Diskreei maemaiikka, sks 00 Harjoius 0, rakaisuisa. Esi viriävä puu suunaamaomalle verkolle G = (X, E, Ψ), kun X := {,,, }, E := { {, }, {, }, {, }, {, }, {, }}, ja Ψ on ieninen kuvaus. Rakaisu. Viriäviä puia on kaheksan erilaisa, kun solmu pieään nimeinä. Esieään aluksi verkko kaaviona: Kun solmu pieään nimeinä, erilaisia viriäviä puia on kaheksan kappalea: Lisäksms: Kuinka mona erilaisa isomorfiappiä näiä on? (vasaus: ). Olkoon G = (X, E, Ψ) suunaamaon verkko, jossa on n solmua, m kaara ja p henäisä komponenia. Osoia, eä m n p, ja eä häsuuruus päee jos ja vain jos G on mesä. Rakaisu. Olkoo aliverko G i = (X i, E i, Ψ i ) verkon G = (X, E, Ψ) henäise komponeni, joia siis oli p kappalea. a) Solmujouko X i muoosava joukon X osiuksen, samoin kaarijouko E i ova pisevieraia ja E = E i. Koska kukin G i on henäinen, on Seurauksen.. mukaan olemassa viriävä puu H i = (X i, F i, Γ i ), joille F i E i E ja Γ i = Ψ i F i. Silloin #X i = #F i + eli #F i = #X i, ja #E i #X i, misä (osius!) #E = p #E i i= p (#X i ) = #X p, i= eli m n p.
) Jos m = n p, niin eellisisä seuraa #E i = #X i = #F i. Koska F i E i ja #E i = #F i, on (äärellisen nojalla) E i = F i. Mua silloin G i : ova puia ja sien G mesä. Jos aas G on mesä, on Lauseen.. mukaan #E = m = n p = #X p.. Osoia, eä äärellisessä suunaamaomassa puussa, joka ei ole pelkäsään ksi solmu, on ainakin solmua, joien ase on. Rakaisu. Olkoon G = (X, E, Ψ) äärellinen puu, #X. N jokaisen solmun ase on vähinäin ksi, sillä verkko oli henäinen. Anieesi. Vähinäin -aseisia solmuja on ainakin #X. Olkoon 0 X solmu, jolle G ( 0 ) ja muille solmuille G (). Silloin Lauseien.. ja.. mukaan #E = X G () = G ( 0 ) + 0 G () + (#X ) > (#X ) = #E. Tämähän on vähinäänkin asuria, joen anieesi on väärä ja sen negaaio oa.. Esi viriävä puu eph-firs- ja reah-firs-meneelmillä suunaamaomalle verkolle G, jonka mariisi on 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M G := 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Rakaisu. Verkon kaavioesis on (huomaa, eä solmujen ja välillä on rinnakkaise kaare, solmusa ei ole suoraa heä solmuihin eikä!) 0
a) Svshaku: pääsään kaikkiin jopa kejulla {,,,,,,,, 0, }. ) Leveshaku:,, ;, ;, 0; ; ai sulkuversiona [[, ], [[],0], []] Saau viriävä puu kuvioina: 0 0 a) Svshaku ) Leveshaku. Olkoon G = (X, U, Ψ) suunnau verkko, jossa ei ole erillisiä solmuja, ja jossa on nuole {(a, ), (a, ), (a, f), (, a), (, ), (, f), (, ), (, ), (, f), (, e), (e, ), (e, e), (e, f)} a) Piirrä verkko nuolikaaviona. ) Muoosa verkon G hesmariisi. Rakaisu. a f e ) Verkon hesmariisi on M G = G a e f a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e 0 0 0 f 0 0 0 0 0 0
. Onko ehävän verkko G a) ksinkerainen ai äellinen? ) henäinen ai vahvasi henäinen? Jos ei, määriä komponeni. ) Eulerin verkko? ) Hamilonin verkko? Vihje: Yhenäiss: arkasele vasaavaa suunaamaona verkkoa. Vahva henäiss: Tarkasele solmujoukon osajoukkojen viriämiä aliverkkoja. Rakaisu. a) Verkko ei ole ksinkerainen, sillä (e, e). Verkko ei ole äellinen, sillä ei ole esimerkiksi (a, ) eikä (, a). ) Verkko on henäinen, mua ei vahvasi henäinen, sillä solmusa f ei pääsä mihinkään. Vahvasi henäise komponeni ova solmujoukkojen {a,, }, {, e} ja {f} viriämä aliverko: a f e ) Ei ole Eulerin verkko, sillä esimerkiksi + G (a) = = G (a). (Verkossa ei ole ees avoimia Eulerin polkuja.) ) Ei ole Hamilonin verkko, sillä + G (f) = 0. (Lö kuienkin avoin Hamilonin polku {, a,,, e, f}.). Olkoon G äärellinen suunnau verkko hesmariisina M. Osoia, eä arvoilla k N ulomariisin ( ij ) n n := M k alkio ij ilmoiaa erilaisen k-piuisen nuolijonojen i j lukumäärän. Vihje: Rakenna inukiooisus nuolijonon piuuen suheen. Rakaisu. Toisus inukiolla luvun k suheen. Olkoon M = (a ij ) n n. ) k = : ( ij ) = (a ij ) = M = M ilmoiaa kaikki nuole, eli -piuise jono. ) k = m. Olkoo väie osi arvolla m, s. M m = ( ij ), missä ij = #{m-piuise nuolijono i j }. ) k = m+. Olkoon ( ij ) = M m+ = M m M. Jokainen m+-piuinen jono i j koosuu m-piuisesa jonosa i v jollekin välisolmulle v ja hesä nuolesa v j. i v j m-piuisia jonoja
Kämällä näin läpi kaikki alkio v saaaan uloperiaaeen mukaan ij = n n iv a vj = #{m-piuise i v } #{-piuise v j } v= v= = # {(m+)-piuise i j }. Inukioperiaaeen mukaan väie on osi kaikilla k N.