Matematiikka, koulumatematiikka ja didaktinen matematiikka

Transkriptio

1 Ä Matematiikka, koulumatematiikka ja didaktinen matematiikka imo ossavainen ja uomas orvali 30 udesta matematiikasta luopumisen jälkeen koulumatematiikalla ja varsinaisella matematiikalla on ollut entistä vähemmän tekemistä keskenään. iksi perinteisen matematiikan arvosanan suorittaminen ei anna opettajaksi valmistuvalle parasta mahdollista teoreettista pohjaa toimia matematiikanopettajana peruskoulussa. ämän ongelman ja ennustetun matemaattisten aineiden opettajapulan tiedostaneet yliopistot ovat tilanteen parantamiseksi ryhtyneet 1990-luvulta lähtien järjestämään ns. didaktisen matematiikan kursseja. Vaikka didaktisesta matematiikasta puhutaan siis jo varsin yleisesti matematiikan opettajankoulutuksen yhteydessä, tämän käsitteen sisältöä ei ole tähän mennessä missään julkisesti pohdittu saati määritelty kunnolla. ässä artikkelissa pyritään hahmottelemaan, millaisesta matematiikasta tai näkökulmasta siihen didaktisessa matematiikassa voisi olla kysymys. Mitä matematiikka on? akinoitsija Ollin kokoelmassa isteet lopussa on tunnettu sanakirjasepitelmä [1]: F. Fonografi (katso gramofoni). G. Gramofoni (katso fonografi). ämä hassuttelu muuttuu todellisuudeksi, kun ryhdytään selvittämään sanan matematiikka merkitystä. Nykysuomen sanakirjan mukaan matematiikka on oppi suureista ja niiden keskinäisistä suhteista. uure taas puolestaan selitetään matemaattisen tutkimuksen kohteiden yleisnimitykseksi. Kun nämä määritelmät yhdistetään, havaitaan että matematiikka on oppi matemaattisen tutkimuksen kohteista ja niiden keskinäisistä suhteista [2]. Nykysuomen sanakirja siis määrittelee matematiikan sen itsensä avulla. Onko kyseessä pelkästään tämän sanakirjan lipsahdus, vai johtavatko kaikki matematiikan määrittely-yritykset kehämääritelmään? Matemaattisesti hyvin valistunut kulttuurifilosofi Oswald pengler käsittelee kuuluisassa teoksessaan Länsimaiden perikato myös matematiikkaa ja sen yhteyksiä kulttuurien kehitykseen. ohdittuaan matematiikan erilaisia ilmenemismuotoja hän jatkaa: dellä mainitusta seuraa eräs ratkaiseva tosiasia, joka on pysynyt tähän asti jopa matemaatikoilta salassa. Jos matematiikka olisi pelkkää tiedettä, kuten astronomia tai mineralogia, sen kohde olisi määriteltävissä. i ole mitään matematiikkaa, on vain matematiikkoja [3]. Matematiikan luokittelu on ongelmallista. des matemaattiseksi tunnistetun asiakokonaisuuden jakaminen (puhtaaseen) matematiikkaan ja sovellettuun matematiikkaan ei onnistu yksiselitteisellä tavalla, vaan jokaisella matemaatikolla on oma käsityksensä siitä, mikä matematiikka on puhdasta ja mikä ei. ästä aiheesta voidaan siten esim. yliopistojen hallintoelimissä käydä loputonta kiistaa [4]. On mahdollista puhua järkevässä mielessä esimerkiksi diskreetistä matematiikasta tai analyysistä. Lisäksi jokainen matemaatikko voi tunnistaa, kuuluuko tarkasteltavana oleva matemaattinen kokonaisuus jompaan kumpaan alaan. Matematiikan jakaminen alaluokkiin on kuitenkin harhaanjohtavaa, sillä usein matemaattisten ongelmien ratkaiseminen voi edellyttää sekä puhtaan että sovelletun matematiikan tai sekä analyysin että diskreetin matematiikan käyttöä. Lisäksi menneisyydessä matematiikalla on ymmärretty aivan eri asiaa kuin nyt, ja tulevaisuuden matematiikka voi olla taas jotakin muuta. On siis luovuttava matematiikan määrittelyyrityksistä ja tyydyttävä toteamaan, että matematiikka on ihmismielen määrittelemätön perus-

