802655S KETJUMURTOLUVUT, CONTINUED FRACTIONS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802655S KETJUMURTOLUVUT, CONTINUED FRACTIONS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 207

Sisältö ABSTRACT 3 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 3 2. ESITYKSIÄ SEKÄ TYÖKALUJA................. 3 2.2 BASICS AND REFERENCES/POHJATIEDOT JA LÄHTEITÄ 3 2.3 LÄHTEITÄ:.............................. 4 3 Jakoalgoritmi 4 4 KOKONAISLUVUN KANTAKEHITELMÄT 5 4. Kokonaisluvun b-kantakehitelmä................... 5 4.2 Kokonaisluvun Cantorin kehitelmä................. 5 4.2. Peräkkäisten lukujen digitit/digits of consecutive integers. 7 5 REAALILUVUN KANTAKEHITELMÄT 8 5. Reaaliluvun b-kantakehitelmä/base b-expansion of a real number. 8 5.. Reaaliluvun Cantorkehitelmä................ 5..2 Rationaaliluvun b-kantakehitelmä.............. 5.2 b-kantaesitys/algoritmi........................ 3 5.3 Terminating expansion........................ 4 5.4 Periodic expansion.......................... 6 6 Irrationaaliluvuista 20 6. An irrationality criterion....................... 22 7 Ketjumurtoluvut/Continued fractions 27 7. Äärellinen ketjumurtoluku...................... 27 7.2 Rekursiot............................... 27

7.2. Konvergentit/convergents.................. 29 7.3 Ääretön ketjumurtoluku/innite continued fraction........ 29 7.4 Yksinkertainen ketjumurtoluku................... 29 8 Yksinkertaiset ketjumurtoluvut 30 8. Ketjumurtoalgoritmi......................... 30 8.2 Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut/finite simple continued fractions................................ 34 8.3 Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut............. 38 8.4 Toisen asteen algebralliset luvut................... 44 8.5 Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut............. 45 8.5. Eulerin lause......................... 46 8.5.2 Lagrangen lause........................ 49 9 Paras approksimaatio 55 0 Sovelluksia 60 0. Diofantoksen yhtälöitä........................ 60 Yleiset ketjumurrot 62 2 Suppenemistarkasteluja 63 2. Rekursioitten ratkaisemista..................... 66 3 Irrationaalisuusehtoja 69 4 Transformaatioita 73 5 Kehitelmiä 74 5. Hypergeometriset sarjat....................... 74 5.2 Hypergeometrinen sarja 0 F..................... 76 2

5.3 Kehitelmiä Neperin luvulle...................... 79 6 Irrationaalisuustuloksia 83 6. Irrationaalisuus/lineaarinen riippumattomuus........... 86 7 Lisää kehitelmiä 88 7. F................................... 88 7.2 2 F................................... 88 7.3 π.................................... 89 7.4 e.................................... 89 3

ABSTRACT KETJUMURTOLUVUT, CONTINUED FRACTIONS, NEWERENDING FRAC- TIONS, KETTENBRÜCHEN Ketjumurtolukujen teoria on kiinteä osa matematiikan lukuteoriaa. 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 2. ESITYKSIÄ SEKÄ TYÖKALUJA Luennoilla tarkastelemme aluksi reaalilukujen b-kantaesityksiä ja yksinkertaisia ketjumurtoesityksiä sekä esityksien ominaisuuksia-päättyvä, päättymätön, irrationaalisuus, jaksollisuus, approksimaatio-ominaisuudet. Seuraavaksi tutkitaan yleisiin ketjumurtolukuihin liittyviä rekursiota ja transformaatioita sekä suppenemis- ja irrationaalisuusehtoja. Edelleen tarkastellaan hypergeometristen sarjojen ketjumurtokehitelmiä, joista saadaan tuttujen lukujen kuten Neperin luvun ja piin ketjumurtokehitelmiä. Tutkimus suunnataan myös yleisempiin irrationaalisuuskysymyksiin ja Diofantoksen yhtälöihin. 802655S KETJUMURTOLUVUT/NOPPA LINK. 802655S CONTINUED FRACTIONS/NOPPA LINK. 2.2 BASICS AND REFERENCES/POHJATIEDOT JA LÄHTEITÄ Esitiedot: 4

Pakolliset aineopinnot ja Lukuteorian perusteet. Kurssilla käytetään Lukuteorian perusteet kurssin merkintöjä. Notations and basics of Number Theory from the course: Basics of Number Theory. 2.3 LÄHTEITÄ: Lisa Lorentzen and Haakon Waadeland: Continued Fractions with Applications (992. Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbruchen (93. G.H. Hardy & E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Kenneth H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Number Theory Web/LINK American Mathematical Monthly/LINK 3 Jakoalgoritmi Algebran perusteet: Lause. Olkoot a, b Z ja b 0. Tällöin! q Z ja! r N : a = qb + r, 0 r b. (3. Kun b Z +, niin q = a b. (3.2 5

4 KOKONAISLUVUN KANTAKEHITELMÄT 4. Kokonaisluvun b-kantakehitelmä b-base expansion of an integer: Lause 2. Olkoot b Z 2 ja a N. Tällöin! esitys a = n 0 a n b n, 0 a n b, a n N. (4. Esitystä/representation (4. sanotaan kokonaisluvun b-kantakehitelmäksi. Merkintä. a m...a 0 = (a m...a 0 b = a m b m +... + a b + a 0. (4.2 4.2 Kokonaisluvun Cantorin kehitelmä Cantor expansion of an integer: Lause 3. Olkoot {b, b 2,...} Z 2 ja a N annettu. Tällöin! esitys a = n 0 n a n i= Seurauksena saadaan Cantorin kehitelmä Lause 4. Olkoon a N. Tällöin! Cantorin esitys b i, 0 a n b n+, a n N. (4.3 a = n a n n!, 0 a n n, a n N. (4.4 Lauseen 3 todistus. 6

Jakoalgoritmia toistamalla/by repeating the division algorithm a = q b + a 0, 0 a 0 b ; q = q 2 b 2 + a, 0 a b 2 ; q 2 = q 3 b 3 + a 2, 0 a 2 b 3 ;... ; q s = q s b s + a s, 0 a s b s ; q s = 0 b s+ + a s, 0 a s b s+. Osoitetaan myöhemmin, että tällainen s on olemassa. Siten a =(q 2 b 2 + a b + a 0 =q 2 b 2 b + a b + a 0 =(q 3 b 3 + a 2 b 2 b + a b + a 0 =q 3 b 3 b 2 b + a 2 b 2 b + a b + a 0 =... =a s b s b 2 b +... + a 2 b 2 b + a b + a 0. Sopimuksen mukaan 0 i= b i = (tyhjä tulo=, joten saadaan esitys (4.3. Näytetään vielä, että on olemassa sellainen s N, että q s+ = 0. Meillä oli b k 2 kaikilla k. Siten a = q b + a 0 2q ; q = q 2 b 2 + a 2q 2 ; q 2 = q 3 b 3 + a 2 2q 3 ;... ; q k = q k b k + a k 2q k, 7

josta saadaan q k a 2 k. (4.5 Yksikäsitteisyyden todistus sivuutetaan. Esimerkki. Olkoot b = 3, b 2 = 2, b 3 = 3, b 4 = 2 ja a =. Laskemalla saadaan, että = (2 3 + 3 + 2 = 0 (3 2 3 + (2 3 + 3 + 2 (4.6 on luvun Cantorin kehitelmä kannassa {3, 2, 3, 2} 4.2. Peräkkäisten lukujen digitit/digits of consecutive integers Palataan vielä Cantorin lauseen 3 tarkasteluun. Olkoot {b, b 2,...} Z 2 annettu. Tutkitaan tilannetta a = a 0 + a b + a 2 b b 2 +... + a h b b h +..., a 0 = b,..., a h = b h, a h b h+ 2, (4.7 missä digitit a 0,..., a h ovat maksimissaan. Lasketaan a + = + (b + (b 2 b +... + a h b b h +... = b + (b 2 b + (b 3 b b 2 +... + a h b b h +... = b 2 b + (b 3 b b 2 +... + (b h b b h + a h b b h +... = b 3 b b 2 +... + (b h b b h + a h b b h +... (4.8 = b h b b h + a h b b h +... = (a h + b b h +... (b h+ b b h +... Siten ylivuoto pysähtyy ensimmäiseen vajaaseen digittiboksiin./overow will stop to the rst non-full digit box. 8

Koska #{a 0, a,..., a h } = b b h+, (4.9 niin peräkkäiset kokonaisluvut/consecutive integers 0,,..., b b h+ ovat esitettävissä muodossa/ can be prepresented in the form a 0 + a b + a 2 b b 2 +... + a h b b h, 0 a i b i+. (4.0 Seurauksena saadaan + (b + (b 2 b +... + (b h b b h + (b h+ b b h = b b h b h+ (4. eli (b + (b 2 b +... + (b h+ b b h = b b h b h+, (4.2 mikä on voimassa myös arvolla/valid also with the value b =. Niinpä esimerkiksi! + 2 2! +... + h h! = (h +!. (4.3 5 REAALILUVUN KANTAKEHITELMÄT 5. Reaaliluvun b-kantakehitelmä/base b-expansion of a real number Lause 5. Olkoot b Z 2 ja x R, 0 x <. Tällöin esitys/representation x = n= x n b n, 0 x n b, x n N, (5. joka on yksikäsitteinen mikäli vaaditaan, että jokaista N Z + kohti sellainen luku k Z N että x k b. It is unique, if we demand that for every N Z + there such a number k Z N that x k b. 9

