Luku 5. Löwenheimin ja Skolemin lause. kompaktisuuslause. Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin.

Transkriptio

1 Luku 5 Löwenheimin ja Skolemin lause, kompaktisuuslause Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin. Löwenheimin ja Skolemin lause Sanomme, että kaavajoukko Φ L S on toteutuva joukossa B, jos on olemassa S-tulkinta I =(,β), jonka universumi on B, ja jolla pätee I =Φ. Löwenheimin ja Skolemin lauseesta on useita eri versioita. Ensimmäinen näistä on seuraavanlainen: Lause 5.1 (Numeroituva Löwenheim-Skolem) Jos Φ L S on numeroituva toteutuva kaavajoukko, niin se on toteutuva jossakin numeroituvassa tai äärellisessä joukossa. Todistus. Oletetaan, että Φ L S on numeroituva ja toteutuva. Koska jokaisessa kaavassa ϕ Φ esiintyy vain äärellinen määrä eri symboleja X S, on joukko S := {X S X esiintyy jossain ϕ Φ} numeroituva. Nyt Φ L S ja Φ on toteutuva, joten se on ristiriidaton. Lauseen 4.16 ehdot ovat siis voimassa, ja sen todistuksesta (pulauseet 4.12, 4.13, Seuraukset 4.11, 4.14) nähdään, että on olemassa numeroituva S ja Θ L S s.e. I Θ =Φ.Määritelmän 4.3 mukaan tulkinta I Θ on muotoa (,β), missä mallin universumi on = {[t] t T S }. KoskaS on numeroituva, on T S numeroituva. Edelleen, kuvaus T S, t [t], on selvästi surjektio, joten on numeroituva tai äärellinen. Merkitsemme jatkossa joukon mahtavuutta symbolilla card(). Käyttämällä täydellisyyslauseen yleisen muodon todistusta, edellinen lause voidaan yleistää seuraavasti: Lause 5.2 (laspäinen Löwenheim-Skolem) Jos Φ L S on toteutuva kaavajoukko, niin se on toteutuva jossakin joukossa, jolla card() card(l S ). 41

2 Todistus. Oletetaan, että Φ L S on toteutuva. Tällöin Φ on ristiriidaton, ja Seurauksen 4.19 todistuksesta nähdään, että Φ on toteutuva S -tulkinnassa I Θ = (,β), missä S = i N S i. Edelleen S 0 = S ja kullakin i N joukko S i+1 on saatu joukosta S i lisäämällä uusi vakiosymboli c xϕ jokaista muotoa xϕ olevaa L Si -kaavaa kohti. Nyt jokaisella i N pätee card(t Si+1 )= card(t Si )+card({c xϕ xϕ L Si }) =card(t Si )+card(l Si ) =card(l Si ). Toisaalta koska S i+1 ei sisällä enempää relaatio-symboleja kuin S i, voidaan helposti osoittaa, ettäcard(l Si+1 )=card(t Si+1 ) jokaisella i N. Induktiolla voidaan nyt todistaa, että card(t Si+1 )=card(l S ) jokaisella i N. KoskaT S on yhdiste joukoista T Si,tästä seuraa edelleen, että card(t S )=card(l S ). Kaavajoukko Φ on siis tosi S -tulkinnassa I Θ =(,β), missä mallin universumi on ekvivalenssiluokkien joukko = {[t] t T S }. Ylläolevan perusteella card() card(t S )=card(l S ). Kompaktisuuslause nnamme kompaktisuuslauseelle kaksi eri muotoilua: Lause 5.3 (Kompaktisuuslause) Olkoon Φ L S ja ϕ L S. (a) Φ on toteutuva jos ja vain jos jokainen äärellinen Φ 0 Φ on toteutuva. (b) Φ = ϕ jos ja vain jos Φ 0 = ϕ jollain äärellisellä Φ 0 Φ. Todistus. (a) Jos Φ on toteutuva, on olemassa S-tulkinta I s.e. I = Φ. Tällöin I =Φ 0 jokaisella (äärellisellä) Φ 0 Φ. Oletetaan sitten, että jokainen äärellinen Φ 0 Φ on toteutuva. Tällöin pulauseen 4.4 perusteella jokainen äärellinen Φ 0 Φ on ristiriidaton, ja edelleen pulauseen 4.3 