2 Ä piirre. Onkin tapana sanoa, että matematiikkaa on kaikki se, mitä matemaatikot tekevät. Matematiikkaa on jossain muodossa ilmennyt niin kauan kuin ihmisiä on ollut olemassa. Vanhimmat matematiikkaan liittyvät arkeologiset löydöt ovat ainakin monia tuhansia, ehkäpä kymmeniä tuhansia vuosia vanhoja. Matematiikkaa pidetään hyvin universaalina, mutta onkohan ihmisten luoma matematiikka kuitenkin vain ihmisille ymmärrettävää? Joskus esitettiin ajatus, että marsilaisiin yritettäisiin ottaa yhteyttä rakentamalla aharaan suunnattoman suuri valaistu ythagoraan lausetta esittävä kuvio. jateltiin, että marsilaiset ovat ilman muuta kiinnostuneita geometriasta, jos ovat pystyneet luomaan korkean kulttuurin. hminen ei siis kuvittele pelkästään jumaliaan, vaan myös universumin mahdolliset muut asukkaat itsensä kaltaisiksi. Muuttuva koulumatematiikka Matematiikka on koulussa äidinkielen ohella keskeisimpiä oppiaineita. Matematiikan opiskelun katsotaan olevan lapsille ja nuorille välttämätöntä, vaikka koulussa opetettavan matematiikan sisällöt eivät aina tunnu vastaavan odotuksia. Kun peruskouluun siirryttäessä ja 1970-luvulla yritettiin samalla toteuttaa myös matematiikan opetuksen kokonaisuudistus, nousi sitä vastustamaan voimakas kansanliike. arva kouluun liittyvä asia on pystynyt nostattamaan samanlaisia intohimoja kuin tämä uuden matematiikan nimellä tunnettu hanke. udistuksesta oli luovuttava ja palattava vanhaan, kansakoulusta tuttuun laskentoon. Koulumatematiikkaan kajoaminen tuntui siis loukkaavan ihmisten sisimpiä tuntoja. pengleriä mukaillen voitaisiin ehkä sanoa, että ei ole mitään koulumatematiikkaa, on vain matematiikanopettajia. Koulumatematiikkaa on siis kaikki se, mitä matematiikan tunneilla tehdään. Jokainen innokas matematiikanopettaja pitää omaa opetustaan esimerkiksi kelpaavana. Kuitenkin se, mikä sopii yhdelle opettajalle, saattaa olla täysin soveltumatonta toiselle. Juuri matematiikan opetuksessa pitäisi antaa kaikkien kukkien kukkia. nnen kaikkea on huomattava, ettei ole mitään ajasta ja paikasta riippumattomia koulumatematiikan sisältöjä. rikoisesti ei ole mitään syytä olettaa, että esimerkiksi 1900-luvun alun koulumatematiikka olisi ollenkaan sopivaa 2000-luvulla. urkuun perustettiin yliopisto vuonna Yliopiston tehtävänä oli kasvattaa taitavia virkamiehiä valtion ja kirkon palvelukseen. Luterilaisen oikeaoppisuuden aikana yliopistossa annettu opetus tähtäsi ensisijaisesti puhdasta uskoa puolustamaan kykenevien pappien kouluttamiseen. appiskoulutukseen katsottiin kuuluvan sellaisten tähtitieteellisten laskutekniikkojen hallitseminen, joiden avulla syrjäiselläkin paikkakunnalla toimiva pappi pystyi määrittämään paaston alun eli laskiaisen, pääsiäisen ja muiden liikkuvien pyhien ajankohdat. ätä varten urun katemiassa toimi heti alusta alkaen matematiikan professori. Kirjapainotaidon kehittyminen ja almanakkojen julkaiseminen olivat jo jonkin aikaa sitten tehneet tämän teknistä laatua olevan taitotiedon käytännön kannalta tarpeettomaksi. Kuitenkin matematiikan professori imon Kexlerus pani opetustyössään paljon painoa näiden tekniikkojen opettamiselle, ja hän pahoitteli, että almanakkojen myötä matematiikan harrastus oli pahasti taantunut. Kexleruksen antaman varoittavan esimerkin mukaisesti pitäisikin koko ajan tarkkailla, korostetaanko