Merkintöjä planeettojen liikkeistä jo muinaisissa nuolenpääkirjoituksissa. Geometriset mallit vielä alkeellisia.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Merkintöjä planeettojen liikkeistä jo muinaisissa nuolenpääkirjoituksissa. Geometriset mallit vielä alkeellisia."

Transkriptio

1 Johdanto Historiaa Antiikin aikaan Auringon ja Kuun lisäksi tunnettiin viisi kappaletta, jotka liikkuivat tähtitaivaan suhteen: Merkurius, Venus, Mars, Jupiter ja Saturnus. Näitä kutsuttiin planeetoiksi kreikan vaeltajaa tarkoittavan sanan mukaisesti. Myös Aurinko ja Kuu luettiin planeettoihin 7-päiväinen viikko. Merkintöjä planeettojen liikkeistä jo muinaisissa nuolenpääkirjoituksissa. Geometriset mallit vielä alkeellisia. Maan pallomainen muoto: Pythagoralaiset 500-luvulla eaa. Maan koko: Eratosthenes 200-luvulla eaa. Eudoksos: planeettaliikkeen pallonkuorimalli. Aristoteles 300-luvulla eaa: kuunylisessä maailmassa kaikki on ikuista ja muuttumatonta, vain ympyräliike on mahdollista.

2

3 Apollonios 200-luvulla eaa.: episyklimalli planeetta S episykli Maa

4 Ptolemaioksen Almagest noin vuonna 150. Planeettojen liikemallit melko mutkikkaita, eivät enää puhtaita ympyräliikkeitä. Tarkkuus jo kohtuullinen. Vas: ekvanttiliike, M=Maa, MC=CE, kulma α kasvaa tasaisella nopeudella. Oik: Merkuriuksen liike, varjostetut kulmat ovat samoja. P P M C E α M E

5 Planeettojen liikkeet näyttävät olevan yhteydessä Aurinkoon. Kopernikuksen Commentariolus noin 1512: aurinkokeskinen aurinkokunnan malli. Kopernikuksen De Revolutionibus 1543: Almagestin nykyaikaistettu versio.

6 Tyko Brahe: tarkimmat havainnot ennen optisia apuvälineitä. Malli, jossa planeetat kiertävät Aurinko, mutta Aurinko Maata.

7 Johannes Kepler päätyi planeettaliikkeen lakeihin tutkimalla Tykon havaintoja erityisesti Marsista. Astronomia nova 1609, kaksi planeettaliikkeen lakia: 1) Planeetan rata on ellipsi, jonka toisessa polttopisteessä Aurinko on. 2) Pintalaki: Planeetasta Aurinkoon piirretty viiva pyyhkäisee yhtä pitkien aikojen kuluessa yhtä suuret pinta-alat. Harmonices mundi 1619, kolmas laki: P 2 = a 3 (P kiertoaika vuosina a rataellipsin pisimmän akselin puolikas yksikkönä Maan etäisyys Auringosta).

8 Galilei: ensimmäiset (?) kaukoputkihavainnot, Sidereus nuncius Aristotelismin vastaisia havaintoja: Kuun vuoret, Venuksen vaiheet, Jupiterin kuut.

9 Newton: Principia mathematica Aloitti taivaanmekaniikan voimakkaan kehityksen. Kirjassa käytetään klassista geometriaa, vaikka Newton oli jo kehittänyt differentiaali- ja integraalilaskentaa.

10 William Herschel: ensimmäinen antiikin ajan jälkeen löydetty planeetta Uranus 1781, havaintojen ulottaminen aurinkokunnan ulkopuolelle.

11 1700- ja 1800-luvuilla voimakas taivaanmekaniikan kehittyminen. Mm. Delauneyn kuuteoria.

12 1800-luvun puolivälistä spektroskopia ja astrofysiikka tähtien fysikaaliset ominaisuudet. Auinkokunnan tutkimuksen merkitys vähenee luvulta alkaen avaruustähtitiede: tähtitiede, joka perustuu satelliiteista tehtäviin havaintoihin uudet aallonpituusalueet. Myös tarkempia havaintoja ilmakehän ulkopuolelta ja luotainten lähihavaintoja aurinkokunnan kohteista. Tietokoneet numeerinen taivaanmekaniikan tutkimus. Havainnot muista planeettajärjestelmistä uusia ajatuksia aurinkokunnan kehityksestä. Maan lähelle tulevien pienkappaleiden aiheuttama uhka käytännön mielenkiinto.

13 Vasemmalla sisimmät planeetat. Nuoli kuvaa liikettä yhden kuukauden aikana. Oikealla uloimmat planeetat. Nuoli vastaa liikettä 10 vuodessa. Maa Venus Merkurius Mars Saturnus Jupiter Uranus Pluto Neptunus

14 Aurinkokunnan etäisyydet Aurinkokunnan etäisyydet on havainnollisinta ilmoittaa käyttämällä mittayksikkönä Maan ja Auringon välistä etäisyyttä, astronomista yksikköä, 1 AU = m. Lähin tähti, Proxima Centauri, on runsaan AU:n päässä. Tarkkaan ottaen astronominen yksikkö on määritelmän mukaan sellaisen planeetan radan isoakselin puolikas, jolla ei ole lainkaan massaa, mutta jonka kiertoaika on sama kuin Maan. Koska myös Maan oma massa vaikuttaa sen liikkeeseen, Maan radan isoakselin puolikas on hieman astronomista yksikköä suurempi ( AU).

