Talousmatematiikan perusteet: Luento 4 Polynomifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio
Viime luennolla Funktiolla f: A B kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A A on lähtö- tai määrittelyjoukko (mihin joukkoon x kuuluu?) B on maalijoukko (mihin joukkoon y kuuluu? V f B on arvojoukko (mille B:n osajoukolle f kuvaa A:n?) Funktio f kuvaa jokaisen lähtöjoukon A alkion yksikäsitteisesti maalijoukkoon B Polynomifunktio on muotoa f: R R, f x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n Ensimmäisen asteen polynomifunktio eli lineaarinen funktio on muotoa f: R R, f x = a 0 + a 1 x 2
Tällä luennolla Tarkastelemme muita tavallisia funktiotyyppejä Toisen ja korkeamman asteen polynomifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio 3
Toisen asteen polynomifunktio Toisen asteen polynomifunktio on muotoa f: R R, f x = ax 2 + bx + c Esim. Luomuturnipsin kysyntä f(x) yksikköhinnan x ( /kg) funktiona on f x = 15.9x + 810.2. Turnipsin tuottajat muodostavat kartellin, jonka tavoitteena on maksimoida markkinoilta saatava voitto, kun tuotantokustannus on 5 /kg. Mikä on kartellihinta x? Voittoa/tappiota kuvaa toisen asteen polynomifunktio v: R + R +, v x = f x x 5 = 15.9x + 810.2 x 5 = 15.9x 2 + 889.7x 4051. Kuvan perusteella voitto maksimoituu, kun x 28 /kg, jolloin v x = 15.9 28 2 + 889.7 28 4051 = 8395 k 8.4M. 4
Kuvaaja ja nollakohdat Toisen asteen polynomifunktion f x = ax 2 + bx + c kuvaaja on paraabeli, joka aukeaa Ylöspäin, jos a > 0, Alaspäin, jos a < 0. (Mitä jos a = 0?) Paraabeli leikkaa x-akselin joko 0, 1 tai 2 kertaa Näitä leikkauskohtia sanotaan funktion nollakohdiksi tai (reaali)juuriksi 5
Nollakohtien ratkaiseminen Nollakohdat voidaan ratkaista kaavalla x = b ± b2 4ac 2a Nollakohtien lukumäärä riippuu diskriminantista b 2 4ac: Jos b 2 4ac > 0, nollakohtia on 2 (x = b+ b2 4ac ja x = b b2 4ac ) 2a 2a Jos b 2 4ac = 0, nollakohtia on 1 (x = b ) 2a Jos b 2 4ac < 0, (reaalisia) nollakohtia ei ole (x R ) 6
Nollakohtien ratkaiseminen Esim. (Jatkuu) Millä välillä turnipsin kilohinnan pitää olla, jotta se tuottaisi voittoa? v x = 15.9x 2 + 889.7x 4051 Nollakohdat: x = 889.7± 889.72 4 (15.9) (4051) 2 (15.9) = 27.978 ±22.978 x 1 = 5.00 ja x 2 = 50.96. + - - Kuvan perusteella voidaan siis sanoa, että tulos on voitollinen, jos kilohinta x [5.00 kg, 50.96 kg ]. 7
Sovellus tasapainohinnoitteluun Esim. Ekonomisti tutki kapakalan kysynnän ja tarjonnan (t) riippuvuutta yksikköhinnasta x ( /kg): Kysyntä f: R + R +, f x = 14.8x + 620.5 Tarjonta g: R + R +, g x = 0.19x 2 + 2.1 Markkinat ovat tasapainossa kysyntä- ja tarjontakäyrien leikkauspisteessä, eli kun kysyntä = tarjonta: f x = g x 14.8x + 620.5 = 0.19x 2 + 2.1 0.19x 2 + 14.8x 618.4 = 0 x 1 30.13 kg, f x 1 = g x 1 174.6 t x 2 108.02 kg ei sisälly määrittelyjoukkoon 8
