Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen Ratkaisu 1 Osoitetaan, että jos G = G, niin G = 2 G, jos ja vain jos kaikkien solmujen aste G:ssä ja G :ssa on 1 tai 2 Koska G = 2 G G = 2 G, edellisen tehtävän nojalla riittää osoittaa vain, että G = 2 G, jos G = G ja verkoissa on 0 -asteinen solmu, mutta joitakin särmiä Tapaus, jossa verkossa on 3 -asteinen särmä on tämän tapauksen komplementti ja todistus menee samalla tavoin G G * * * *? * * *-* Jos verkossa G on kaksi solmua, johon ei liity särmiä, mutta verkossa G vain yksi, Akseli pelaa helmipelissä verkkoon G näille solmuille Elinan on pelattava toinen helmistä solmulle, jonka aste on vähintään 1 Akseli poistaa Elinan pelaamista helmen toisen, niin että jäljelle jää helmi, joka on vähintään 1 asteisessa solmussa Tämän jälkeen Akseli siirtää verkossa G solmuun, johon tästä solmusta on särmä Elina ei voi vastata tähän siirtoon ja häviää G G * * * * \ *-* *-* Jos verkossa G on kaksi särmää ja verkossa G kolme (kummassakin yksi solmu, jonka aste on 0), Akseli pystyy erottamaan nämä seuraavasti Aluksi Akseli pelaa verkkoon G kaksi helmeä solmuille, joiden aste on 1 Koska näiden välillä ei ole särmää, on Elinan vastattava verkossa G solmuilla, joiden välillä ei ole särmää Toisen näistä on on oltava verkon 0-asteinen särmä Akseli jättää tämän helmen verkkoon ja poistaa toisen Nyt, kun Akseli pelaa verkossa G 2 -asteiseen solmuun, Elina ei voi vastata siirtoon Osoitetaan sitten, että G = 2 G, jos verkoissa on vain 1 ja 2 -asteisia solmuja Olkoon I Part(G,G ) kaikkien niiden osittaisten isomorfismien p 1

joukko, joilla p 2 Tämä on suljettu rajoittumien suhteen Koska kaikki yhden alkion kokoiset kuvaukset ovat mukana, tyhjä kuvaus laajenee joukkoon triviaalisti Olkoon p: {a} {a } mielivaltainen kuvaus p I ja b G\{a} Jos(a,b) E G, on olemassa b G\{a } siten, että(a,b ) E G, koska deg(a ) 1 Jos (a,b) / E G, on olemassa b G \ {a } siten, että (a,b ) / E G, koska deg(a ) 2 Nyt p {(b,b )} on osittainen isomorfismi, p I Laajennus toiseen suuntaan menee symmetrisesti Tehtävä 2 Kun n N ja n 3, niin C n on n solmun sykli eli verkko, jolle dom(c n ) = {0,,n 1} ja E Cn = {(a,b) {0,,n 1} 2!a b±1 (mod n)} Todista, että kun m,n N ja m > n 3, niin C m = 3 C n Ratkaisu 2 Ensimmäisellä kahdella siirrolla Akseli pelaa siirrot a 0,a 1 C m ja Elina vastaab 0,b 1 C n Nyt verkko C m \{a 0,a 1 } on kahden polun erillinen yhdiste Oletetaan että niiden pituudet ovat k ja h Samoin merkitään s:llä ja t:llä verkon C n \{b 0,b 1 } komponenttien pituuksia (Jos a 0 ja a 1 ovat vierekkäin, niin toinen luvuista k, h on nolla, jne) Näytetään, että yksi seuraavista pätee: (k s) (k t) (1) (h s) (h t) (2) (s k) (s h) (3) (t k) (t h) (4) Toisin sanoen, yksi poluista on eri pituinen kuin kumpikaan polku toisessa verkossa Jos kaikki luvut k, h, s, t ovat keskenään eri, niin väite seuraa Jos k = h, ja (3) ei päde, niin s = k = h, jolloin (4) pätee, sillä m n Samalla tavalla