matematiikan opetuksessa ylen määrin asioita, jotka uudet olosuhteet ovat jo syrjäyttäneet [5]. Millaista laskutaitoa nykyisin tarvitaan? Vielä muutama vuosikymmen sitten monet käytännön ammatit edellyttivät hyvää laskutaitoa. Kynällä ja paperilla jouduttiin suorittamaan runsaasti vaikeitakin laskutehtäviä. simerkiksi kauppiaan piti käsin laskea jokaisen asiakkaan ostosten yhteishinta. Nyt ei kukaan laske käsin enää mitään, päivittäistavaroiden hinnoittelu tapahtuu kaupassa täysin automaattisesti. Laskimien ja tietokoneiden kehitys on siis tehnyt puhtaasti teknistä laatua olevan laskutaidon käytännön kannalta tarpeettomaksi. Kuitenkin kouluopetuksessa pannaan ylen määrin painoa juuri mekaaniseen laskennon opetteluun. Varmasti imon Kexlerusta huvittaa haudassaan seurata tilannetta. uden matematiikan vastustus perustui väitteeseen, etteivät lapset enää opi koulussa laskemaan. Kukaan uudistuksen puoltajista ei rohjennut kysyä, miksi lasten sitten pitäisi oppia laskemaan. Mekaaninen laskutaito on todella tullut käytännön kannalta tarpeettomaksi. Nähtäväksi jää, miten kauan aikaa kuluu, ennen kuin tämä tosiasia yleisesti tunnustetaan. Dosentti George Malaty toteaa kirjassaan Johdatus matematiikan rakenteeseen, että juuri laskemisen osaamisen korostaminen on tuonut ongelmia 31

3 Ä 32 matematiikan opetukseen, erityisesti matematiikan rakenteen hahmottamiseen. ämän seurauksena voi jopa helppojen laskutehtävienkin ratkaiseminen olla hankalaa, kun laskija toimii mekaanisesti, noudattaa oppimiaan sääntöjä koneellisesti, eikä pysty löytämään tehtävään parhaiten soveltuvaa laskujärjestystä. Laskentopainotteinen matematiikan opetus ei siis enää palvele sen enempää arkipäivän kuin jatko-opintojenkaan tarpeita. Kun mekaaniseen laskutaitoon ei enää tarvitsisi keskittyä, voitaisiin matematiikan tunnit käyttää tätä hyödyllisempien asioiden opetteluun. Nykykoulussa opittu mekaaninen laskutaito soveltuisi hyvin 1950-luvun sekatavarakaupan myyjälle, mutta on lähes hyödytön nopeita suuruusluokka-arvioita vaativissa tilanteissa. uroihin on totuteltu pari vuotta, mutta suomalaisten enemmistön rahantaju ei ole palannut ennalleen [6]. Kymmenen tai kaksikymmentä euroa heitetään menemään helpommin kuin ennen viisikymmentä tai sata markkaa. asarahatarjouksena olevista kahvista ja pullasta saatetaan maksaa kymppi ja uusista perunoista torilla yhtä monta euroa kuin ennen markkaa. rityisen sokeita tunnutaan olevan kolikoiden arvolle. Niihin suhtaudutaan kuin penneihin. Onko sitten ihme, jos rahat eivät enää tunnu riittävän yhtä hyvin kuin ennen? ällaisten ongelmien syytä voidaan etsiä epäonnistuneesta laskennon opetuksesta. elkkä kuuden kertotaulu ei riitä, kun pitäisi nopeasti hahmottaa eurohintojen suuruusluokka. i hyödytä mitään, vaikka osattaisiin kuinka hyvin tahansa suorittaa mekaanisia laskuja kynällä ja paperilla. anapari didaktinen matematiikka esiintyy ainakin Joensuun, Jyväskylän, ampereen ja Lapin yliopistojen järjestämien arvosanakoulutusten tai näihin sisältyvien kurssien nimissä. Mielenkiintoista on, että eräissä Jyväskylän yliopiston matematiikan ja tilastotieteen laitoksen virantäyttösuunnitelmissa kuvataan laitoksen tehtäviä seuraavasti: usia (matematiikan) tutkimuksen kehittämisalueita laitoksella ovat... ja didaktinen matematiikka [7]. Didaktinen matematiikka ilmestyi akateemiseen kielenkäyttöön viime vuosikymmenen aikana