Presemo-kysymys Kuinka monta nollakohtaa on funktiolla f x = x 2 + x 2? 1. 0 2. 1 3. 2 9
Presemo-kysymys Mikä kuvaajista esittää funktiota f x = 2x 2 + x + 1? Kuva A Kuva B Kuva C Laitoksen nimi 16.1.2018 10
Korkeamman asteen polynomifunktiot Korkeamman asteen polynomifunktioita tarvitaan Joidenkin empiiristen ilmiöiden mallintamiseen Funktioiden approksimointiin sarjakehitelmillä; esim. e x = σ n=0 xn n! Jos funktiossa on vain korkeimman asteen termejä, sen kulku voidaan hahmottaa helposti (ks. kuvat) 11
Nollakohtien ratkaiseminen Kolmannen ja neljännen asteen polynomifunktioiden nollakohtien määräämiseen on olemassa yleiset mutta monimutkaiset ratkaisukaavat Joissakin erikoistapauksissa funktio voidaan muuttujanvaihdoksella palauttaa 1. tai 2. asteen yhtälöksi. Esim. Bikvadraattinen yhtälö ax 4 + bx 2 + c voidaan kirjoittaa muodossa ay 2 + by + c, missä y = x 2. Funktion x 4 2x 2 + 1 = y 2 2y + 1 nollakohdat: y = 2 ± 4 4 = 1 = x 2 x = ±1. 2 Nollakohtien ratkaisuun on käytettävissä myös monenlaisia työkaluja, ks. esim. https://www.wolframalpha.com 12
Yhteenveto toisen ja korkeamman asteen polynomifunktioista Toisen asteen polynomifunktio f x = ax 2 + bx + c Kuvaaja on ylöspäin (alaspäin) aukeava paraabeli, jos a > 0 (a < 0) Nollakohdat (0, 1 tai 2 kpl) ratkaistaan kaavalla x = b± b2 4ac 2a Korkeamman asteen polynomifunktion nollakohtien ratkaiseminen käsin on hankalampaa 13
Potenssifunktio N = {1,2,3, } luonnollisten lukujen joukko Funktiot x 1, x 2, x 3,, x n ovat polynomifunktioita f: R R, f x = x n, n N Tulkinta: x n = x x x eli x kerrotaan itsensä kanssa n kertaa. n kpl Potenssifunktio on edellä kuvatun kaltaisen polynomifunktion yleistys tilanteeseen, jossa eksponentti ei välttämättä ole positiivinen kokonaisluku: f: R R, f x = x n, n R Esim. x 1/2, x 5/2, x 2, x 3, x π Ei samanlaista tulkintaa kuin tapauksessa n N 14
Potenssifunktion kuvaaja Esimerkkejä, kun n > 1: Kasvava marginaalihyöty Kasvava marginaalikustannus ( Diseconomies of scale ) Esimerkkejä, kun 0 < n < 1: Laskeva marginaalihöyty Laskeva marginaalikustannus ( Economies of scale ) 15
Potenssifunktion kuvaaja Esimerkkejä, kun n < 0: Tuotannon arvon kasvunopeus työvoimapanoksen funktiona Monet fysikaaliset ilmiöt (esim. gravitaatiovoima tai lampun valaisuteho etäisyyden funktiona) 16
Potenssifunktion laskusääntöjä 1. x n x m = x n+m, Esim. x 2 x 3 = x 5 2. x n x m = xnm, Esim. x5 x 2 = x3 3. (x n ) m = x nm, Esim. (x 2 ) 2 = x 2 4. (xy) n = x n y n, Esim. (xy) 2 2 2 3 = x 3 y 3 x n = x n 3 = x 3 5. Esim. x y y n y 6. x 0 = 1 Esim. 2 0 = 1 y 3 Lisäksi käytetään merkintöjä 1. x n = 1 x n. Esim. x2 = 1 x 2 2. x 1 n = n x. Esim. x 1 2 = 2 x = x 17
Presemo-kysymys Sievennä x3.5 x 2 x 0.5 2. 1. x 0.5 2. x 2 3. x 4 18