Merkintä 2. 0, x x 2... = (0, x x 2... b = x b + x 2 b 2 +... (5.2 a m...a 0, x x 2... = (a m...a 0, x x 2... b = (5.3 a m b m +... + a b + a 0 b 0 + x b + x 2 b 2 +... Todistus. Kaikilla y R pätee (katso Lukuteorian perusteet 0 y y <. (5.4 Asetetaan y 0 = x ja palautuskaavat/recurrences x k+ = by k ; (5.5 y k+ = by k x k+ k N. (5.6 Tällöin ja x = by 0 = bx (5.7 0 x = bx bx < b 0 x b. (5.8 Edelleen ja Vastaavasti y = by 0 x = bx bx 0 y < (5.9 x = y 0 = x b + y b. (5.0 y = x 2 b + y 2 b, 0 y 2 <, (5. 0

ja siten Edelleen missä Olkoon x = y 0 = x b + x 2 b 2 + y 2 b 2. (5.2 x = x b + x 2 b 2 +... + x n b n + y n b n, (5.3 0 x i b, 0 y i < i =,..., n. (5.4 x = X n + y n b n, (5.5 missä X n = x b + x 2 b 2 +... + x n b n (5.6 on kasvava/increasing ja rajoitettu/bounded. Näytetään, että X n on rajoitettu: X n b b = b b = b b + b +... + b +... = b 2 b ( n + b + b +... 2 /b =. (5.7 Siten Osoitetaan vielä, että lim X n = n= x n b n. (5.8 lim X n = x. (5.9 Tuloksen/By the result (5.3 nojalla x X n = x b + x 2 b 2 +... + x n b n + y n b n ( x b + x 2 b 2 +... + x n b n = y n b n b n 0. (5.20

5.. Reaaliluvun Cantorkehitelmä Lauseen 5 yleistyksenä saadaan. Lause 6. Olkoot {b, b 2,...} Z 2 ja x R, 0 x <. Tällöin esitys x = n= c n b b n, 0 c n b n, c n N. (5.2 Lauseen 6 erikoistapauksena saadaan Cantor tyyppinen esitys. Lause 7. Olkoon x R, 0 x <. Tällöin esitys x = n=2 Esimerkki 2. Määrätään luvuille d n n!, 0 d n n, d n N. (5.22 e 2, /e (5.23 esitykset (5.22. Käytetään eksponenttifunktion sarjakehitelmää/series expansion jolloin e z = n=0 z n n!, (5.24 e = n=0 ( n n! = 2! 3! + 4! 5! +... (5.25 = 2 3! + 4 5! + 6 7! +... 5..2 Rationaaliluvun b-kantakehitelmä Määritelmä. 2

Esitys x = 0, x x 2... (5.26 on päättyvä/nite/terminating, jos sellainen M Z +, että x k = 0, k Z M. (5.27 Esitys (5.26 on jaksollinen/periodic, mikäli sellaiset N N ja L Z +, että x n+l = x n, n Z N+, (5.28 missä L on jakso/period. Tällöin käytetään merkintöjä x = 0, x x 2... = 0, x...x N x N+...x N+L = 0, x...x N x N+...x N+L x N+...x N+L..., (5.29 missä N on alkutermin pituus/lenght of the initial term. Jos N = 0 eli alkutermiä ei ole/no initial term, niin tällöin kehitelmä on puhtaasti jaksollinen/purely periodic. Huomautus. Jos muuta ei sanota, niin jakso ja alkutermi valitaan mahdollisimman lyhyeksi. If nothing else is mentioned, then we choose period and initial terms as short as possible. Käytetään myös termiä minimijakso/minimal period. Huomautus 2. Reaaliluvun päättyvä esitys on jaksollinen eli x = a, x...x N = a, x...x N 0... = a, x...x N 0 (5.30 ja rationaalinen eli x = a, x...x N Q. (5.3 3

5.2 b-kantaesitys/algoritmi Palautuskaavat (5.5 ja (5.6 antavat algoritmin: y 0 = x; x k+ = by k ; (5.32 y k+ = by k x k+, k = 0,, 2,...; reaaliluvun b-kantaesityksen laskemiseen. Esimerkki 3. 7 = (0, 0000... 2 = (0, 00 2. (5.33 Nyt b = 2 ja y 0 = x = /7, jolloin x = by 0 = 2 7 = 0; y = by 0 x = 2 7 0 = 2 7 ; x 2 = by = 4 7 = 0; y 2 = by x 2 = 4 7 0 = 4 7 ; (5.34 x 3 = by 2 = 8 7 = ; y 3 = by 2 x 3 = 8 7 = 7 = y 0; x 4 = x ;... Esimerkki 4. b = 0. 3 7 = 0, 42857, 2 7 = 0, 28574, 6 7 4 7 = 0, 57428, 5 7 = 0, 74285, 7 = 0, 85742, = 0, 42857. Huomautus 3. Huomaa, että rationaaliluku x Q voidaan esittää supistetussa muodossa x = r s, r s, r Z, s Z+. (5.35 4

5.3 Terminating expansion Lause 8. Olkoot b Z 2 ja x R, 0 x <. A. Jos rationaaliluvulle x Q, missä x = r s, r s, s = h pätee ehto/holds a condition niin esitys (5. on päättyvä. i= p v i i, p i P, v i Z +, (5.36 h p i b, (5.37 i= B. Jos reaaliluvun x esitys (5. on päättyvä, niin x Q ja sen supistetulle esitykselle pätee ehto x = r s, r s, s = h i= p v i i, p i P, v i Z +, (5.38 h p i b. (5.39 i= Ehto/condition (5.37 lyhemmin/shortly p s p b, p P. (5.40 Todistus. A. Ehdosta (5.37 seuraa, että s b K, K = max{v,..., v h }. (5.4 Siten b K x = b K r s Z+, joten b K x = c 0 + c b +... + c m b m, 0 c i b, m < K. (5.42 5

Siispä x = c m b K m +... + c 0 b K. (5.43 B. Olkoon esitys päättyvä eli Siten x = x b +... + x N b N = x b N +... + x N := r, r s. (5.44 b N s b N r = (x b N +... + x N s, r s. (5.45 Olkoon p i s. Koska r s, niin p i b N, joten p i b kaikilla s:n alkutekijöillä p i. Esimerkki 5. Olkoon b = 5 ja x = 7/9. Nyt s = 3 2, joten ehto (5.40 ei ole voimassa. Siten 5-kantainen kehitelmä luvulle 7/9 on päättymätön/innite. Esimerkki 6. Olkoon b = 3 ja x = 7/9. Nyt s = 3 2, joten ehto (5.40 on voimassa. Siten 3-kantainen kehitelmä luvulle 7/9 on päättyvä/nite. Algoritmilla (5.32 saadaankin: Nyt y 0 = x = 7/9, jolloin 7 9 = (0, 2 3. (5.46 x = by 0 = 7 3 = 2; y = by 0 x = 7 3 2 = 3 ; x 2 = by = = ; y 2 = by x 2 = = 0; (5.47 x 3 = by 2 = 0; y 3 = by 2 x 3 = 0; x 4 = x 5 =... = 0. Määritelmä 2. Olkoot n Z 2, b Z ja b n. Luvun b kertaluku ord n b, on pienin luku k Z +, jolle pätee b k (mod n. (5.48 6

Olkoon b Z n ja b = {b k k N} (5.49 alkion b generoima syklinen aliryhmä. Tällöin ord n b = # b. (5.50 Koska aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun, niin ord n b #Z n = ϕ(n. (5.5 Tarkemmin kurssilla Lukuteoria A/LINK. Esimerkki 7. n = 7, b = 0, 0 = 3 Z 7. ord 7 0 6 = ϕ(7. (5.52 Lasketaan siis joten 3 = 3, 3 2 = 2, 3 3 = 6, (5.53 ord 7 0 4 ord 7 0 = 6. (5.54 5.4 Periodic expansion Kerrataan vielä, että reaaliluvun päättyvä esitys on jaksollinen eli x = a, x...x N = a, x...x N 0... = a, x...x N 0 ja päättyvä esitys on rationaalinen eli x = a, x...x N Q. Erityisesti 0 = 0, 00... = 0, 0 = 0. 7