15 Aurinkokunnan kohteet IAU esitti vuoden 2006 yleiskokouksessaan aurinkokunnen eri kohteiden määritelmät. Kappale on planeetta, jos: (1) Se kiertää Aurinkoa. (2) Se on niin massiivinen, että sen oma painovoima on muokannut sen likimain pallomaiseksi. (3) Se on aiheuttamillaan häiriöillä poistanut muut kappaleet ratansa lähistöltä. Tämän säännön perusteella aurinkokunnassa on 8 planeettaa: Merkurius, Venus, Maa, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus.

16 Jos kappale toteuttaa ehdot (1) ja (2) mutta ei ehtoa (3), se on kääpiöplaneetta. Tämän säännön mukaan Plutosta tuli kääpiöplaneetta. Muita ovat ensimmäisenä löytynyt asteroidi Ceres, Eris, Haumea ja Makemake. Jos kappale toteuttaa vain ehdon (1), se on pienkappale. Pienkappaleita ovat asteroidit, komeetat ja meteoroidit. Jos kappale ei täytä ehtoa (1), vaan kiertää esimerkiksi jotakin planeetta, se on kuu eikä planeetta olipa se miten iso tahansa.

17 Ongelmia: Kuinka todetaan kaukaisen kappaleen pallomainen muoto? Miten laajalta alueelta ja miten tyhjäksi radan ympäristö pitäisi siivota? Miten kuut ja rengasjärjestelmän pienet kappaleet erotetaan toisistaan? planeetat kääpiö planeetat pienkappaleet jättiläis planeetat maan kaltaiset planeetat asteroidit ja komeetat meteoroidit Saturnus Jupiter Uranus Neptunus Maa Venus Mars Merkurius Pluto Eris Ceres Pallas Vesta Juno Hektor Eros Amor läpimitta km km 1000 km 100 km 10 km 1 km 100 m 10 m 1 m

18 Planeettojen näennäiset liikkeet C B A a) C B A b) a) Marsin näennäinen rata taivaalla vuoden 1995 opposition aikana. b) Maan ja Marsin keskinäiset asemat a-kohdan tapauksessa. Marsin Maasta havaitut suunnat muodostavat äärettömän kauas projisoituina a-kohdan kuvion.

19 Synodinen kiertoaika on aika, jonka jälkeen kahden planeetan keskinäinen asema toistuu samanlaisena. Esim. kahden peräkkäisen opposition tai konjunktion välinen aika. Sideerinen kiertoaika on todellinen kiertoaika tähtien suhteen; sen kuluessa planeetta on liikkunut radallaan 360. Tavallisesti planeetat kulkevat taivaalla tähtiin verrattuna itään päin eli suoraan suuntaan (siis vastapäivään). Ulkoplaneetta on oppositiossa ollessaan täsmälleen vastakkaisessa suunnassa kuin Aurinko. Almanakoissa oppositio määritellään ajanhetkenä, jolloin planeetan ja Auringon ekliptikaaliset pituudet poikkeavat toisistaan tasan 180. Kun Maa ohittaa ulkoplaneetan, sen liike näyttää kääntyvän vastakkaiseksi, ja se etenee jonkin matkaa länteen päin taantuvaan eli retrogradiseen suuntaan. Tehtyään edestakaisen mutkan tai silmukan planeetta kääntyy taas liikkumaan suoraan suuntaan. Kun planeetta on samassa suunnassa kuin Aurinko (molempien pituudet ovat samat), se on konjunktiossa. Planeetta ei aina peity Auringon taakse, koska planeettojen radat ovat kallellaan Maan ratatasoon nähden.

20 Kulma α (Aurinko planeetta Maa) on nimeltään vaihekulma ja kulma Aurinko Maa planeetta on elongaatio. Ulkoplaneetoilla vaihekulma pysyy sitä pienemmissä rajoissa, mitä kauemmas Auringosta ja maapallosta mennään. Marsille α voi olla korkeintaan 41, Jupiterille 11 ja Neptunukselle vain 2. konjunktio yläkonjunktio suurin itäinen elongaatio suurin läntinen elongaatio α alakonjunktio Maa oppositio

21 Koska Merkurius ja Venus kiertävät Maan radan sisäpuolella, niillä on Maasta nähtynä samanlaiset vaiheet kuin Kuulla. Vaihekulmasta riippuu, kuinka suuri osa planeetan pinnasta näkyy valaistuna. Sisäplaneetoilla α voi saada kaikki arvot väliltä [0,180 ], ja siksi esim. Venus voidaan nähdä täysivenuksena (kun se on Auringon takana), uusivenuksena (alakonjunktion lähellä) ja kaikissa vaiheissa tältä väliltä.