käsitellään tapaus s = t Jos k = t, niin joko h = k tai (2) pätee Samalla tavalla käsitellään tapaukset k = s, h = t ja h = s Symmetrian vuoksi voidaan olettaa että (1) pätee Todistetaan nyt induktiolla k:n suhteen, että tästä tilanteesta eteenpäin Akseli voittaa Helmipelin Alkuakseleena käsitellään tapaulset k = 0, k = 1 ja k = 2, koska kaikkia tarvitaan induktioaskeleessa Jos k = 0, eli (a 0,a 1 ) E Cm, niin Akseli on jo voittanut, koska kohdasta (1) seuraa, että (b 0,b 1 ) / E Cn Jos k = 1, niin pisteiden a 0 ja a 1 välissä on yksi solmu Akseli pelaa siihen, jonka jälkeen Elinan pitäisi pelata sellainen b 2, että (b 0,b 2 ) E vcn ja (b 2,b 1 ) E vcn, mikä tarkoittaisi että s = 1 tai t = 1, mikä on ristiriidassa kohdan (1) kanssa Jos k = 2, edellisen nojalla voidaan olettaa että s > 2 ja t > 2 (muuten, jos s {0,1} tai t {0,1}, sovelletaan samaa päättelyä kuin tapauksissa k = 0 ja k = 1) Nyt Akseli pelaa solmuun a 2 joka on solmun a 0 vieressä ja niin että a 2 :n ja a 1 :n väliin 2

jää yksi solmu Elina joutuu pelaamaan niin, että solmujen b 2 ja b 1 väliin jää vähintään 2 solmua Nyt Akseli poistaa pisteet a 0 ja b 0 ja soveltaa samaa päättelyä kuin kohdassa k = 1 Oletetaan, että k > 2 ja väite on todistettu kaikille k < k Symmetrian vuoksi voidaan olettaa, että t s Nyt seuraavasta kahdesta ehdosta joko kumpikaan ei päde tai ainakin toinen pätee: (k 1 s+1) (k 1 t+1) (5) (k 2 s+2) (k 2 t+2) (6) Huomaa, että ehdosta t s seuraa, että jos kumpikaan ei päde, niin k 1 = t+2 ja k 2 = s+1 Tapaus (5): Akseli pelaa solmuun a 2 joka on solmun a 0 vieressä, niin että a 2 :n ja a 1 :n väliin jäävä, a 0 :aa sisältämättömän, polun pituudeksi tulee k 1 Nyt Elina vastaa joko niin että b 2 :n ja b 1 :n väliin jäävän polun (joka ei sisällä pistettä b 1 ) pituudeksi tulee s 1 tai t 1 Molemmissa tapauksissa Akseli poistaa laudalta pisteet a 0 ja b 0 Nyt pisteiden a 1 ja a 2 välissä on (k 1)- pituinen polku ja toisessa verkossa ovat joko (s 1) ja (t+1) -pituiset tai (s+1) ja (t 1) pituiset polut pisteiden b 1 ja b 2 välillä Ehdoista (5) ja (1) seuraa, että k 1 on eri luku kuin mikään näistä (s 1), (s+1), (t 1) ja (t + 1) joten induktio-oletusta voidaan soveltaa Tapaus (6): Kuten yllä, paitsi että Akseli pelaa niin että a 2 :n ja a 0 :n välissä on yksi solmu, jolloin verkkossa C m \{b 2,b 1 } on k 2 mittainen polku ja sellaista ei ole toisessa verkossa Tapaus jossa kumpikaan ei päde: Niin kuin yllä havaittiin, nytk 1 = t+2 ja k 2 = s+1, eli k 3 s+3 ja k 3 t+3, eli yllä oleva päättely voidaan suorittaa nyt siten, että Akseli pelaa a 2 :n niin, että a 2 :n ja a 0 :n väliin jää kaksi solmua Tehtävä 3 Aakkoston {R}, #(R) = 2, malleissa A ja B on kuvan mukaiset relaatiot Määritä suurin k N, jolle pätee A = k B eli Elinalla on voittostrategia ko mallien välisessä k helmen helmipelissä A B Ratkaisu 3 Selvästi A = 1 B, koska mikä tahansa yhden alkion kuvaus on osittainen isomorfismi malleissa Osoitetaan, että A = 2 B 3