Lause 9. Olkoot b Z 2 ja x R, 0 x <. A. Jaksollinen esitys on rationaalinen eli x = 0, x...x N x N+...x N+L = r, r s. (5.55 s B. Rationaaliluvun x = r/s esitys on jaksollinen eli r s = 0, x...x N x N+...x N+L. (5.56 C. Olkoot x = r, r s, s = T U, U b; (5.57 s p T p b, p P; (5.58 ord U b = L; (5.59 ja luku N N on pienin/smallest, jolle pätee/for which holds T b N. (5.60 Tällöin jakson pituus on L ja alkutermin pituus N. Huom: Jos T =, niin N = 0, jolloin alkutermiä ei ole ja kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Todistus. A. Tutkitaan ensin puhtaasti jaksollista kehitelmää/rst we study a purely pe- 8

riodic expansion z = 0, z...z L = z b +... + z L b + L ( z b L b +... + z L b + z L b +... + z L L+ b +... 2L = d b L + b L z, (5.6 mistä saadaan z = d b L. (5.62 Siispä x = 0, x...x N x N+...x N+L = x b +... + x N b + N B C. ( xn+ +... + x N+L + x N+ b N b b L b +... + x N+L L+ Olkoon sitten 0 < x <. Ehdon (5.60 nojalla Siten missä jakoalgoritmin nojalla = c b N + b N b +... 2L d b L := r s Q. (5.63 b N = T V, jollakin V Z +. (5.64 b N x = T V r T U = rv U = cu + d U, (5.65 rv = cu + d, 0 d U, c, d N. (5.66 Oletuksista saadaan vielä d U ja 0 c < b N, joten b N x = c + d U, d U, 0 c < bn. (5.67 9

a Tapaus U =. Nyt s = T, jolloin ehdon (5.58 nojalla p s = T p b, p P. (5.68 Lauseen 8 kohdan A. nojalla esitys on päättyvä. b Tapaus U 2. Oletuksen (5.59 nojalla b L (mod U, (5.69 joten on olemassa sellainen a N, että saadaan eräänlainen palautuskaava b L d U = ( + aud U = d U + ad. (5.70 Olkoon d U = d n b, 0 d n n b, d n N, (5.7 n= luvun d/u Lauseen 5 mukainen yksikäsitteinen kantakehitelmä. Sijoitetaan kehitelmä (5.7 kaavaan (5.70, jolloin saadaan d b L +... + d L b 0 + d L+ b + d L+2 b 2 + d L+3 b 3 +... = (5.72 ad + d b + d 2 b 2 + d 3 b 3 +... (5.73 Vertaamalla vastinpotenssien kertoimia (kantakehitelmien yksikäsitteisyyden nojalla saadaan d = d L+, d 2 = d L+2, d 3 = d L+3,... (5.74 eli d L+j = d j j =, 2,..., (5.75 ja siten luvun d/u kantakehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Edelleen yhtälön (5.67 nojalla x = c b N + b N d U, (5.76 20

missä Niinpä c = c K b K +... + c 0, K < N. (5.77 x = x b +... + x N b N + d b (N+ + d 2 b (N+2 +... + d L b (N+L + d b (N+L+ + d 2 b (N+L+2 +... + d L b (N+2L +... = 0, x...x N d...d L. (5.78 Esimerkki 8. Olkoon b = 0. Tutkitaan lukuja /7 ja /4. Aluksi x = 7, s = 7; U = 7 ord Ub = ord 7 0 = 6 = L; T = N = 0. (5.79 Siten jakson pituus = 6 ja alkutermin pituus = 0 (Katso: Esimerkit 4 ja 7. Kun taas x =, s = 2 7; U = 7 L = 6; 2 7 Siten jakson pituus = 6 ja alkutermin pituus =. T = 2 b N = 0, N =. (5.80 6 Irrationaaliluvuista Määritelmä 3. Luku α C \ Q on irrationaalinen. (Myös ei-rationaaliset p-adiset (p P luvut ovat irrationaalisia eli luku α C p \ Q on irrationaalinen, missä C p on kompleksilukujen kuntaa C vastaava p- adisten lukujen kunta. 2

Monesti tyydytään suppeampaan määritelmään: Luku α R \ Q on irrationaalinen. Esimerkki 9. 5 / Q, i = / Q. (6. Todistus kurssilla Lukuteorian perusteet. Määritelmä 4. Luku m Z on neliövapaa (square-free, jos ehdosta a 2 m, a Z, välttämättä seuraa a 2 =. Tulos (6. yleistyy tulokseksi: Lause 0. Olkoon D Z, D, neliövapaa. Tällöin D / Q. (6.2 Lause. Olkoot n Z 3 ja r Q +. Tällöin n + rn / Q. (6.3 Lauseen todistus palautuu Fermat'n suureen lauseeseen: Jos p P 3, niin x p + y p z p x, y, z Z +. (6.4 Andre Wiles todisti Fermat'n suuren lauseen työssään [Annals of Mathematics 4 (994]. Wilesin todistus perustuu mm. elliptisten käyrien ominaisuuksiin. Tälläkin kurssilla log = log e = ln eli log tarkoittaa e-kantaista logaritmia, jolloin log e =. (6.5 Esimerkki 0. log 2 log 3 / Q. (6.6 22

Todistus. Jos olisi niin log 2 log 3 = a b, a, b Z+, (6.7 2 b = 3 a 2 3 a 2 3 (6.8 mikä on mahdotonta. Seuraus. log 3 2 = log 2 log 3 / Q. (6.9 Mutta on huomattavasti vaikeampi todistaa, että Esimerkki. log 2 / Q. (6.0 Todistetaan myöhemmin ketjumurtolukujen avulla yleisempi tulos, josta seuraa esimerkiksi log m / Q, m Z 2. (6. 6. An irrationality criterion Lauseeseen 9 nojautuen saadaan hyödyllinen irrationaalisuuskriteeri, jos luvulle τ tunnetaan jokin b-kantakehitelmä. Lause 2. Jos luvun τ kantakehitelmä on jaksoton eli τ (a, τ...τ N τ N+...τ N+L b, (6.2 niin τ / Q. Esimerkki 2. Osoita, että τ = 0, 0000000000... / Q. (6.3 23

Ratkaisu. Aluksi haetaan bittijonon sääntö jakamalla jono paloihin 0 00 000 0000..., (6.4 jolloin havaitaan, että k. palan 00... 0 pituus on k ja siinä esiintyy k nollaa, jokaisella k =, 2,... (Nollat muodostavat aukon, jonka pituus kasvaa aina yhdellä. Siten, n = n k = k(k+ τ = 0, τ τ 2 τ 3..., τ n = 0, n n k = k(k+ 2 ; 2. (6.5 Tehdään nyt vastaoletus: τ Q. Tällöin τ:n kehitelmä on jaksollinen eli τ = 0, τ...τ N τ N+...τ N+L, N 0, L. (6.6 Valitaan sitten tarpeeksi suuri k, että n k > N ja k L, (6.7 jolloin ensimmäinen ehto varmistaa, että päästään pois alkutermiltä. Toisen ehdon nojalla saadaan aukko, jonka pituus on suurempi kuin jakson pituus - todistetaan tämä. Ykkösten välissä nollien muodostama aukko: τ nk... τ nk+ 00... 00 Toisaalta jaksollisuuden nojalla τ nk = τ nk +L =. (6.8 Mutta n k + L n k + k < n k+. Ristiriita. (6.9 Vastaavasti voidaan todistaa seuraavat tulokset: 24

Esimerkki 3. Olkoon b Z 2. Osoita, että tällöin τ b = / Q. (6.20 n= b (n+ 2 Esimerkki 4. Champernowne constant/link Esimerkki 5. C 0 = 0, 23456789 0 2 3... / Q. (6.2 Muodostetaan sanoja seuraavasti käyttäen kuvausta Lähtemällä sanasta b saadaan σ(a = ab, σ(b = a, σ(xy = σ(xσ(y. (6.22 σ(b = a, σ 2 (b = σ(a = ab, σ 3 (b = σ(ab = σ(aσ(b = aba, σ 4 (b = σ(aba = σ(aσ(bσ(a = abaab, σ 5 (b = σ(abaab = σ(aσ(bσ(aσ(aσ(b = abaababa,... σ (b = abaababaabaab... Tulkitaan kirjaimet biteiksi: a =, b = 0, ja muodostetaan binääriluku Osoita, että κ / Q. κ = 0, 000...(= 0, abaababa... (6.23 Tiedetään, että Neperin luvulle e pätee ( e = lim + n = n n k=0 k!. (6.24 25

Lause 3. Neperin luku e on irrationaalinen. Todistus kurssilla Lukuteorian perusteet. Lause 4. Neperin luku e on transkendenttinen eli ehdosta a m e m + a m e m +... + a e + a 0 = 0, a 0,..., a m Z, (6.25 seuraa a 0 =... = a m = 0 aina, kun m Z +. Siten e ei toteuta kokonaislukukertoimista polynomiyhtälöä, jonka aste. Todistetaan lievempi tulos Lause 5. Neperin luku e ei ole toisen asteen algebrallinen luku eli ae 2 + be + c 0, a, b, c Z, ac 0. (6.26 Todistus: Tehdään vastaoletus eli on olemassa sellaiset a, b, c Z, että Ehto (6.27 on yhtäpitävää ehdon kanssa. Käyttämällä sarjaesityksiä, saadaan ( m ( m ( k a + b + c = k! k! k=0 k=0 ( a ae 2 + be + c = 0, ac 0. (6.27 ae + b + ce = 0, ac 0, (6.28 k=m+ k=m+ ( c k! k=m+ josta edelleen ( m ( m ( k A = A m := am! + bm! + cm! k! k! k=0 k=0 ( ( = am! cm! k! k=m+ ( k, (6.29 k! ( k. (6.30 k! 26

Aluksi huomataan, että A m Z ja A m a m! ( k=m+ ( + c m! k! a + c m + k=m+ k! ( + m + 2 + (m + 2(m + 3 +... jos valitaan m 5 ja m + 3( a + c. Jos olisi 7 9, (6.3 A m = A m+ = A m+2 = 0, (6.32 niin a ( m k=0 a ( m+ k=0 a ( m+2 k=0 ( m k! + b + c k=0 ( m+ + b + c k! k! k=0 + b + c ( m+2 k=0 ( k k! ( k k! ( k k! = 0; = 0; = 0. Vähentämällä. yhtälö 2:sta ja vastaavasti 2. yhtälö 3:sta, saadaan a + c ( m+ = 0; (m+! (m+! a + c ( m+2 = 0. (m+2! (m+2! (6.33 (6.34 Siten saataisiin a = c = 0. Ristiriita hypoteesin (6.32 kanssa. Siispä A h 0, jollakin m h m + 2. Tällöin A h Z, 0 < A h <. (6.35 Ristiriita vastaoletuksen (6.27 kanssa. 27