22 Sideerinen ja synodinen kiertoaika Kahden peräkkäisen opposition (tai sisäplaneetan alakonjunktion) välinen aika, tai yleensä aikaväli, jonka jälkeen kahden planeetan keskinäinen asema toistuu samanlaisena, on nimeltään synodinen kiertoaika. Sideerinen kiertoaika on kiertoaika tähtien suhteen; sen kuluessa planeetta on liikkunut radallaan 360. Sideerinen kiertoaika on kullekin planeetalle ominainen suure, mutta synodinen kuvaa aina kahden eri planeetan samanlaisten keskinäisten asemien aikaväliä. Olkoon sisemmän planeetan sideerinen kiertoaika P 1 ja ulomman P 2 sekä niiden keskinäinen synodinen kiertoaika P 1,2. Planeettojen keskimääräiset kulmanopeudet eli keskiliikkeet ovat tällöin 2π/P 1 ja 2π/P 2. Kun yksi synodinen jakso on kulunut, sisempi planeetta on ehtinyt tehdä radallaan yhden kokonaisen kierroksen enemmän kuin ulompi, joten planeettojen liikkumien kulmien välillä vallitsee yhtälö P 1,2 2π P 1 = 2π + P 1,2 2π P 2, joka sieventyy muotoon 1 P 1,2 = 1 P 1 1 P 2.

23 Venuksen liike kahden peräkkäisen yläkonjunktion välisenä aikana eli yhden synodisen jakson aikana

24 Marsin liike kahden peräkkäisen yläkonjunktion välillä eli yhden synodisen jakson aikana

25 Vuorokauden pituus Planeetan pyörähdysaika tarkoittaa yleensä sideeristä pyörähdysaikaa. Vuorokauden pituudella puolestaan tarkoitetaan pyörähdysaikaa Auringon suhteen. Olkoon planeetan kiertoaika Auringon ympäri on P, sideerinen pyörähdysaika τ ja synodinen vuorokausi τ. Sideeristen vuorokausien määrä vuodessa P/τ on yhtä suurempi kuin synodisten vuorokausien määrä P/τ: eli P τ P τ = 1 1 τ = 1 τ 1 P. Tämä pätee, jos planeetan pyörimissuunta on sama kuin sen kiertosuunta Auringon ympäri (eli vastapäivään). Jos planeetta pyörii päinvastaiseen suuntaan eli retrogradisesti, vuodessa on synodisia vuorokausia yksi enemmän kuin sideerisiä, jolloin yhtälö tulee muotoon 1 τ = 1 τ + 1 P. Maapallon tapauksessa P = d ja τ = 1 d, jolloin yhtälöstä voidaan ratkaista τ = d = 23 h 56 min 4 s aurinkoaikaa.

26 Ylikulut. Merkuriuksen tai Venuksen kulkua Auringon editse kutsutaan ylikuluksi (transit). Koska planeettojen radat ovat kallellaan ekliptikaan nähden, ylikulku voi tapahtua ainoastaan planeetan ollessa lähellä solmua ja samalla alakonjunktiossa. Merkuriuksen ylikulkuja tapahtuu keskimäärin 13 kertaa vuosisadassa. Viimeisin Merkuriuksen ylikulku sattui ; seuraavat ovat , , ja Venuksen ylikulut ovat paljon harvinaisempia. Viimeksi sellainen nähtiin Seuraava tapahtuu , mutta sitä seuraavat vasta , ja Kahta 1700-luvulla sattunutta Venuksen ylikulkua käytettiin astronomisen yksikön pituuden määrityksessä. Mm. suomalainen Anders Planman havaitsi ylikulkua Kajaanissa.

27 Planeettojen rakenne Maankaltaiset planeetat (Merkurius, Venus, Maa, Mars): - Kiinteä pinta - Koostumus pääasiassa kiveä ja metalleja. Sisäosien rakennetta voidaan tutkia maanjäristysaaltojen avulla. Rauta-nikkeliydin, jonka ympärillä lähinnä silikaateista koostuva vaippa ja uloimpana ohut kuori. - Korkeintaan ohut ilmakehä. - Vain vähän kuita.

28 Törmäyskraatterien määrä kappaleen pinnalla kertoo pinnan iän: mitä enemmän kraattereita sitä vanhempi pinta. Ylhäällä vasemmalla Merkuriuksen, oikealla Kuun, alhaalla vasemmalla Jupiterin kuun Europan, keskellä Ganymedeen ja oikealla Kalliston pintaa. Europan pinta on nuorin, Kalliston vanhin.

29 Jättiläisplaneetat (Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus) - Paljon suurempia kuin maankaltaiset. - Alhainen tiheys. - Pääasiassa vetyä ja heliumia. - Pieni kiinteä ydin, jota ympäröivät metallinen vety sekä nestemäinen vety ja helium. - Uloimpana paksu ilmakehä, jonka pilvipeite muodostaa näkyvän pinnan. - Lukuisia kuita ja pienistä hiukkasista koostuva rengasjärjestelmä. - Säteilevät enemmän energiaa kuin saavat Auringosta.

