TT/TV Inegraalimuunnokse Fourier-muunnos, ehäviä : Vasauksia Meropolia/. Koivumäki v(. Määriä oheisen signaalin Fourier-muunnos. Vinkki: Superposiio, viive. Voidaan sovelaa superposiioperiaaea, koska signaalin voidaan ajaella olevan kahden pulssin summa. Noilla kahdella suorakulmaisella pulssilla on viivee -T ja T, joen oamalla viivee -T T huomioon ukiavan signaalin aikaason yhälö voidaan kirjoiaa - ( T T v( = Π Π Silloin voidaan suoraan kirjoiaa spekrin yhälö käyämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosa sekä viiveen vaikuusa: jπf ( T jπ V ( f = sinc ft ( f e sinc( f e Ensimmäisessä ermissä miinusmerki ieysi kumoava oisensa (siinä on edelleen -T muisuamassa siiä, eä ensimmäisen pulssin viive on negaiivinen jolloin kompleksise eksponeni muodosava sinifunkion. Loppuulos siis on: ( ( jπft j πft f e e = j sinc( f sin( πft ( sinc V f =. Määriä oheisen kolmiopulssin Fourier-muunnos. Vinkki: Derivoini, ehävä. v( Suorakulmainen pulssi merkiään isolla pii-kirjaimella (Π, kuen edellä ehävässä, ja kuvan kolmiopulssille on vasaavanlainen merkinääpa, jossa käyyään isoa lambda-kirjaina: v ( = Λ : Kuvan kolmiopulssi koosuu kahdesa suorasa. Ensin on nouseva suora, jonka kulmakerroin on / ja sien laskeva suora, jonka kulmakerroin on /. Suoran derivaaahan on sama kuin sen kulmakerroin, joen kolmiopulssin derivaaasignaali on oheisen kalainen: x( / Derivaaasignaalin yhälö on ( / / x ( = Π Π, joen derivaaasignaalin Fourier-muunnos on -/ X ( f = sinc jπf ( / jπf / ( f e sinc( f e Kun supiseaan : ja : ja huomioidaan miinusmerki, yhälö saadaan helposi muooon X ( f = j sinc( f sin( πf. Samaan ulokseen päsään käyämällä hyväksi ehävän vasausa. Siinä piää korvaa pulssien korkeus ± ± / ja pulssien viive ± T ± /. Silloin ehävän vasaus anaa X ( f = j sinc( f sin(πf = j sinc( f sin( πf. Eli sama, joka jo saiin.
dv( Nyhän koska x( =, on X ( f = jπ f V ( f, joen kolmiopulssin spekri on d V ( f j sinc( f sin( πf V ( f = = jπf jπf Kun supisaa pois j: ja lavenaa :lla (jolloin osoiajassa olevasa sinisä ja nimiäjäsä saa aikaan sincfunkion, ulee loppuulokseksi V ( f = sinc ( f. 3. a Piirrä oheisen signaalin v( derivaaasignaalin x( kuvaaja. b Mikä on ämän derivaaasignaalin x( Fourier-muunnos X(f? c Mikä on siis alkuperäisen signaalin v( Fourier-muunnos V(f? -3T -T T 3T Signaali koosuu suoranpäkisä. Suoran derivaaa on sen kulmakerroin. Siis derivaaasignaali on ällainen: x( v( /T -3T -T -/T T 3T b Derivaaasignaalin x( spekrin voi kirjoiaa sovelamalla ehävässä saaua kahden erimerkkisen pulssin spekrin kaavaa. Siinä piää korvaa pulssien korkeus ± ± / T, pulssien piuus T ja pulssien viive ± T ± T. Saadaan X ( f = j T sinc( f T sin( π f T = j sinc( f T sin( 4π f T T c Koska x( on v(:n derivaaa, on X ( f = jπ f V ( f, jolloin X ( f j sinc( f T sin( 4π f T V ( f = = = 4T sinc( f T sinc( 4 f T jπf jπf Loppuulos saaiin lavenamalla T:llä, jolloin jälkimmäisesä sinisä ja nimiäjäsä saaiin aikaan sinc. 4. Signaalin v( spekri on ohessa. Signaalia inegroidaan. Piirrä inegraalisignaalin V(f ampliudispekri suheellisina arvoina (mikä arkoiaa, eä spekrin maksimiarvo =. f/mhz Spekrin yhälö on -4-4 f / B kun B < f < B V ( f = f / B kun B < f < B muilla aajuuksilla missä on merkiy B = MHz. Merkiään inegroinninn jälkeisen signaalin spekriä X(f:llä. Tällöin. / j4πb kun B < f < B V ( f X ( f = = / j4πb kun B < f < B jπf muilla aajuuksilla Silloin ampliudispekri = /4πB ja vaihespekri = 90 posiiivisella akselilla ja 90 negaiivisella akselilla. Inegraalisignaalin ampliuspekri on siis vakio aajuuskaisalla B f B, joen normalisoiu ampliudispekri on silloin = ällä samalla kaisalla (ja = 0 kaisan ulkopuolella. Kuva:
