PHYS-C0210 Kvanttimekaniikka: peruskäsitteitä

PHYS-C0210 Kvanttimekaniikka: peruskäsitteitä J.-P. Martikainen 1 1 Aalto Varoitus! Tämä tiedosto on tarkoitettu lyhyeksi muistutukseksi kurssilla esiintyneistä konsepteista ja keskeisimmistä kaavoista yms. Tämä ei ole tarkoitettu korvaamaan kurssikirjaa. Tiedostoa voidaan täydentää vähitellen kurssin aikana. I. NOTAATIOISTA h on ns. redusoitu Planckin vakio ts h = h/, missä h on Planckin vakio. Fysiikassa h esiintyy itseasiassa useammin kuin h. Sisätulo kahdelle kvantitilalle on φ ψ. Ks. myöhemmin Diracin notaation kohdalta kuinka tämä liittyy esimerkiksi integraaleihin, kun Hilbertin avaruuden kannaksi valitaan paikkaoperaatorin ominaistilat. m tarkoittaa yleensä hiukkasen massaa ω on kulmataajuus. Harmonisen oskillaattorin tapauksessa tämä on yhteydessä potentiaaliin niin, että V (x) = mω 2 x 2 /2. Ĥ on Hamiltonin operaatttori eli energiaoperaattori. Yleisesti hattu symbolin päällä indikoi, että kyseessä on operaattori eikä välttämättä pelkkä numero. Diracin notaatiossa tilavektoria merkitään ket-vektorilla ψ. Tämä ei vielä spesifioi Hilbertin-avaruuden kantaa ja tämä sama tila voidaan esitää monella eri tavalla. Esimerkiksi, jos haluamme esittää sen paikka-operaattorin ominaistilojen x avulla se on ψ = x x ψ x = x ψ(x) x. (1) Tämä on yleinen esitysmuoto ja tässä amplitudi ψ(x) on aaltofunktio. Toisaalta jossain toisessa kannassa φ n ψ = n φ n ψ φ n, (2) missä sisätulo a n = φ n ψ on amplitudi olla tilassa φ n Se mitä kantaa kannattaa käyttää riippuu tilanteesta. Merkinnällä  tarkoitetaan operaattorin  odotusarvoa ts.  = ψ  ψ = dxψ (x)âψ(x) (3) missä viimeinen muoto on esitetty paikkaoperaattorin ominaistilojen kannassa eli aaltofunktion ψ(x) avulla. Muut esitysmuodot käyttivät Diracin merkintätapaa. II. KVANTTIMEKANIIKAN PERUSPOSTULAATIT 1. Postulaatti I: Jokaista mitattavaa asiaa (observaabeli) vastaa operaattori. Mittaustuloksena voi saada vain tämän operaattorin ominaisarvoja. 2. Postulaatti II: Jos mittaamme tietyn ominaisarvon, kvanttitila romahtaa vastaavaan mitatun operaattorin ominaistilaan Jani-Petri.Martikainen@aalto.fi

2 3. Postulaatti III: Kaikki systeemin kuvaamiseen tarvittava tieto on aaltofunktiossa ψ 4. Postulaatti IV: Aaltofunktion aikakehitys seuraa (Schrödingerin) yhtälöstä: i h ψ t = Ĥψ. (4) III. AIKAKEHITYS Kvanttimekaniikassa aikakehitys lasketaan aaltofunktiolle ψ ajasta riippuvasta Schrödingerin yhtälöstä i h ψ t = Ĥψ. (5) Tässä Ĥ on Hamiltonin operaattori. Muodollinen ratkaisu alkuarvo-ongelmalle voidaan tällöin esittää aikakehitysoperaattorin Û avulla ψ(t) = Ûψ(t = 0) = e itĥ/ h ψ(t = 0). (6) Joskus Û voidaan ratkaista analyyttisesti, mutta yleensä tämä ei onnistu. (Muuten... operaattori, jossa operaattori esiintyy eksponentissa määritellään sen sarjakehitelmän kautta. Ts. esimerkiksi exp(â) = n=0 Ân /n!.) Toimittaessa yhdessä paikkaulottuvuudessa yhdelle hiukkaselle, aaltofunktio usein esitetään paikkaoperaattorien ominaistilojen kannassa ts. se on kompleksiarvoinen funktio ψ(x, t). Mikäli hiukkanen kokee potentiaalin V (x) ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö ottaa muodon