Sovellus tasapainohinnoitteluun Esim. Ekonomisti tutki kultakalakaviaarin kysynnän ja tarjonnan (kg) riippuvuutta yksikköhinnasta x ( /kg): Kysyntä f: R + R +, f x = 13262x 1.14 Tarjonta g: R + R +, g x = 1.16x 1.52 Markkinat ovat tasapainossa kysyntä- ja tarjontakäyrien leikkauspisteessä, eli kun kysyntä = tarjonta: f x = g x 13262x 1.14 = 1.16x 1.52 13262 1.16 = x1.52 x 1.14 = x1.52+1.14 = x 2.66 13262 1.16 1 2.66 = x 2.66 1 2.66 = x x 33.54 /kg 19
Presemo-kysymys Mätitahnan kysyntä ja tarjonta (t) riippuvat yksikköhinnasta h ( /kg) seuraavasti: Kysyntä k: R + R +, k h = 15h 1.3 Tarjonta t: R + R +, t h = 0.05h 1.5 Määritä tasapainohinta. 1. 7.67 /kg 2. 8.67 /kg 3. 9.67 /kg Laitoksen nimi 16.1.2018 20
Eksponenttifunktio Eksponenttifunktio on muotoa f: R R ++, f x = a x, missä kantaluku a > 0, a 1 on vakio Eksponenttifunktio sopii malliksi tilanteessa, jossa muuttujan suhteellinen muutos on vakio (vrt. geometrinen jono). Esim. Geenimuunneltujen bakteerien avulla tuotetaan lääkkeen L erästä raaka-ainetta. Käytetystä bakteerikannasta tiedetään, että sen koko kaksinkertaistuu tunnissa 20 C lämpötilassa. Jos bakteeriviljelmässä on tällä hetkellä n. 10 000 bakteeria, kuinka suuri määrä on x tunnin kuluttua? Tasatunneittain x N kyseessä on geometrinen lukujono a x = 10 000 2 x Sama tulos voidaan yleistää myös tilanteeseen, jossa x R bakteerikannan kehitystä ajan suhteen kuvaa eksponenttifunktio f: R R +, f x = 10 000 2 x Esim. 1.5 tuntia aiemmin bakteereja oli 10 000 2 1.5 3 500 Esim. 2.5 tunnin kuluttua bakteereja on 10 000 2 2.5 56 600 21
Eksponenttifunktion kuvaaja, kun a > 1 Eksponenttifunktio f x = a x on kasvava, jos a > 1. Esim. Kun alkupääoma on K ja korkokanta 5%, kertynyt pääoma ajan t funktiona on f t = K 1.05 t. Funktion arvo kasvavat nopeasti hyvin suuriksi eksponentiaalinen räjähdys Esim. Pena on ryhtynyt verkostomarkkinointiyrityksen myyjäksi. Hänen on itse rekrytoitava 5 uutta myyjää, joiden tulee taas kunkin rekrytoida 5 uutta myyjää jne. Gold-tasolle päästäkseen (vuosiansio n. 15 000 ) Penan tulee saada alleen 5 myyjätasoa. Royal Diamond tasolle päästäkseen (vuosiansio n. 600 000 ) Penan tulee saada alleen 10 myyjätasoa. Kuinka monta myyjää Gold- ja Royal Diamond tasoille pääsemiseksi tarvitaan yhteensä? Ratkaisu: Myyjien määrä tasojen lukumäärän x funktiona on f x = 5 x. Gold-tasolle tarvitaan siis 5 5 = 3125 myyjää ja Royal Diamond tasolle 5 10 = 9 765 625 myyjää. 22