X(f -4-4 f/mhz 5. Kuvassa on signaalin v( spekri V(f. a Signaalia v( inegroidaan. Piirrä saaavan signaalin suheellinen ampliudispekri. (Suheellinen ampliudispekri arkoiaa siä, eä spekrin suurin arvo =. b Signaalia v( derivoidaan. Piirrä saaavan signaalin suheellinen ampliudispekri. c Signaalia v( viiväseään T:n verran. Piirrä saaavan signaalin suheellinen ampliudispekri. V(f f Tehävän kuvassa olevan spekrin yhälö on -B -B B B kun B f B V ( f = muilla aajuuksilla a Kun signaalia inegroidaan, sen spekri ulee jaeuksi ermillä j πf. Silloin inegraalisignaalin, olkoon se vaikkapa x(, ampliudispekri on kun B f B X ( f = π f muilla aajuuksilla Taajuusvälillä B... B uon suurin arvo on, Suheellinen πb ampliudispekri saadaan jakamalla ylläoleva lauseke uolla suurimmalla arvolla, joen ny ulee B kun B f B X suh ( f = f muilla aajuuksilla Tuon kuvaaja on ällainen: b Kun signaalia derivoidaan, sen spekri ulee -B -B B B kerrouksi ermillä j πf. Silloin derivaaasignaalin (olkoon se vaikkapa x( ampliudispekri on π f kun B f B X ( f = muilla aajuuksilla Taajuusvälillä B... B uon suurin arvo on 4 πb, Suheellinen ampliudispekri saadaan jakamalla ylläoleva lauseke uolla suurimmalla arvolla, joen ny ulee f kun B f B X suh ( f = B muilla aajuuksilla Tuon kuvaaja on ällainen: X(f X(f -B -B B B f f
c Signaalin viiväsäminen ei muua sen ampliudispekriä: v( d V ( f e j πf d jπfd jπf d Oikean puolen iseisarvo on V ( f e = V ( f e = V ( f. Viiväseyn signaalin ampliudispekrin kuvaaja on siis äsmälleen samanlainen kuin ehävänannossa oleva spekrin kuva. cos(π c ( c. ( c 6. Todisa: v f V f f + V ( f + f Miä uo arkoiaa? F = j πf c j πfc jπf j π ( f fc jπ ( f + fc [ v( cos(πf ] = v( [ e + e ] e d = v( ( e + e v( e j c π ( f f j ( f f d v e c π + c + ( d Tuossahan kaksi kpl v(:n Fourier-muunnoksia, kuienkin niin eä oisessa on korvau oisessa f f + fc. Lisäksi kumpikin on kerrou :lla. Siispä osiaankin d f f f ja F [ v( cos(πf c ] = V ( f fc + V ( f + fc Tämä arkoiaa siä, eä kun mikä ahansa signaali v( kerroaan f c -aajuisella sinisignaalilla, saadaan signaali, jonka spekri koosuu kahdesa alkuperäisen signaalin spekrisä, joka ova siirynee aajuuksien f ± fc kohdalle. 7. Mikä on oheisen signaalin Fourier-muunnos? Vaaka-akselilla on aika mikrosekuneina. Tämä on suoraan ehävän 6 sovellus. Signaalissa on selväsikin siniä, jonka jaksonpiuus on µs ja jonka ampliudi vaihelee 40 µs piuisen kolmiopulssin mukaisesi. Siis signaalin yhälö on v( = Λ cos( πf c, missä = 40 µs ja f c = 500 khz. Tehävässä saaiin kolmiopulssin spekriksi sinc ( f joen oheisen kolmiopulssimaisesi käyäyyvän sinipurskeen Fouriermuunnos on V ( f = sinc [( f fc ] + sinc [( f + fc ] Spekrin normalisoiu kuvaaja alla. Vaaka-akselilla aajuus saoina khz:nä. c 0.8 0.6 0.4 0. 0-6 -4-0 4 6 x 0 5