30 Jupiter atmosfääri molekulaarista vetyä metallista vetyä kiveä Neptunus Maa Saturnus Uranus

7. AURINKOKUNTA. Miltä Aurinkokunta näyttää kaukaa ulkoapäin katsottuna? (esim. lähin tähti n. 300 000 AU päässä

7. AURINKOKUNTA. Miltä Aurinkokunta näyttää kaukaa ulkoapäin katsottuna? (esim. lähin tähti n. 300 000 AU päässä 7. AURINKOKUNTA Miltä Aurinkokunta näyttää kaukaa ulkoapäin katsottuna? (esim. lähin tähti n. 300 000 AU päässä Jupiter n. 4"päässä) = Keskustähti + jäännöksiä tähden syntyprosessista (debris) = jättiläisplaneetat,

Lisätiedot

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. 1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on

Lisätiedot

Planeetan määritelmä

Planeetan määritelmä Planeetta on suurimassainen tähteä kiertävä kappale, joka on painovoimansa vaikutuksen vuoksi lähes pallon muotoinen ja on tyhjentänyt ympäristönsä planetesimaalista. Sana planeetta tulee muinaiskreikan

Lisätiedot

Kosmos = maailmankaikkeus

Kosmos = maailmankaikkeus Kosmos = maailmankaikkeus Synty: Big Bang, alkuräjähdys 13 820 000 000 v sitten Koostumus: - Pimeä energia 3/4 - Pimeä aine ¼ - Näkyvä aine 1/20: - vetyä ¾, heliumia ¼, pari prosenttia muita alkuaineita

Lisätiedot

Keskeisvoimat. Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin!

Keskeisvoimat. Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin! Keskeisvoimat Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin! Historiallinen ja tärkeä esimerkki on planeetan liike Auringon ympäri. Se on 2 kappaleen ongelma, joka voidaan aina redusoida keskeisliikkeeksi

Lisätiedot

Aloitetaan kyselemällä, mitä kerholaiset tietävät aurinkokunnasta ja avaruudesta ylipäänsä.

Aloitetaan kyselemällä, mitä kerholaiset tietävät aurinkokunnasta ja avaruudesta ylipäänsä. LUMATE-tiedekerhokerta, suunnitelma AIHE: AURINKOKUNTA Huom! Valmistele maitopurkit valmiiksi. Varmista, että sinulla on riittävästi soraa jupiteria varten. 1. Alkupohdintaa Aloitetaan kyselemällä, mitä

Lisätiedot

Ajan osasia, päivien palasia

Ajan osasia, päivien palasia Ajan osasia, päivien palasia Ajan mittaamiseen tarvitaan liikettä. Elleivät taivaankappaleet olisi määrätyssä liikkeessä keskenään, ajan mittausta ei välttämättä olisi syntynyt. Säännöllinen, yhtäjaksoinen

Lisätiedot

Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN

Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN Oppilaiden ennakkokäsityksiä avaruuteen liittyen Aurinko kiertää Maata Vuodenaikojen vaihtelu johtuu siitä,

Lisätiedot

Aurinkokunnan tutkimuksen historiaa

Aurinkokunnan tutkimuksen historiaa Aurinkokunnan tutkimuksen historiaa Maan koko ja muoto Vetovoimalaki ja aurinkokunnan koko Planeettojen löytyminen Planeettojen rakenne ja koostumus Tutkimuslaitteiden ja menetelmien kehittyminen Aurinkokunnan

Lisätiedot

Pimennys- yms. lisäsivut Maailmankaikkeus nyt -kurssi

Pimennys- yms. lisäsivut Maailmankaikkeus nyt -kurssi Pimennys- yms. lisäsivut Maailmankaikkeus nyt -kurssi Asko Palviainen Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Ajanlasku Kuukalenteri vuodessa 12 kuu-kuukautta ei noudata vuodenaikoja nykyisistä kalentereista

Lisätiedot

Planetologia: Tietoa Aurinkokunnasta

Planetologia: Tietoa Aurinkokunnasta Planetologia: Tietoa Aurinkokunnasta Kuva space.com Tieteen popularisointi Ilari Heikkinen 4.5.2016 Aurinkokunnan synty ja rakenne Aurinkokunta syntyi 4,5 miljardia vuotta sitten valtavan tähtienvälisen

Lisätiedot

SATURNUS. Jättiläismäinen kaasuplaneetta Saturnus on aurinkokuntamme toiseksi suurin planeetta heti Jupiterin jälkeen

SATURNUS. Jättiläismäinen kaasuplaneetta Saturnus on aurinkokuntamme toiseksi suurin planeetta heti Jupiterin jälkeen SATURNUKSEN RENKAAT http://cacarlsagan.blogspot.fi/2009/04/compare-otamanho-dos-planetas-nesta.html SATURNUS Jättiläismäinen kaasuplaneetta Saturnus on aurinkokuntamme toiseksi suurin planeetta heti Jupiterin

Lisätiedot

Tähtitieteen historiaa

Tähtitieteen historiaa Tähtitiede Sisältö: Tähtitieteen historia Kokeellisen tiedonhankinnan menetelmät Perusteoriat Alkuräjähdysteoria Gravitaatiolaki Suhteellisuusteoria Alkuaineiden syntymekanismit Tähtitieteen käsitteitä

Lisätiedot

Maan ja avaruuden välillä ei ole selkeää rajaa

Maan ja avaruuden välillä ei ole selkeää rajaa Avaruus Mikä avaruus on? Pääosin tyhjiön muodostama osa maailmankaikkeutta Maan ilmakehän ulkopuolella. Avaruuden massa on pääosin pimeässä aineessa, tähdissä ja planeetoissa. Avaruus alkaa Kármánin rajasta

Lisätiedot

Jupiterin magnetosfääri. Pasi Pekonen 26. Tammikuuta 2009

Jupiterin magnetosfääri. Pasi Pekonen 26. Tammikuuta 2009 Jupiterin magnetosfääri Pasi Pekonen 26. Tammikuuta 2009 Johdanto Magnetosfääri on planeetan magneettikentän luoma onkalo aurinkotuuleen. Magnetosfäärissä plasman liikettä hallitsee planeetan magneettikenttä.