ikään kuin varkain, lähinnä LM-talkoisiin liittyneiden opettajille suunnattujen matematiikan poikkeus- ja täydennyskoulutusten kaupallisten nimien kautta. Käytännössä didaktisella matematiikalla tarkoitettiin aluksi siis lähinnä luokanopettajiksi opiskeleville tai jo valmistuneille luokanopettajille varta vasten räätälöityjä matematiikan kursseja, joita matematiikan laitokset järjestivät muun opetuksensa ohessa. ällaisesta alkutilanteesta on viime vuosina kuitenkin edetty jo varsin pitkälle, kuten Jyväskylän yliopiston virantäyttösuunnitelmien sanamuodot ja vuonna 2002 Joensuun yliopistossa järjestetty didaktisen matematiikan väitös [8] osoittavat. Luonnehdintaa [9] lukuun ottamatta kuitenkaan missään ei liene julkisesti pohdittu, mitä didaktisella matematiikalla lopulta ymmärretään, vaikka ainakin hallinnollinen tarve didaktisen matematiikan määrittelemiselle on jo olemassa. oisaalta fysiikan opetuksen kehittämiseksi syntynyt didaktinen fysiikka on jo julistettu omaksi tieteenalakseen [10]. niversaalia didaktista matematiikkaa lienee olemassa yhtä vähän kuin on olemassa ajasta ja paikasta riippumatonta matematiikkaa. ällöin myöskään mikään yritys määritellä didaktista matematiikkaa normiluonteisesti ei johda yhtä aikaa sekä riittävän kattavaan että riittävän yksityiskohtaiseen määritelmään. ämän takia didaktinen matematiikka lienee parhaiten kuvailtavissa näkökulmana matematiikkaan tai tapana tehdä matematiikkaa. ämä on yhteensopivaa sen ajatuksen kanssa, että matematiikka voidaan ymmärtää pikemminkin taidoksi tehdä jotakin kuin tiedoksi jostakin. Kexleruksen aikaan pidettiin tarkoin erossa kaksi oppineisuuden muotoa, joista toinen oli ars, taito tai taide, ja toinen scientia, tiede tai tieteellinen tieto. Matematiikka oli silloin ars, silloinen fysiikka taasen scientia [11]. Didaktisen matematiikan ilmestyminen Matematiikan opettajankoulutuksessa tulisi keskittyä perusasioihin Koulumatematiikkaan kuuluu yksinkertaisten reaalilukuyhtälöiden ratkaisua. erinteisillä analyysin kursseilla on tuleville matematiikanopettajille selvitetty, että yhtälöiden ratkaisuprosessin perinpohjainen ymmärtäminen edellyttää aksiomaattisen lähestymistavan noudattamista. Yleensä analyysin peruskurssien harjoitustehtävänä tai luennoilla näytetäänkin, kuinka esim. yhtälöillä (1) a+x=b ja ax=b, missä a 0 on yksikäsitteiset ratkaisut kunnassa.

4 Ä nalyysin ja myös algebran kursseilla paljon vähemmälle huomiolle jää kuitenkin joukko lähes yhtä yksinkertaisia yhtälöitä. simerkiksi kuinka yhtälö (2) x+x=1 ratkaistaan? Ongelma vaikuttaa ensisilmäykseltä helpolta, sillä lähes jokainen opiskelija ehdottaa tämän yhtälön yksikäsitteiseksi ratkaisuksi, aivan oikein, puolikasta eli kakkosen käänteisalkiota. arkemmin asiaa tutkittaessa kuitenkin osoittautuu, että kyse on yhtälöihin (1) nähden aivan toisentasoisesta ongelmasta, sillä esimerkkien avulla on helppoa näyttää, että on olemassa kuntia, joissa yhtälöllä (2) on yksikäsitteinen ratkaisu, ja kuntia, joissa sillä ei ole ratkaisua. Reaalilukujen tapauksessa on siis pääteltävissä, että (täydellisyysaksiooman poissulkemisen jälkeen) asian on liityttävä jollakin epätriviaalilla tavalla järjestysaksioomiin vaikka kyseessä ei ole epäyhtälön ratkaiseminen! lgebran ammattilaisille edellä kuvatussa ei tietenkään ole mitään uutta, eivätkä matemaatikot yleensäkään ole kiinnostuneita näin alkeellisten yhtälöiden