8. Johda suorakulmaisen pulssin Fourier-muunnos derivoimalla pulssi. Suorakulmainen pulssi v( ja sen derivaaa x(: v( x( / / / / - Derivaaan yhälö on x ( = δ ( ( / δ ( /. Tämän Fourier-muunnos on jπf ( / jπf / jπf jπf X ( f = e e = ( e e = j sin( πf v( dv( Koska x( =, on X ( f = jπ f V ( f, joen d X ( f jsin( πf sin( πf V ( f = = = = sinc( f. Eli uli se miä piikin ulla. jπf jπf πf 9. Johda kolmiopulssin Fourier-muunnos derivoimalla pulssi. Kolmiopulssi v ( = Λ : Kuvan kolmiopulssi koosuu kahdesa suorasa. Ensin on nouseva suora, jonka kulmakerroin on / ja sien laskeva suora, jonka kulmakerroin on /. Suoran derivaaahan on sama kuin x( dv( sen kulmakerroin, joen kolmiopulssin derivaaasignaali x( = on / d oheisen kalainen: Täsä voi jakaa kahdella avalla. Tapa : Derivaaasignaalin yhälö on ( / / x ( = Π Π, joen derivaaasignaalin spekri -/ on jπf ( / jπf / y( X ( f = sinc( f e sinc( f e / Kun supiseaan : ja : ja huomioidaan miinusmerki, yhälö saadaan helposi dv( muooon X ( f = j sinc( f sin( πf. Nyhän koska x( =, on d X ( f = jπ f V ( f, joen kolmiopulssin spekri on V ( f j sinc( f sin( πf V ( f = = jπf jπf Kun supisaa pois j: ja lavenaa :lla (jolloin osoiajassa olevasa sinisä ja nimiäjäsä saa aikaan sinc-funkion, ulee loppuulokseksi -/ V ( f = sinc ( f, eli sama yhälö kuin kaavakokoelmassa.
Tapa : Derivoidaan derivaaasignaali x(. Tulos kuvassa. Derivoiavassa x(:ssa on kolme askelmaisa muuosa, joen sen derivaaa koosuu kolmesa impulssisa. y(:n yhälö on y( = δ ( ( δ ( + δ ( Tämän Fourier-muunnos voidaan kirjoiaa suoraan: j πf ( jπf j πf jπf Y ( f = e + e = ( e + e 4 = [ cos( πf ] = sin ( πf jx jx x = e + e cos x = sin x. Tässä käyeiin näiä: ( cos( ja ( ( dx( d v( Koska y ( = =, on Y ( f = jπf X ( f = jπf jπf V ( f = 4π f V ( f, joen d d Y( f sin ( πf sin ( πf V ( f = = = = sinc ( f. 4π f π f π f 0. Laske "Fourier-muunnos, ehäviä " kokoelman (iedoso 09.Fourier-muunnos.ehäviä_.pdf ehävä derivoinnin kaua. Tämä menee periaaeessa ihan samalla avalla kuin ehävän 9 koha "Tapa ".. Signaali v( koosuu kolmesa impulssisa: v( = δ ( + 5 ms + 4δ ( + δ ( 5 ms. a Piirrä signaalin v( kuvaaja. b Määriä signaalin ampliudispekrin V(f (eli spekrin iseisarvon yhälö. c Piirrä ampliudispekrin V(f kuvaaja. a v( 4-5 b Merkiään T = 5 ms. Tällöin V ( f = e = 5 /ms j πf ( T j πf T + 4 + e = 4 + cos( πft [ + cos( πft ] = [ + cos( π 5 ms f ] Koska hakasulkulauseke ei voi mennä negaiiviseksi, on siis ampliudispekri [ + cos( 5 f ] V ( f = π ms c Kuvaajan piirämisessä auaa, kun oivalaa, eä lausekkeessa esiinyvän kosinin jaksonpiuus aajuusakselilla on /(5 ms = 00 Hz. Tulee ällainen kuvaaja:
6 V(f 4 f/hz 0-00 0 00 400 600. Määriä neljä aajuua, joilla oheisen pulssin spekri = 0. v( -T T Π Signaalin yhälö on v( = + Λ T T Spekrin yhälö on siis V ( f = T sinc( ft + T sinc ( ft V(f = 0 ainakin kaikilla niillä aajuuksilla f, joilla sekä sinc ( ft = 0 eä sinc ( ft = 0. sinc( ft = 0 ft = n f = n T sinc( ft = 0 ft = n f = n T Noissa molemmissa n on mikä ahansa kokonaisluku (mua n 0. Joen V(f = 0 ainakin kun 3 4 = ±, ±, ±,, L T T T T 3. Määriä kaikki aajuude, joilla oheisen kahdesa suorakulmaisesa pulssisa koosuvan signaalin spekri = 0. 0 v( -8-4 4 8 /ms -0 ( T T Jos merkiään = 0 ja T = 4 ms, niin signaalin yhälö on v( = Π + Π T T jπft jπft Spekrin yhälö on siis V ( f = T sinc( ft ( e + e = j4t sinc( ft sin( πft Nollakohda uleva sinc:n nollakohdisa ja sinin nollakohdisa: sinc( ft = 0 ft = n f = n = n 5 Hz, n = ±, ±, ± 3,L T sin( πft = 0 ft = n f = n = n 5 Hz, n = 0, ±, ±, ± 3,L T Eli yhdiseynä f = n 5 Hz, missä n on mikä ahansa kokonaisluku.