Lisätiedot

Luento 4: kertaus edelliseltä luennolta

Luento 4: kertaus edelliseltä luennolta Luento 4: kertaus edelliseltä luennolta Liikeyhtälön ratkaisu: kartioleikkaus (Kepler I r = k2 /µ + e cosf = a ǫ2 +ǫ cos f k = k ǫ < ellipsi, negativinen energia a = µ 2h ǫ = parabeli, nolla energia ǫ

Lisätiedot

Pienkappaleita läheltä ja kaukaa

Pienkappaleita läheltä ja kaukaa Pienkappaleita läheltä ja kaukaa Karri Muinonen 1,2 1 Fysiikan laitos, Helsingin yliopisto 2 Geodeettinen laitos Planetaarinen geofysiikka, luento 7. 2. 2011 Johdantoa Tänään 7. 2. 2011 tunnetaan 7675

Lisätiedot

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö Taivaanmekaniikkaa kaavojen johto, yksityiskohdat yms. ks. Kattunen, Johdatus taivaanmekaniikkaan tai Kattunen, Donne, Köge, Oja, Poutanen: Tähtitieteen peusteet tai joku muu tähtitieteen/taivaanmekaniikan

Lisätiedot

LUENTO 3: KERTAUS EDELLISELTÄ LUENNOLTA

LUENTO 3: KERTAUS EDELLISELTÄ LUENNOLTA LUENTO 3: KERTAUS EDELLISELTÄ LUENNOLTA Kahden kappaleen suhteellisen liikkeen yhtälö: R m 2 R = µ R r 3 jossa µ = G(m 1 + m 2 ) Liikeyhtälön integraalit m 1 R 1 R 2 k = R R suhteellisen liikkeen imp.mom/massayksikkö

Lisätiedot

http://www.space.com/23595-ancient-mars-oceans-nasa-video.html

http://www.space.com/23595-ancient-mars-oceans-nasa-video.html http://www.space.com/23595-ancient-mars-oceans-nasa-video.html Mars-planeetan olosuhteiden kehitys Heikki Sipilä 17.02.2015 /LFS Mitä mallit kertovat asiasta Mitä voimme päätellä havainnoista Mikä mahtaa

Lisätiedot

2.7.4 Numeerinen esimerkki

2.7.4 Numeerinen esimerkki 2.7.4 Numeerinen esimerkki Karttusen kirjan esimerkki 2.3: Laske Jupiterin paikka taivaalla..2. Luennoilla käytetty rataelementtejä a, ǫ, i, Ω, ω, t Ω nousevan solmun pituus = planeetan nousevan solmun

Lisätiedot

5.13 Planetaarinen liike, ympyräradat

5.13 Planetaarinen liike, ympyräradat 5.13 Planetaarinen liike, ympyräradat Muistellaan menneitä Jo peruskoulussa lienee opetettu tämä Newtonin gravitaatiolaki kahden kappaleen välisestä gravitaatiovoimasta: Tässä yhtälössä G on gravitaatiovakio

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Tähtitieteen LUMA-työpaja

Tähtitieteen LUMA-työpaja Tähtitieteen LUMA-työpaja (Ohje työpajaan, jota käsiteltiin MAOL:in syyspäivillä 2016) Pertti Rautiainen Tähtitieteen tutkimusyksikkö Oulun yliopisto Tähtitieteen LUMA-työpaja: Maa on planeetta taustatietoa

Lisätiedot

Copyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.

Copyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoria Knight Ch. 13 Saturnuksen renkaat koostuvat lukemattomista pölyhiukkasista ja jääkappaleista, suurimmat rantapallon kokoisia. Lisäksi Saturnusta kiertää ainakin 60 kuuta. Niiden

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,

Lisätiedot

Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi

Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi Panu Luosto 23. marraskuuta 2007 3 4 putki 1 2 α α+1 α+2 α+3 0 K 1 kehä K 2 K 3 K 4 Lähdeartikkeli Boulinier, C., Petit, F. ja Villain, V., When graph

Lisätiedot

Sir Isaac Newton (Woolsthorpe, Lincolnshire 25.12.1642 - Kensington, Lontoo 20.3.1727)

Sir Isaac Newton (Woolsthorpe, Lincolnshire 25.12.1642 - Kensington, Lontoo 20.3.1727) Sir Isaac Newton (Woolsthorpe, Lincolnshire 25.12.1642 - Kensington, Lontoo 20.3.1727) Newton pääsi 18-vuotiaana Cambridgen Trinity Collegeen ja saavutti suurimmat saavutuksensa jo 23-24- vuotiaana, jolloin

Lisätiedot

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka

Lisätiedot

Muista, että ongelma kuin ongelma ratkeaa yleensä vastaamalla seuraaviin kolmeen kysymykseen: Mitä osaan itse? Mitä voin lukea? Keneltä voin kysyä?