nojalla Φ on ristiriidaton. Lauseesta 4.19 seuraa nyt, että Φon toteutuva. (b) Selvästi Φ = ϕ jos ja vain jos Φ { ϕ} ei ole toteutuva. Kohdan (a) perusteella tämä onyhtäpitävää sen kanssa, että Φ 0 { ϕ} ei ole toteutuva jollain äärellisellä Φ 0 Φ. Tämä on puolestaan yhtäpitävää sen kanssa, että Φ 0 = ϕ jollain äärellisellä Φ 0 Φ. Kompaktisuuslauseella on lukuisia mielenkiintoisia seurauksia. Tyypillisesti sen avulla todistetaan, että monia keskeisiä matemaattisia käsitteitä ei voi määritellä predikaatilogiikan kaavoilla tai kaavajoukoilla. Täydennämme kompaktisuuslauseen avulla aluksi Löwenheim-Skolem tyyppisten tulosten luetteloa. 42

3 Lause 5.4 Olkoon Φ L S kaavajoukko. Jos Φ on toteutuva mielivaltaisen suurissa äärellisissä joukoissa, niin se on toteutuva myös jossakin äärettömässä joukossa. Todistus. Määritellään kullakin n N lause ϕ n L seuraavasti: ϕ n := x 1... x n 1 i<j n x i x j. Selvästi jokaisellla S-mallilla pätee tällöin = ϕ n card() n. Tarkastellaan nyt kaavajoukkoa Ψ := Φ {ϕ n n N}. Olkoon Ψ 0 joukon Ψ äärellinen osajoukko. Tällöin on olemassa m N, jolla Ψ 0 Φ {ϕ n n m}. Oletuksen perusteella on olemassa S-tulkinta I 0 = ( 0,β 0 ), jolla I 0 = Φ ja card( 0 ) m. Mutta tällöin I 0 = ϕ n jokaisella n m, ja siten I 0 =Ψ 0. Olemme siis osoittaneet, että jokainen joukon Ψ äärellinen osajoukko on toteutuva, joten kompaktisuuslausen nojalla on olemassa I =(,β), jolla I = Ψ. Nyt I =Φjacard() n jokaisella n N, joten on ääretön. Lause 5.5 (Ylöspäinen Löwenheim-Skolem) Olkoon Φ L S on kaavajoukko, joka on toteutuva äärettömässä joukossa ja olkoon B joukko. Tällöin Φ on toteutuva jossakin joukossa, jolla card() card(b). Todistus. Kiinnitetään vakiosymbolit c b, b B; oletamme tässä, että c b S ja c b = c b, kun b, b B ja b = b. Tarkastellaan kaavajoukkoa Ψ:=Φ { c b c b b, b B,b = b }. Osoitetaan ensin kompaktisuuslauseen avulla, että Ψ on toteutuva. Oletetaan siis, että Ψ 0 Ψonäärellinen. Tällöin on olemassa äärellinen B 0 B, jolla pätee Ψ 0 Φ { c b c b b, b B 0,b = b }. Oletuksen mukaan on olemassa S-tulkinta I 0 =(C,γ), jonka universumi C on ääretön. Koska C on ääretön, I 0 voidaan laajentaa S {c b b B 0 }-tulkinnaksi I0 =(C,γ) valitsemalla jokaiselle c b, b B 0, eri tulkinnat c C b C. Tällöin on selvää, että I0 = ΦjaI0 = c b c b kaikilla b, b B 0 s.e. b = b,joteni0 = Ψ 0. Kaavajoukko Ψ on siis toteutuva, eli on olemassa S {c b b B 0 }-tulkinta I =(,β), jolla I =Ψ.KoskaI = c b c b kaikilla eri alkioilla b, b B, on kuvaus B, b c b, injektio, joten card( ) card(b). Edelleen tulkinnasta I saadaan S-tulkinta I =(,β)jättämällä vakiosymbolien c b, b B, tulkinnat pois. Nyt nähdään, että I =Φjacard() =card( ) card(b), sillä =. Lause 5.6 (Löwenheim-Skolem-Tarski) Olkoon Φ L S on kaavajoukko, joka on toteutuva äärettömässä joukossa, ja olkoon κ card(φ) ääretön kardinaali. Tällöin Φ on toteutuva jossakin joukossa, jolla card() =κ. Todistus. Ylöspäisen Löwenheimin ja Skolemin lauseen persuteella Φ on toteutuva jossakin joukossa C, jolla card(c) κ. Olkoon B joukko, jolla card(b) = κ, 43