ψ(x, t) i h = h2 2 ψ(x, t) t 2m x 2 + V (x)ψ(x, t) (7) Hamiltonin operaatorin ominaistilan aikakehitys on helppoa. Sanotaan, että systeemi on alussa ominaistilassa φ n (x) ja sitä vastaava energia on E n. Tällöin suora sijoitus vahvistaa, että ψ(x, t) = φ n (x)e ient/ h (8) on ajasta riippuvan ongelman ratkaisu. Jos tila voidaan esittää superpositiona Hamiltonin operaattorin ominaistiloista ψ(x, t = 0) = n a n φ n (x), (9) niin sen aikakehitys seuraa ominaistilojen aikakehityksestä. Schrödingerin yhtälön lineaarisuuden vuoksi voimme kirjoittaa ratkaisun... ψ(x, t) = n a n e ient/ h φ n (x). (10) Koska vaihetekijät voivat edetä eri amplitudeissa eri vauhtia, interferenssiefektit tulevat mahdollisiksi laskettaessa esimerkiksi odotusarvoja mittaustuloksille. IV. OMINAISTILAT JA OMINAISARVOT Jotain observaabelia vastaavan operaattorin Ô ominaistilat ovat ratkaisuja ψ n yhtälölle Ôψ n = c n ψ n (11) Näitä ominaistiloja vastaava ominaisarvo on c n. Esimerkiksi liikemääräoperaattori yhdessä ulottuvuudessa on ˆp = i h / x ja sitä vastaava yhtälö ominaistiloille on i h ψ k(x) x = p k ψ k (x). (12) Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisuna on ψ k (x) = exp(ikx), jolla on (suora sijoitus) ominaisarvo p k = hk. Ominaistilat ja ominaisarvot toki muuttuvat, kun operaattori muuttuu.

3 V. MITTAUSTODENNÄKÖISYYDET JA SUPERPOSITIO Laskiessasi mittaustodennäköisyyksiä jollekin aaltofunktiolle ψ tee seuraavaa: 1. Ratkaise havaittavan observaabelin ominaistilat ja -arvot φ n ja c n 2. Esitä aaltofunktio superpositiona näiden ominaistilojen kannassa. Ts. ψ = n a n φ n, (13) missä a n on amplitudi olla tilassa φ n. 3. Mittaustodennäköisyys tulokselle c n on sitten P n = a n 2. Operaattorin mittauksella on odotusarvo ψ Ô ψ. Jos tila ja operaatori esitetään paikkaoperaattorin ominaistilojen avulla, tämä odotusarvo voidaan kirjoittaa muodossa ψ Ô ψ = Tarkka muoto tosin riippuu siitä miten Hilbertin avaruuden kannan on valinnut. Standardipoikkeaman Ô voi laskea laskemalla odotusarvon varianssille ψ (x)ôψ(x)dx. (14) ( Ô)2 = ψ Ô2 ψ ψ Ô ψ 2 (15) ja ottamalla siitä neliöjuuren. Kuinka kannanvaihto itseasiassa tehdään? Jos meillä on ortonormeerattukanta φ n niin tilavektori voidaan esittää muodossa ψ = n α n φ n. (16) Jos kerromme vasemmalta bra-vektorilla φ m, saamme φ m ψ = α n φ m φ n = n α n δ n,m = α m. (17) Näin siis voimme määrittää kertoimet superpositioon. Jos esitämme asiat paikkaoperaattorin ominaistilojen avulla (kuten usein toimitaan), tämä tarkoittaa α m = φ m ψ = dxφ m(x)ψ(x). (18) (Joissain yksinkertaisissa tapauksissa kuten esim. potentiaalikaivon Hamiltonin operaattorin ominaistilojen esittäminen tasoaaltojen (liikemääräoperaattorin ominaistilat) avulla, kertoimet voi nähdä suoraankin ilman integrointeja kirjoittamalla trigonometriset funktiot eksponenttifunktioiden avulla.) Yksi yleinen kannanvaihto on siirtyä paikkaoperaattorin ominaistilojen kannasta liikemääräoperaattorin ominaistilojen kantaan. Suomeksi tämä tarkoittaa Fourier-muunnosta. Ts. jos aaltofunktio paikka-avaruudessa on ψ(x) niin se voidaan esittää funktion φ(k) avulla missä ψ(x) = 1 φ(k) = 1 φ(k)e ikx dk (19) ψ(x)e ikx dx. (20) Huomatkaa, että tässä summa ominaistilojen yli on nyt jatkuva integraali, koska k voi saada mitä tahansa (reaalisia) arvoja. Etuvakioiden valinta näin pitää huolta siitä, että sekä ψ(x), että sitä vastaava funktio k-avaruudessa φ(k) ovat oikein normitettuja (kun siis ψ(x) oli oikein normitettu alunperin). Ts. ψ(x) 2 dx = φ(k) 2 dk = 1. (21)