ratkaisemisesta. ästä on seurannut se, ettei perinteisillä matematiikan kursseilla käytännössä ole jäänyt aikaa tällaisten kysymysten läpikäymiseen. Matematiikanopettajan kannalta kyse on kuitenkin mitä mielenkiintoisimmasta asiasta. Didaktista matematiikkaa voisikin olla juuri sellainen toiminta, jossa keskitytään selvittämään jo kauan sitten vakiintuneiden matematiikan perusteorioiden keskeisten käsitteiden ja määritelmien välisiä enemmän tai vähemmän ilmeisiä yhteyksiä, erityisesti sellaisissa kysymyksissä, jotka liittyvät tavalla tai toisella matematiikan opettamiseen koulussa. Vaikka näihin kysymyksiin syventyminen ei tuottaisikaan uutta merkittävää matematiikkaa, se voi hyvinkin lisätä sellaista matematiikan rakenteiden ymmärtämystä, joka edistää huomattavasti matematiikan didaktiikan tieteellistä tutkimusta. Matematiikkaa on olemassa myös ilman calculusta Millaista matematiikkaa voidaan harjoittaa kunnolla piirtämällä, soittamalla tai muulla havainnollisella tavalla? oisin sanoen missä määrin matematiikkaa on mahdollista ymmärtää ilman hyvää laskutaitoa? simerkiksi yhden muuttujan reaalianalyysin rajankäyntiprosesseja voidaan hyvin havainnollistaa ns. viipalekuvioiden avulla: jonolla x n on raja-arvo a, jos ja vain jos ko. jonon kuvalla on se ominaisuus, että minkä tahansa vaakasuoran viipaleen eli kahden horisontaalisen suoran välisen alueen, joka sisältää myös suoran y=a, ulkopuolelle jää vain äärellinen määrä jonon alkioita. 33 iirroksen avulla ei tietenkään voida konkreettisesti näyttää jonon koko loppuosaa. ilti kuvan avulla voidaan paljon pelkkää puhetta tai kirjoitettua tekstiä helpommin kertoa, mistä jonon raja-arvon määritelmässä on todella kysymys. ämän lähestymistavan avulla voidaan kätevästi siirtyä jonojen raja-arvojen tarkastelusta funktioiden raja-arvotarkasteluun ja päinvastoin. Myös jatkuvien funktioiden laskusääntöjen ja peruslauseiden tarkastelut voidaan suorittaa varsin yksityiskohtaisesti pelkästään suorakulmioiden, viipaleiden ja reaalilukujen täydellisyysaksiooman avulla [12].

5 Ä 34 Kun määritelmien ja kuvioiden välinen yhteys ymmärretään kunnolla, paljastuu ettei kuvioajattelussa ole kyse matemaattisesta täsmällisyydestä tai sen abstraktiudesta luopumisesta. Kokemustemme valossa vaikuttaa myös siltä, että kuvioajattelu auttaa opiskelijoita motivoitumaan entistä paremmin perinteisen, ε δ-tekniikan oppimiseen. Vaikka perinteisessäkin matematiikan opetuksessa on käytetty havainnollistavia kuvia, matemaattisen ajattelun ilmaisemista ilman laskukaavoja ei ole vielä tutkittu tarpeeksi. Jos ajatellaan, mikä rooli animaatioilla on jo nyt esim. kemiassa molekyylitason rakenteiden tutkimuksessa, ei liene mahdotonta kuvitella tulevaisuutta, jossa mm. tietokoneohjelmien kehittymisen myötä myös osa matematiikan tutkimuksesta muuttuu entistä visuaalisemmaksi toiminnaksi. Matematiikka on kieli ekä penglerin että nykyajan konstruktivistien käsitysten kanssa yhteensopivaa on sanoa, ettei matematiikan opiskelijankaan kannalta matematiikka ole mikään muuttumaton valmiiksi olemassa oleva objekti vaan hänen ajatustensa muodostama kokonaisuus, joka syntyy ja muuntuu sitä mukaa kun hän kykenee itse luomaan symbolit ja kielen näiden ajatusten ilmaisemiseksi. e, että matemaatikot ja matematiikan opiskelijat kykenevät kommunikoimaan keskenään, perustuu lähinnä oppikirjojen ja opettajien kautta opiskelijoille periytyvään