasteltu lähinnä sovellettavuuden ja hyödyllisyyden näkökulmista. Sen yhteyksiä reaalimaailman ilmiöihin on haluttu korostaa oppilaiden mielenkiinnon ylläpitämiseksi ja siksi, että havainnoilla on perusteltu erilaisia oppiainekseen kuuluvia matemaattisia periaatteita ja väittämiä. Sekä peruskoulussa että lukiossa nykyisin opetettavaa matematiikkaa voidaan hyvin luonnehtia sanoilla kokeellis-havainnollinen, reaalinen, hyödyllinen. Pehkonen ja Zimmermann (1990, 10) määrittelevätkin koulumatematiikan yleissivistäväksi oppiaineeksi, joka ei ole varsinaisesti matematiikkaa, vaikka sillä sattuu olemaan nimenä matematiikka. Koulumatematiikan ja varsinaisen matematiikan ero käy hyvin selville, kun tarkastellaan, miten eräitä reaalianalyysin perusilmiöitä käsitellään koulussa ja varsinaisen matematiikan piirissä. 120
4 DIDAKTISTA MATEMATIIKKAA TAI AINAKIN UUSI NÄKÖKULMA... Varsinaisessa matematiikassa funktio f : A B on jatkuva, jos jokaisen B:n avoimen joukon X alkukuva f 1 (X) on A:n avoin joukko. Symbolit A ja B voivat edustaa mitä tahansa topologisia avaruuksia. Funktion jatkuvuus riippuu siis oleellisesti myös lähtö- ja maaliavaruuksien rakenteista eikä esimerkiksi pelkästään funktion lausekkeen määräämistä alkioiden kuvautumisominaisuuksista. Tämä määritelmä on yksinkertainen ja selkeä topologisessa viitekehyksessä, ja sitä voidaan soveltaa hyvin suureen funktiojoukkoon. Jos A sattuu olemaan lukusuoran yhtenäinen osajoukko, jatkuvuuden määritelmästä seuraa, että myös funktion arvojoukko f (A) on yhtenäinen. Koulumatematiikassa funktion jatkuvuus määritellään funktion arvojoukon tämän havainnollisen ominaisuuden avulla. Tällöin jatkuvuustarkastelun kannalta mielekkäiden funktioiden joukko on oleellisesti pienempi kuin varsinainen määritelmä edellyttää. Lisäksi tämä lähestymistapa antaa jopa väärän käsityksen jatkuvuudesta esimerkiksi sellaisten funktioiden tapauksessa, joissa määrittelyjoukkona on epäyhtenäinen joukko. Sen etuna on pelkästään havainnollinen yksinkertaisuus siis rajoitetussa tarkastelujoukossa. Matematiikan didaktiikan tutkimuksen kohteena on viime vuosina Suomessa ollut mm. ongelmanratkaisu, murtolukujen ja muiden vastaavantasoisten peruskäsitteiden hallinta ja oppimisvaikeudet, laskutaito, koululaisten ja heidän opettajiensa käsitykset matematiikasta ja asenteet sitä kohtaan, sukupuolen vaikutus matematiikassa menestymiseen sekä erilaiset opetuskokeilut, jotka ovat liittyneet esim. suoran kulmakertoimen käsitteen konstruoimiseen kaltevan tason avulla (Malinen 1998; Silfverberg & Joutsenlahti 2002; Malinen & Kupari 2003). Suomalaiset ovat viime vuosikymmeninä osallistuneet myös useisiin kansainvälisiin perusopetuksen oppimistulosten vertailuihin (esim. Kupari, Reinikainen, Nevanpää & Törnroos. 2001). Matematiikan didaktiikassa on siis keskitytty lähinnä koulumatematiikan opetuksen ja oppimisen problematiikkaan. Matematiikan didaktiikan tutkimuksesta Suomessa voidaan hahmottaa kolme rinnakkaista ja osittain toisiaan leikkaavaa linjaa: 1) konstruktivistinen oppimisen, oppimisvaikeuksien ja opetuksen tutkimus; 2) vertaileva oppimistulosten ja niiden taustatekijöiden tutkimus ja 3) opetuksen kehittämiseen liittyvä toimintatutkimus. Menetelmällisesti tutkimukset ovat liittyneet enimmäkseen kognitiivisen psykologian ja tilastotieteen tutkimustraditioon. Erityisesti kolmannen linjan tutkimusten tutkimusote on vaihdellut, mutta niiden tulkinnassa käytetään yleensä hermeneuttista lähestymistapaa (Malinen 1998, 16). Kansainvälisiin koulumatematiikan oppimistulosten vertailuihin osallistumista sekä asenteiden, uskomusten ja ongelmaratkaisutaitojen kehittymisen seurantaa lukuunottamatta suomalaisen matematiikan didaktiikan piirissä ei ole tehty merkittävää pitkäkestoista oppimisen tutkimusta. Erityisesti varsinaisen matematiikan oppimiseen ja opetusmenetelmien kehittämiseen liittyvää perusteellista tutkimusta Suomessa vasta aloitellaan. Tähänastisia opetuskokeiluihin liittyviä tutkimusraportteja voi lähinnä luonnehtia tiedotteiksi opetuskokeilujen järjestämisestä tai tutkimustarpeen kartoittamisesta. 121
5 TIMO TOSSAVAINEN TÄYDENTÄVÄ NÄKÖKULMA MATEMATIIKKAKASVATUKSEEN Seuraavan esimerkin avulla pyritään osoittamaan, että matematiikan oppimiseen ja opettamiseen liittyy sellaisia ongelmia, joita ei ratkaista nykymuotoisessa aineenopettajakoulutuksessa, jos ongelmia lähestytään vain joko varsinaisen matematiikan tai matematiikan didaktiikan näkökulmasta käsin. Tarkastellaan, mitä annettavaa nykyisen kaltaisella matematiikan aineenopettajakoulutuksella on opiskelijalle, joka tuottaa säännöllisesti esimerkiksi seuraavanlaisia väittämiä: Olkoon x luku. Tällöin x x 2x + = Sivuhuomautuksena mainittakoon, että kyseinen esimerkki ei suinkaan ole keinotekoinen. Käytännössä jokainen matematiikan aineenopettajakoulutusta järjestävä yliopistolaitos Suomessa onnistuu vuosittain rekrytoimaan polynomialgebran taidoiltaan tämäntasoisia opiskelijoita. Arkisimmasta näkökulmasta katsottuna lausekkeen x/2 + x/3 sievennystehtävä on niin triviaali, ettei yliopistomatematiikan opetuksen järjestäjä välttämättä näe mitään syytä reagoida asiaan jollain tavalla: riittää kun odotellaan, että tämäntasoisten tehtävien kanssa kamppaileva opiskelija ymmärtää itse jättää koko matematiikan opiskelun sikseen. Koska esimerkin laskutehtävä kuuluu ensisijaisesti siihen calculukseen, jota harjoitellaan runsaasti sekä peruskoulussa että lukiossa, tätä suhtautumistapaa ei voida edes pitää täysin vääränä. Toisaalta niillä perinteisen matematiikan kursseilla, joilla esimerkin lausekkeen sieventämisessä on nähty olevan jotain epätriviaalia, koko asiaa on tarkasteltu aivan toisesta ja edelliseen nähden vähintään yhtä äärimmäisestä näkökulmasta. Esimerkiksi järjestetyn kunnan aksioomien valossa tässä tehtävässä on kyse pohjimmiltaan sen osoittamisesta, että lausekkeen x/2 + x/3 symbolien muodostaman kokonaisuuden todellakin voidaan tulkita edustavan jotakin kunnan alkiota, sekä sen tutkimisesta, voidaanko alkioiden 2 ja 3 käänteisalkioiden summa esittää sievennetyssä muodossa. Kokonaisuudessaan tämä tehtävä osoittautuu niin kompleksiseksi, että sen täydellinen selvittäminen edellyttää useamman opintoviikon työpanosta. Entä mitä annettavaa perinteisellä matematiikan didaktiikalla on edellä mainitun sievennysongelman kanssa kamppailevalle opiskelijalle? Viime aikoina muodissa olleet ongelmanratkaisu ja konstruktivismi tuntuvat tarjoavan samalla tavalla kuin perinteinen matematiikka vain joko triviaaleja tai sitten äärimmäisen raskaita ajatuspolkuja kuljettavaksi sen mukaan, noudatetaanko konstruktivistista lähestymistapaa heikossa vai radikaalissa muodossa (Haapasalo 1998, 95 99). Nimittäin kyseisessä sievennystehtävässä on hyvin vaikea nähdä ongelmanratkaisun kannalta mitään muuta todellista haastetta kuin osittelulain muistaminen tai sitten kyse on todellisesta ongelmakentästä, jossa kaikki las- 122