a -> b -> c -> d -> * ^ A V a -> b -> c -> d -> * * -> * -> * -> * -> e ^ B V a -> b -> c -> d Akseli pelaa ensimmäisen siirtonsa malliin B alkioon, joka on merkitty a:lla Jos Elina pelaa jokin muun kuin alkion, joka on merkitty a :lla, Akseli pelaa alkioon, josta on särmä Elinan pelaamaan alkioon Koska mistään alkiosta ei ole särmää a-solmuun, Akseli voittaa pelin Oletetaan nyt, että Elina on pelannut toiseen a :lla merkityistä särmistä Akseli toimii nyt seuraavasti: Pelaa solmuun b Poistaa helmen solmulta a Pelaa solmuun c Poistaa helmen solmulta b Pelaa solmuun d Poistaa helmen solmulta c Pelaa solmuun e Koska solmuparien (a, b), (b, c) ja (c, d) välillä on särmä, Elina häviää pelin, ellei hän vastaa pelaamalla solmuihin, jotka on merkitty b, c ja d Tällöin Elina ei voi enää vastata Akselin viimeiseen siirtoon solmuun e Tehtävä 4 Olkoot A, B ja C saman aakkoston malleja sekä k N Todista, että a) Jos A = k B ja B = k C, niin A = k C b) Jos A = k B ja B = k C, niin A = k C 4

Ratkaisu 4 a) Oletetaan, että (I 0,,I k ): A = k B ja (I 0,,I k ): B = k C Voidaan olettaa lisäksi, että jokainen I i ja I i on suljettu rajoittumien suhteen Olkoon I i = {q p p I i,q I i,dom(q) = rg(p)} Osoitetaan, että (I 0,,I k ): A = k C Koska I k ja I k, = I k, joten I k Olkoon sitten s I i+1 mielivaltainen Osoitetaan, ettäslaajenee edestakaisesti joukkoon I i Olkoon a A\dom(s) mielivaltainen alkio On olemassa sellaiset p I i+1 ja q I i+1, että rg(p) = dom(q) ja s = q p Koska p laajenee joukkoon I i, on olemassa p I i siten, että p p ja a dom(p) = dom(p ) Olkoon b = p (a) Koska q laajenee joukkoon I i, on olemassa q I i siten, että q q jab dom(q) = dom(q ) Nytdom(q ) = rg(p ), jotens = q p I i Koska s s ja a dom(s ), ollaan osoitettu, että s laajenee eteenpäin joukkoon I i Laajennus taaksepäin menee symmetrisesti b) Oletetaan, että I: A = k B ja I : A = k B Olkoon I = {q p p I,q I,dom(q) = rg(p)} Osoitetaan, että I : A = k C Koska I ja I, = I, joten I Jos s = q p I, s X = (q p(x)) (p X) I, joten I on suljettu rajoittumien suhteen Olkoon sitten s I, missä s < k Osoitetaan, että s laajenee edestakaisesti joukkoon I Olkoon a A \ dom(s) mielivaltainen alkio On olemassa sellaiset p I ja q I, että rg(p) = dom(q) ja s = q p Koska p < k, p laajenee joukkoon I ja on olemassa p I siten, että p p ja a dom(p) = dom(p ) Olkoon b = p (a) Koska q < k, q laajenee joukkoon I ja on olemassa q I siten, että q q ja b dom(q) = dom(q ) Nyt dom(q ) = rg(p ), joten s = q p I Koska s s ja a dom(s ), ollaan osoitettu, että s laajenee eteenpäin joukkoon I Laajennus taaksepäin menee symmetrisesti Tehtävä 5 Olkoon R kolmipaikkainen relaatiosymboli Kutsutaan aakkoston {R} mallia A Steinerin kolmikkomalliksi, jos seuraavat kolme ehtoa ovat voimassa 1 1) Relaatio R A on toistoton eli kaikilla (a,b,c) R A alkiot a, b ja c ovat eri alkioita 2 2) Relaatio R A on täysin symmetrinen eli kaikilla (a,b,c) R A pätee (b,c,a) R A ja (a,c,b) R A 3 3) Jokaista alkioparia a, b dom(a) vastaa yksikäsitteinen c dom(a), jolle (a,b,c) R A 5

