1 SEISOVA AALTOLIIKE MOTIVOINTI Työssä tutkitaan poikittaista ja pitkittäistä aaltoliikettä pitkässä langassa ja jousessa. Tarkastellaan seisovaa aaltoliikettä. Määritetään aaltoliikkeen etenemisnopeus v. on merkittävä luonnonilmiö. 1. TEORIAA Väliaineessa tapahtuva aaltoliike voi olla pitkittäistä (ääni), poikittaista (jännitetty kieli) tai nämä kaksi muotoa yhdistävää (veden pinta-aallot) aaltoliikettä. Poikittaisessa aaltoliikkeessä väliainehiukkasten värähtelysuunta on kohtisuorassa aaltoliikkeen etenemissuuntaa vastaan. Pitkittäisessä aaltoliikkeessä väliainehiukkasten värähtelysuunta yhtyy aaltoliikkeen etenemissuuntaan. (a) (b) Kuva 1. Seisovan aallon resonanssi molemmista päistään kiinnitetyssä langassa (a) ja jousessa (b). Langassa etenee poikittainen ja jousessa pitkittäinen aalto. Kun aaltoliike kohtaa kahden aineen rajapinnan, tapahtuu aaltoliikkeen heijastuminen kyseisestä rajapinnasta. Tuleva ja heijastuva aaltoliike interferoivat keskenään eli värähtelyä välittävän väliaineen hiukkaset kokevat näiden kahden aaltoliikkeen yhteisvaikutuksen. Tiettyjen reunaehtojen toteutuminen voi tuottaa interferenssin tuloksena seisovan aaltoliikkeen. Värähtelyn etenemisnopeuden mittaaminen perustuukin varsin usein seisovan aaltoliikkeen synnyttämiseen.
2 Riippuen siitä, miten seisova aaltoliike muodostuu, saadaan kaksi toisistaan eroavaa tapausta. Kuvan (1) tilanne (edellinen sivu) edustaa heijastumista kahden kiinteän rajapinnan välissä. Tätä tilannetta voidaan verrata jännitettyyn lankaan (tai jouseen), jossa langan (jousen) molemmat päät on kiinnitetty kiinteästi. Tällöin resonanssiehto langan (jousen) pituuden l ja värähtelyn aallonpituuden λ välillä on λ l = n, n = 1,2,3,K 2 (1) Lukua n sanotaan resonanssin kertaluvuksi. Kun n=1, on kyseessä ns. perusvärähtelytila. Muissa tapauksissa puhutaan kertaluvun mukaisesta harmonisesta ylitaajuudesta. Tapaus (2) edustaa tilannetta, jossa värähtelijän toinen pää on kiinteä ja toinen voi värähdellä vapaasti. Tätä voidaan verrata esimerkiksi jäykän sauvan tilanteeseen, jolloin resonanssiehto on puolestaan λ l = n 2 ( n 1 2), = 1,2,3, K (2) Kuva 2. Seisovan aaltoliikkeen resonanssi puoliavoimessa järjestelmässä. Yllä olevista kuvista (1) ja (2) voidaan havaita, että seisovassa aaltoliikkeessä on tasavälein kiinteitä kohtia, joissa värähtelyn poikkeama (amplitudi) on nolla. Näitä kohtia sanotaan solmukohdiksi. Solmukohtien puolessavälissä poikkeama on puolestaan maksimissaan, ja näitä sanotaan kupukohdiksi. Syntyneen seisovan aaltoliikkeen avulla voidaan mitata kokeellisesti värähtelyn aallonpituus λ, sillä paikallaan olevat solmukohdat ovat helposti havaittavissa. Tästä taas päästään aaltoliikkeen etenemisnopeuteen v, kun taajuus f tunnetaan. Näiden suureiden välisen relaation kertoo ns. aaltoliikkeen perusyhtälö v = fλ. (3) Sijoittamalla tähän yhtälö (1) saadaan tapauksessa (1a) värähtelyn ominaistaajuudet (resonanssitaajuudet) lausekkeesta v f n = n, n =1,2,3, K (4) 2l
3 ja sijoittamalla vastaavasti yhtälö (2) tapauksessa (1b), saadaan puoliavoimen järjestelmän resonanssitaajuudet relaatiosta v f n = ( n 1 2), n =1,2,3, K (5) 2 l Poikittaisen aaltoliikkeen etenemisnopeus jännitetyssä langassa voidaan toisaalta laskea myös yhtälöstä missä F on lankaa jännittävä voima ja F v =, (6) = on langan pituusmassa. Yhtälöstä (6) nähdään, että mitä suurempi on lankaa jännittävä voima, sitä suurempi on aaltoliikkeen etenemisnopeus. Voidaan osoittaa, että pitkittäisen aaltoliikkeen etenemisnopeus jännitetyssä jousessa, voidaan laskea yhtälöllä k v = l, (7) m 0 F missä k = on jousen jousivakio, m 0 on jousen massa ja l jännitetyn jousen x pituus. Jousivakio k voidaan määrittää, kun jousta jännittävä voima F ja jousen venymä x tunnetaan. 