6 DIDAKTISTA MATEMATIIKKAA TAI AINAKIN UUSI NÄKÖKULMA... kutoimituksen, lukujen ja niiden merkitsemisen ideoista alkaen tulisi konstruoida omakohtaisesti. Paheksutunkin mutta koulumaailmassa toimivien opettajien suosiman behavioristisen lähestymistavan mukaisesti sievennysongelmaa vodaan tietysti lähestyä esim. viipalekakkukuvioiden avulla. Näinhän mm. murtolukujen peruslaskutoimituksia havainnollistetaan edelleen useimmissa peruskoulun ja myös lukion oppikirjoissa. Kakkuviipaleiden avulla onkin helppoa näyttää, että kakun puolikas ja kolmasosa on yhdessä viisi kuudesosaa eikä kaksi viidesosaa kokonaisesta kakusta. Mutta ei kai sentään ole syytä olettaa, että opiskelijalla olisi vaikeuksia tämän asian ymmärtämisen kanssa? Todennäköisesti ongelmana on kuitenkin se, ettei opiskelija tunnista lausekkeen symboleiden edustavan mitään sellaista ilmaisua tai operaatiota, jota voitaisiin havainnollistaa kakkuviipaleiden avulla tai johon osittelulakia voitaisiin soveltaa. Näin ollen kakkukuvioiden tarkasteleminen tai mikään muukaan opetustekninen temppu ei ratkaise opiskelijan varsinaista ongelmaa. Tarkastellaan vielä sitä, voisiko didaktisen matematiikan avulla löytyä ratkaisu esimerkin ongelmaan. Didaktisessa matematiikassa kiinnitetään erityistä huomiota käytettävien sanojen ja symbolien merkitysten täsmälliseen ymmärtämiseen ja käyttöön. Jos polynomialgebran lausekkeissa esiintyvä x tulkitaan (oikein) reaaliluvuksi, tällöin sievennystehtävä kiinnittyy selvästi tiettyyn algebralliseen struktuuriin, tässä tapauksessa täydelliseen järjestettyyn kuntaan. Didaktisen matematiikan toinen erityispiirre on se, että varsinaisen matematiikan oppiaineksen läpikäymisessä keskitytään mieluummin kunkin teorian peruskäsitteiden ja niiden välisten yhteyksien syvälliseen ymmärtämiseen esim. useiden erilaisten mallien ja monipuolisten havainnollistusten avulla kuin teoriassa pitkälle etenemiseen ja sen teknisesti haasteellisiin sovelluksiin. Näin ollen didaktisen matematiikan mukaisesti järjestetyssä algebran opetuksessa korostuu se seikka, että erilaisissa struktuureissa on voimassa erilaiset laskusäännöt. Tällainen useamman mahdollisen laskusääntökokoelman olemassaolon tiedostaminen voi motivoida opiskelijaa muistamaan, että erityisesti järjestetyssä kunnassa ovat voimassa juuri tietyt laskusäännöt, joista yksi on tehtävässä tarvittava osittelulaki. Kieliaspektista tarkasteltuna muistaminen on nimenomaan oikea sana tässä yhteydessä: täytyyhän esimerkiksi englannin opiskelijankin ensin opetella muistamaan englanninkielen perussanasto ja -säännöt, jotta hän voisi edetä opinnoissaan syvällisempään kielitaitoon johtavalle tasolle. Vaikka edellä kuvattua esimerkkiä voidaan pitää hieman kärjistettynä, on kuitenkin ilmeistä, että mm. polynomialgebran todellinen hallinta edellyttää koulumatematiikkaa huomattavasti laajempaa ja syvällisempää matemaattista sivistystä. Kaikkia tämäntasoisen käsitteellisen tiedon oppimisongelmia ei voida ratkaista nykyisen matematiikan didaktiikan korostamien ongelmanratkaisun tai uskomus- ja asennetutkimusten avulla. Radikaali konstruktivismikaan ei tarjoa oikoteitä tai aina edes työmäärältään realistisia keinoja epätriviaalin matematiikan käsitteiden hallintaan. Konstruktivistista lähestymistapaa korkeam- 123
7 TIMO TOSSAVAINEN paan matematiikkaan ainoana oikeana oppimisskeemana ei voida edes pitää rationaalisena ajatuksena, sillä eihän orkesterimuusikon koulutuksessakaan edellytetä sitä, että opiskelijan on pystyttävä säveltämään itse kaikki esittämänsä teokset. Toisaalta sekä opiskelijoilta saadun palautteen (mm. Laine 2003; Sorvali tässä teoksessa) että tutkimusten (esim. Niemi 2001) perusteella varsinaisen matematiikan opiskelu ei ole riittävästi edistänyt ainakaan peruskoulun matematiikan opettajien ammatillista osaamista. Suomalaisen matematiikkakasvatuksen kentässä on siis aukko, joka on paikattava jollakin tavalla. Sanaparia didaktinen matematiikka on ryhdytty käyttämään nimenä tietynlaiselle matemaattis-kasvatukselliselle toiminnalle, jota ei ole ainakaan vielä nähty toteutettavan perinteisen matematiikan didaktiikan piirissä. Vaikka toisensävyisiäkin mielipiteitä on esitetty (vrt. Martio 2004), tämän sanaparin käyttöönotolle on nähtävissä myös perusteluja, joista matematiikan kieliaspektin korostamisen tarve matematiikkakasvatuksessa lienee paras. Perinteisessä didaktiikassa matematiikkaa nimittäin tarkastellaan useimmiten staattisena, valmiiksi annettuna objektina, johon kielen avulla vain viitataan. Tämä asenne johtaa opetuksessa helposti huolimattomaan kielenkäyttöön, mikä varmasti vaikuttaa matematiikan oppimistuloksiin. Matematiikka on elävä kieli, jonka kehittyneen käytön erityispiirteenä on runsas symbolien ja erikoismerkkien käyttö. Matematiikan tuloksellisen oppimisen edellytyksenä on, että opetuksessa käytetään matemaattista symbolikieltä virheettömästi. Erityisesti peruskoulun matematiikanopettajien koulutuksessa tulisi korostaa tätä näkökulmaa, sillä peruskoulussa annettavasta matematiikan opetuksesta muodostuu suurin osan lähes jokaisen kansalaisen matemaattisesta sivistyksestä, ja tähän opetukseen osallistutaan juuri kielen- ja ajattelunkehittymisen kannalta kriittisessä iässä. DIDAKTISEN MATEMATIIKAN TUTKIMUSONGELMISTA JA -MENETELMISTÄ Millaisia tutkimusongelmia kuuluu didaktisen matematiikaan piiriin eli millaiseen tieteelliseen toimintaan perustuu sellainen matematiikkakasvatus, jossa korostuu matematiikan kieliaspekti? Artikkelissa Tossavainen & Sorvali 2003 didaktisen matematiikan tutkimuskenttää kuvaillaan mm. seuraavasti: Didaktinen matematiikka on silta matematiikan ja kasvatustieteellisen tutkimuksen välillä. Siinä tarkastellaan matematiikkaa kehittyvänä ja muuntuvana tieteenalana, joka on luotu ratkaisemaan erilaisia ongelmia eri kulttuureissa eri aikakausina. Didaktisessa matematiikassa korostetaan, ettei ole mitään ajasta ja paikasta riippumatonta matematiikkaa eikä myöskään mitään pysyviä, ulkopäin annettuja, kertakaikkisia koulumatematiikan sisältöjä. Tämän katsontatavan toivotaan rohkaisevan matematiikan didaktiikan tieteellistä tutkimusta suuntautumaan entistä enemmän opetuksen sisältöjen pohdintaan, erityisesti kyseenalaistamaan itsestään selvänä pidetty mekaanisten laskutaitojen keskeisyys opetuksessa. 124