Osoita, että äärelliset, vähintään seitsenalkioiset Steinerin kolmikkomallit ovat osittaisesti isomorfisia neljän muuttujan suhteen Ratkaisu 5 Olkoon A ja B vähintään seitsenalkioisia Steinerin kolmikkomalleja Olkoon I = {p Part(A,B) p 4} Tämä on selvästi epätyhjä ja suljettu rajoittumien suhteen Olkoon p I, domp < 4 ja osoitetaan, että p laajenee edestakaisesti joukkoon I Kun p 1, voidaan osittaista isomorfismia laajentaa mielivaltaisella tavalla, koska kaikki kaksialkioiset kuvauset ovat kolmikkomallien osittaisia isomorfismeja Kun p = {(a,a ),(b,b )} ja c A, valitaan c B siten, että (a,b,c) R A (a,b,c ) R B Tämä on mahdollista, koska jokaisella parilla (a,b ) on yksikäsitteinen c siten, että (a,b,c ) R B ja B 4 Laajennus toiseen suuntaan menee samalla tavalla Olkoon sitten p = {(a,a ),(b,b ),(c,c )} ja d A Olkoon e a,e b,e c B ne yksikäsitteiset alkiot, joilla (a,b,e c ),(b,c,e a ),(c,a,e b ) R B Jos mitkään joukon {a,b,c,d} kolmikoista eivät kuulu relaatioon R A, pätee (a,b,c ) / R B Valitaan d siten, että d B\{a,b,c,e a,e b,e c } Koska B 7, tämä on mahdollista Tällöin mikään joukon {a,b,c,d } kolmikoista ei kuulu relaatioon R B ja p {(d,d )} on osittainen isomorfismi Jos(a,b,c) R A, valitaand B\{a,b,c } mielivaltaisesti Jos(a,b,d) R A, olkoon d = e c Jos (b,c,d) R A, olkoon d = e a Jos (c,a,d) R A, olkoon d = e b Nyt p {(d,d )} on osittainen isomorfismi, koska {{x,y,z} {a,b,c,d} (x,y,z) R A } = 1, mikä seuraa Steinerin kolmikkomallien kolmannesta ehdosta Tehtävä 6 Esitä esimerkki kahdesta vähintään seitsenalkioisesta epäisomorfisesta Steinerin kolmikkomallista Ratkaisu 6 Olkoon n kokonaisluku n 3 Olkoon A = Z n 2 \ {0}, missä Z 2 tarkoittaa kaksialkioista Abelin ryhmää, ja R A = {(a,b,a + b) A 3 } Osoitetaan, että A n = A,R A on vähintään seitsenalkioinen Steinerin kolmikkomalli Koska n 3, A = 2 n 1 7 Jos (a,b,c) R A, niin a+b = c Tällöin myös b+a = c, eli (b,a,c) R A Koska ryhmän Z k 2 alkiot ovat involuutioita, elix+x = 0,a+c = a+a+b = b, eli(a,c,b) R A Tämä osoittaa, että R A on symmetrinen (a,a,b) / R A millään a,b A, koska a+a = 0 / A Siispä R A on toistoton Relaation määritelmästä nähdään suoraan, että jokaista paria (a,b) A 2 vastaa yksikäsitteinen c A, nimittäin c = a + b siten, että (a,b,c) R A Nyt valitsemalla kaksi eri n arvoa saadaan kaksi epäisomorfista Steinerin 6

kolmikkomallia Seuraavassa toinen esimerkki konstruktiosta: Affiiniin avaruuteen Z n 3 liittyy kolmikkomalli, jonka alkiota ovat avaruuden pisteet ja kolmikkoja sen suorat: A = A,R A,A = Z n 3 jara = {(a,a+b,a+2b) a Z n 3,b Zn 3 \{0}} Tämä on 3 n -alkioinen Steinerin kolmikkomalli Myös seuraavassa kuvassa esitetty malli on Steinerin kolmikkomalli: jokainen väri edustaa yhtä kolmikkoa Samankaltaisella menetelmällä voi pirtää erikokoisia Steinerin kolmikkomalleja, jotka ovat täten epäisomorfisia (Idea peräisin kurssin opiskelijoita) 7