Jos haluamme laskea vaikka liikemääräoperaattorin odotusarvon, sen voi tehdä joko paikka-avaruudessa laskemalla p = ψ (x)( i h )ψ(x)dx (22) x 4 tai sitten k-avaruudessa laskemalla p = φ (k)( hk)φ(k)dk = hk φ(k) 2 dk. (23) VI. DIRACIN MERKINTÄTAPA Diracin notaatiossa tilavektoria merkitään ket-vektorilla ψ. Tässä merkinnässä emme ole spesifioineet sitä minkälaista kantaa käytämme Hilbertin avaruudessa (missä tilavektori siis elää). Sisätuloa merkitään tällöin bra-vektorin ψ avulla seuraavasti φ ψ. Mikäli esittäisimme tilat esimerkiksi paikkaoperaattorin ominaistilojen kannassa ψ ψ(x) ja sisätulo vastaisi integraalia φ ψ = φ (x)ψ(x)dx. (24) Jos Hilbertin avaruuden ortonormaalikanta muodostuu vektoreista φ n, mielivaltainen tilavektori voidaan esittää superpositiona muodossa ψ = n a n φ n (25) missä a n on tilaa φ n vastaava amplitudi. Jos toinen tilavektori on φ = n b n φ n, (26) sisätulo φ ψ = b ma n φ m φ n = m,n n b na n, (27) koska φ m φ n = δ n,m missä δ n,m on Kroneckerin deltafunktio, joka on yksi kun indeksit ovat samoja ja nolla muulloin. VII. VEKTORIT JA MATRIISIT Esitys matriisien avulla: Jos olette valinneet kannan φ n mikä tahansa tilavektori voidaan esittää muodossa ψ = n a n φ n. (28) Tieto tilasta on siis koodattu amplitudeihin, jotka voitte myös koota pystyvektoriin a 1 a 2 ψ =. a N (29) (missä selvyyden vuoksi katkaisin termiin N). Bra-vektoria taas vastaisi rivi ψ = (a 1, a 2,..., a N). (30) Tikarioperaatio eli dagger tarkoittaa transpoosin ja kompleksikonjugaation yhdistelmää. Ts. vaihdatte sarakkeet riveiksi ja otatte kaikista elementeistä kompleksikonjugaatin. Jos teillä on operaattori Ô, se muuntaa yhden Hilbertin

avaruuden vektorin joksikin toiseksi vektoriksi Ô ψ φ. Myös lopputulos voidaan esittää kokoamalla amplitudit pystyvektoriin ts. a 1 b 1 Ô ψ = Ô a 2. = b 2.. (31) a N b N Operaatio on lineaarinen ja Ô on siis tässä joku matriisi, mutta mikä? Matriisina operaattori on siis O 11 O 12... O 1N O 21 O 22...... Ô =........... (32) O N1...... O NN Valitaan ψ = φ n ts. a i = δ i,n ja vain yksi pystyvektorin elementti on nollasta poikkeava. Valitaan myös φ = φ m ts. a j = δ j,m. φ m Ô φ n = (0, 0,..., 1 m... 0) O 11 O 12... O 1N O 21 O 22................ O N1...... O NN 0 0. 1 ṇ. 5 = O mn. (33) Ts. voitte määrittää operaattoria vastaavan matriisin laskemalla O mn = φ m Ô φ n kaikille m:n ja nn arvoille. Usein laskuja nopeuttaa tieto siitä, että operaattori on hermiittinen. Tämä tarkoittaa sitä, että O n,m = Om,n Miksi tämä voi olla hyödyllistä? Huomatkaa, että aika ei esiinny Ô:n laskussa. Voitte siis laskea sen yhden kerran ja aikariippuvuus on pelkästään amplitudeissa eli vektoreissa (ja riveissä) joita matriisilla kerrotaan. Tämä on myös se tapa millä kvanttimekaniikan ongelmat syötetään