8 DIDAKTISTA MATEMATIIKKAA TAI AINAKIN UUSI NÄKÖKULMA... Didaktisessa matematiikassa selvitetään matematiikan perusteorioiden välisiä yksinkertaisia suhteita erityisesti oppimisen ja opettamisen näkökulmasta. Tällöin korostuu matematiikan rakenteiden ymmärtämisen tärkeys jo peruslaskutoimituksia opittaessa. Matematiikkaa tarkastellaan historiallisesta näkökulmasta ja korostetaan luovuuden ja jopa taiteellisten piirteiden merkitystä matematiikassa. Matematiikkaa voidaan myös oppia ja opettaa piirtämällä, soittamalla, hahmottelemalla tai muilla havainnollisilla tavoilla. Koska toiminnallisen ja havainnollisen matematiikan ja matemaattisten lausekkeiden välisten yhteyksien ymmärtäminen on keskeistä, didaktisessa matematiikassa matematiikkaa tarkastellaan myös kielenä. Erityisesti kiinnitetään huomiota matematiikassa käytettävien sanojen ja symbolien täsmälliseen määrittelyyn sekä matematiikan ja äidinkielen välisiin yhteyksiin. Matematiikan oppimisen ongelmia lähestytään semanttisesta ja semioottisesta näkökulmasta matematiikkaan. Tähän liittyy läheisesti eri maiden opetustraditioiden vertailu ja matematiikan opetuksen historian tutkimus. Didaktisessa matematiikassa korostuu siis, jopa mekaanisen laskutaidon kustannuksella, käsitteellinen ja kielellinen matematiikan osaaminen. Näin ollen didaktisen matematiikan tutkimus edellyttää nämä näkökulmat huomioon ottavien matemaattisen osaamisen mittausmenetelmien kehittämistä. Tällaisen kehittämisen lähtökohtana on tutkia ensin, missä eri muodoissa matemaattista ajattelua voidaan esittää. Tähän edellyttänee sitä, että seurataan myös sen alueen äidinkielen tai yleensä kielten sekä taito- ja taideaineiden tutkimusparadigmojen kehittymistä. Edellä mainittujen mittausmenetelmien kehittämiseen liittyy myös sen selvittäminen, kuinka yksilöiden matemaattisesta ajattelusta voidaan laatia sellaisia malleja, joita voidaan luotettavasti ja tarkoituksenmukaisesti verrata toisiinsa tai malliin sellaisesta matemaattisesta osaamisesta, jota pidetään oppimisen tavoitteena. Yksilön matemaattisen tietorakenteen kuvaamiseen on jo olemassa vaihtoehtoja, esimerkiksi käsitekartat tai graafit (esim. Kieswetter 1977; Pehkonen 2002). Näiden mahdollisuudet didaktisen matematiikan tutkimusvälineinä vaikuttavat varsin lupaavilta, sillä niiden avulla voidaan tehdä sekä määrällistä (esimekiksi graafin solmujen lukumäärä) että laadullista (graafin linkkien lukumäärä) matematiikan oppimisen tutkimusta (Pehkonen 2002). Lisäksi käsitekartat ja graafit antavat tarkasteltavasta tietorakenteesta toisiaan täydentävät kuvat. Graafien ja käsitekarttojen soveltamisessa on luonnollisesti otettava huomioon tutkittavien vaihteleva kyky ilmaista itseään suullisesti ja kirjallisesti. Tätä asiaa ei ole suinkaan aina osattu tai käytännössä voitu ottaa huomioon esim. yliopisto-opiskelijoiden matemaattista osaamista arvioitaessa. Lopuksi tehdään ehdotus, millaista kaavaa todellisen ja pitkäkestoisen oppimisen ja opetuksen kehittämisen sekä laadullinen että määrällinen tutkimus voisi noudattaa didaktisen matematiikan alalla. 125
9 TIMO TOSSAVAINEN 1) Laaditaan mahdollisimman täydellinen selvitys siitä varsinaisesta matematiikasta, jonka oppimista ja opettamisen kehittämistä tarkastellaan. 2) Selvitetään, missä eri muodoissa tällainen matematiikka voidaan esittää. 3) Koska kaikki kelvolliset esitysmuodot edustavat periaatteessa samaa tietorakennetta, laaditaan tästä tietorakenteesta sopivia malleja matematiikan eri aspektien mukaisesti. 4) Seurataan oppimistulosten kehittymistä erilaisissa opetuskokeiluissa vertaamalla laadullisesti tai määrällisesti oppijoiden tietojen, käsitysten ja uskomusten perusteella laadittuja tietorakenteen malleja kohdan 3 ideaalimalleihin. Lienee itsestään selvää, että ehdotetun kaavan soveltaminen edellyttää aidosti ainakin sekä varsinaisen matematiikan että kasvatustieteen menetelmien asiantuntemusta. LÄHTEET Haapasalo, L Oppiminen, tieto ja ongelmanratkaisu. 3. painos. Joensuu: Medusa-Software. Joki, J Ulkoluvusta hahmottavaan geometriaan: aineksia geometrian opetukseen erityisesti peruskoulussa. Didaktisen matematiikan sarja. Joensuun yliopisto. Matematiikan laitos. Jyväskylän yliopisto ja Luettu Kansanen, P Onko kasvatustieteellä tulevaisuutta? Teoksessa J. Enkenberg & M.-B. Kentz (toim.) Kasvatuksen maisemista. Joensuun yliopisto, Keranto, T On the mathematical and pedagogical content knowledge of prospective teachers: the case of the division of fractions and proportional reasoning. Esitelmä Matematiikan päivillä Oulussa Kieswetter, K Kreativität in der Mathematik und im Mathematikunterricht. Teoksessa M. Glatfeld (toim.) Mathematik Lernen. Braunschweig: Vieweg, Kupari, P., Reinikainen, P., Nevanpää, N. & Törnroos, J Miten matematiikkaa ja luonnontieteitä osataan suomalaisessa peruskoulussa? Kolmas kansainvälinen matematiikka- ja luonnontiedetutkimus TIMMS 1999 Suomessa. Jyväskylän yliopisto. Koulutuksen tutkimuslaitos. Laine, A Luokanopettajaopiskelijoiden kokemuksia matematiikan opetusharjoittelusta peruskoulun yläluokilla. Esitelmä Ilmestyy englanninkielisenä teoksessa Proceedings of the 20th Annual Symposium of the Finnish Mathematics and Science Education Research Association in Helsinki, October 9 11, Malinen, P Katsaus matematiikan oppimisen, oppimisvaikeuksien ja ope- 126