epämääräiseen sopimukseen yhteisten symbolien ja sanojen käytöstä. ällainen sopimus ei tietenkään voi olla missään mielessä universaali, mikä paljastuu jo toteamalla, kuinka eri tavoilla samoja ajatusrakenteita esitetään puhtaassa ja sovelletussa matematiikassa. Koulumatematiikan lähtökohta on tähän mennessä ollut edelliselle lähinnä päinvastainen. ekä koululaisten että heidän opettajiensa matematiikkakuvaa tutkittaessa on paljastunut, että useimmille heistä matematiikka on jotain valmiina annettavaa, ja oppijan tehtävänä on omaksua se sellaisenaan. ämä käsitys on löydettävissä myös monista matematiikan didaktiikan alaan kuuluvista esityksistä, siitäkin huolimatta, että ongelmanratkaisu ja (heikko) konstruktivismi ovat näissä usein käytettyjä käsitteitä [13]. Didaktisen matematiikan kolmantena tehtävänä voidaan pitää matematiikan ja sen opettamisen tarkastelemista ja tutkimista siitä näkökulmasta, että matematiikka on elävä ja muuttuva kieli. Matematiikka on siis jotakin, jota puhutaan ja kirjoitetaan, eikä jokin, johon viitataan. ämän näkökulman vähättely johtaa helposti huolimattomaan matemaattiseen kielenkäyttöön, mikä puolestaan ei voi olla vaikuttamatta esimerkiksi siihen, kuinka kommunikointi opettajan ja oppilaan välillä onnistuu. Matematiikan oppimisvaikeuksien tutkimuksessa on tähän ongelmaan paneuduttu vain vähän. olynomi- ja rationaalilausekkeiden sievennyssääntöjä harjoiteltaessa voidaan huomata, kuinka sievennysoperaatioiden järjestyksen valitseminen vaikuttaa mm. etumerkkivirheiden esiintymistodennäköisyyteen lausekkeita yhdistettäessä. Jos tullaan entistä tietoisemmaksi siitä, mitä todella tarkoitetaan kirjoitettaessa näkyviin sievennyksen eri välivaiheita, tullaan entistä tietoisemmaksi myös niistä ratkaisustrategioista, jotka johtavat turvallisimmin oikeaan lopputulokseen. Jo tällaisen näkökulman omaksuminen muuttaa ulkoisesti entisenlaisena pysyvän koulumatematiikan mekaanisesta ja itsetarkoituksellisesta toiminnasta ajattelua edistäväksi yleishyödylliseksi matematiikaksi. Didaktinen matematiikka: siis mitä? Viime vuosina matematiikan kouluopetus on muuttunut dramaattisesti. udet teknologiat ovat tulleet käyttöön, opetussuunnitelmat ovat saaneet uuden luonteen ja opetuksen tavoitteita ja yhteiskunnallista merkittävyyttä on arvioitu uudelleen. Vanhemmat, kouluviranomaiset ja poliitikot odottavat matematiikanopettajilta paljon entistä suurempaa joustavuutta ja taitavuutta monenmoisista, jopa keskenään ristiriitaisista tavoitteista ja paineista selviytymisessä. ilanne on samantapainen kaikilla koulutuksen tasoilla, paitsi että matematiikan opetus yliopistojen matematiikan laitoksilla on säilynyt suhteellisen muuttumattomana. ieteellinen matematiikka ei näet ole perusluonteeltaan muuttunut ollenkaan samassa määrin eikä samaan suuntaan kuin yleissivistävän koulun tai matematiikkaa soveltavien alojen tarpeet ja odotukset. Matematiikan aineenopettajakoulutuksessa sekä luokanopettajien erikoistumisopinnoissa ja täydennyskoulutuksissa on eri yliopistoissa havaittu olevan tarpeellista kehittää sisällöiltään normaalista tieteellisestä matematiikan peruskoulutuksesta eroavia kursseja. ämä kehitystyö on muuttunut systemaattiseksi ja organisoiduksi toiminnaksi, ja siihen liittyvä tieteellinen tutkimus on käynnistymässä. Näin muodostuvaa uutta akateemista opinalaa on ryhdytty kutsumaan didaktiseksi matematiikaksi.