tietokoneisiin. Matriisinotaatio ei erikseen kirjoita esille käytettyä kantaa. Se pitää siis pitää itse mielessä/kertoa muualla. Ts. sinun pitää ymmärtää minkä tilan amplitudi esim. a 2 elementti on. Jos vaikka tarkastelemme Hamiltonin operaattoria Ĥ, sen ominaisarvot ja tilat saadaan nyt yhtälöstä Ĥ a 1 a 2. a N = E a 1 a 2. a N. (34) Tämä on yhtälöryhmä ja lineaarialgebran ongelma. Esim. ominaisarvot voisi saada vaatimalla, että det(ĥ EÎ) = 0, (35) missä Î on identiteettimatriisi. Pienille ongelmille tämän voi tehdä käsin, mutta suuremmille ongelmille kannattaa käyttää numeerisia paketteja ominaisarvojen ja ominaistilojen ratkaisuun. Jos kantamme oli Hamiltonin operaattorin ominaistilojen kanta ja ortonormaali, matriisi olisi heti diagonaalinen ja diagonaalilla elementteinä ovat energian ominaisarvot, koska φ m Ĥ φ n = E n φ m φ n = E n δ n,m. Usein näitä ominaistiloja ei kuitenkaan tunneta ja koko laskun päämääränä on löytää ne. Ts. löytää (ominais)tilat joiden avulla lausuttuna Hamiltonin operaattori on diagonaalinen. Tätä prosessia kutsutaan siksi diagonalisoinniksi. VIII. KOMMUTAATTORIT Kahden operaattorin  ja ˆB kommutaattorilla tarkoitetaan [Â, ˆB] =  ˆB esimerkiksi kommutaattori paikan ja liikemäärän välillä ˆBÂ. Yksi tärkeä kommutaattori on [ˆx, ˆp] = i h. (36)

Kommutaattori kertoo siitä onko operaatioiden järjestyksellä väliä. Mikäli operaattorit kommutoivat, kommutaattori on nolla ja tällöin operaattoreilla on yhteisiä ominaistiloja. Kun meillä ei ole degeneraatiota tämän näkee siitä, että jos φ a on A:n ominaistila ominaisarvolla a Tällöin Âφ a = aφ a. (37)  ˆBφ a = ˆBÂφ a = a ˆBφ a (38) ja myös ˆBφ a on Â:n ominaistila samalla ominaisarvolla. Kun degeneraatiota ei ole, tämä on mahdollista vain jos ˆBφ a = µφ a ts. φ a on myös ˆB:n ominaistila. Kommutaattori liittyy epämääräisyysperiaatteeisiin, koska  ˆB >= 1 2 [Â, ˆB]. (39) 6 Tässä  = Â2  2 on standardipoikkeama (ilman neliöjuurta kyseessä on varianssi). IX. ODOTUSARVOJEN AIKAKEHITYS/EHRENFESTIN PERIAATE Aikakehitys seurasi ajasta riippuvasta Schrödingerin yhtälöstä i h ψ t = Ĥ ψ, (40) joka voidaan paikkaoperaattorin ominaistilojen kannassa lausua aaltofunktion ψ(x, t) avulla Operaattorin ominaisarvo ajan funktiona on siten ψ(x, t) i h = Ĥψ(x, t). (41) t ψ(t) Ô ψ(t). (42) Laskemalla tämän aikaderivaatan ja muistamalla, että Hamiltonin operaattori on hermiittinen voimme johtaa liikeyhtälön odotusarvolle dô(t) dt = ī h [Ĥ, Ô] + Ô, (43) t jossa jälkimmäinen termi voi antaa kontribuution, kun operaattorissa on eksplisiittinen aikariippuvuus. Jos tällaista ei ole ja operaattori kommutoi Hamiltonin operaattorin kanssa, odotusarvo on liikevakio. Ehrenfestin periaate seuraa ylläolevasta. Se sanoo, että klassisen fysiikan liikeyhtälöt saadaan kvanttimekaniikasta, kun laskemme operaattoreiden odotusarvoja. Esim. soveltamalla ylläolevaa hiukkaselle, joka liikkuu potentiaalissa V (x) saamme liikemäärälle ja paikalle d ˆp dt = d ˆx dt V (x) = F (44) x = ˆp /m. (45) Näistä ensimmäinen on tietenkin Newtonin toinen laki. Eli klassinen fysiikka seuraa kvanttimekaniikasta, kunhan tulkitsemme liikemäärän ja paikan uudella tavalla.