10 DIDAKTISTA MATEMATIIKKAA TAI AINAKIN UUSI NÄKÖKULMA... tuksen tutkimuksiin Suomessa. Teoksessa P. Räsänen, P. Kupari, T. Ahonen & P. Malinen (toim.) Matematiikka näkökulmia opettamiseen ja oppimiseen. Niilo Mäki Instituutti & Koulutuksen tutkimuslaitos. Jyväskylä: Yliopistopaino, Malinen, P. & Kupari, P Miten kognitiivisista prosesseista kehiteltiin kontruktivismia Katsaus Matematiikan ja luonnontieteiden opetuksen tutkimusseuran toimintaan Koulutuksen tutkimuslaitos. Jyväskylä. Martio, O Didaktista matematiikkaa? Tieteessä tapahtuu 21 (2), Merenluoto, K Lukiolaisen reaaliluku. Lukualueen laajentaminen käsitteellisenä muutoksena matematiikassa. Ann. Univ. Turkuensis C 176. Turun yliopisto. Niemi, E. K Perusopetuksen matematiikan oppimistulosten kansallinen arviointi 6. vuosiluokalla vuonna Helsinki: Opetushallitus. Pehkonen, E. & Zimmermann, B Probleemakentät matematiikan opetuksessa ja niiden yhteys opetuksen ja oppilaiden motivaation kehittymiseen. Osa 1: Teoreettinen tausta ja tutkimusasetelma.tutkimuksia 86. Helsingin yliopisto. Opettajankoulutuslaitos. Pehkonen, E Matemaattinen tietorakenne graafina. Teoksessa H. Silfverberg & J. Joutsenlahti (toim.) Tutkimuksella parempaan opetukseen. Matematiikan ja luonnontieteiden tutkimusseura ry:n päivät Tampereella Tampereen yliopisto. Opettajankoulutuslaitos, Pietilä, A Luokanopettajaopiskelijoiden matematiikkakuva: matematiikkakokemukset matematiikkakuvan muodostajina. Tutkimuksia 238. Helsingin yliopisto. Opettajankoulutuslaitos. Silfverberg, H. & Joutsenlahti, J. (toim.) Tutkimuksella parempaan opetukseen. Matematiikan ja luonnontieteiden tutkimusseura ry:n päivät Tampereella Tampereen yliopisto. Opettajankoulutuslaitos. Tossavainen, T. & Sorvali, T Koulumatematiikka, matematiikka ja didaktinen matematiikka. Tieteessä tapahtuu 20 (8), Vala, K Hakusana matematiikka. Otavan Suuri Ensyklopedia. Keuruu: Otava. Virtanen, A Matematiikan opetusharjoittelijoiden taidot lukion differentiaalilaskennassa. Pro gradu -tutkielma, Helsingin yliopisto. Matematiikan laitos. Väänänen, J Matemaattinen logiikka. Helsinki: Gaudeamus. 127
Perusopetuksen matematiikan pitkittäisarviointi 2005-2012
5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 1 Perusopetuksen matematiikan pitkittäisarviointi 2005-2012 5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 2 Opetushallitus Koulutuksen seurantaraportti 2013:4 5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 3 1
LisätiedotMatematiikka vuosiluokat 7 9
Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa
LisätiedotKohti matematiikan opettajuutta - aineenopettajaopiskelijoille suunnatut matematiikan opintojaksot
Kohti matematiikan opettajuutta - aineenopettajaopiskelijoille suunnatut matematiikan opintojaksot 15.8.2018 Simo Ali-Löytty, Terhi Kaarakka ja Elina Viro Sisältö TTY:n aineenopettajakoulutuksen tutkintorakenne
Lisätiedot1.8.2008. Jorma Joutsenlahti Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitos. 4.8.2008 Jyväskylän Kesäkongressi. JoJo / TaY 2
Jorma Joutsenlahti Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitos 2 Tv-maailma nro 30, s. 2-3 1 4 Matematiikkakuva (View of Mathematics) koostuu kolmesta komponentista: 1) Uskomukset itsestä matematiikan
LisätiedotMOT-hanke. Metodimessut 29.10.2005 Jorma Joutsenlahti & Pia Hytti 2. MOT-hanke
Dia 1 MOT-hanke Mat ematiikan Oppimat eriaalin Tutkimuksen hanke 2005-2006 Hämeenlinnan OKL:ssa Metodimessut 29.10.2005 Jorma Joutsenlahti & Pia Hytti 1 MOT-hanke Osallistujat:13 gradun tekijää (8 gradua)
Lisätiedot5.1 Semanttisten puiden muodostaminen
Luku 5 SEMNTTISET PUUT 51 Semanttisten puiden muodostaminen Esimerkki 80 Tarkastellaan kysymystä, onko kaava = (( p 0 p 1 ) (p 1 p 2 )) toteutuva Tätä voidaan tutkia päättelemällä semanttisesti seuraavaan
LisätiedotMATEMATIIKAN AINEENOPETTAJANKOULUTUS HELSINGIN YLIOPISTOSSA
LUMAT 3(6), 2015 MATEMATIIKAN AINEENOPETTAJANKOULUTUS HELSINGIN YLIOPISTOSSA Terhi Hautala & Juha Oikkonen Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Tiivistelmä Kirjoituksessa kuvaillaan
LisätiedotLuova opettaja, luova oppilas matematiikan tunneilla
Luova opettaja, luova oppilas matematiikan tunneilla ASKELEITA LUOVUUTEEN - Euroopan luovuuden ja innovoinnin teemavuoden 2009 päätösseminaari Anni Lampinen konsultoiva opettaja, Espoon Matikkamaa www.espoonmatikkamaa.fi
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
LisätiedotJuliet-ohjelma: monipuolisia osaajia alaluokkien englannin opetukseen
Juliet-ohjelma: monipuolisia osaajia alaluokkien englannin opetukseen Marja-Kaisa Pihko, Virpi Bursiewicz Varhennettua kielenopetusta, kielisuihkuttelua, CLIL-opetusta Alakoulun luokkien 1 6 vieraiden
LisätiedotTUKIMATERIAALI: Arvosanan kahdeksan alle jäävä osaaminen
1 FYSIIKKA Fysiikan päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle 8 ja niitä täydentävä tukimateriaali Opetuksen tavoite Merkitys, arvot ja asenteet T1 kannustaa ja innostaa oppilasta fysiikan opiskeluun T2 ohjata
LisätiedotOPS 2016 Keskustelupohja vanhempainiltoihin VESILAHDEN KOULUTOIMI
OPS 2016 Keskustelupohja vanhempainiltoihin VESILAHDEN KOULUTOIMI Valtioneuvoston vuonna 2012 antaman asetuksen pohjalta käynnistynyt koulun opetussuunnitelman uudistamistyö jatkuu. 15.4.-15.5.2014 on
LisätiedotNäkökulmia tietoyhteiskuntavalmiuksiin
Näkökulmia tietoyhteiskuntavalmiuksiin Tietotekniikka oppiaineeksi peruskouluun Ralph-Johan Back Imped Åbo Akademi & Turun yliopisto 18. maaliskuuta 2010 Taustaa Tietojenkäsittelytieteen professori, Åbo
LisätiedotHarjoittelu omassa opetustyössä ammatillisen koulutuksen parissa
Harjoittelu omassa opetustyössä ammatillisen koulutuksen parissa Ohjeet opiskelijalle Opiskelija harjoittelee omassa opetustyössään ammatillisessa koulutuksessa. Opetusharjoittelussa keskeisenä tavoitteena
LisätiedotSuomi toisena kielenä -opettajat ry./ Hallitus 10.3.2010 TUNTIJAKOTYÖRYHMÄLLE
1 Suomi toisena kielenä -opettajat ry./ KANNANOTTO Hallitus 10.3.2010 TUNTIJAKOTYÖRYHMÄLLE Suomi toisena kielenä (S2) on perusopetuksessa yksi oppiaineen äidinkieli ja kirjallisuus oppimääristä. Perusopetuksen
LisätiedotJoukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
LisätiedotPÄIVI PORTAANKORVA-KOIVISTO
7.4.2013 PÄIVI PORTAANKORVA-KOIVISTO HARRY SILFVERBERG: Matematiikka kouluaineena yläkoulun oppilaiden tekemien oppiainevertailujen paljastamia matematiikkakäsityksiä Juho Oikarinen 7.4.2013 PÄIVI PORTAANKORVA-KOIVISTO
LisätiedotOpetuksen suunnittelun lähtökohdat. Keväällä 2018 Johanna Kainulainen
Opetuksen suunnittelun lähtökohdat Keväällä 2018 Johanna Kainulainen Shulmanin (esim. 1987) mukaan opettajan opetuksessaan tarvitsema tieto jakaantuu seitsemään kategoriaan: 1. sisältötietoon 2. yleiseen
LisätiedotMika Setälä Lehtori Lempäälän lukio
LOPS 2016 matematiikka Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio Millainen on input? Oppilaiden lähtötaso edellisiin lukion opetussuunnitelmiin nähden pitää huomioida kun lukion uutta opetussuunnitelmaa tehdään.
LisätiedotKolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä
Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti
LisätiedotOPS2016. Uudistuvat oppiaineet ja vuosiluokkakohtaisten osuuksien valmistelu 21.10.2015. Eija Kauppinen OPETUSHALLITUS
OPS2016 Uudistuvat oppiaineet ja vuosiluokkakohtaisten osuuksien valmistelu 21.10.2015 Eija Kauppinen OPETUSHALLITUS 1 Paikallinen opetussuunnitelma Luku 1.2 Paikallisen opetussuunnitelman laatimista ohjaavat
LisätiedotOppiminen verkossa - teoriasta toimiviin käytäntöihin
Luennon teemat Oppiminen verkossa - teoriasta toimiviin käytäntöihin Hanna Salovaara, tutkija Kasvatustieteiden tiedekunta Koulutusteknologian tutkimusyksikkö Oulun Yliopisto Pedagogiset mallit ja skriptaus
LisätiedotMONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen
MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi
LisätiedotOppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein:
9.8. MATEMATIIKKA Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: AK 1 = Ihmisenä kasvaminen AK 2 = Kulttuuri-identiteetti
LisätiedotLuokanopettajaksi, aineenopettajaksi tai opinto-ohjaajaksi?
Luokanopettajaksi, aineenopettajaksi tai opinto-ohjaajaksi? Tiina Nyyssönen, koulutussuunnittelija OKL tiina.m.nyyssonen@jyu.fi JYU. Since 1863. 12.11.2018 1 Millainen OKL on? Luokanopettajakoulutus =>
LisätiedotDia 1. Dia 2. Dia 3. Tarinat matematiikan opetuksessa. Koulun opettaja. Olipa kerran pieni kyläkoulu. koulu
Dia 1 Tarinat matematiikan opetuksessa merkityksiä ja maisemia matemaattiselle ajattelulle Dia 2 Olipa kerran pieni kyläkoulu koulu Dia 3 Koulun opettaja Laskehan kaikki luvut yhdestä sataan yhteen Dia
LisätiedotMerkitys, arvot ja asenteet 7 Ei vaikuta arvosanan
Oppiaineen nimi: MATEMATIIKKA 7-9 Vuosiluokat Opetuksen tavoite Sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Arvioinnin kohteet oppiaineessa Hyvä/arvosanan kahdeksan osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei
LisätiedotSubstanssiosaamisen integroinnin vaikutus asenteisiin ja motivaatioon yliopistomatematiikassa
Substanssiosaamisen integroinnin vaikutus asenteisiin ja motivaatioon yliopistomatematiikassa 27.-28.10.2016 Mira Tengvall Terhi Kaarakka Simo Ali-Löytty Johdanto Matemaattinen osaaminen on olennainen
LisätiedotKESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.
VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten
LisätiedotMatematiikan olemus Juha Oikkonen juha.oikkonen@helsinki.fi
Matematiikan olemus Juha Oikkonen juha.oikkonen@helsinki.fi 1 Eri näkökulmia A Matematiikka välineenä B Matematiikka formaalina järjestelmänä C Matematiikka kulttuurina Matemaattinen ajattelu ja matematiikan
Lisätiedothyvä osaaminen
MERKITYS, ARVOT JA ASENTEET FYSIIKKA T2 Oppilas tunnistaa omaa fysiikan osaamistaan, asettaa tavoitteita omalle työskentelylleen sekä työskentelee pitkäjänteisesti. T3 Oppilas ymmärtää fysiikkaan (sähköön
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet ORMS.1030
orms.1030 Vaasan avoin yliopisto / kevät 2013 1 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi
LisätiedotTUKIMATERIAALI: Arvosanan kahdeksan alle jäävä osaaminen
KEMIA Kemian päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle 8 ja niitä täydentävä tukimateriaali Opetuksen tavoite Merkitys, arvot ja asenteet T1 kannustaa ja innostaa oppilasta kemian opiskeluun T2 ohjata ja
LisätiedotOpinnäytetyöhankkeen työseminaarin avauspuhe 20.4.2006 Stadiassa Hoitotyön koulutusjohtaja Elina Eriksson
1 Opinnäytetyöhankkeen työseminaarin avauspuhe 20.4.2006 Stadiassa Hoitotyön koulutusjohtaja Elina Eriksson Arvoisa ohjausryhmän puheenjohtaja rehtori Lauri Lantto, hyvä työseminaarin puheenjohtaja suomen
LisätiedotMatemaattis-luonnontieteellinen linja
Luku 1 Matemaattis-luonnontieteellinen linja Erikoislukiolinja on tarkoitettu lähinnä niille, joiden jatkosuunnitelmat edellyttävät matemaattis-luonnontieteellistä tietoa ja osaamista. Erikoislinjalla
LisätiedotJoensuun seudun opetussuunnitelma. Keskeiset uudistukset
Joensuun seudun opetussuunnitelma Keskeiset uudistukset Opetussuunnitelman käyttöönotto Uuden opetussuunnitelman mukainen opetus alkaa kaikissa kouluissa 1.8.2016 Luokissa 1-6 uusi opetussuunnitelma kokonaisuudessaan
Lisätiedot4.10.2008. MOT-projekti. MOT-projektin tarkoitus. Oppikirjat ja opettajan oppaat
Jorma Joutsenlahti Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitos 2 Mitä tarkoittaa "=" merkki? Peruskoulun 2. lk 3 1 MOT-projekti Matematiikan Oppimateriaalin Tutkimuksen projekti 2005-2007 Hämeenlinnan
LisätiedotLogiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:
Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi
LisätiedotTerveisiä ops-työhön. Heljä Järnefelt 18.4.2015
Terveisiä ops-työhön Heljä Järnefelt 18.4.2015 Irmeli Halinen, Opetushallitus Opetussuunnitelman perusteet uusittu Miksi? Mitä? Miten? Koulua ympäröivä maailma muuttuu, muutoksia lainsäädännössä ja koulutuksen
LisätiedotMATEMATIIKKA. Elina Mantere Helsingin normaalilyseo elina.mantere@helsinki.fi. Elina Mantere
MATEMATIIKKA Helsingin normaalilyseo elina.mantere@helsinki.fi OPPIAINEEN TEHTÄVÄ Kehittää loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Luoda pohja matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden
LisätiedotMIKSI YLIOPISTON MATEMATIIKAN OPETUSTA PITÄÄ KEHITTÄÄ?