Muista, että ongelma kuin ongelma ratkeaa yleensä vastaamalla seuraaviin kolmeen kysymykseen: Mitä osaan itse? Mitä voin lukea? Keneltä voin kysyä? Suomi-Viro maaotteluun valmentava kirje Tämän kirjeen tarkoitus on valmentaa tulevaa Suomi-Viro fysiikkamaaottelua varten. Tehtävät on valittu myös sen mukaisesti. Muista, että ongelma kuin ongelma ratkeaa

Lisätiedot

Syntyikö maa luomalla vai räjähtämällä?

Syntyikö maa luomalla vai räjähtämällä? Syntyikö maa luomalla vai räjähtämällä? Tätä kirjoittaessani nousi mieleeni eräs tuntemani insinööri T. Palosaari. Hän oli aikansa lahjakkuus. Hän oli todellinen nörtti. Hän teki heti tietokoneiden tultua

Lisätiedot

Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 8 (4. ja 5. luokka)

Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 8 (4. ja 5. luokka) Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 8 3 pistettä 1. Missä kuviossa mustia kenguruita on enemmän kuin valkoisia kenguruita? Kuvassa D on 5 mustaa kengurua ja 4 valkoista. 2. Nelli haluaa rakentaa samanlaisen

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen pk1 luento 12, Astrometria. Kalvot: Jyri Näränen, Mikael Granvik & Veli-Matti Pelkonen

Havaitsevan tähtitieteen pk1 luento 12, Astrometria. Kalvot: Jyri Näränen, Mikael Granvik & Veli-Matti Pelkonen Havaitsevan tähtitieteen pk1 luento 12, Astrometria Kalvot: Jyri Näränen, Mikael Granvik & Veli-Matti Pelkonen 12. Astrometria 1. 2. 3. 4. 5. Astrometria Meridiaanikone Suhteellinen astrometria Katalogit

Lisätiedot

yyyyyyyyyyyyyyyyy Tehtävä 1. PAINOSI AVARUUDESSA Testaa, paljonko painat eri taivaankappaleilla! Kuu kg Maa kg Planeetta yyy yyyyyyy yyyyyy kg Tiesitk

yyyyyyyyyyyyyyyyy Tehtävä 1. PAINOSI AVARUUDESSA Testaa, paljonko painat eri taivaankappaleilla! Kuu kg Maa kg Planeetta yyy yyyyyyy yyyyyy kg Tiesitk I LUOKKAHUONEESSA ENNEN TIETOMAA- VIERAILUA POHDITTAVIA TEHTÄVIÄ Nimi Luokka Koulu yyyyyyyyyy Tehtävä 1. ETSI TIETOA PAINOVOIMASTA JA TÄYDENNÄ. TIETOA LÖYDÄT MM. PAINOVOIMA- NÄYTTELYN VERKKOSIVUILTA. Painovoima

Lisätiedot

OPETTAJAN MATERIAALI YLÄKOULUN OPETTAJALLE

OPETTAJAN MATERIAALI YLÄKOULUN OPETTAJALLE OPETTAJAN MATERIAALI YLÄKOULUN OPETTAJALLE Tähän materiaaliin on koottu oppilaille näytettävään diaesitykseen tarkoitettua lisämateriaalia. Tummennetut tekstit ovat lisätietoja jokaista diaa varten ja

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio

Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Ajankohtaista Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja

Lisätiedot

TÄHTITIETEEN PERUSTEET (8OP)

TÄHTITIETEEN PERUSTEET (8OP) TÄHTITIETEEN PERUSTEET (8OP) HEIKKI SALO, KEVÄT 2013 (heikki.salo@oulu.fi) Kurssin sisältö/alustava aikataulu: (Luennot pe 12-14 salissa FY 1103) PE 18.1 1. Historiaa/pallotähtitiedettä I to 24.1 Kollokvio

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

PÄIVÄNVALO. Lue alla oleva teksti ja vastaa sen jäljessä tuleviin kysymyksiin.

PÄIVÄNVALO. Lue alla oleva teksti ja vastaa sen jäljessä tuleviin kysymyksiin. ÄIVÄNVALO Lue alla oleva teksti ja vastaa sen jäljessä tuleviin kysymyksiin. ÄIVÄNVALO 22. KSÄKUUTA 2002 Tänään, kun pohjoisella pallonpuoliskolla juhlitaan vuoden pisintä päivää, viettävät australialaiset

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012

766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012 766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012 Gravitaatio, liikemäärämomentti, ellipsiradat T 1: Oleta, että Marsin kuu Phobos kiertää Marsia ympyrärataa pitkin. Ympyrän säde on 9380 km ja kiertoaika

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

DIFFERENTIAALIYHTÄLÖN NUMEERISESTA RATKAISEMISESTA 2 1,5 0,5 -0,5 -1,5-2

DIFFERENTIAALIYHTÄLÖN NUMEERISESTA RATKAISEMISESTA 2 1,5 0,5 -0,5 -1,5-2 Differentiaaliyhtälön numeerisesta ratkaisemisesta Olkoot D R 2 alue ja r, f, g : D R jatkuvia funktioita. Differentiaaliyhtälön y r(x, y) suuntaelementtikenttä on kuvaus D R 2, (x, y) (, r(x, y)). Suuntaelementtikenttä