7 X. HARMONINEN OSKILLAATTORI Harmonisella oskillaattorilla tarkoitetaan systeemiä, jonka Hamiltonin operaattori on Ns. lasku- ja nosto-operaattorit määritellään ja â = â = Ĥ = ˆp2 2m + mω2 2 ˆx2. (46) mω0 2 h mω0 2 h ( ˆx + ( ˆx iˆp mω 0 iˆp mω 0 ) (47) ). (48) Niitä kutsutaan myös luomis- ja hävitysoperaattoreiksi. Ne toteuttavat kommutaatiorelaatiot [â, â ] = 1 ja niiden avulla Hamiltonin operaattori voidaan lausua muodossa Ĥ = hω ( â â + 1/2 ) = hω (ˆn + 1/2), (49) missä ˆn = â â on ns. numero-operaattori (number operator). Hamiltonin operaattorin ominaistilat ovat siis myös numero-operaattorin ominaistiloja. Jos ominaistilalla φ n numero-operaattorin ominaisarvo on n ominaistiloilla on voimassa esim. ˆNâφ n = â ââφ n = (n 1)âφ n (50) ja âφ n on myös ominaistila, mutta ominaisarvolla n 1. Tämän vuoksi â-operaattoria kutsutaan luomis tai hävitysoperaattoriksi. Se poistaa ominaistilasta hω verran energiaa. Vastaavasti ˆNâ φ n = â ââ φ n = (n + 1)â φ n (51) ja â φ n on ominaistila ominaisarvolla n + 1. Luomisoperaattoreiden avulla ominaistila voidaan esittää muodossa Tämä seuraa tarkastelemalla sisätuloa φ n = 1 n! (â ) n φ 0. (52) 1 = φ n φ n (53) ja käyttämällä φ n = Câ φ n 1. Tästä voi päätellä mikä normitusvakion C täytyy olla. Tätä sitten toistetaan aina perustilaan asti. Usein harmonisen oskillaattorin ominaistiloja merkitään lyhyesti ket-vektorilla n. Kun hävitysoperaattori operoi ominaistilaan n kun taas luomisoperaattorilla â n = n n 1, (54) â n = n + 1 n + 1. (55) Nämä ominaisuudet on helppo osoittaa käyttäen aikaisempaa esitystä ominaistiloille luomisoperaattorin avulla. Perustilalle 0 pätee â 0 = 0, (56) koska energiaa ei voi enää poistaa siitä. Tällä tilalla Ĥ = hω/2, josta voimme päätellä ominaistilojen energiaksi yleisesti E n = hω(n + 1/2), (57) missä n = 0, 1, 2... Lausumalla esim, ˆx-operaattorin luomis- ja hävitysoperaattorien avulla odotusarvoja on helppo laskea käyttäen ylläolevaa tietoa siitä miten operaattorit operoivat ominaistiloihin.