7 Ketjumurtoluvut/Continued fractions 7. Äärellinen ketjumurtoluku Äärellisellä ketjumurtoluvulla/nite continued fraction tarkoitetaan rationaalilauseketta b + a a 2 b 2 +... + an bn, (7. jolle käytetään seuraavia merkintöjä/for which the following notations are used ( K n ak k= = a a 2 b + b... a n. (7.2 2 + + b n b k Luvut a n ovat ketjumurtoluvun osaosoittajia/partial numerators ja luvut b n osanimittäjiä/partial numerators. 7.2 Rekursiot Lause 6. Olkoot luvut A n ja B n annettu rekursioilla A n+2 = b n+2 A n+ + a n+2 A n, (7.3 B n+2 = b n+2 B n+ + a n+2 B n (7.4 lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 =, A = b 0 b + a ja B = b. Tällöin ( b 0 + K n ak k= = A n n N, (7.5 B n kunhan B n 0. b k Todistus. Induktiolla. n = 0, jolloin V.P. = b 0 = b 0 = A 0 B 0 = O.P.. (7.6 28

n =, jolloin V.P. = b 0 + a b = b 0b + a b = A B = O.P.. (7.7 Induktio-oletus: Väite pätee, kun n = 0,,..., l, jolloin b 0 + a b + Korvataan b l muuttujalla x ja merkitään a 2 jolle kohdan (7.8 nojalla pätee a l b... = A l = b la l + a l A l 2. (7.8 2 + + b l B l b l B l + a l B l 2 K(x = b 0 + a b + a 2 b 2 +... + a l x, (7.9 K(x = xa l + a l A l 2 xb l + a l B l 2, (7.0 kunhan x 0 ja nimittäjä 0. Siten kohdista (7.9 ja (7.0 seuraa ( ak K(b l + a l+ = b 0 + K l+ k= b l+ ( b l + a l+ b l+ A l + a l A l 2 b k ( = b l + a l+ b l+ B l + a l B l 2 a l+ b l+ A l + b l A l + a l A l 2 a l+ = b l+ B l + b l B l + a l B l 2 = a l+ A l + b l+ A l a l+ B l + b l+ B l = A l+ B l+, (7. missä on sovellettu rekursioita (7.3 ja (7.4 pariin otteeseen. Siten induktioaskel on osoitettu ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee. 29

7.2. Konvergentit/convergents Määritelmä 5. Luku A n /B n on äärettömän ketjumurtoluvun ( b 0 + K ak k= b k (7.2 n. konvergentti. Edelleen ketjumurtoluku (7.2 suppenee, mikäli raja-arvo lim (7.3 B n n on olemassa. Tällöin sanotaan, että äärettömän ketjumurtoluvun (7.2 arvo on raja-arvo (7.3. A n 7.3 Ääretön ketjumurtoluku/innite continued fraction Ääretöntä ketjumurtolukua (7.2 voidaan merkitä myös seuraavilla tavoilla b 0 + a Edelleen käytetään merkintöjä b + a 2 b 2 +... = b 0 + [b 0 ; b,..., b n ] = b 0 + K n k= [b 0 ; b,...] = b 0 + K k= a b + a 2 b 2 +... ( ( b k b k. (7.4 ; (7.5. (7.6 7.4 Yksinkertainen ketjumurtoluku Usein tarkastellaan yksinkertaisia ketjumurtolukuja. Määritelmä 6. Olkoot b 0 N, b k Z +, a k =, k Z +. (7.7 30

Tällöin ketjumurtoluku [b 0 ; b,..., b n ] = b 0 + K n k= ( b k (7.8 on äärellinen yksinkertainen (simple ketjumurtoluku ja vastaavasti ( [b 0 ; b,...] = b 0 + K k= b k (7.9 on ääretön yksinkertainen ketjumurtoluku. 8 Yksinkertaiset ketjumurtoluvut 8. Ketjumurtoalgoritmi Olkoon α R 0 annettu. Muodostetaan lukuun α liittyvä yksinkertainen ketjumurtolukukehitelmä [b 0 ; b,...] α (8. seuraavalla Ketjumurtoalgoritmilla: α 0 = α; k = 0; (8.2 α k = α k + {α k }, 0 {α k } < ; (8.3 b k = α k ; (8.4 Jos Jos {α k } = 0 STOP; (8.5 {α k } > 0 ; (8.6 3

α k+ = {α k } Siten algoritmi alkaa seuraavasti: GO TO 8.3 with k = k + ; (8.7 α 0 = α 0 + {α 0 }, 0 {α 0 } < ; (8.8 b 0 = α 0 ; (8.9 Jos Jos {α 0 } = 0 STOP; (8.0 {α 0 } > 0 ; (8. α = {α 0 } = α + {α }, 0 {α } < ; (8.2 Huomautus 4. Hyödyllisiä identiteettejä: [b 0 ; b,..., b m ] = b 0 + b = α ;... (8.3 [b ; b 2,..., b m ] ; (8.4 α k = b k + α k+ ; (8.5 Esimerkki 6. α = [b 0 ; b,..., b m, b m + {α m }] = [b 0 ; b,..., b m, α m+ ]. (8.6 32

Olkoon α = 3, 4. α 0 = α 0 + {α 0 } = 3 + 4/00; (8.7 b 0 = α 0 = 3; (8.8 {α 0 } = 4/00 > 0 (8.9 α = {α 0 } = α + {α } = 7 + /7; (8.20 b = α = 7; (8.2 {α } = /7 > 0 (8.22 α 2 = {α } = α 2 + {α 2 } = 7 + 0; (8.23 b 2 = α 2 = 7; (8.24 {α 2 } = 0 STOP; (8.25 ja siten [b 0 ; b,...] 3,4 = [3; 7, 7]. (8.26 Huomautus 5. Tärkeä. Numeerisessa laskennassa desimaaliluvut katkaistaan, jolloin katkaistu esitys kannattaa heti kirjoittaa murtoluvuksi. Tällöin algoritmissa vältytään pyöristysvirheiltä. Esimerkki 7. 33

Olkoon α = 5. α 0 = 2 + 5 2 = α 0 + {α 0 }; (8.27 b 0 = α 0 = 2; (8.28 {α 0 } = 5 2 > 0 (8.29 α = {α 0 } = 5 2 = 5 + 2 = 4 + 5 2 = α + {α }; (8.30 b = α = 4; (8.3 {α } = 5 2 > 0 (8.32 α 2 = {α } = 5 2 = 5 + 2 = 4 + 5 2 = α 2 + {α 2 }; (8.33 b 2 = α 2 = 4; (8.34 {α 2 } = 5 2 = {α } > 0 b 3 = b 2 = b = 4 (8.35 ja edelleen b k = 4 kaikilla k. Niinpä [b 0 ; b,...] 5 = [2; 4, 4, 4,...]. = [2; 4] (8.36 kehitelmä on jaksollinen. 34

8.2 Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut/finite simple continued fractions Lause 7. Äärellisen yksinkertaisen ketjumurtoluvun arvo on rationaaliluku eli [b 0 ; b,..., b m ] Q b 0 N, b,..., b m Z +. (8.37 Todistus induktiolla käyttäen kaavaa (8.4. Lause 8. Positiivinen rationaaliluku r/s Q + voidaan esittää äärellisenä yksinkertaisena ketjumurtolukuna eli sellaiset kokonaisluvut b 0 N, b,..., b m Z +, että Lisäksi rationaaliluvulla on yksikäsitteinen muotoa r s = [b 0; b,..., b m ]. (8.38 r s = [b 0; b,..., ] (8.39 oleva esitys. Edelleen rationaaliluvun kaikki esitykset ovat äärellisiä. Todistus. Eukleideen algoritmi Lukuteorian perusteet/link: r 0 = r, r = s r 0 = b 0 r + r 2 0 r 2 < r. r k = b k r k+ + r k+2 0 r k+2 < r k+. r m = b m r m + r m+ 0 r m+ < r m Nyt r/s = α 0 ja m N : r m+ 0, r m+2 = 0 r m = b m r m+ r m+ = syt(r, s. α 0 = r 0 r = b 0 + r 2 r = α 0 + {α 0 }, (8.40 35

0 {α 0 } = r 2 r < ; (8.4 α = {α 0 } = r r 2 = b + r 3 r 2 = α + {α }, (8.42 0 {α } = r 3 r 2 < ; (8.43... α k = r k r k+ = b k + r k+2 r k+, (8.44 α k+ = {α k } = r k+ r k+2, (8.45... α m = r m r m = b m + r m+ r m, (8.46 Siten α m = {α m } = r m r m+ = b m + 0. (8.47 {α m } = 0 (8.48 ja r s = [b 0; b,..., b m ]. (8.49 Koska b m 2 (totea!, niin r s = [b 0; b,..., b m, b m ] = [b 0 ; b,..., b m, b m, ]. (8.50 36

Siten rationaaliluvulla on yksikäsitteinen muotoa r s = [b 0; b,..., ] (8.5 oleva esitys. Edelleen, Eukleideen algoritmin pituus on äärellinen, joten esitykset ovat äärellisiä. Lauseen 6 erikoistapauksena saadaan n. konvergentti laskettua seuraavien rekursioiden (8.52 ja (8.53 avulla. Lause 9. Olkoot luvut A n ja B n annettu rekursioilla A n+2 = b n+2 A n+ + A n, (8.52 B n+2 = b n+2 B n+ + B n (8.53 lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 =, A = b 0 b + ja B = b. Tällöin [b 0 ; b,..., b n ] = A n n N. (8.54 B n Lause 20. Olkoon (F n on Fibonaccin lukujono. Tällöin ( n 5 + B n F n+ n Z +. (8.55 2 Lause 2. Determinanttikaavat. A n+ B n A n B n+ = ( n n N. (8.56 A n+2 B n A n B n+2 = b n+2 ( n n N. (8.57 Todistus induktiolla käyttäen rekursioita (8.52 ja (8.53. Seuraus 2. A n+ B n+ A n B n = ( n B n B n+ n N. (8.58 A n+2 B n+2 A n B n = b n+2( n B n B n+2 n N. (8.59 37