4 ja olkoon S := S {c b b B}, missä vakiosymbolit c b, b B, ovat kuten Lauseen 5.5 todistuksessa. Tarkastellaan S -kaavajoukkoa Ψ:=Φ { c b c b b, b B,b = b }. Koska card(φ) κ, on selvästi card(l S )=κ. Siispä alaspäisen Löwenheimin ja Skolemin lauseen perusteella on olemassa S -tulkinta I =(,β), jolla I =Ψ ja card( ) κ. Toisaalta, kuten Lauseen 5.5 todistuksessa nähdään taas, että card( ) card(b) =κ, jotencard( )=κ. Jättämällä mallista taas pois vakiosymbolien c b, b B, tulkinnat, saadaan S-tulkinta I =(,β), jolla pätee I =Φjacard() =card( )=κ. Tarkastellaan vielä lopuksi yhtä esimerkkiä kompaktisuuslauseen soveltamisesta graafiteoriassa. Tässä graafi on {E}-malli G =(V,E G ), jonka särmärelaatio E G on symmetrinen ja irrefleksiivinen solmujen joukossa V. Esimerkki 5.1 Graafin G =(V,E G ) k-väritys on joukon V jako erillisiin osajoukkoihin 1 U 1,...,U k s.e. kaikilla u, v V ja i {1,...k} pätee ehto: ( ) josu, v U i, niin (u, v) E G. Idea on siis, että graafin G solmut on jaettu värien mukaan luokkiin U i,jajos solmujen u ja v välillä on särmä, niin niiden on oltava erivärisiä. Graafi G on k-värittyvä, jos sillä on olemassa k-väritys. Graafien k-väritykset voidaan määritellä predkaattilogiikan lauseilla seuraavasti: Olkoot P 1,...,P k 1-paikkaisia relaatiosymboleja, ja olkoon ϕ kc lauseiden ϕ := x y(exy Eyx) x Exx, ψ := x 1 i k P ix 1 i<j k (P ix P j x),ja θ := x y 1 i k (P ix P i y Exy) konjunktio. Tällöin jokaisella E {P 1,...,P k }-mallilla pätee: = ϕ joss (, E ) on graafi, = ψ joss P1,...,Pk on joukon jako erillisiin osajoukkoihin, ja = θ joss joukot Pi toteuttavat ehdon ( ) kaikilla a, b. Siispä = ϕ kc jos ja vain jos (, E ) on graafi, ja P 1,...,P k on sen k-väritys. Väite: Graafi G on k-värittyvä jos ja vain jos sen jokainen äärellinen alimalli (eli indusoitu aligraafi) on k-värittyvä. Osoitetaan ensin, että josgraafig on k-värittyvä, niin jokainen alimalli G 0 G on myös k-värittyvä. Oletetaan tätä varten, että joukot U 1,...,U k muodostavat graafin G k-värityksen. Jos G 0 =(V 0,E G 0 ) on graafin G alimalli, niin on helppo todeta, että joukot U 1 V 0,...,U k V 0 muodostavat tällöin graafin G 0 k-värityksen. Oletetaan sitten, että jokainen äärellinen G 0 G on k-värittyvä. Otetaan taas käyttöön uudet vakiosymbolit c v, v V, ja 1-paikkaiset relaatiosymbolit P 1,...,P n. 1. Siis 1 i k U i = V ja U i U j = aina kun 1 i<j k. 44

5 Olkoon S symbolijoukko {E} {c v v V } {P 1,...,P k }.Määritellään lausejoukko Φ L S seuraavasti: Φ:={ϕ kc } {Ec u c v (u, v) E G } { Ec u c v (u, v) E G } { c u c v u = v}. Nyt riittää osoittaa, että Φ on toteutuva. Jos nimittäin = Φ, niin (, E )on k-värittyvä graafi, koska = ϕ kc.tällöin myös sen alimalli B =(B,E B 2 ), missä B := {c v v V }, on ylläolevan päättelyn nojalla k-värittyvä. Koska = Ec u c v joss (u, v) E G, on suoraviivaista todeta, että kuvaus f : V B, v c v,ontällöin isomorfismi G B, jotenmyös G on k-värittyvä. Todistetaan lopuksi lausejoukon Φ toteutuvuus kompaktisuuslauseen avulla. Oletetaan tätä varten, että Φ 0 Φonäärellinen. Tällöin on olemassa äärellinen V 0 V s.e. kaikki joukon Φ 0 lauseissa esiintyvät vakiosymbolit ovat joukossa {c v v V 0 }. Olkoon G 0 =(V 0,E G 0 ) joukon V 0 määräämä graafin G alimalli. Oletuksen mukaan G 0 on k-värittyvä, joten on olemassa sen k-väritys U 1,...,U k. Siis G 0 = ϕ kc, missä G 0 on saatu graafista G 0 lisäämällä tulkinnat P G 0 i = U i, 1 i k. Selvästi myös G 0 = Ec u c v aina kun Ec u c v Φ 0, ja sama pätee myös muotoa Ec u c v ja c u c v oleville joukon Φ 0 lauseille. Siispä G 0 = Φ 0. Elementaariset luokat Olkoon Φ L S lausejoukko. Käytämme merkintää Mod S (Φ) := { on S-malli ja = Φ}. Tapauksessa Φ = {ϕ} merkitsemme lyhyesti Mod S (ϕ) :=Mod S ({ϕ}). Määritelmä 5.1Olkoon K luokka S-malleja. (a) K on elementaarinen luokka, jos on olemassa lause ϕ L S s.e. K =Mod S (ϕ). (b) K on -elementaarinen luokka, jos on olemassa lausejoukko Φ L S s.e. K =Mod S (Φ). Huomaa, että jokainen elementaarinen luokka on automaattisesti myös -elementaarinen. Toisaalta selvästi Mod S (Φ) = {Mod S (ϕ) ϕ Φ}, joten jokainen -elementaarinen luokka on elementaaristen luokkien leikkaus. Monet keskeiset matemaatiset käsitteet eivät ole elementaarisia tai edes -elementaarisia. Yksi tällainen käsite on äärellisyys: Lause 5.7 Äärellisten S-mallien luokka K fin S ei ole -elementaarinen. Todistus. Olkoon Φ L S lausejoukko. Jos on olemassa KS fin s.e. = Φ, niin KS fin =Mod S(Φ). Oletetaan siis, että = Φ jokaisella KS fin.tällöin Lauseen 5.4 perusteella on olemassa ääretön S-malli s.e. = Φ.Koska KS fin,tästä seuraa taas, että KS fin =Mod S(Φ). 45

6 Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkiä elementaarisesta ja -elementaarisesta luokasta. Kaikkien kuntien luokka F on elementaarinen: Kuntien teoria muodostuu äärellisen monesta aksioomasta (yhteenlaskun + ja kertolaskun liitännäisyys ja vaihdannaisuus, neutraalialkiot 0 ja 1, vasta-alkion x ja käänteisalkion x 1 olemassaolo, sekä osittelulaki). Siis F =Mod S (ϕ F ), missä S = {+,, 0, 1} ja ϕ F on konjunktio näistä aksioomista. Jokaisella kunnalla F on karakteristika χ(f), joka on pienin (alku)luku p Z + s.e. p 1 F =0 F,tai0,joställaista lukua ei ole olemassa. Tässä p 1 F määritellään rekursiolla: 1 1 F =1 F ja (n +1) 1 F = n 1 F +1 F. Selvästi jokaisella p Z + on olemassa lause ψ p L S s.e. F = ψ p χ(f) =p. Siispä luokka F p = {F F on kunta ja χ(f) =p} on elementaarinen jokaisella alkuluvulla p. Edelleen luokka F 0 = {F F on kunta ja χ(f) = 0} on - elementaarinen, sillä F 0 =Mod S ({ϕ F } { ψ p p Z + }). Toisaalta F 0 ei ole elementaarinen. Tämä seuraa välittömästi allaolevasta tuloksesta: Lause 5.8 Jos ϕ L S on lause s.e. F 0 = ϕ, niin on olemassa n Z +, jolla F p = ϕ aina kun p n. Todistus. Oletetaan, että F 0 = ϕ. Tällöin {ϕ F } { ψ p p Z + } = ϕ, joten kompaktisuuslauseen perusteella on olemassa n Z +, jolla pätee {ϕ F } { ψ p p<n} = ϕ. Jos nyt F on kunta, jolla χ(f) n, niin F = {ϕ F } { ψ p p<n}, jotenf = ϕ. Siispä F p = ϕ jokaisella p n. Elementaarinen ekvivalenssi Määritelmä 5.2(a) S-mallit ja B ovat elementaarisesti ekvivalentit, B, jos kaikilla lauseilla ϕ L S pätee = ϕ B = ϕ. (b) S-mallin (täydellinen) teoria on lausejoukko Th() :={ϕ L 0 S = ϕ}. pulause 5.9 Olkoot ja B S-malleja. Tällöin B joss B = Th(). Todistus. Oletetaan ensin, että B. Jos ϕ Th(), niin = ϕ, joten oletuksen perusteella B = ϕ. Siispä B = Th(). Oletetaan sitten, että B = Th(). Olkoon ϕ L S. Jos = ϕ, niin ϕ Th(), ja siten B = ϕ. Jos taas = ϕ, niin = ϕ, jolloin ϕ Th(). Tästä taas seuraa, että B = ϕ, ja siis B = ϕ. Siispä B. 46