8 XI. SIRONTA 1D-POTENTIAALISTA Kun potentiaali on paloittain määritelty, sirontaongelman ratkaisun hakemiseksi toimi seuraavasti: 1. Alueissa (n) joissa energia on suurempi kuin potentiaalin arvo V n kirjoita oskilloiva ratkaisu missä k n = 2m(E V n )/ h 2. ψ n (x) = A n e iknx + B n e iknx (58) 2. Alueissa (n) joissa energia on pienempi kuin potentiaalin arvo V v kirjoita eksponentiaaliratkaisu missä κ n = 2m(V n E)/ h 2. ψ n (x) = A n e κnx + B n e κnx (59) 3. Jos hiukkassuihku tulee vasemmalta, laitimmaisena vasemmalla on ratkaisu joista jälkimmäinen termi kuvaa heijastunuttta osaa. (k = 4. Laitimmaisena oikealla on ratkaisu joka kuvaa läpi tunneloitunutta osaa (k N = ψ 0 (x) = e ikx + Re ikx (60) 2mE/ h 2 ) ψ N (x) = T e ik N x, (61) 2m(E V N )/ h 2 ). 5. Vaadi kaikissa rajapinnoissa x s aaltofunktion jatkuvuutta lim ɛ 0 ψ(x s ɛ) = ψ(x s + ɛ) aaltofunktion ensimmäisen derivaatan jatkuvuutta lim ɛ 0 dψ(x s ɛ) dx = dψ(xs+ɛ) dx 6. Näin saat lineaarisen yhtälöryhmän tuntemattomille amplitudeille R, T, A n, B n. 7. Läpäisy ja heijastus kertoimella tarkoitetaan läpi menneen tai heijastuneen virrantiheyden suhdetta sisään tulevaan virtaan. Yksiulotteisessa tilanteessa virrantiheyden saa aaltofunktiosta laskemalla J = h [ ψ ψ 2mi x ψ ψ ]. (62) x Esimerkiksi jos esteeseen iskee hiukkasia joiden aaltofunktio on tasoaalto A 1 e ik1x iω1t niin virrantiheys on J = hk 1 A 1 2 /m. (Joskus tätä kvanttimekaanista virrantiheyttä kutsutaan myös todennäköisyysvirraksi. On hyvä huomata, että se ei liity suoraan esimerkiksi sähkövirtaan, koska tämä virrantiheys voi olla nollasta poikkeava myös neutraaleilla hiukkasilla.) 8. Ryhmän ratkaisu tosin onnistuu käsin vain suhteellisen yksinkertaisille ongelmille, koska tuntemattomien määrä kasvaa sitä mukaa mitä enemmän potentiaalissa on paloja. Varoitus: Jos potentiaalin epäjatkuvuus on ääretön (esimerkiksi δ(x)-funktio potentiaali), ei aaltofunktion derivaatan tarvitse välttämättä olla jatkuva. Potentiaali kuitenkin määrää derivaatan epäjatkuvuuden koon tässäkin tapauksessa.

9 XII. 2-TILA MALLI Jos kvanttitilaa voidaan kuvata kaksiulotteisessa Hilbertin avaruudessa, sen kuvaus tehdään 2-tila mallin puitteissa. Tämä voi tapahtua esimerkiksi spin-1/2 hiukkaselle tai tilanteessa missä kaksi atomin energiatilaa ovat kytkeytyneet toisiinsa esimerkiksi sopivan laserin avulla. tms. Tilavektoria kuvaa siis silloin 2-ulotteinen vektori ( ) a1 (t) ψ(t) =, (63) a 2 (t) jossa on kaksi ajastariippuvaa amplitudia, jotka vastaavat amplitudia olla jommalla kummalla Hilbertin avaruuden kantatilalla. Tässä Hilbertin avaruudessa operaattorit ovat 2 2 matriiseja ja niillä operointi tarkoittaa matriisituloa, jossa 2D vektori muuttuu toiseksi 2D vektoriksi. Erityisesti Hamiltonin operaattori olisi ( ) E1 hω Ĥ = hω, (64) E 2 missä E i on kantatilaa vastaava energia (kun kytkentää ei ole) ja hω kuvaa tilojen välisen kytkennän voimakkuutta. Ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö on tällöin (tietenkin) i h ( ) ( ) a1 = t a Ĥ a1 (65) 2 a 2 Energianominaistilat saadaan ajastariipumattomasta yhtälöstä ( ) ( ) a1 a1 Ĥ = E. (66) a 2 a 2 Ominaisarvot saadaan vaatimalla ei-triviaaliratkaisu yhtälöryhmälle eli vaatimalla, että determinantti det(ĥ EÎ) häviää (Î on identiteettimatriisi). Ominaistilat saadaan sitten valitsemalla ominaisarvo, sijoittamalla se ominaistilan yhtälöön ja vaatimalla normitus a 1 2 + a 2 2 = 1. Ajastariippuva alkuarvo-ongelma voidaan myös ratkaista suljetussa muodossa. Jos systeemi on esimerkiksi alussa toisella kantatilalla, kytkentä aiheuttaa periodista oskillaatiota todennäköisyydessä löytää systeemi jommassa kummassa tilassa. Tätä kutsutaan Rabi oskillaatioksi. XIII. TIHEYSMATRIISI Jos kvanttimekaanista tilaa kuvaa ket-vektori ψ, voimme muodostaa tiheysmatriisin joka sisältää saman informaation. Tiheysmatriisilla on muutama yleinen ominaisuus ˆρ = ψ ψ, (67) 1. T r ˆρ = 1: Tämä on seurausta siitä, että todennäköisyys löytää systeemi tietyltä kantatilalta löytyy matriisin diagonaalilta. Todennäköisyyksien tulee summautua yhteen. 2. ˆρ on hermiittinen 3. Positiivisuus eli kaikki ˆρ:n ominaisarvot ovat suurempia tai yhtä suuria kuin nolla. (Jos diagonalisoimme matriisin, niin sen ominaisarvot ilmestyvät matriisin diagonaalille. Koska näiden tulkinta oli todennäköisyys löytää systeemi tietyltä ominaistilalta, on sen arvon oltava positiivinen.) Jos tunnemme koko tilavektorin ψ, kuvas tiheysmatriisin avulla ei vaikuta järin hyödylliseltä. Usein on kuitenkiin tilanteita, joissa on vapausasteita, joista emme voi pitää kirjaa. Systeemin sisältämä tieto siis vuotaa meille tuntemattomiin vapausasteisiin. Tällaisessa tilanteessa esintyy ns. dekoherenssia ja kuvaus redusoidun tiheysmatriisin avulla tulee hyödylliseksi. Jos siis meillä on osa A ja osa B ja niissä tiheysmatriisi ˆρ = ψ ψ, redusoitu tiheysmatriisi osassa A (tämä voi olla vaikka se mikroskoopin alla oleva osa) on ˆρ A = T r B ˆρ, (68)

missä T r B tarkoittaa osittaista jälki (partial trace) operaatiota. Tässä siis valitaan jotkut A-osan Hilbertin avaruuden kantavektorit (i, j) ja ne määrittelevät tarkastelun alla olevan matriisielementin ˆρ A,i,j. Kullekin valinnalle i, j sitten summataan KOKO tiheysmatriisista ˆρ, ne elementit joissa B-osan Hilbertin avaruuden kantavektorien (α, β) indeksit ovat samoja siis α = β. Tarkemmin...koko avaruuden kantatila olisi siis i α. Näiden avulla saamme tiheysmatriisiin elementtejä ρ i,α,j,β kertoimista termeille i α β j. Redusoidun tiheysmatriisin elementti i, j on sitten 10 ρ A,i,j = α ρ i,α,j,α. (69) Kun ˆρ 2 = ˆρ tilaa kutsutaan puhtaaksi. Jos ˆρ = ψ ψ, tämä on itsestään selvää, koska ˆρ 2 = ψ ψ ψ ψ = ψ ψ = ˆρ. Puhdasta tilaa siis vastaa hyvin määritelty tilavektori. Redusoitu tiheysmatriisi ei kuitenkaan ole aina puhdas. Ts. on mahdollista, että ρˆ A2 ρˆ A jolloin tilaa kutsutaan sekatilaksi (mixed state). Dekoherenssi voidaan myös ymmärtää prosessina, jossa puhdas tila muuttuu sekatilaksi. Puhtaan tilan aikakehitys seuraa Schrödingerin yhtälöstä. Sekatiloille redusoidun tiheysmatriisin aikakehitys sisältää kuitenkin usein dekoherenssin mukanaan tuomia lisäelementtejä. XIV. VYÖRAKENNE HILOISSA/PERIODISET POTENTIAALIT Konsepteja: Blochin tila, energiavyö, energia-aukko Jos potentiaali on periodinen jaksolla d, Tällöin Hamiltonin operaattorin Ĥ = ˆp2 /2m + V (x) ominaistilat ovat muotoa V (x + d) = V (x). (70) φ k (x) = e ikx u k (x), (71) missä u k (x + d) = u k (x) on periodinen samalla periodilla kuin potentiaali. Näitä ominaistiloja kutsutaan Blochin tiloiksi. Tämä seuraa siitä, että siirto-operaattorin ˆD ˆDf(x) = f(x + d) (72) ominaistilat ovat φ = e ikx u(x), missä u(x + d) = u(x). Kun potentiaali on periodinen, [ ˆD, Ĥ] = 0 ja nämä ˆD:n ominaistilat ovat myös Ĥ:n