Seuraus 3. A 0 B 0 < A 2 B 2 < A 4 B 4 <... < A 2k B 2k < (8.60 kaikilla k, h N. < A 2h+ B 2h+ <... < A 5 B 5 < A 3 B 3 < A B. (8.6 Todistus. Tuloksen (8.59 nojalla mikä todistaa epäyhtälöt (8.60. Samaten tuloksen (8.59 nojalla mikä todistaa epäyhtälöt (8.6. A 2k+2 B 2k+2 A 2k B 2k = b 2k+2 B 2k B 2k+2 > 0 k N (8.62 A 2h+3 B 2h+3 A 2h+ B 2h+ = b 2h+ B 2h+ B 2h+3 < 0 h N (8.63 Tutkitaan vielä epäyhtälöketjujen (8.60 ja (8.6 välistä epäyhtälöä. a Tapaus h k. Tällöin A 2h+ B 2h+ A 2k B 2k = A 2h+ B 2h+ A 2h B 2h + A 2h B 2h A 2k B 2k 8.58 = (8.64 b Tapaus h < k. Tällöin A 2h+ B 2h+ A 2k B 2k B 2h B 2h+ + A 2h B 2h A 2k B 2k 8.6 > A 2k+ A 2k 8.58 = B 2k+ B 2k 8.60 > 0. (8.65 B 2k B 2k+ > 0. (8.66 Siten A 2h+ B 2h+ A 2k B 2k > 0 h, k N. (8.67 38

Lause 22. A n A n+, B n B n+, (8.68 A n B n n N. (8.69 Huomautus 6. Tuloksen (8.69 nojalla konvergentit An B n ovat supistetussa muodossa olevia rationaalilukuja. 8.3 Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 23. Olkoon [b 0 ; b,..., b n ] = A n B n, b 0 N, b,..., b m Z +, (8.70 äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun [b 0 ; b,...] konvergenttijono. Tällöin lim = τ, τ R +, (8.7 B n n A n ja 0 < τ A m < m N. (8.72 B m B m+ B m Todistus. Tuloksien (8.60 ja (8.6 nojalla jono ( A 2k B 2k on kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Vastaavasti jono ( A 2h+ B 2h+ on vähenevä ja alhaalta rajoitettu. Täten lim = α 2, (8.73 B 2k k A 2k lim = α. (8.74 B 2h+ h Yhtälöstä (8.55 ja (8.58saadaan A 2h+ 0 < A 2k+ B 2k+ A 2k B 2k = B 2k B 2k+ (8.75 39

F 2k+ F 2k+2 Edelleen raja-arvona saadaan A 2k+ A 2k 0 lim lim lim k B 2k+ k B 2k k ( 4k 5 k Z +. (8.76 2 ( 4k 5, (8.77 2 josta Siten α = α 2. (8.78 lim = α = α 2. (8.79 B n n A n Merkitään vielä τ = α = α 2. Tällöin (Laskarit mistä saadaan τ > 0 ja edelleen Vastaavasti (osoita! Siispä Lause 24. Olkoon 0 < A 2k B 2k < τ < A 2k+ B 2k+, (8.80 0 < τ A 2k B 2k < A 2k+ B 2k+ A 2k B 2k = 0 < A 2k+ B 2k+ τ < B 2k B 2k+ k N. (8.8 B 2k+ B 2k+2 k N. (8.82 0 < τ A m < m N. (8.83 B m B m+ B m [b 0 ; b,..., b n ] = A n B n, n N, (8.84 äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun [b 0 ; b,...] = τ konvergenttijono. Tällöin τ = b 0 + n=0 ( n B n B n+ (8.85 40

ja Edelleen kaikilla m N. b m+2 B m B m+2 < (b m+ + 2B 2 m τ A m < m N. (8.86 B m B m+ B m < τ A m B m < b m+ Bm 2 B 2 m (8.87 Huomautus 7. Usein arvion (8.86 sijasta käytetään väljempää arviota (8.87. Todistus. Summataan yhtälö (8.58 puolittain, jolloin ja siten m n=0 Raja-arvona saadaan (8.85. Edelleen ( An+ A m n = B n+ B n n=0 ( n B n B n+ (8.88 m A m ( n = b 0 +. (8.89 B m B n=0 n B n+ τ A m B m = n=m ( n B n B n+, (8.90 missä alternoivan summan ominaisuuksilla saadaan < B m B m+ B m+ B m+2 τ A m <. (8.9 B m B m+ B m Vielä B m B m+ B m+ B m+2 = B m+2 B m B m B m+ B m+2 = b m+2 B m B m+2. (8.92 Lause 25. Äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun arvo τ on irrationaalinen eli b 0 N, b, b 2,... Z + pätee τ = [b 0 ; b,...] / Q. (8.93 4

Todistus. Aluksi, Lauseen 23 nojalla τ R +. I tapa. Lauseen 8 nojalla rationaaliluvun esitys on päättyvä, joten päättymättömän arvo ei voi olla rationaalinen. II tapa. Vastaoletus [b 0 ; b,...] = τ = r/s Q +, r, s Z +. (8.94 Tuloksen (8.8 nojalla 0 < r s A 2k B 2k < B 2k B 2k+ k Z + (8.95 Täten Koska 0 < rb 2k sa 2k s B 2k+ k Z +. (8.96 rb 2k sa 2k Z +, (8.97 niin rb 2k sa 2k s B 2k+ k Z +. (8.98 Tuloksen (8.55 nojalla on olemassa sellainen k Z +, että joka johtaa ristiriitaan. Lause 26. Olkoon α R \ Q, α > 0 annettu ja olkoon s B 2k+ <, (8.99 [b 0 ; b,...] α (8.00 Ketjumurtoalgoritmilla muodostettu lukuun α liittyvä yksinkertainen ketjumurtolukukehitelmä. Tällöin α = [b 0 ; b,...] α. (8.0 42

Todistus. Olkoon ketjumurtolukuun [b 0 ; b,..., b k ] = A k B k (8.02 [b 0 ; b,...] α (8.03 liittyvä konvergenttijono. Toisaalta ketjumurtoalgoritmin identiteetin (8.6 nojalla missä α = [b 0 ; b,..., b m, α m ] = Ãm B m, (8.04 à m = α m A m + A m 2, Bm = α m B m + B m 2. (8.05 Lasketaan seuraavaksi B m à m A m Bm = B m (α m A m + A m 2 A m (α m B m + B m 2 = α m (A m B m A m B m + A m 2 B m A m B m 2 = ( m (α m b m = ( m {α m }. (8.06 Siten α A m = à m A m B m = B m B m {α m } 0. (8.07 B m B m m Lause 27. Olkoot b 0, c 0 N, b, c, b 2, c 2,... Z + ja [b 0 ; b,...] = [c 0 ; c,...], (8.08 tällöin b k = c k k N. (8.09 Siten irrationaaliluvun yksinkertainen ketjumurtokehitelmä on yksikäsitteinen. 43

Huomautus 8. Tarkastellaan ääretöntä yksinkertaista ketjumurtolukua jonka konvergenttijonolle pätee sillä rekursiot [,,,...] = [b 0, b,...], (8.0 [b 0, b,..., b m ] = A m B m = F m+2 F m+, (8. A k = A k + A k 2, B k = B k + B k 2 k = 2, 3,..., (8.2 antavat Fibonaccin jonoja. Koska nämä rekursiot osataan ratkaista Lukuteorian perusteet/link eli ( F k = 5 + 5 2 k ( k 5, (8.3 2 niin raja-arvokin lim m saadaan kivuttomasti. Niinpä A m B m = lim m F m+2 F m+ = 5 + 2 (8.4 [,,,...] = 5 +. (8.5 2 Yleensä, kuitenkin, rekursioitten ratkaiseminen on vaikeampaa, jolloin voidaan soveltaa esimerkiksi seuraavaa menettelyä. Lauseen 23 nojalla ketjumurtoluvun (8.0 arvo, olkoon se τ. Tällöin τ = [,,,...] = [, τ], τ R >, (8.6 joten τ = + 5 + τ, τ =. (8.7 2 44

8.4 Toisen asteen algebralliset luvut Määritelmä 7. Luku α C on toisen asteen algebrallinen luku, mikäli on olemassa sellaiset rationaaliluvut a, b Q, D Z, että α = a + b D, D / Q. (8.8 Luku α = a b D (8.9 on luvun α liittoluku. Toisen asteen algebralliset luvut (8.8 muodostavat 2. asteen neliökunnan Q( D = {a + b D a, b Q}. (8.20 Huomautus 9. Konjugointi eli liittoluvun ottaminen h(α = α = a b D, h : Q( D Q( D, (8.2 on rengasmorsmi (2 laskutoimitusta. Tällöin saadaan esimerkiksi α n = α n, nα = nα n Z; (8.22 α/β = α/β α, β Q( D. (8.23 Lause 28. Olkoon α C toisen asteen algebrallinen luku, tällöin on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C Z, että Aα 2 + Bα + C = 0. (8.24 Määritelmä 8. Toisen asteen algebrallinen luku α C \ Q on toisen asteen irrationaaliluku eli α = a + b D, b 0, D / Q. (8.25 Lause 29. Irrationaaliluku α C \ Q on toisen asteen irrationaaliluku, mikäli on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C Z, A 0, että Aα 2 + Bα + C = 0. (8.26 45