2. MITTALAITTEISTO elastisessa langassa poikittainen aaltoliike Tutkitaan vain kuvaan (1a) liittyvä tapaus. Siinä voidaan ajatella mekaanisen värähtelyn etenevän homogeenisessa ja elastisessa langassa (kuminauhassa), joka on jännitetty kahden kiinnityspisteen väliin. Mekaaninen aaltoliike on liikettä, jossa häiriö etenee langassa tietyllä nopeudella. Häiriötä välittävät hiukkaset suorittavat värähdysliikettä oman tasapainoasemansa suhteen. Tässä tapauksessa synnytetään lankaan poikittainen aaltoliike. Seuraavan sivun kuva (3) esittää kuvan (1a) tapaukseen liittyvää mittauskytkentää. Siinä elastisen langan pää kiinnitetään STE moottoriväristäjän vauhtipyörään (a) ja toinen pää metallitangossa olevaan kiinnityskappaleeseen (b). Langan jännitystä voidaan muuttaa helposti siirtämällä kiinnityskappaletta ylös tai alas tangossa. STE moottoriväristäjän vaihtojännitteen taajuutta voidaan muuttaa taajuusgeneraattorilla S12. Moottoriväristäjä aiheuttaa jännitettyyn lankaan poikittaisen häiriön, joka alkaa edetä langassa. Kun aaltoliike saapuu
n langan toisen päähän, se heijastuu takaisin. Samalla tapahtuu π:n suuruinen vaihesiirto. Tuleva ja heijastunut aalto interferoivat keskenään. Kun generaattorin syöttötaajuus f on sama kuin systeemin jokin ominaistaajuus f, lankaan syntyy stationäärinen värähtelytilanne eli seisova aaltoliike. Seisovan aaltoliikkeen värähtelytaajuus riippuu langan pituudesta, massasta ja lankaa jännittävästä voimasta. Langan sanotaan olevan resonanssissa värähtelyä aiheuttavan pakkovoiman kanssa, kun pakkovoiman taajuus on sama kuin langan ominaistaajuus. 4 Kuva 3. Kuvan (1a) tapauksen tutkimiseen liittyvä mittalaitteisto. Poikittaisesta seisovasta aaltoliikkeestä voidaan helposti määrittää kupukohtien tai solmukohtien lukumäärä ja niiden sekä yhtälön (1) avulla aaltoliikkeen aallonpituus λ. Systeemin ominaisvärähtelytilat nimetään seisovien aaltojen kupukohtien lukumäärän n mukaan. Generaattorin asteikolta voidaan lukea suoraan pakkovoiman taajuus f, mutta käytännössä se mitataan tarkemmin ulostulonavoista taajuusmittaria käyttäen. Koska moottoriväristäjä vaikuttaa virtapiirin sähköiseen taajuusmittaukseen, tulisi tarkka taajuuden mittaus suorittaa käyttämällä stroboskooppia. 3. TYÖN SUORITUS langassa Määritetään jännitetyn langan ominaisvärähtelytiloja sekä niitä vastaavia resonanssitaajuuksia, aallonpituuksia ja etenemisnopeuksia. Kuvan (3) mukaisella laitteistolla syötetään moottoriväristäjään eri taajuuksia f ja määritetään 5 6 ominaistaajuutta f, joilla lankaan syntyy seisova aaltoliike. Kutakin taajuutta vastaava resonanssin kertaluku (kupujen lukumäärä) n ja ominaistaajuus kirjataan f n ylös. Funktiogeneraattorin S12 ulostulojännite on pidettävä alle 3 V:n. Taajuusalueeksi valitaan aluksi 10 Hz ja asetetaan signaalimuodoksi sini-aalto. n Moottoriväristäjään syötetyn jännitteen taajuudesta riippuen väristäjän vauhtipyörä voi väristä suurella tai pienellä amplitudilla. Tällöin myös langan amplitudi vaihtelee taajuuden funktiona voimakkaasti. Työssä on etsittävä ne ominaistaajuudet, joissa lankaan syntyvien seisovien aaltojen amplitudi on pienimmillään ja seisovan aallon solmukohta syntyy myös langan moottoriväristä-
jän puoleiseen päähän. Tällöin lankaa voidaan pitää molemmista päistään kiinteästi kiinnitettynä. Langan pituusmassan = määrittämiseksi työpaikalla on irtonainen pätkä samanlaista lankaa kuin värähtelijässä. Irtolanka punnitaan ja pituus mitataan. Lankaa jännittävä voima F selvitetään mittaamalla lankaa jännittävän punnuksen massa m. 5 1. Yhtälöstä (1) lasketaan kuhunkin resonanssitilanteeseen liittyvä aallonpituus ja sitä vastaava etenemisnopeus yhtälöstä (4). Nopeuksille lasketaan keskiarvo. Kaikille tuloksille on ilmoitettava virherajat. 2. Myös yhtälöstä (6) lasketaan nopeus virherajoineen ja tätä verrataan edellisessä kohdassa laskettuun keskiarvonopeuteen. 3. Piirrä oheisen kuvan mukainen graafi. Kuva 4. Ominaistaajuus kupujen lukumäärän funktiona.