Eksponenttifunktio e x Tärkeä erikoistapaus f x = e x = lim n 1 + x n Esim. Kun alkupääoma on K, vuosikorko on 5% ja korkoa lisätään jatkuvasti, kertynyt pääoma ajan t funktiona on f t = K e 0.05t. Funktio e x esiintyy myös monien todennäköisyysjakaumien tiheysfunktiossa, esim: n. Normaalijakauma: f x = 1 σ 2π e1 2 Eksponenttijakauma: f x = λe λx xμ σ 2 Funktion e x derivointi ja integrointi on helppoa (tästä lisää myöhemmin) Kompleksilukujen maailmassa funktio e x on myös kiinteässä yhteydessä trigonometrisiin funktioihin: e x+yi = e x (cos y + i sin y), missä i = 1 e πi + 1 = 0. 23
Eksponenttifunktion kuvaaja, kun a < 1 Eksponenttifunktion f x = a x on vähenevä, jos a < 1. Esim. Kun auton arvo ostettaessa on K ja se alenee vuosittain 15%, on arvo ajan x funktiona f x = K 0.85 x. Esim. Monet fysikaaliset ilmiöt, kuten radioaktiivisen aineen määrä ajan funktiona Eksponenttifunktion f x = a x, a < 1 arvo lähenee nollaa x:n kasvaessa, muttei koskaan saavuta sitä Koska a 0 = 1 kaikilla a R, kaikki eksponenttifunktiot kulkevat pisteen (0,1) kautta (ks. myös kalvon 22 kuva). 24
Potenssifunktion laskusäännöt pätevät myös eksponenttifunktiolle 1. a x a y = a x+y, Esim. 2 x 2 y = 2 x+y a x 2. = a y axy, Esim. 3x 3y = 3xy 3. (a x ) y = a xy, Esim.(2 x ) y = 2 xy 4. (ab) x = a x b x, Esim. 6 x = (2 3) x = 2 x 3 x 5. a b x = a x b x Esim. 2 x = 4 2 x = 4 x 2 x 25
Presemo-kysymys Sievennä 21.5 2 2 3 0.5 2. 1. 2. 3. 1 36 1 6 2 3 16.1.2018 26
Logaritmifunktio Esim. Lääkeen L valmistuksessa käytettävän bakteerikannan suuruutta ajan y suhteen kuvaa funktio f: R R +, f y = 10 000 2 y. Kauanko kestää, että bakteereja on 80 000 kpl? Eli mikä on y:n arvo, kun 10 000 2 y = 80 000 2 y = 8? 80 000 bakteeria Logaritmifunktio f: R ++ R, y = f x = log a x, a > 0, a 1 vastaa kysymykseen: Mihin lukuun y kantaluku a pitää korottaa, jotta saadaan x? Edellä kantaluku 2 pitää korottaa 3. potenssiin, jotta saadaan 8 y = log 2 8 = 3. 27
Logaritmifunktio Yleisesti: Bakteerikannan suuruutta ajan y suhteen kuvaa funktio f y = 10 000 2 y. Kauanko kestää, että bakteereja on x kpl? Mihin lukuun 2 pitää korottaa, jotta saadaan x = 10 000 2 y 2 y x = 10 000 x y = f(x) = log 2 10 000 x 10 000? 28
Logaritmifunktion ominaisuuksia Logaritmifunktio on Kasvava x:n suhteen, kun kantaluku a > 1 Vähenevä x:n suhteen, kun kantaluku a < 1 1. log a 1 = 0, koska 2. log a a = 1, koska 3. log a a x = x, koska Kuvalähde: https://www.cs.helsinki.fi/u/jhasa/kurssit/y100_s12/materiaali _osa6_y100_s12.pdf 29
Logaritmifunktion laskusäännöt Tulon logaritmi on logaritmien summa: log a xy = log a x + log a y Esim. log 2 32 = log 2 8 4 = log 2 8 + log 2 4 = 3 + 2 = 5. Osamäärän logaritmi on logaritmien erotus: log a x y = log a x log a y Esim. log 2 8 = log a 32 4 = log 2 32 log 2 4 = 5 2 = 3. 30
Logaritmifunktion laskusäännöt Eksponentti hyppää kertoimeksi: log a x d = d log a x Esim. log 2 16 = log 2 4 2 = 2 log 2 4 = 2 2 = 4. Kantaluvun vaihto: log a x = log b x log b a Esim. log 4 16 = log 2 16 log 2 4 = 4 2 = 2. 31
