Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia. Päteekö tarketuvuus, jos x i /i? Viimeise kysymykse perustelu ei tarvitse olla mitekää täsmällie, sopiva äppitutumaperustelu käy maiiosti. Vastaus: Olkoo joki vapaasti valittava luoollie luku, joka aamme lopuksi kasvaa rajatta. Lisäksi oletetaa, että o joki kiiteä positiiviluku, kute tehtävissä HB 3. Tapaukset x i c > kaikilla i. Luvussa 3.5.3 esitety lausee mukaa estimaattori o tarketuva, jos se odotusarvo raja-arvo o parametri odotusarvo ja se variassi raja-arvo o olla. Kaikki estimaattorit osoitettii harhattomiksi, jote e ovat luoollisesti myös asymptoottisesti harhattomia. Riittää siis osoittaa, että variassie raja-arvo o olla. Estimaattorie variassit olivat:. var β [ ˆβY] var var β [T ] var var β [T ] var [ i Y ] ix i i x i [ i Y ] i i x i ] [ i Y i x i i x i x i x i i x i i x i x i i x i i Estimaattori ˆβ: var ˆβ i : x i c > i : x i c >, c + i x i + i i x i miorattiperiaate
Estimaattori T : josta i : x i c >, c + i x i +, i i i c c x i a c, miorattiperiaate miorattiperiaate, < c a var T i x i i x i a Estimaattori T : i : x i c > i : < x i c, josta i x i i c c d < a, var T majorattiperiaate, < d < c < x i i d Siis kaikki estimaattorit olivat tarketuvia tapauksissa < c < x i kaikilla i. Tapaukset x i /i. Todetaa esi, että kaikilla estimaattoreilla variassi raja-arvoksi saadaa jotai muuta kui olla, ku kasvaa rajatta, eli aiemmasta lauseesta ei yt ole apua. Tämä ähdää esimerkiksi seuraavasti: Estimaattori ˆβ: Estimaattori T : i x i i i π /6 yliharm. sarja summa x i x i i x i i i i i i i i a >, 3/ x i /i kasvatetaa imittäjää
missä a o suppeeva yliharmoise sarja i Estimaattori T : x i i i i 3/ summa. i x i /i + + 6 3 + 3 + 6 + + 6 eliösumma Pyritää sitte osoittamaa, että estimaattorit eivät ole tarketuvia, suoraa määritelmä ojalla. Määritelmä mukaa estimaattori T o tarketuva, joss T lim P β > ɛ Todetaa estimaattorie jakaumat. ˆβ i Yixi :llä Y i Nβx i, o riippumattomie i x i ormaalijakautueide sm:ie summaa ormaalijakauma, parametreia aiemmi lasketut E ˆβ β, var ˆβ. i Yi :lla o myös samoi perustei ormaalijakauma, parametreia i xi i x i T T :lla, parametreia β, i x i. β, x, samoi Tarkastellaa ormaalijakautuee harhattoma estimaattori T käytöstä. Nyt, ku ɛ >, P T β > ɛ P T β ɛ PAc PA Pβ ɛ < T < β + ɛ F T β + ɛ F T β ɛ kf: määritelmä β + ɛ µt β ɛ µt x µ Φ Φ F T T x Φ T ɛ ɛ Φ Φ µ T T β T ɛ Φ Φx Φ x T Φ kiiitetää ɛ > T > Φ T Tehdää apuoletus, että kaikissa tarkasteltavissa tapauksissa keskihajoa kääteisluvulle pätee / T c/ jollai kiiteällä c R kaikilla ja osoitetaa tämä lopuksi. Tällöi, koska kertymäfuktio o kasvava, saadaa arvio c T c T Φ Φ c T 3
Oletuste ojalla c o joki reaaliluku ja Φx > kaikilla x R. Site väittee lim P ˆβ β > ɛ perustelemiseksi riittää yt todeta, että kokoaiselta reaalilukuväliltä, Φ c löytyy joki positiiviluku ɛ. Tätä lähemmäksi ollaa ei todeäköisyyttä P ˆβ β > voida viedä, jote estimaattori T ei ole tarketuva. Osoitettavaksi jää, että väite / T c/ pätee tarkasteltavilla estimaattoreilla. Lasketaa keskihajotoje kääteisluvuille lausekkeet ja tarkastellaa iide käyttäytymistä: huomioide, >, x i > ˆβ : i x i i x i T : T : i x i i i π /6 i x i i i i i i i i 3/ a / i /x i x i i / i i / ++ 6 / +3+ 6 / / / +3 6 +3 6 5 6 6/5 x i /i yliharmoise sarja summa a yliharm. sarja i i kasvatetaa osoittajaa i summa i3/ + +, eliösarja 6 kasvatetaa osoittajaa kasvatetaa osoittajaa Näi väite o tullut äytetyksi, eli mikää estimaattoreista ei ole tarketuva, ku x i /i. Tehtävä. Olkoot Y,..., Y riippumattomia samoi jakautueita satuaismuuttujia, ja kuki 4