8.5 Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Määritelmä 9. Yksinkertainen ketjumurtoluku [b 0 ; b,...] (8.27 on jaksollinen, mikäli sellaiset N N ja L Z +, että b n+l = b n, n Z N, (8.28 missä L on jakso. Tällöin käytetään merkintöjä [b 0 ; b,...] = [b 0 ; b,..., b N, b N,..., b N+L ] = [b 0 ; b,..., b N, b N,..., b N+L, b N,..., b N+L,...] (8.29 Jos [b 0 ; b,...] = [b 0,..., b L ], (8.30 niin tällöin kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Huomautus 0. Jos muuta ei sanota, niin jakso ja alkutermi valitaan mahdollisimman lyhyeksi. Käytetään myös termiä minimijakso. Esimerkki 8. Esimerkki 9. Esimerkki 20. Esimerkki 2. [] = + 5 2 (8.3 [2] = + 2, [, 2] = 2. (8.32 [3, 3, 6] =. (8.33 [0, 20] = 0. (8.34 46

8.5. Eulerin lause Lause 30. Yksinkertainen päättymätön jaksollinen ketjumurtoluku α = [b 0 ; b,..., b N, c 0,..., c L ] (8.35 on reaalinen toisen asteen irrationaaliluku. Todistus. Merkitään jolloin β = [c 0,..., c L ], (8.36 α = [b 0 ; b,..., b N, β]. (8.37 Olkoon (C n /D n kehitelmän (8.36 konvergenttijono, tällöin Jaksollisuuden nojalla missä β = [c 0,..., c L, β] = C L D L, (8.38 C L = βc L + C L 2, DL = βd L + D L 2 (8.39 ja C k = c k C k + C k 2, D k = c k D k + D k 2 (8.40 kaikilla k = 2,..., L. Siten josta β = βc L + C L 2 βd L + D L 2, (8.4 D L β 2 + (D L 2 C L β C L 2 = 0. (8.42 Niinpä β on 2. asteen irrationaaliluku ja β Q( D, jollakin D Z (määrää D. Edelleen α = [b 0 ; b,..., b N, β] = ÃN B N, (8.43 47

missä ja à N = βa N + A N 2, BN = βb N + B N 2 (8.44 A k = b k A k + A k 2, B k = b k B k + B k 2 (8.45 kaikilla k = 2,..., N. Siispä Siten α on 2. asteen irrationaaliluku. α = βa N + A N 2 βb N + B N 2 Q( D. (8.46 Esimerkki 22. Sovelletaan äskeisen todistuksen menetelmää ketjumurtolukuun α = [2, 3, 8,,,, 4]. (8.47 Nyt ja siten β = [,,, 4] (8.48 β = [,,, 4, β] = C 4 D 4, (8.49 missä C 0 D 0 =, C D = 2, C 0 = D 0 = D =, C = 2, (8.50 C 2 = c 2 C + C 0 = 3, C 3 = c 3 C 2 + C = 4, (8.5 D 2 = c 2 D + D 0 = 2, D 3 = c 3 D 2 + D = 9, (8.52 C 4 = βc 3 + C 2 = 4β + 3, D4 = βd 3 + D 2 = 9β + 2. (8.53 48

Niinpä ja siten Edelleen β = 4β + 3 9β + 2, 3β2 4β + = 0, (8.54 β = 2 + 7. (8.55 3 α = [2, 3, 8, β] = Ã3 B 3, (8.56 A 0 = 2, B 0 =, A = 7, B = 3, A 2 = 58, B 2 = 25, (8.57 Ã 3 = βa 2 + A = 58β + 7, B3 = βb 2 + B = 25β + 3, (8.58 Sievennä vielä α:n lauseke. α = 58β + 7 25β + 3 Q( 7. (8.59 Lemma. Kun α = [b 0, b,..., b n, α n ], niin α = α na n + A n 2 α n B n + B n 2 (8.60 α n = αb n 2 A n 2 αb n A n. (8.6 Lemma 2. Olkoot a, b Q, D Z. Tällöin luku α = a+b D Q( D voidaan esittää muodossa α = P + d Q, Q P 2 d, P, Q, d Z. (8.62 49

8.5.2 Lagrangen lause Lause 3. Reaalisen neliökunnan positiivisen irrationaaliluvun α ketjumurtoesitys on jaksollinen. Todistus. Aluksi Lemman 2 nojalla saadaan esitys α 0 = α = P 0 + d Q 0, Q 0 P 2 0 d, P 0, Q 0, d Z. (8.63 Käytetään seuraavaksi ketjumurtoalgoritmia (8.2(8.7. Ensin α 0 = α 0 + {α 0 } = b 0 + {α 0 }, (8.64 missä Siten missä Tässä joten Edelleen pätee 0 < {α 0 } = P 0 b 0 Q 0 + d Q 0 <. (8.65 α = {α 0 } = P + d, (8.66 Q P = b 0 Q 0 P 0, Q = d P 2 Q 0. (8.67 Q 0 P 2 d, (8.68 P, Q Z. (8.69 Q P 2 d = Q Q. (8.70 Seuraavaksi jatketaan algoritmin mukaisesti α = α + {α } = b + {α }... (8.7 50

ja yleisemmin missä < α n = P n + d Q n, P n, Q n Z, (8.72 Q n P 2 n d. (8.73 Algoritmin mukaisesti α n = α n + {α n } = b n + {α n } (8.74 0 < {α n } = P n b n Q n + d Q n <. (8.75 missä Tässä joten Edelleen pätee α n+ = {α n } = P n+ + d, (8.76 Q n+ P n+ = b n Q n P n, Q n+ = d P 2 n+ Q n. (8.77 Q n P 2 n+ d, (8.78 P n+, Q n+ Z. (8.79 Q n+ P 2 n+ d. (8.80 Seuraavaksi osoitetaan, että jonot (P k ja (Q k ovat rajoitettuja. Tarkastellaan lauseketta α n α n = P 2 n d Q 2 n = (8.8 αb n 2 A n 2 αb n A n αb n 2 A n 2 αb n A n = G n G n, (8.82 5

missä Harjoitustehtävän 7d nojalla G n = αb n 2 A n 2 αb n A n < 0 n Z + (8.83 ja G n = α A n 2 B n 2 B n 2 (8.84 α A n B B n n Koska α α, niin on olemassa sellainen n, että α A k B k < < 2 d = α α (8.85 Bk 2 Q 0 kaikilla k K = n 2. Tällöin, joko kaikilla k K. Siten α A k B k < 0 tai α A k B k > 0 (8.86 G k > 0 α k α k = P 2 k d Q 2 k = G k G k < 0, (8.87 josta P 2 k < d d < P k < d k K. (8.88 Edelleen yhtälöstä (8.72 ja (8.88 nähdään, että Q k Q k Q k Q k+ = d P 2 k+ d (8.89 Q k d k K. (8.90 Olkoon B = {(S, T Z 2 S d, T d}, (8.9 jonka mahtavuudelle pätee #B = M <. Välittömästi saadaan, että A = {(P k, Q k Z 2 k = K, K +,...} B. (8.92 52

Siten joillakin 0 l < h M, pätee (P K+l, Q K+l = (P K+h, Q K+h. (8.93 Merkitään L = h l, jolloin α K+l = α K+L+l α K+l+ = α K+L+l+,... (8.94 Merkitään vielä N = K + l, jolloin b N+j = b N+L+j j = 0,,... (8.95 ja siten α = P + d Q Esimerkki 23. Olkoon d Z +. Tällöin = [b 0 ; b,..., b N, b N,..., b N+L ]. (8.96 d2 + 2 = [d, d, 2d]. (8.97 Todistus. Aluksi huomataan, että d 2 < d 2 + 2 < (d + 2 d < d 2 + 2 < d + d 2 + 2 = d, { d 2 + 2} = d 2 + 2 d. (8.98 Käytetään ketjumurtoalgoritmia d2 + 2 = d + d 2 + 2 d = b 0 + {α 0 }, (8.99 α = {α 0 } = d2 + 2 d = d2 + 2 + d 2 > 3 + joten (tästäkin näkee, että valitulle {α 0 }, pätee 0 < {α 0 } <. 2 >, (8.200 53

Edelleen d2 + 2 d α =d + = b + {α }, 2 α 2 = {α } = 2 d2 + 2 d = d2 + 2 + d = 2d + d 2 + 2 d = b 2 + {α 2 }, (8.20 α 3 = {α 2 } = d2 + 2 d = α. Siten b 0 = d, b = d, b 2 = 2d, b 3 = b = d, b 4 = b 2 = 2d,... (8.202 Määritelmä 0. Toisen asteen irrationaaliluku α Q( D on redusoitu, jos α = a + b D >, ja < α = a b D < 0. (8.203 Lause 32. Toisen asteen positiivinen irrationaaliluku α Q( D on redusoitu täsmälleen silloin, kun sen ketjumurtoesitys on puhtaasti jaksollinen. Tarkemmin: α >, ja < α < 0 (8.204 α = [b 0,..., b L ] (8.205 α = [b L,..., b 0 ]. (8.206 Lause 33. Olkoot D Z 2, D / Q ja A = D. Tällöin D = [A, b, b 2,..., b 2, b, 2A]. (8.207 Todistus. Aluksi A = b 0 = D, A + D = 2A. (8.208 54