Logaritmi- ja eksponenttifunktion yhteys Laskusäännöistä seuraa, että x = a y log a x = log a a y log a x = y log a a log a x = y Logaritmi- ja eksponenttifunktiot ovat toistensa käänteisfunktioita (tästä lisää ensi luennolla) 32
Luonnollinen ja 10-kantainen logaritmi Tavallisesti käytetään lähinnä e-kantaista eli luonnollista logaritmia ln x = log e x 10-kantaista eli Briggsin logaritmia lg x = log 10 x Muu-kantaiset logaritmit saadaan helposti muutettua jompaankumpaan muotoon. Esim. log 2 x = ln x ln 2 = lg x lg 2 33
Luonnollinen ja 10-kantainen logaritmi Esim. Henkilö on ottanut 10 000 euron jatkuvakorkoisen lainan 5% nimellisellä vuosikorolla. Kuinka pitkän ajan y kuluttua lainapääoma x on 12 000 euroa? x = 10000 e 0.05y = 12 000 e 0.05y = 1.2 ln e 0.05y = ln 1.2 0.05y ln e = ln 1.2 y = ln 1.2 0.05 3.6 vuotta Esim. Äänenpaineen kymmenkertaistuminen tuntuu aina yhtä suurelta muutokselta ihmiskorvassa. Tästä syytä äänen mittaamiseen käytetään 10-kantaiseen logaritmiin perustuvaa desibeli-asteikkoa: Kuvalähde: Wikipedia db = 10 lg Mitattu teho Vertailuteho 34
Luonnollinen logaritmi Yhtälön ratkaisussa hyödynnetään käytännössä aina luonnollista logaritmia Esim. Bakteerikannan suuruutta ajan y suhteen kuvaa funktio f y = 10 000 2 y. Kauanko kestää, että bakteereja on 50 000 kpl? 10 000 2 y = 50 000 2 y = 5 ln 2 y = ln 5 y ln 2 = ln 5 y = ln 5 2h 19 min ln 2 Tästä syystä logaritmin laskusäännötkin kannattaa painaa mieleen muodossa ln xy = ln x + ln y, ln x y = ln x ln y ln x d = d ln x Laitoksen nimi 16.1.2018 35
Presemo-kysymys Mikä vaihtoehdoista on ekvivalentti lausekkeen ln e 2 + ln 2e kanssa? 1. 1 + ln 2 2. 2 ln 2 3. 3 + ln 2 36
Presemo-kysymys Auton arvo on uutena 80 000, ja arvo vähenee 20% vuodessa. Kuinka pitkän ajan kuluttua auton arvo on 40 000? 1. 2 v 6 kk 2. 3 v 1 kk 3. 4 v 1 kk Laitoksen nimi 16.1.2018 37
Yhteenveto yleisimmistä funktiotyypeistä Potenssifunktio f: R R, f x = x n, n R on yksinkertaisen polynomifunktion yleistys tilanteeseen, jossa eksponentti ei välttämättä ole positiivinen kokonaisluku. Eksponenttifunktio f: R R ++, f x = a x, missä kantaluku a > 0, a 1 on vakio Funktio kasvaa kiihtyvästi, jos a > 1 Funktio vaimenee nollaan, jos a < 1 Logaritmifunktio f: R ++ R, f x = log a x vastaa kysymykseen: Mihin lukuun a pitää korottaa, jotta saadaan x? Funktio kasvaa vaimenevalla nopeudella, jos a > 1 Funktio vähenee vaimenevalla nopeudella, jos a < 1 (ei määritelty, jos a <0) 38
Yhteenveto yleisimmistä funktiotyypeistä Logaritmifunktion laskusäännöt: Yleiseimmin sääntöjä käytetään luonnollisen logaritmin yhteydessä: 1. log a xy = log a x + log a y, 2. x log a y a x log a y, 3. log a x d = d log a x 1. ln xy = ln x + ln y, 2. ln x = ln x ln y, y 3. ln x d = d ln x 4. log a x = log b x log b a 39