7 Huomaa, että elementaarinen ekvivalenssi on selvästi symmetrinen: B joss B. Siispä myös pätee ekvivalenssi: B = Th() joss = Th(B). Elementaarinen ekvivalenssi on lunnollisesti myös refleksiivinen ja transitiivinen:, ja jos B ja B C, niin C. Jos on S-malli, merkitsemme malliluokkia {B B = } ja {B B } symboleilla K = ja K. Osoitamme seuraavaksi, että mitään ääretöntä mallia ei voi määritellä isomorfiaa vaille yksikäsitteisesti predikaattilogiikan lausejoukolla. Toisaalta jokainen malli voidaan määritellä elementaarista ekvivalenssia vaille yksikäsitteisesti. Lause 5.10 (a) Jos on ääretön, niin K = ei ole -elementaarinen. (b) Luokka K on -elementaarinen; itse asiassa K =Mod S(Th()). Todistus. (a) Olkoon Φ L S lausejoukko. Osoitetaan, että K = =Mod S (Φ). Jos = Φ, väite on triviaalisti tosi. Oletetaan siis, että = Φ. Tällöin ylöspäisen Löwenheimin ja Skolemin lauseen perusteella on olemassa malli B, jolla B = Φ ja card(b) card(p()). Erityisesti card(b) > card(), joten B ei voi olla isomorfinen mallin kanssa. Siispä K = =Mod S (Φ). (b) Päättelemme seuraavasti: B K joss B. pulauseen 5.9 perusteella tämä onyhtäpitävää sen kanssa, että B = Th(), eli ehdon B Mod S (Th()) kanssa. Seuraus 5.11 Jokaisella äärettömällä mallilla on olemassa malli B, jolla pätee B, mutta B =. Todistus. Lauseen 5.10 perusteella on olemassa B K = s.e. B = Th(). Siis B, mutta B =. Erityisesti on olemassa epästandardeja reaalilukujen teorian Th(R) malleja, eli malleja R, jotka eivät ole isomorfisia standardimallin R =(R, +,, 0, 1,<) kanssa. Ei-isomorfisuus voi johtua yksinkertaisesti siitä, että card() = card(r), mutta on mielenkiintoisempiakin esimerkkejä. Olkoon S symbolijoukko, joka sisältää yhteenlaskun symbolin +, sekä vakiosymbolit 0 ja 1. Määritellään S-termit n, n N, rekursiolla seuraavasti: 0 =0 n +1= n +1. Toisin sanoen n on termi, jossa n kappaletta vakiosymbolia 1 summataan yhteen. Selvästi termin n arvo reaalilukujen järjestetyssä kunnassa R on luonnollinen luku n: n R = n jokaisella n N. Kunta R on tunnetusti rkhimedeen kunta: jokaisella a R on olemassa n N, jolla pätee a< R n R. Kompaktisuuslauseen avulla on kuitenkin helppo todistaa, että on olemassa teorian Th(R) malli, jossa on alkio a, joka ei toteuta ehtoa a < n millään n N. Tästä seuraa, että ei voi olla isomorfinen mallin R kanssa: Suoraviivaisella induktiolla voidaan todistaa, että jos f : R on 47