6 Ä Didaktinen matematiikka on silta matematiikan ja kasvatustieteellisen tutkimuksen välillä. iinä tarkastellaan matematiikkaa kehittyvänä ja muuntuvana tieteenalana, joka on luotu ratkaisemaan erilaisia ongelmia eri kulttuureissa eri aikakausina. Didaktisessa matematiikassa korostetaan, ettei ole mitään ajasta ja paikasta riippumatonta matematiikkaa eikä myöskään mitään pysyviä, ulkopäin annettuja, kertakaikkisia koulumatematiikan sisältöjä. ämän katsontatavan toivotaan rohkaisevan matematiikan didaktiikan tieteellistä tutkimusta suuntautumaan entistä enemmän opetuksen sisältöjen pohdintaan, erityisesti kyseenalaistamaan itsestään selvänä pidetty mekaanisten laskutaitojen keskeisyys opetuksessa. Didaktisessa matematiikassa selvitetään matematiikan perusteorioiden välisiä yksinkertaisia suhteita erityisesti oppimisen ja opettamisen näkökulmasta. ällöin korostuu matematiikan rakenteiden ymmärtämisen tärkeys jo peruslaskutoimituksia opittaessa. Matematiikkaa tarkastellaan historiallisesta näkökulmasta ja korostetaan luovuuden ja jopa taiteellisten piirteiden merkitystä matematiikassa. Matematiikkaa voidaan myös oppia ja opettaa piirtämällä, soittamalla, hahmottelemalla tai muilla havainnollisilla tavoilla. Koska toiminnallisen ja havainnollisen matematiikan ja matemaattisten lausekkeiden välisten yhteyksien ymmärtäminen on keskeistä, didaktisessa matematiikassa matematiikkaa tarkastellaan myös kielenä. rityisesti kiinnitetään huomiota matematiikassa käytettävien sanojen ja symbolien täsmälliseen määrittelyyn sekä matematiikan ja äidinkielen välisiin yhteyksiin. Matematiikan oppimisen ongelmia lähestytään semanttisesta ja semioottisesta näkökulmasta matematiikkaan. ähän liittyy läheisesti eri maiden opetustraditioiden vertailu ja matematiikan opetuksen historian tutkimus. Didaktisen matematiikan yleisenä tehtävänä on matematiikasta tiedottaminen sekä matematiikan opetuksen tavoitteista ja merkityksestä käytävään julkiseen keskusteluun osallistuminen. V : [1] Olli (1941): isteet lopussa, elsinki: Otava, 26. [2] akusanat matematiikka ja suure, Nykysuomen sanakirja, kuudes painos (1978), orvoo: WOY. [3] pengler (1962), 72. eoksen laaja ja asiantunteva analyysi matematiikasta on ajatuksia herättävä. [4] Vala (1979), [5] Lehti (1983), [6] irvasnoro, arja (2003): urosokeus vie rahani!, Kodin kuvalehti nro16, urku: anoma Magazines Finland Oy, [7] ja [8] Joki, Jaakko (2002): lkoluvusta hahmottavaan geometriaan: aineksia geometrian opetukseen erityisesti peruskoulussa, Did. mat. sarja, Joensuu: Joensuun yliopisto, Matematiikan laitos. [9] DidMat/ [10] tutkimus.htm [11] Lehti (1983), 44. [12] Merikoski, Jorma & Markku almetoja & imo ossavainen (2003): Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan, ampere: ampereen yliopisto, Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos. [13] Viittaamme esimerkiksi tutkimuksiin aapasalo (1998), ietilä (2002) ja Ruokamo (2000). KRJLL: aapasalo, Lenni (1998): Oppiminen, tieto ja ongelmanratkaisu, Joensuu: Medusa oftware. Lehti, Raimo (1983): Matematiikan tulo uomeen yliopistolliseksi oppiaineeksi, ROR-M- C4, spoo: elsingin teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laitos. Malaty, George (2003): Johdatus matematiikan rakenteeseen, elsinki: O ietilä, nu (2002): Luokanopettajaopiskelijoiden matematiikkakuva: matematiikkakokemukset matematiikkakuvan muodostajina, elsinki: elsingin yliopiston opettajankoulutuslaitos. Ruokamo, eli (2000): Matemaattinen lahjakkuus ja matemaattisten sanallisten ongelmanratkaisutaitojen kehittyminen teknologiaperustaisessa oppimisympäristössä, elsinki: elsingin yliopiston opettajankoulutuslaitos. pengler, Oswald (1962): Länsimaiden perikato (suom. Yrjö Massa), Rauma: Kirjayhtymä. Vala, Klaus (1979): akusana matematiikka, Otavan uuri nsyklopedia, Keuruu: Otava, Kirjoittajista uomas orvali on matematiikan professori Joensuun yliopistossa ja imo ossavainen matematiikan lehtori Joensuun yliopiston avonlinnan opettajankoulutuslaitoksessa. 35