Lisätiedot

1.4. VIRIAALITEOREEMA

1.4. VIRIAALITEOREEMA 1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen

Lisätiedot

Planetologia: Tietoa Aurinkokunnasta. Kuva space.com

Planetologia: Tietoa Aurinkokunnasta. Kuva space.com Planetologia: Tietoa Aurinkokunnasta Kuva space.com Tieteen popularisointi Ilari Heikkinen 4.5.2016 Aurinkokunnan synty ja rakenne Aurinkokunta syntyi 4,5 miljardia vuotta sitten valtavan tähtienvälisen

Lisätiedot

Komeetan pyrstö Kirkkonummen Komeetta ry:n jäsenlehti No 1/2011

Komeetan pyrstö Kirkkonummen Komeetta ry:n jäsenlehti No 1/2011 Komeetan pyrstö Kirkkonummen Komeetta ry:n jäsenlehti No 1/2011 Maisemakuva on Joutsenen pyrstösulkien alueelta. Kuva liittyy Seppo Ritamäen sivulta 8 alkavaan artikkeliin. KUVIA TAIVAALTA Kuvaaja on Antti

Lisätiedot

Fysiikkaa runoilijoille Osa 1: klassinen fysiikka

Fysiikkaa runoilijoille Osa 1: klassinen fysiikka Fysiikkaa runoilijoille Osa 1: klassinen fysiikka Syksy Räsänen Helsingin yliopisto, fysiikan laitos ja fysiikan tutkimuslaitos www.helsinki.fi/yliopisto 1 Käytännöstä Luennot 6.9.-18.10. ma ja ti kello

Lisätiedot

Muunnokset ja mittayksiköt

Muunnokset ja mittayksiköt Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO

4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO 4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO Magneettivuo Magneettivuo Φ määritellään vastaavalla tavalla kuin sähkövuo Ψ Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alan A pistetulo Φ= B A= BAcosθ

Lisätiedot

AURINKO VALON JA VARJON LÄHDE

AURINKO VALON JA VARJON LÄHDE AURINKO VALON JA VARJON LÄHDE Tavoite: Tarkkaillaan auringon vaikutusta valon lähteenä ja sen vaihtelua vuorokauden ja vuodenaikojen mukaan. Oppilaat voivat tutustua myös aurinkoenergian käsitteeseen.

Lisätiedot

Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio

Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Antti Haarto.05.013 Magneettivuo Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alavektorin A pistetulo Φ B A BAcosθ missä θ on

Lisätiedot

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite 2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite Tämän päivän lukiogeometrian sisältöjä on melkoisesti supistettu siitä, mitä ne olivat joku vuosikymmen sitten. Sisällöistä ei enää kasata sellaista rakennelmaa,

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Esimerkki - Näkymätön kuu

Esimerkki - Näkymätön kuu Inversio-ongelmat Inversio = käänteinen, päinvastainen Inversio-ongelmilla tarkoitetaan (suoran) ongelman ratkaisua takaperin. Arkipäiväisiä inversio-ongelmia ovat mm. lääketieteellinen röntgentomografia

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Jouni Räisänen Helsingin yliopiston fysiikan laitos 15.1.2010 Vuorokauden keskilämpötila Talvi 2007-2008

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian vajavuudesta

Suhteellisuusteorian vajavuudesta Suhteellisuusteorian vajavuudesta Isa-Av ain Totuuden talosta House of Truth http://www.houseoftruth.education Sisältö 1 Newtonin lait 2 2 Supermassiiviset mustat aukot 2 3 Suhteellisuusteorian perusta

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Ilmakehän vaikutus havaintoihin. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Ilmakehän vaikutus havaintoihin. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos Ilmakehän vaikutus havaintoihin Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos kevät 2013 2. Ilmakehän vaikutus havaintoihin Ilmakehän transmissio (läpäisevyys) sähkömagneettisen säteilyn eri aallonpituuksilla 2.

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Tähän EI tarvita Maan pyörimistä. Vuorovesivoima vaikuttaa, vaikka kappaleet putoaisivat suoraan toisiaan kohti.

Tähän EI tarvita Maan pyörimistä. Vuorovesivoima vaikuttaa, vaikka kappaleet putoaisivat suoraan toisiaan kohti. Vuorovesivoima Toisen taivaankappaleen painovoima vaikuttaa kappaleen eri kohtiin eri tavoin. Ero havaitaan vuorovesivoimana, joka aiheuttaa esimerkiksi Maan merien vuorovesipullistumat. Tähän EI tarvita

Lisätiedot

Tähtitaivaan alkeet Juha Ojanperä Harjavalta

Tähtitaivaan alkeet Juha Ojanperä Harjavalta Tähtitaivaan alkeet Juha Ojanperä Harjavalta 14.1.-10.3.2016 Kurssin sisältö 1. Kerta Taivaanpallo ja tähtitaivaan liike opitaan lukemaan ja ymmärtämään tähtikarttoja 2. kerta Tärkeimmät tähdet ja tähdistöt

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Vektorit Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Sisällys Vektorit Nimeäminen Vektorien kertolasku Vektorien yhteenlasku Suuntasopimus Esimerkki: laivan nopeus Vektorit Vektoreilla