8 isomorfismi, niin f(n )=n R jokaisella n N. Tällöin pitäisi olla f(a) R n R jokaisella n N, mikä on mahdotonta, koska R on rkhimedeen kunta. Lause 5.12 On olemassa epästandardi reaalilukujen teorian malli, joka ei ole rkhimedeen kunta. Todistus. Olkoon ρ n kaava x<n kullakin n N, ja olkoon Φ kaavajoukko Th(R) {ρ n n N}. Osoitetaan kompaktisuuslauseen avulla, että Φ on toteutuva. Jos Φ 0 Φonäärellinen, niin on olemassa m N, jolla Φ 0 Th(R) {ρ n n<m}. Olkoon β mallin R tulkintafunktio, jolla β(x) = m. Tällöin selvästi (R,β) = ρ n jokaisella n<m,ja(r,β) = Th(R), joten (R,β) = Φ 0. Siispä on olemassa tulkinta I =(,γ), jolla I = Φ. Erityisesti I = ρ n jokaisella n N, joten mallissa ei päde a< n millään n N, missä a = γ(x). Huomaa, että kaavajoukko Φ Lauseen 5.12 todistuksessa on numeroituva, joten Löwenheimin, Skolemin ja Tarskin lauseen nojalla tällainen epästandardi reaalilukujen teorian malli voidaan muodostaa missä hyvänsä äärettömässä mahtavuudessa κ. Samalla tavalla nähdään, että on olemassa epästandardeja aritmetiikan malleja, eli malleja = Th(N), joilla = N, missä N =(N, +,, 0, 1) on aritmetiikan standardimalli. Lause 5.13 (Skolemin lause) On olemassa numeroituva epästandardi aritmetiikan malli. Todistus. Olkoon σ n := x n, n N, ja olkoon Ψ := Th(N) {σ n n N}. Jos Ψ 0 Ψonäärellinen, niin on olemassa m N, jolla Ψ 0 Th(N) {σ n n<m}. Selvästi (N,β) = Th(N) ja(n,β) = σ n jokaisella n<m, ja siten (N,β) = Ψ 0, kun β(x) = m. Kaavajoukon Ψ jokainen äärellinen osajoukko on siis toteutuva, joten kompaktisuuslauseen nojalla Ψ on toteutuva. Numeroituvasta Löwenheimin ja Skolemin lauseesta seuraa nyt, että on olemassa {+,, 0, 1}-tulkinta I =(,γ), jolla I =Ψ, ja on numeroituva. Siis on numeroituva aritmetiikan malli. Osoitetaan vielä lopuksi, että = N. Tehdään vastaoletus: g : = N on isomorfismi. Helpolla induktiolla nähdään, että tällöin g(n )=n N = n jokaisella n N. Olkoon a = γ(x), ja olkoon m = g(a) N. KoskaI = σ m,ona = m. Toisaalta g(a) =m = m N = g(m ), joten g ei ole injektio, eikä siten voi olla isomorfismi. Jokainen teorian Th(N) malli N sisältää aina standardiosan N := {n n N} (mallin standardit luonnolliset luvut). Joukon \ N alkioita sanotaan mallin epästandardeiksi luvuiksi. Standardiosa määrää aina mallin alimallin N, joka on isomorfinen standardimallin N kanssa: on helppo todistaa, että kuvaus n n on isomorfismi N = N. Jos mallin epästandardien lukujen joukko \ N on epätyhjä, niin kaikki sen alkiot a ovat itse asiassa suurempia kuin mitkään mallin standardiluvut n. 48

9 Luonnollisten lukujen tavallinen järjestys y < x voidaan nimittäin määritellä kaavalla θ < := z(x y + z +1). Käyttäen tätä kaavaa, voidaan kirjoittaa lauseet ξ n, n N, jotka ilmaisevat, että n on n:nneksi pienin alkio (kaavan θ < määräämässä järjestyksessä). Jos siis a = γ(x) on mallin epästandardi luku, niin (,γ) = θ < [n/y] jokaisella n N. Jos a on mallin epästandardi luku, niin mallissa on myös alkiot a + n, n N; samoin siinä on alkiot a n, n N. (Tässä a n on se yksikäsitteinen b, jolla b + n = a.) Näiden alkioiden keskinäinen järjestys on sama kuin kokonaisluvuilla:...< a 2 <a 1 < a< a + 1 < a + 2 <..., ja niiden väleissä ei ole muita alkioita: ei ole olemassa b, jolla a + n < b< a + (n +1) tai a (n +1) < b< a n. Jokainen epästandardi aritmetiikan malli muodostuu siis standardeista luonnollisista luvuista, joiden perässä on kokoelma epästandardien lukujen ryppäitä, joista kukin on kokonaislukujen kanssa isomorfisessa järjestyksessä. Lisäksi voidaan todistaa, että nämä ryppäät ovat toistensa seassa tiheässä järjestyksessä. 49