Joten D = [b0 ; b, b 2,...] = [A; b, b 2,...] (8.209 ja Edelleen α := A + D = [2A; b, b 2,...]. (8.20 α = A D = ( D D, < α < 0 (8.2 eli α on redusoitu. Siten tuloksen (8.205 nojalla α = A + D = [2A, b,..., b L ] (8.22 D = [A, b,..., b L, 2A, b,..., b L, 2A,...] (8.23 eli D = [A, b,..., b L, 2A], (8.24 mistä saadaan D A = [0, b,..., b L, 2A]. (8.25 Tuloksen (8.206 nojalla josta Harjoitustehtävä 7a:n nojalla α = D A = [b L,..., b, 2A]. (8.26 D A = [0, bl,..., b, 2A]. (8.27 Verrataan vielä esityksiä (8.25 ja (8.27, joista saadaan b L = b, b L 2 = b 2,... (8.28 ja siten D = [A, b, b 2,..., b 2, b, 2A]. (8.29 55

Esimerkki 24. 3 = [3,,,,, 6]. (8.220 Esimerkki 25. 3 = [5,,, 3, 5, 3,,, 0]. (8.22 Huomautus. Jaksollinen jono on rajoitettu ja erityisesti ylöspäin rajoitettu. Lause 34. Neperin luku e ei ole neliöllinen irrationaaliluku eli e / Q( D D Z. (8.222 Todistus. Myöhemmin, Seuraus 52 todistetaan, että e = [2,, 2,,, 4,,, 6,,...] = [2,, 2k, ] k=. (8.223 9 Paras approksimaatio Kerrataan vielä, että rationaalilukujen nimittäjät oletetaan positiivisiksi (kuten yleensäkin tällä kurssilla. We assume that the denominators of rational numbers are positive. Määritelmä. Olkoon α R \ Q. Rationaaliluku r/s Q on α:n paras approksimaatio/best approximation, jos sα r < uα t t/u Q \ {r/s}, (9. missä u s. Parhaalle approksimaatiolle r/s pätee/for the best approximation holds α r < s α t u, jos u s. (9.2 56

ja t/u r/s. Siispä, jos t/u r/s ja α t α u r, (9.3 s niin u > s. Siten luvun α paras approksimaatio on sellainen rationaaliluku r/s, että kaikilla lukua α lähempänä olevilla rationaaliluvuilla on suurempi nimittäjä. The best approximation r/s is such a rational number, that every rational number which is closer to α has a bigger denominator. Lause 35. Olkoon α R \ Q ja (A k /B k sen konvergenttijono. Tällöin, jos uα t < B k α A k, u Z +, t Z, k Z +, (9.4 niin u B k+ > B k. Siten irrationaalisen luvun konvergentit ovat parhaita approksimaatioita/thus the convergents an irrational number are best approximations. Todistus. Vastaoletus: u < B k+. Osoitetaan ensin, että yhtälöryhmällä u = ab k + bb k+ ; t = aa k + ba k+ (9.5 on kokonaislukuratkaisu (a, b Z 2, ab < 0. Yhtälöryhmän determinantti B k B k+ A k A k+ = ( k 0, (9.6 joten saadaan ratkaisu a = ( k (ua k+ tb k+ ; b = ( k ( ua k + tb k. (9.7 57

Yhtälöistä (9.5 ja vastaoletuksesta saadaan, että u = ab k + bb k+ < B k+. (9.8 Näytetään seuraavaksi, että ab 0. Jos olisi a = 0, niin u = bb k+ < B k+, (9.9 johtaen ristiriitaan. Siten a 0. Jos b = 0, niin josta edelleen u = ab k, t = aa k, (9.0 uα t = a B k α A k > uα t, (9. johtaen ristiriitaan. Siten b 0. Tutkimalla epäyhtälöä (9.8 saadaan relaatiot a < 0 b > 0; a > 0 b < 0; (9.2 ab < 0. Edelleen uα t = a(b k α A k + b(b k+ α A k+ = ax + by, (9.3 missä (laskarit XY = (B k α A k (B k+ α A k+ < 0. (9.4 Katsomalla merkkikombinaatiot saadaan ax > 0 by > 0 ja ax < 0 by < 0 (9.5 kaikissa tapauksissa. Täten uα t = a X + b Y X + Y = (9.6 58

B k α A k + B k+ α A k+ > B k α A k. (9.7 Ristiriita. Lause 36. Olkoon α R \ Q ja (A k /B k sen konvergenttijono. Tällöin, jos α t u < α A k (9.8 niin u > B k. Todistus. Vastaoletus: u B k. Oletuksen (9.8 nojalla saadaan B k uα t < u B k B k α A k, (9.9 josta vastaoletuksen nojalla uα t < B k α A k. (9.20 Mutta tällöin Lauseen 35 mukaan u B k+ > B k. Ristiriita. Esimerkki 26. Tiedetään, että π = [3; 7, 5,, 292,,,, 2,...] / Q (9.2 ja A 0 = 3 B 0, A = 22 B 7, A 2 = 333 B 2 06, A 3 = 355,... (9.22 B 3 3 ovat π:n konvergentteja. Siten luku 22/7 on π:n paras approksimaatio Lauseen 35 nojalla. Edelleen Lauseen 36 mukaan ei ole olemassa sellaista rationaalilukua t/u, u 7, että se olisi lähempänä lukua π kuin 22/7. Esimerkiksi π 6 5 = 0.05840... > π 22 7 = 0.0026... (9.23 59

Lause 37. Olkoon α R \ Q ja (A k /B k sen konvergenttijono. Tällöin, jos α r < s 2s, (9.24 2 niin jollakin k. Todistus. Olkoon r s = A k B k, (9.25 r s A l B l l sa l rb l l. (9.26 Koska jono (B k on aidosti kasvava, niin on olemassa sellainen k, että Siten Lauseen 35 ja oletuksen (9.24 mukaan B k s < B k+. (9.27 B k α A k sα r < 2s (9.28 Toisaalta sb k mistä saadaan s < B k. Ristiriita. α A k <. (9.29 2sB k B k sa k rb k sb k = r s A k (9.30 α r + s α A k < + 2sB k 2s, (9.3 2 Lause 38. Olkoon α R \ Q ja (A k /B k sen konvergenttijono. Tällöin α A k < tai B k B k 2B 2 k α A k+ < B k+ 2B 2 k+ B k (9.32. (9.33 60

0 Sovelluksia 0. Diofantoksen yhtälöitä Yleensä, Diofantoksen yhtälöt ovat kokonaislukukertoimisia polynomi- ja/tai eksponenttiyhtälöitä, joihin haetaan kokonaislukuratkaisuja. Määritelmä 2. Olkoon d Z, d / Q. Yhtälö x 2 dy 2 = (0. on Pellin yhtälö. Lause 39. Olkoon d Z 2, d / Q ja (A k /B k sen konvergenttijono. Tällöin, jos x, y Z + on Pellin yhtälön (0. ratkaisu, niin jollakin k N. Todistus. Yhtälön (0. mukaan x y = A k B k, (0.2 (x y d(x + y d = x y > d; (0.3 Niinpä joten Lauseen 37 nojalla jollakin k N. Esimerkki 27. x y d = x + y d. (0.4 x y d = y 2 (x/y + d < 2y, (0.5 2 x y = A k B k, (0.6 6

Tutkitaan yhtälöä x 2 2y 2 =. (0.7 Aluksi laskemalla konvergentteja nähdään, että (x, y = (3, 2 ja (x, y = (7, 2 ovat ratkaisuja. Muodostetaan lisäratkaisuja asettamalla β n = x n + y n 2 = (3 + 2 2 n. (0.8 Tällöin β n β n = x 2 n 2y 2 n = (3 2 2 2 2 n =. (0.9 Täten jokainen identiteetillä (0.8 määrätty pari (x n, y n Z 2 on ratkaisu. Edelleen, ratkaisemalla yhtälöt x n + y n 2 = (3 + 2 2 n, x n y n 2 = (3 2 2 n (0.0 saadaan seuraavat esitysmuodot x n = 2 ((3 + 2 2 n + (3 2 2 n, (0. y n = 2 2 ((3 + 2 2 n (3 2 2 n. (0.2 Määrätään vielä rekursiot luvuille x n ja y n. Identiteetin (0.8 mukaan x n+ + y n+ 2 = (3 + 2 2(xn + y n 2 = 3xn + 4y n + (2x n + 3y n 2. (0.3 Koska ja 2 ovat lineaarisesti vapaita kunnan Q yli, niin x n+ = 3x n + 4y n ; y n+ = 2x n + 3y n. (0.4 62

Edelleen x n+2 = 6x n+ x n ; y n+2 = 6y n+ y n. (0.5 Huomaa vielä, että rekursioitten (0.5 karakteristinen polynomi on x 2 6x +, jonka nollakohdat ovat 3 ± 2 2. Katso Lukuteorian perusteet. Yleiset ketjumurrot Kerrataan, että Lauseen 6 nojalla ketjumurron konvergentit b 0 + a b + a 2 b 2 +... b 0 + K n k= saadaan laskettua rekursioilla b 0 + K k= ( ak b k = b 0 + a ( ak b k b + a 2 b 2 +... = (. (.2 = A n B n n N, (.3 A n+2 = b n+2 A n+ + a n+2 A n, (.4 B n+2 = b n+2 B n+ + a n+2 B n (.5 lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 =, A = b 0 b + a ja B = b. Lause 40. A n+ B n A n B n+ = ( n a a n+ n N. (.6 A n+2 B n A n B n+2 = ( n b n+2 a a n+ n N. (.7 63