4. Onko kukin seuraavisa väieisä oikein vai väärin? a Signaalin v( = δ ( T + B δ ( T ampliudispekri = + B. jπft j 4πfT Väärin. V ( f = e + Be. Yksi vasaesimerkki riiää kumoamaan väieen: Jos T = 0 ja = B, on v( = 0, ja ieysi myös V(f = 0. Kuienkin väieessä esiey + B =, joka on 0, jos 0. b Jos signaali x( on signaalin v( inegraalisignaali, niin signaaleilla v( ja x( on erilaise ampliudispekri, mua samanlaise vaihespekri. V ( f Väärin. Jos signaali x( on signaalin v( inegraalisignaali, niin X ( f =, joen sekä ampliudispekri jπf eä vaihespekri ova erilaise. c Jos signaali x( on signaalin v( derivaaasignaali, niin X(0 = 0. Oikein. Jos signaali x( on signaalin v( derivaaasignaali, niin X ( f = jπ f V ( f, joen X(0 on pakosakin = 0. Tämähän arkoiaa siä, eä derivoini häviää signaalisa asasähkökomponenin. d Signaalin v ( = cos(π f + ϕ keskimääräinen eho = /. (Oleeaan eä on reaalinen. Oikein. Jos sinijännieen ampiudi eli huippuarvo =, niin sen ehollisarvo = /. Silloin sen eho on ehollisarvon oinen poenssi (jaeuna jollakin resisanssilla, joka meidän ieoliikennesignaaliarkaselussamme oleeaan Ω:n suuruiseksi, eli P = /. j πf e Signaalin v( = c e keskimääräinen eho = c. Oikein. Parsevalin kaavan mukaan P = c n n=, ja ny noia cn -keroimia on vain uo yksi, eli c. f Jos jaksollisen signaalin jaksonpiuus lyhenee, mua aalomuoo säilyy muuen samana, niin spekriviivojen määrä signaalin spekrissä vähenee. Väärin. Jos aalomuoo säilyy samana, ei spekriviivojen määrä muuu. Sen sijaan spekriviiva eäänyvä oisisaan, kun jaksonpiuus lyhenee. g Jos suorakulmaisen pulssin keso lyhenee, pulssin spekrin nollakohda eäänyvä oisisaan. Oikein. Nollakohien eäisyys oisisaan on pulssin kesoajan kääneisluku. h Jos signaalia inegroidaan ajan suheen, signaalin spekri ulee jaeuksi ermillä jπf. Oikein. i Jos signaali siiryy aalomuoonsa säilyäen aika-akselilla paikasa oiseen, niin sen ampliudispekri pysyy samana, mua vaihespekri muuuu. jπft Oikein. Viive T aiheuaa spekriin keroimen e, jonka iseisarvo =, joen ampliudispekri ei muuu. j Jos kaksi signaalia summaaan oisiinsa, uloksena saaavan signaalin ampliudispekri on alkuperäisen signaalien ampliudispekrien summa. Väärin. Koko kompleksinen spekri on alkuperäisen spekrien summa. Silloin ampliudispekri on alkuperäisen ampliudispekrien summa vain jos alkuperäisen spekrien kaikki arvo ova posiiivisia reaalilukuja.