Lisätiedot

SUHTEELLISUUSTEORIAN TEOREETTISIA KUMMAJAISIA

SUHTEELLISUUSTEORIAN TEOREETTISIA KUMMAJAISIA MUSTAT AUKOT FAQ Kuinka gravitaatio pääsee ulos tapahtumahorisontista? Schwarzschildin ratkaisu on staattinen. Tähti on kaareuttanut avaruuden jo ennen romahtamistaan mustaksi aukoksi. Ulkopuolinen havaitsija

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 /

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

2.2 Principia: Sir Isaac Newtonin 1. ja 2. laki

2.2 Principia: Sir Isaac Newtonin 1. ja 2. laki Voima se on joka jyllää!, sanottiin ennen. Fysiikassakin voimalla tarkoitetaan jokseenkin juuri sitä, mikä ennenkin jylläsi, joskin täytyy muistaa, että voima ja teho ovat kaksi eri asiaa. Fysiikan tutkimuksen

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, kevät 2007

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, kevät 2007 Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, kevät 2007 Luennoitsijat: FM J. Näränen ja FT T. Hackman Laskuharjoitusassistentti: M. Lindborg Luentoajat: To 12-14, periodit 3-4 Kotisivu: http://www.astro.helsinki.fi/opetus/kurssit/havaitseva

Lisätiedot

Luvun 13 laskuesimerkit

Luvun 13 laskuesimerkit Luvun 13 laskuesimerkit Esimerkki 13.1 Olkoon Cavendishin vaa'an pienen pallon massa m 1 = 0.0100 kg ja suuren pallon m 2 = 0.500 kg (molempia kaksi kappaletta). Miten suuren gravitaatiovoiman F g pallot

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Johdanto

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Johdanto Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Johdanto Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos kevät 2013 Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Luennoitsijat:, Veli-Matti Pelkonen Luentoajat: To 14 16 Laskuharjoitusassistentti:

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Leptonit. - elektroni - myoni - tauhiukkanen - kolme erilaista neutriinoa. - neutriinojen varaus on 0 ja muiden leptonien varaus on -1

Leptonit. - elektroni - myoni - tauhiukkanen - kolme erilaista neutriinoa. - neutriinojen varaus on 0 ja muiden leptonien varaus on -1 Mistä aine koostuu? - kaikki aine koostuu atomeista - atomit koostuvat elektroneista, protoneista ja neutroneista - neutronit ja protonit koostuvat pienistä hiukkasista, kvarkeista Alkeishiukkaset - hiukkasten

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Tähtitaivaan alkeet Juha Ojanperä Harjavalta

Tähtitaivaan alkeet Juha Ojanperä Harjavalta Tähtitaivaan alkeet Juha Ojanperä Harjavalta 14.1.-10.3.2016 Kurssin sisältö 1. Kerta Taivaanpallo ja tähtitaivaan liike opitaan lukemaan ja ymmärtämään tähtikarttoja 2. kerta Tärkeimmät tähdet ja tähdistöt

Lisätiedot

Fysiikan menetelmät ja kvalitatiiviset mallit Rakenneyksiköt

Fysiikan menetelmät ja kvalitatiiviset mallit Rakenneyksiköt Fysiikan menetelmät ja kvalitatiiviset mallit Rakenneyksiköt ISBN: Veera Kallunki, Jari Lavonen, Kalle Juuti, Veijo Meisalo, Anniina Mikama, Mika Suhonen, Jukka Lepikkö, Jyri Jokinen Verkkoversio: http://www.edu.helsinki.fi/astel-ope

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio Sähkömagneettinen induktio Vuonna 1831 Michael Faraday huomasi jotakin, joka muuttaisi maailmaa: sähkömagneettisen induktion. ( Magneto-electricity ) M. Faraday (1791-1867) M.Faraday: Experimental researches

Lisätiedot

VIII LISÄTIETOA 8.1. HAVAINTOVIRHEISTÄ

VIII LISÄTIETOA 8.1. HAVAINTOVIRHEISTÄ 56 VIII LISÄTIETOA 8.1. HAVAINTOVIRHEISTÄ Hyvällä havaitsijalla keskimääräinen virhe tähdenlennon kirkkauden arvioimisessa on noin 0.4 magnitudia silloin, kun meteori näkyy havaitsijan näkökentän keskellä.

Lisätiedot

Havainnoi mielikuviasi ja selitä, Panosta ajatteluun, selvitä liikkeen salat!

Havainnoi mielikuviasi ja selitä, Panosta ajatteluun, selvitä liikkeen salat! Parry Hotteri tutki näkymättömiä voimia kammiossaan Hän aikoi tönäistä pallon liikkeelle pöydällä olevassa ympyrän muotoisessa kourussa, joka oli katkaistu kuvan osoittamalla tavalla. Hän avasi Isaac Newtonin

Lisätiedot

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa Konseptitesti 1 Kysymys

Lisätiedot

Risto Juntunen 28.10.1999

Risto Juntunen 28.10.1999 Risto Juntunen 28.10.1999 Kuten otsikossa lukee, niin Kajaanissa tehtiin tähtitieteen ja Kajaanin aseman mittauksia v. 1761. Dosentti Andreas Planman Upsalan akatemiasta kävi kesäkuussa Kajaanissa seuraamassa

Lisätiedot