Todistus induktiolla käyttäen rekursioita (.4 ja (.5. Seuraus 4. A n+ B n+ A n B n = ( n a a n+ B n B n+ n N. (.8 A n+2 A n = ( n b n+2 a a n+ B n+2 B n B n B n+2 n N. (.9 Seuraus 5. Olkoot a k, b k R +, tällöin A 0 B 0 < A 2 B 2 < A 4 B 4 <... < A 2k B 2k < (.0 kaikilla k, h N. < A 2h+ B 2h+ <... < A 5 B 5 < A 3 B 3 < A B. (. 2 Suppenemistarkasteluja Lause 4. Olkoot a k, b k C. Ketjumurtoluku ( K ak k= b k (2. suppenee, jos b k a k + k Z +. (2.2 Lause 42. Olkoot b k C, 0 < ɛ < π/2 ja π 2 + ɛ < arg b k < π 2 ɛ k Z+. (2.3 Tällöin ketjumurtoluku suppenee, jos ( K k= b k (2.4 b k =. (2.5 k= 64

Ei todisteta. Lause 43. Olkoot a k, b k R +. Ketjumurto ( K ak k= b k (2.6 suppenee, jos ja erityisesti, jos a a n+ B n B n+ 0, (2.7 b n+ n i= b2 i n+ i= a i Todistus. Edetään kuten Lauseen 23 todistuksessa. Nyt yhtälön (.8 mukaan pätee Täten suppenemiseen riittää tulos. (2.8 0 < A 2k+ B 2k+ A 2k B 2k = a a 2k+ B 2k B 2k+. (2.9 a a n+ B n B n+ 0. (2.0 Näytetään seuraavaksi, että tulos (2.0 seuraa ehdosta (2.8. Rekursion nojalla B k+2 = b k+2 B k+ + a k+2 B k > b k+2 B k+, (2. joten B k > b k b. (2.2 Siispä ehdon (2.8 nojalla Esimerkki 28. a a n+ B n B n+ < a a n+ b b n b b n+ 0. (2.3 65

K k= Osoitetaan, että ketjumurto (2.4 suppenee. Ratkaisu: ( k 2 R +. (2.4 2k + a a n+ = 2 2 2 3 2 n 2 (n + 2 b b n b b n b n+ 3 2 5 2 (2n + 2 (2n + 3 (n + 2 0. 2n + 3 22n (2.5 Myöhemmin todistetaan vielä, että arctan = + K k= Esimerkki 29. Ketjumurto suppenee. ( k 2 2k+ K k= π 4 =. (2.6 + 2 3+ 22 5+... ( + i (2.7 Esimerkki 30. Ketjumurto suppenee. K k= ( i 2 (2.8 Esimerkki 3. Milloin ketjumurto b + a b + a b +... (2.9 suppenee? Esimerkki 32. τ = 3 + 2 2 3 + 3 +... suppenee aikaisempien tulosten nojalla. Joten saadaan yhtälö (2.20 τ = 3 + 2 τ τ = tai 2 (2.2 mutta kumpi?? 66

Toisaalta esimerkkien (2932 suppenemista voidaan tutkia myös ratkaisemalla konvergenttien osoittajonot ja nimittäjäjonot rekursioista ja laskemalla konvergenttijonon raja-arvo. 2. Rekursioitten ratkaisemista Jono (w n on ei-triviaali, jos ainakin yksi alkio w n 0. Määritelmä 3. Olkoot r, s C, s 0. Ei-triviaalia jonoa (w n, joka toteuttaa palautuskaavan w n+2 = rw n+ + sw n, n N (2.22 sanotaan Lucasin jonoksi. Ratkaistaan rekursio (2.22 yritteellä w n = x n, x C. (2.23 Rekursiosta (2.22 saadaan x 2 rx s = 0, (2.24 jonka ratkaisut ovat Määritelmä 4. Polynomi α = r + r 2 + 4s 2, β = r r 2 + 4s. (2.25 2 K(x = K w (x = x 2 rx s = (x α(x β (2.26 on rekursion (2.22 karakteristinen polynomi. Lause 44. Olkoot a, b C. Tällöin on rekursion (2.22 ratkaisu. w n = aα n + bβ n (2.27 67

Olkoon r 2 + 4s 0, tällöin α β. Siten rekursion (2.22 kaikki ratkaisut ovat muotoa (2.27, joillakin a, b C, jotka riippuvat jonon (w n alkuarvoista w 0, w. Esimerkki 33. Ketjumurron konvergenteille pätee b + a b + a b +... (2.28 A k+2 = ba k+ + aa k, B k+2 = bb k+ + ab k. (2.29 Rekursioiden karakteristinen polynomi on muotoa x 2 bx a = (x α(x β, (2.30 missä α = b + b 2 + 4a 2, β = b b 2 + 4a. (2.3 2 Siten rekursioitten (2.29 yleiset ratkaisut ovat A k = tα k + uβ k, B k = vα k + wβ k, (2.32 missä t, u, v, w saadaan alkuarvoyhtälöistä A 0 = tα 0 + uβ 0, A = tα + uβ, (2.33 B 0 = vα 0 + wβ 0, B = vα + wβ. (2.34 Tapaus a, b R, b 2 + 4a > 0, α > β. Tällöin A k B k = t + u(β/αk v + w(β/α k t k v (2.35 ja siten b + a a b + b = t +... v. (2.36 68

Esimerkki 34. Ratkaisemalla rekursiot ja määräämällä raja-arvo saadaan vastaus τ = 3 + 2 2 3 + 3 = 2 (2.37 +... aikaisemman Esimerkin 32 kysymykseen. Nimittäin, nyt a = 2, b = 3, joten α = 2, β =. Siten rekursioitten (2.29 yleiset ratkaisut ovat muotoa A k = t2 k + u k, B k = v2 k + w k, (2.38 missä t = 4, u =, v = 2, w = saadaan alkuarvoyhtälöistä (2.33 A 0 = 3 = t + u, A = 7 = 2t + u, (2.39 B 0 = = v + w, B = 3 = 2v + w. (2.40 Siten A k = 4 2k B k 2 2 k = 4 (/2k 4 2 (/2 k k 2 = 2. (2.4 Jos osaosoittajat ja -nimittäjät eivät ole vakioita, niin rekursioiden ratkaiseminen eksplisiittisesti voi olla vaikeaa tai mahdotonta. Seuraavassa esimerkissä tarkastellaan tapausta, jossa ketjumurron arvo saadaan ilman, että rekusioita ratkaistaan. Esimerkki 35. Tutkitaan ketjumurron arvoa. Konvergenteille pätee: K n= ( n + n (2.42 A k+2 = (k + 2A k+ + (k + 3A k, B k+2 = (k + 2B k+ + (k + 3B k. (2.43 69

Tutkimalla alkuarvoja A = 2, B = ; A 2 = 4, B 2 = 5; A 3 = 20, B 3 = 9; (2.44 A 4 = 00, B 4 = 0;... huomataan, että A n = B n + ( n+ (2.45 minkä voikin todistaa induktiolla. Lisäksi B n. Siten ( n + K n= = lim A n = lim B n + ( n+ =. (2.46 n B n B n 3 Irrationaalisuusehtoja Määritelmä 5. Ketjumurron häntä on ketjumurto Hännille pätee palautuskaava τ = K n= τ k = K n=k ( an b n ( an b n, (3.. (3.2 a k τ k =. (3.3 b k + τ k+ Huomautus 2. Mikäli ketjumurron (3. kaikki hännät suppenevat, niin tällöin pätee: A B Olkoot a k, b k Q, a k 0 kaikilla k. Tällöin τ k 0 a k 0. (3.4 τ Q τ k Q k Z +. (3.5 70

Lause 45. Olkoot a k, b k Z +. Jos a k b k k Z +, (3.6 niin Lause 46. Olkoot a k, b k Z. Jos ( K an n= b n / Q. (3.7 a k < b k k Z +, (3.8 ja τ k k Z +, (3.9 niin ( K an n= b n / Q. (3.0 Ennen lauseiden 45 ja 46 todistusta esitellään ketjumurtojen häntiin liittyvä tulos. Lause 47. Olkoot a k, b k Z. Jos 0 < τ k < k Z +, (3. niin ( K an n= b n / Q. (3.2 Todistus. Vastaoletus τ Q. Tällöin τ k = r k s k, r k Z, s k Z +, r k s k, r k s k k Z +. (3.3 Palautuskaavan (3.3 nojalla r k r k+ = s k+ (s k a k b k r k, (3.4 7

joten välttämättä s k+ r k s k+ r k k Z +. (3.5 Edelleen r k+ s k+ r k k Z +. (3.6 Täten saadaan ääretön aidosti vähenevä jono r > r 2 >... positiivisia kokonaislukuja. Ristiriita. Lauseen 45 todistus. Aluksi todetaan, että kaikki hännät suppenevat, joten τ k < 0 < τ k k Z +. (3.7 Edelleen 0 < τ k = Sovelletaan vielä Lausetta 47. a k b k + τ k+ 3.7 < a k b k 3.6. (3.8 Lemma 3. Olkoot a k, b k Z. Jos a k < b k k Z +, (3.9 niin τ k k Z +. (3.20 Todistus. Olkoon n Z + annettu. Asetetaan Oletuksen (3.9 nojalla κ n := a n b n, κ k := a k b k + κ k+, k = n,...,. (3.2 a k b k, k =,..., n, (3.22 ja 0 < κ n = a n b n <. (3.23 72