YLIOPISTOMATEMATIIKAN OPETTAJUUDEN KEHITTÄMINEN JORMA JOUTSENLAHTI YLIOPISTONLEHTORI (TAY), DOSENTTI (TTY), 1 2 MIKSI YLIOPISTON MATEMATIIKAN OPETUSTA PITÄÄ KEHITTÄÄ? 3 1. Opiskelijoiden lähtötaso Yliopisto-opiskelijoiden
LisätiedotAjattelu ja oppimaan oppiminen (L1)
Ajattelu ja oppimaan oppiminen (L1) Mitä on oppimaan oppiminen? Kirjoita 3-5 sanaa, jotka sinulle tulevat mieleen käsitteestä. Vertailkaa sanoja ryhmässä. Montako samaa sanaa esiintyy? 1 Oppimaan oppiminen
LisätiedotArvioinnin monipuolistaminen lukion opetussuunnitelman perusteiden (2015) mukaan
Arvioinnin monipuolistaminen lukion opetussuunnitelman perusteiden (2015) mukaan OPS-koulutus Joensuu 16.1.2016 Marja Tamm Matematiikan ja kemian lehtori, FM, Helsingin kielilukio 3.vpj. ja OPS-vastaava,
LisätiedotVaihtoehto A. Harjoittelu Oulun seudun harjoitteluverkostossa Vaihtoehto B. Harjoittelu Rovaniemen seudun harjoitteluverkostossa
Vaihtoehto A. Harjoittelu Oulun seudun harjoitteluverkostossa Vaihtoehto B. Harjoittelu Rovaniemen seudun harjoitteluverkostossa Ohjeet opiskelijalle Vaihtoehdoissa A ja B opiskelija harjoittelee joko
LisätiedotKansallinen seminaari
Kansallinen seminaari Matemaattis- luonnontieteellisten aineiden aineenopettajakoulutuksen pedagogisten opintojen tutkintovaatimukset Matemaattis- luonnontieteellisten aineiden didaktiikka luokanopettajakoulutuksessa
LisätiedotJorma Joutsenlahti / 2008
Jorma Joutsenlahti opettajankoulutuslaitos, Hämeenlinna Latinan communicare tehdä yleiseksi, jakaa Käsitteiden merkitysten rakentaminen ei ole luokassa kunkin oppilaan yksityinen oma prosessi, vaan luokan
LisätiedotArkistot ja kouluopetus
Arkistot ja kouluopetus Arkistopedagoginen seminaari 4.5.2015 Heljä Järnefelt Erityisasiantuntija Opetushallitus Koulun toimintakulttuuri on kokonaisuus, jonka osia ovat Lait, asetukset, opetussuunnitelman
LisätiedotCHERMUG-pelien käyttö opiskelijoiden keskuudessa vaihtoehtoisen tutkimustavan oppimiseksi
Tiivistelmä CHERMUG-projekti on kansainvälinen konsortio, jossa on kumppaneita usealta eri alalta. Yksi tärkeimmistä asioista on luoda yhteinen lähtökohta, jotta voimme kommunikoida ja auttaa projektin
LisätiedotTOIMINNALLISTA MATEMATIIKKAA OPETTAJILLE HANKE
TOIMINNALLISTA MATEMATIIKKAA OPETTAJILLE HANKE Toiminnallista matematiikkaa opettajille hanke Lapin yliopiston kasvatustieteiden tiedekunnan Opetus ja kasvatusalan täydennyskoulutusyksikkö järjestää opetustoimen
LisätiedotKandidaatin tutkinnon rakenne
Kandidaatin tutkinnon rakenne ERITYISPEDAGOGIIKAN KOULUTUS 2016 2020 KANDIDAATIN TUTKINNON RAKENNE 180 op op Kieli-, viestintä ja orientoivat opinnot 20 Kvo Orientoituminen opintoihin (HOPS) ja opiskelutaitojen
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet ORMS.1030
s16 Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/ mla/ puh. 044 344 2757
LisätiedotMatematiikka, koulumatematiikka ja didaktinen matematiikka
Ä Matematiikka, koulumatematiikka ja didaktinen matematiikka imo ossavainen ja uomas orvali 30 udesta matematiikasta luopumisen jälkeen koulumatematiikalla ja varsinaisella matematiikalla on ollut entistä
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet ORMS.1030
kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/
LisätiedotOpetuksen tavoite: T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen kehittymistä
MATEMATIIKKA JOENSUUN SEUDUN OPETUSSUUNNITELMASSA Merkitys, arvot ja asenteet Opetuksen tavoite: T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen
LisätiedotJohtamalla muutokseen Opetusalan johtamisen foorumi 5.6.2014. Pääjohtaja Aulis Pitkälä Opetushallitus
Johtamalla muutokseen Opetusalan johtamisen foorumi 5.6.2014 Pääjohtaja Aulis Pitkälä Opetushallitus Johtamisen haasteita Oppimistulosten heikkeneminen Valtion talouden tasapainottaminen, julkisten menojen
LisätiedotÄärettömistä joukoista
Äärettömistä joukoista Markku Halmetoja Mistä tietäisit, että sinulla on yhtä paljon sormia ja varpaita, jos et osaisi laskea niitä? Tiettyä voimisteluliikettä tehdessäsi huomaisit, että jokaista sormea
LisätiedotReaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:
Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:
LisätiedotAikuisten perusopetus
Aikuisten perusopetus Laaja-alainen osaaminen ja sen integrointi oppiaineiden opetukseen ja koulun muuhun toimintaan 23.1.2015 Irmeli Halinen Opetussuunnitelmatyön päällikkö OPETUSHALLITUS Uudet opetussuunnitelman
Lisätiedot- ja tänä elinikäisen oppimisen aikakautena myös aikuiset..