sm: Y i tiheysfuktio o fy; θ + θy, < y <, < θ <. 4 Laske parametrille θ estimaattori momettimeetelmä avulla. Oko saatu estimaattori tarketuva? Vastaus: Etsitää estimaattoria momettimeetelmä avulla: EY i fy; θy dy odotusarvo määritelmä jvalle jakaumalle R + θyy dy 4 y dy + θ 4 }{{} y parito θ 4 3 y i θ 6 i θ 6y, ˆθY 6Y / y 3 θ 6 y dy }{{} y dy y parillie. Estimaattori o saatu momettimeetelmällä, jote se o harhato ja siis myös asymptoottisesti harhato. Lasketaa estimaattori variassi: EYi 4 + θyy dy TTL 3 y dy }{{} y dy y parillie / y 3 3, var Y i EY i EY i 3 θ θ 36 9 var 6Y 36 var Y i i 36 θ 36 i θ i θ jote estimaattori o tarketuva. θ + θy 3 dy 4 }{{} y 3 parito, Tehtävä 3. Jatkoa harjoitukse B tehtävää 5. Laske suurimma uskottavuude estimaattori ˆλ variassi. Oko estimaattori ˆλ tarketuva, jos luvuille x, x,..., x pätee x i c, ku c > o vakio? 5
3. Vastaus: var ˆλ var Y x x var Y i x i x βx β x βx i i Y i Poiβx i var Y i βx i Jos kaikilla i pätee x i >, välttämättä β >, koska Poisso-jakauma parametrie λ i βx i parametriavaruus o λ i >. Lisäksi samaa tapaa kui tehtävässä voidaa päätellä: i : x i c R + x i c i i lim x, koska lim Siis Eˆλ β i β ja var ˆλ c hajaatuu, ku c >, sekä miorattiperiaate. β, jote ˆλ o tarketuva. Tehtävä 4. Moistee tehtävä 3.. Mallissa Y,..., Y Tas, θ su-estimaattoriksi saatu ˆθ maxy,..., Y ks...8. 4. Vastaus: a Muodosta ˆθ: kertymäfuktio F lähtie havaiosta ja derivoi siitä tiheysfuktio f F Pˆθ t PY t PY t b Laske ˆθ: odotusarvo ja totea, että ˆθ o harhaie mutta asymptoottisesti harhato. a Pˆθ t PY t PY t F Y t F Y t{ < t < θ} + {t θ} t θ t { < t < θ} + {t θ} θ t { < t < θ} + {t θ} θ t θ { < t < θ} + {t θ} ft D t F t t θ { < t < θ} Y i Tasa, b F Yi y y a b a potessi deriv. säätö b Eˆθ R θ θ θ/ fˆθy; θ t dt t θ t dt + t+ θ + θ+ + θ odotusarvo määr. 6
Siis harha bθ Eˆθ θ θ θ + θ + θ+θ + θ +, jote estimaattori o harhaie. Kuiteki + θ + / θ + θ θ, jote estimaattori o asymptoottisesti harhato. Tehtävä 5. Jatkoa tehtävää 4. a Laske ˆθ: variassi ja keskieliövirhe E θ ˆθ θ ja vertaa jälkimmäistä momettimeetelmä atama harhattoma estimaattori θ Y kute esimerkissä 3.3.3 variassii. Kumpi estimaattori o parempi? b Olisiko ˇθ + ˆθ hyvä estimaattori? Vastaus: 5. a Variassi: Eˆθ R θ θ θ/ fˆθy; θ t dt t θ t dt + θ var ˆθ Eˆθ Eˆθ + θ + t+ θ + θ+ + θ θ + + + θ + + + θ + + 3 + + θ 3 + + 3 + + θ + + TTL Keskieliövirhe: E θ ˆθ θ var ˆθ + bθ θ θ + + + + θ + + + + θ + + + + + + θ + + + θ + + 7
Harhattoma estimaattori θ Y variassi eli se keskieliövirhe: var θ Y 4 var Y i i 4 θ θ 6 Y i Tas, θ var Y i θ Harhaie estimaattori ˆθ o parempi keskieliövirhee mielessä, joss E[ θ] var[ θ] E[ˆθ θ ] θ 6 θ + + 6 + + + + 6 >, jote epäyht. suuta säilyy 3 + Koska toise astee termi kerroi a o positiivie, kyseessä o ylöspäi aukeava paraabeli. Epäyhtälö vase puoli o siis egatiivie vai mahdolliste ollakohtie välillä. Ratkaistaa ollakohdat: 3 ± 9 8 3 ± tai Toisi saoe harhaie estimaattori ˆθ o parempi, ku. b ˇθ: harha: bθ Eˇθ θ + ˆθ θ + eli kyseie estimaattori o harhato. Variassi eli keskieliövirhe: var ˇθ var + ˆθ + var ˆθ + θ + + + θ θ θ θ, + + + θ θ + θ + ˇθ o keskieliövirhee mielessä parempi kui harhaie estimaattori ˆθ, joss eli kaikissa tapauksissa. Eˆθ θ Eˇθ θ Eˆθ θ var ˇθ θ + + θ + + +, Trasitiivisuudesta seuraa, että koska ˆθ oli parempi kui θ, ku, ˇθ o myös parempi kui θ. 8
9