ominaistiloja. Sijoittamalla Blochin tilan ajasta riippumattomaan Schrödingerin yhtälöön voit johtaa yhtälön funktiolle u k (x). Tässä yhteydessä suuretta hk kutsutaan kvasi-liikemääräksi. Se on sama kuin normaali liikemäärä, kun u(x) = vakio kuten esimerkiksi silloin, kun potentiaalia ei ole. Hilapotentiaalissa sen sijaan liikemäärän odotusarvo on yleensä eri asia ts. p hk. Energiavyö tarkoittaa jatkuvia energian ominaisarvoja joita vastaa jokin Blochin tila. Näillä on jokin jatkuva dispersio ɛ(k) joka yhdistää Blochin tilan kvasi-liikemäärän ja ominaistilan energian. Toisin kuin vapaassa avaruudessa, missä ɛ(k) = h 2 k 2 /2m voi saada mitä tahansa positiivisia arvoja, periodisessa potentiaalissa on energian arvoja joilla ei ole niitä vastaavaa Schrödingerin yhtälön ratkaisua. Nämä alueet muodostavat energia-aukon kahden energiavyön välille. Energia-aukko on esimerkiksi se mikä erottaa valenssivyön ja johtavuusvyön toisistaan materiaaleissa. Ns. Kronig-Penney mallissa periodinen potentiaali muodostuu samanlaisista neliskulmaisia potentiaalivalleista. Aikaisemmin vaadimme aaltofunktion ja sen derivaatan jatkuvuutta potentiaalin epäjatkuvuuskohdissa. Periodisessa hilassa meidän ei kuitenkaan tarvitse muodostaa näistä yhtälöitä jokaiselle rajapinnalle vaan voimme käyttää funktion u k (x) periodisuutta hyväksemme. Jos potentiaalin periodi on d, niin u k (x):n täytyy olla periodinen tämän ylitse ja sen derivatan on myös oltava jatkuva. Ts. (ɛ on pieni positiviinen luku joka painetaan nollaan...indikoi tässä vai tässä sitä kummalta puolelta rajapintaa lähestytään) ja u k (x = ɛ) = u k (x = d ɛ) (73) du k (x) dx x=0 = u k(x) dx x=d. (74)

11 Koska u k (x) = e ikx φ k (x), nämä tarkoittavat aaltofunktiolle ja φ k (0) = φ k (d)e ikd (75) φ k(0) = φ k(d)e ikd. (76) Kussakin alueessa missä potentiaali on vakio (siellä missä potentiaali on nolla ja siellä missä se on nollasta poikkeava) voimme taas ilmaista aaltofuntion φ k (x) samaan tapaan kuin sirontaongelmissa aiemmin, mutta nyt jatkuvuusehdot korvautuvat ylläolevilla. XV. FOURIER-MUUNNOS: FYSIIKASSA USEIN KÄYTETYT KONVENTIOT Eri aloilla Fourier-muunnokset määritellään usein hiukan eri tavalla. Varsinkin etuvakioissa on eroja. Fysiikassa funktion ψ(x) Fourier-muunnos on ehkä yleisimmin Käänteismuunnos on puolestaan φ(k) = 1 ψ(x) = 1 dxe ikx ψ(x). (77) dke ikx φ(k). (78) Kun etuvakio on sama molempiin suuntiin, pysyvät sekä φ(x) että φ(k) oikein normitettuna ja siis hyväksyttävinä aaltofunkioina. Jos muunnokset ovat paikan ja liikemäärän välillä aaltovektorin k sijaan, meillä on ja φ(p) = 1 h ψ(x) = 1 h dxe ipx/ h ψ(x) (79) dpe ipx/ h φ(p). (80) Eli käytännössä samat kaavat, mutta pitää muistaa lisätä redusoitu Planckin vakio h etuvakioon. Kun Fourier-muunnos tehdään ajan t funktiosta f(t), kulmataajuuden funktioksi F (ω), eksponentin merkki usein vaihtuu. Ts. ja F (ω) = 1 f(t) = 1 dte iωt f(t) (81) dωe iωt F (ω). (82) (Tämä liittyy siihen, että tasoaallossa aika- ja paikkatermien etumerkeissä on eroa. Ts. meillä on yleensä exp(ikx iωt). Miinus-merkki aikatermin edessä on perusteltu Schrödingerin yhtälöstä, mutta paikkatermin positiivinen etuvakio on etenkin ei-relativistisessa tapauksessa vain konventio. Konventio on kuitenkin järkevä, koska relativistisessa teoriassa aikatermien ja paikkatermien välillä on merkkieroja ja voimme kaukaa viisaina valita konvention exp(ikx iωt).)