1 - ja tänä elinikäisen oppimisen aikakautena myös aikuiset.. 2 - koulutus = - kasvatuksen osa-alue; - tapa järjestää opetus; - prosessi hankkia tutkinto; - se, jokin, johon hakeudutaan oppimaan ja opiskelemaan;
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet ORMS.1030
orms.1030 Vaasan yliopisto / kevät 2015 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet, Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi
LisätiedotIlpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2
uonnehdintoja logiikasta 1 Johdatus logiikkaan Ilpo Halonen Syksy 2005 ilpo.halonen@helsinki.fi Filosofian laitos Humanistinen tiedekunta "ogiikka on itse asiassa tiede, johon sisältyy runsaasti mielenkiintoisia
LisätiedotPäättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8)
Tavoitteet Jokaisella oppilaalla on peruskoulun aikana mahdollisuus hankkia matemaattiset perustiedot ja -taidot, jotka antavat valmiuden luovaan matemaattiseen ajatteluun ja taitojen soveltamiseen eri
LisätiedotYleistä kanditutkielmista
Aineenopettajankoulutuksen opinnäytteet Leena Hiltunen 21.1.2009 Yleistä kanditutkielmista Tyypillisesti teoreettisia kirjallisuusanalyysejä, joissa luodaan taustaa ja viitekehystä tietylle aiheelle Pääsääntöisesti
LisätiedotTehtävä 1 Oppimisteoriat, oppimisympäristöt ja opetusmallit Jorma Enkenberg
Tehtävä 1 Oppimisteoriat, oppimisympäristöt ja opetusmallit Jorma Enkenberg Niilo Korhonen eoppimaisterikoulutus Joensuun yliopisto/savonlinnan OKL Kevät 2003 A) KONSTRUKTIVISTINEN OPPIYMPÄRISTÖ...2 B)
LisätiedotHaastava, haastavampi, arviointi. Kirsi Saarinen/Tamk Insinööri 100 vuotta 4.10.2012
Haastava, haastavampi, arviointi Kirsi Saarinen/Tamk Insinööri 100 vuotta 4.10.2012 Arviointi on osa oppimista, joten sitä ei pidä pitää irrallisena osana opettamisesta, oppimisesta, kehittämisestä ja
LisätiedotMatemaattiset oppimisvaikeudet
Matemaattiset oppimisvaikeudet Matemaattiset taidot Lukumäärien ja suuruusluokkien hahmottaminen synnynnäinen kyky, tarkkuus (erottelukyky) lisääntyy lapsen kasvaessa yksilöllinen tarkkuus vaikuttaa siihen,
LisätiedotVALINNAISET OPINNOT Laajuus: Ajoitus: Kood Ilmoittautuminen weboodissa (ja päättyy 06.03.2016.)
VALINNAISET OPINNOT Valinnaisia opintoja pedagogisten opintojen yleistavoitteiden suuntaisesti tarjoavat normaalikoulu, kasvatustiede ja ainedidaktiikka. Laajuus: 3 opintopistettä Ajoitus: Pääsääntöisesti
LisätiedotOPETUS- JA KULTTUURIMINISTERIÖ PL 29 01-02. 2014 00023 VALTIONEUVOSTO lukiontuntijako@minedu.fi no / /
Aineopettajaliitto AOL ry LAUSUNTO 6.2.2014 Opetus- ja kulttuuriministeriö OPETUS- JA KULTTUURIMINISTERIÖ PL 29 01-02. 2014 00023 VALTIONEUVOSTO lukiontuntijako@minedu.fi no / / Aineopettajaliiton (AOL
LisätiedotLauri Hellsten, Espoon yhteislyseon lukio Mika Setälä, Lempäälän lukio
Lukion opetussuunnitelman perusteet 2016 Teemaopinnot Lauri Hellsten, Espoon yhteislyseon lukio Mika Setälä, Lempäälän lukio 1 5.22 Teemaopinnot "Teemaopinnot ovat eri tiedonaloja yhdistäviä opintoja.
Lisätiedotarvioinnin kohde
KEMIA 9-lk Merkitys, arvot ja asenteet T2 Oppilas tunnistaa omaa kemian osaamistaan, asettaa tavoitteita omalle työskentelylleen sekä työskentelee pitkäjänteisesti T3 Oppilas ymmärtää kemian osaamisen
LisätiedotEsimerkkejä formatiivisesta arvioinnista yläkoulun matematiikan opiskelussa
Esimerkkejä formatiivisesta arvioinnista yläkoulun matematiikan opiskelussa Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet 2014, luku 6, Oppimisen arviointi: Oppilaan oppimista ja työskentelyä on arvioitava
LisätiedotAsia: Äidinkielen ja kirjallisuuden opetuksen kehittäminen
Asia: Äidinkielen ja kirjallisuuden opetuksen kehittäminen Opetushallitukselle Äidinkielen opettajain liitto ry:lle Opetusalan ammattijärjestö ry:lle Humanistisille tiedekunnille Eri yliopistojen opettajankoulutusyksiköiden
Lisätiedothyvä osaaminen. osaamisensa tunnistamista kuvaamaan omaa osaamistaan
MERKITYS, ARVOT JA ASENTEET FYSIIKKA 8 T2 Oppilas asettaa itselleen tavoitteita sekä työskentelee pitkäjänteisesti. Oppilas harjoittelee kuvaamaan omaa osaamistaan. T3 Oppilas ymmärtää lämpöilmiöiden tuntemisen
LisätiedotMartti Raevaara 24.5.2007 Virta III. OPETUSSUUNNITELMA lukuvuosille 2007-2010. Kuvataidekasvatuksen koulutusohjelma Virta@ -koulutus (TaM)
Martti Raevaara 24.5.2007 Virta III OPETUSSUUNNITELMA lukuvuosille 2007-2010 Kuvataidekasvatuksen koulutusohjelma Virta@ -koulutus (TaM) Virt@ -koulutuksen opinnot johtavat taiteen maisterin tutkintoon
Lisätiedot5.10.2008. Jorma Joutsenlahti Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitos
Jorma Joutsenlahti Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitos 1 4.10.2008 Lahti JoJo / TaY 2 2 Mitä tarkoittaa "=" merkki? Peruskoulun 2. lk 4.10.2008 Lahti JoJo / TaY 3 3 MOT-projekti Matematiikan Oppimateriaalin
LisätiedotKiikarissa Kiina ja Japani Yanzu- ja Ippo -hankkeiden seminaari
Kiikarissa Kiina ja Japani Yanzu- ja Ippo -hankkeiden seminaari Opetushallitus 15.1.2016 Hankekoordinaattori Veli-Matti Palomäki KIIKARISSA KIINA JA JAPANI 9:30 Seminaarin avaus Eira Kasper, Vaskivuoren
LisätiedotYlemmän AMK-tutkinnon suorittaneiden osaaminen FUAS-ammattikorkeakouluissa. Teemu Rantanen 7.3.2012
Ylemmän AMK-tutkinnon suorittaneiden osaaminen FUAS-ammattikorkeakouluissa Teemu Rantanen 7.3.2012 Taustaa YAMK-tutkinto edelleen kohtuullisen uusi ja paikoin heikosti tunnettu > Tarvitaan myös tutkimustietoa
LisätiedotKemia. Perusteluonnoksen 15.4.2014 pohjalta. Hannes Vieth Helsingin normaalilyseo
Kemia Perusteluonnoksen 15.4.2014 pohjalta Hannes Vieth Helsingin normaalilyseo OPPIAINEEN TEHTÄVÄ Kemian opetus tukee oppilaan luonnontieteellisen ajattelun sekä maailmankuvan kehittymistä. auttaa ymmärtämään
LisätiedotJoustavien opetusjärjestelyiden kehittäminen
Joustavien opetusjärjestelyiden kehittäminen - oppilaslähtöinen näkökulma Helsinki 27.4.2012 Marja Kangasmäki Kolmiportainen tuki Erityinen tuki Tehostettu tuki Yleinen tuki Oppimisen ja koulunkäynnin
LisätiedotPerusopetuksen opetussuunnitelman matematiikassa, fysiikassa ja kemiassa Tiina Tähkä, Opetushallitus
Perusopetuksen opetussuunnitelman matematiikassa, fysiikassa ja kemiassa 14.11.2015 Tiina Tähkä, Opetushallitus MAHDOLLINEN KOULUKOHTAINEN OPS ja sen varaan rakentuva vuosisuunnitelma PAIKALLINEN OPETUSSUUNNITELMA
LisätiedotLaatu ja tasa-arvo esiopetuksessa
Laatu ja tasa-arvo esiopetuksessa Motivaatio ja oppiminen: Eskarista kouluun siirryttäessä Jari-Erik Nurmi & Kaisa Aunola, Ulla Leppänen, Katja Natale,, Jaana Viljaranta, Marja Kristiina Lerkkanen,, Pekka
LisätiedotS5-S9 L1, L2, L4, L5, L6, L7 havaintojensa pohjalta kannustaa oppilasta esittämään ratkaisujaan ja päätelmiään muille
MATEMATIIKKA Oppiaineen tehtävä Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaan loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Opetus luo pohjan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden
LisätiedotTEORIA JA KÄSITTEET TUTKMUKSESSA
TEORIA JA KÄSITTEET TUTKMUKSESSA Hanna Vilkka Teoreettinen viitekehys ja käsitteet tutkimuksen työvälineenä: - kontekstualisoivat teoreettisesti ja käsitteellisesti tutkimusta - rajaavat tutkimusongelmaa,
LisätiedotLUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia
LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien
LisätiedotKuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.
Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.
LisätiedotMuotoiluopetus perusopetuksessa ja opettajankoulutuksessa. Professori Pirita Seitamaa-Hakkarainen Helsingin yliopisto OKL
Muotoiluopetus perusopetuksessa ja opettajankoulutuksessa Professori Pirita Seitamaa-Hakkarainen Helsingin yliopisto OKL Mikä oppiaine tarjoaa? ongelmanratkaisua ja toiminnallisia taitoja kehittävää toimintaa,
LisätiedotNumeeriset arviot. Opintojaksolla vallinnut ilmapiiri loi hyvät puitteet oppimiselle. Saavutin opintojaksolle määritellyt osaamistavoitteet
Tämä asiakirja sisältää opiskelijoiden antaman palautteen opettajan Metropoliassa vuoteen 2014 mennessä opettamista kursseista. Palautteet on kerätty Metropolian anonyymin sähköisen palautejärjestelmän
LisätiedotMonilukutaitoa kehittävän ilmiöopetuksen laatiminen. POM2SSU Kainulainen
Monilukutaitoa kehittävän ilmiöopetuksen laatiminen POM2SSU Kainulainen Tehtävänä on perehtyä johonkin ilmiöön ja sen opetukseen (sisältöihin ja tavoitteisiin) sekä ko. ilmiön käsittelyyn tarvittavaan
LisätiedotGeogebra-appletit Scifestissä
Geogebra-appletit Scifestissä Raportti Henri Heiskanen 185703 Itä-Suomen yliopisto 29. huhtikuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Pajan suunnittelu ja applettien taustateoria 1 3 Geogebra-appletit 2 4 Pohdintaa
LisätiedotEDUTOOL 2010 graduseminaari
EDUTOOL 2010 graduseminaari tutkimussuunnitelma, kirjallisuus ja aiheen rajaaminen Sanna Järvelä Miksi tutkimussuunnitelma? Se on kartta, kompassi, aikataulu ja ajattelun jäsentäjä Tutkimussuunnitelma
LisätiedotSanalliset tehtävät ja niiden ratkaisut
Sanalliset tehtävät ja niiden ratkaisut Jorma Joutsenlahti Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitos 1 2 1 Jaakkola etc. (2001) KOLMIO Matematiikan harjoituskirja 2, Tammi, s.102 Sanallinen tehtävä
LisätiedotKoulun nimi: Tiirismaan koulu
Koulun nimi: Tiirismaan koulu OPS2016 Arviointi, Tiirismaan peruskoulun ops-työpaja 28.10.2014 Mitä ovat uuden opetussuunnitelman (2016) mukaisen arvioinnin keskeiset tehtävät? Ohjata oppimaan Tukea kehitystä
LisätiedotVarga Neményi -menetelmän esittely VARGA NEMÉNYI RY
Oppiaineen tehtävä Kehittää oppilaiden loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Luoda pohja matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden ymmärtämiselle. Kehittää oppilaiden kykyä käsitellä
LisätiedotUUSI KIRJA / "UUDEHKO" KIRJA, KATSO TARKASTI ISBN-NUMERO, 61600 Jalasjärvi PAINOS YMS. LISÄTIEDOT Puh. 4580 460, 4580 461
JALASJÄRVEN LUKIO 1.-3. VUOSIKURSSI Kauppilantie 1 UUSI KIRJA / "UUDEHKO" KIRJA, KATSO TARKASTI ISBN-NUMERO, 61600 Jalasjärvi PAINOS YMS. LISÄTIEDOT Puh. 4580 460, 4580 461 Kirjoja on mahdollisuus kierrättää,
LisätiedotKielenkehityksen vaikeudet varhaislapsuudessa. Tiina Siiskonen KT, erityisopettaja
Kielenkehityksen vaikeudet varhaislapsuudessa Tiina Siiskonen KT, erityisopettaja Miten kielenkehityksen vaikeudet ilmenevät? Kielenkehityksen vaikeudet näkyvät kielen ymmärtämisessä ja tuottamisessa eri
LisätiedotOngelmanratkaisutehtävien analysointia
Ongelmanratkaisutehtävien analysointia Tero Vedenjuoksu 29.3.2014 Matemaattisten tieteiden laitos OPH:n ongelmanratkaisutaitojen tutkimus I Ajatuksia ja keskustelua artikkelista (Leppäaho, Silfverberg
LisätiedotPerusopetukseen valmistavan opetuksen opetussuunnitelma 2015
Perusopetukseen valmistavan opetuksen opetussuunnitelma 2015 Sivistyslautakunta 27.8.2015 2 Sisältö 1. Perusopetukseen valmistavan opetuksen lähtökohdat... 3 2. Perusopetukseen valmistavan opetuksen tavoitteet...
LisätiedotYleistä OPE-linjan kanditutkielmista
Aineenopettajankoulutuksen opinnäytteet Leena Hiltunen 10.9.2009 Yleistä OPE-linjan kanditutkielmista Tyypillisesti teoreettisia kirjallisuusanalyysejä, joissa luodaan taustaa ja viitekehystä tietylle
LisätiedotKuudesluokkalaisten maahanmuuttajaoppilaiden suomen kielen tason vaihtelut. Annukka Muuri 18.11.2014
Kuudesluokkalaisten maahanmuuttajaoppilaiden suomen kielen tason vaihtelut Annukka Muuri 18.11.2014 Maahanmuuttajataustaiset oppilaat Maahanmuuttajaoppilaiden määrä on kasvanut seitsemässä vuodessa noin
Lisätiedotkehittämässä: -oppimäärä Arvioinnin kielitaitoa suomen kieli ja kirjallisuus
Arvioinnin kielitaitoa kehittämässä: suomen kieli ja kirjallisuus -oppimäärä Minna Harmanen opetusneuvos, Opetushallitus Oppimisen arvioinnin kansallinen konfrenssi 11.4.2017, Ryhmä C4, https://urly.fi/la1
Lisätiedot