Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia { z(t k+1 ) = z(t k ) + ɛ(t k ) t t k+1 = t k + t, k = 0,..., N, missä ɛ(t i ), ɛ(t j ), i j ovat toisistaan riippumattomia siten, että E[ɛ(t i )] = 0 ja V ar[ɛ(t i )] = 1. Tällöin k 1 z(t k ) z(t j ) = ɛ(t i ) t Kun t 0, tästä saadaan Wienerin prosessi eli Brownin liike. Yleistetty Wienerin prosessi: i=j dx(t) = adt + bdz, missä x(t) satunnaismuuttuja, a ja b vakioita ja z Wienerin prosessi. Integroimalla saadaan Itô-prosessi: x(t) = x(0) + at + bz(t) dx(t) = a(x, t)dt + b(x, t)dz, missä x(t) satunnaismuuttuja, z Wienerin prosessi ja a(x, t) ja b(x, t) integroituvia funktioita. Itôn lemma: Jos x(t) on Itô-prosessi ja y(t) = F (x, t) stokastinen prosessi niin (todistus esim. Luenbergin s.31) ( F dy(t) = x a + F t + 1 ) F x b dt + F x bdz Kohde-etuuden hinta S noudattaa geometrista Brownin liikettä ds = µsdt + σsdz Black-Scholes yhtälö: f t + f S rs + 1 f S σ S = rf, missä S on kohde-etuuden hinta, f(s, t) on kohde-etuuden perusteella määritellyn johdannaisen arvo hetkellä t ja kohde-etuuden arvolla S, r on riskitön korko ja σ volatiliteetti. Yleisesti Black-Scholes-yhtälöä ei voida ratkaista suljetussa muodossa.
Eurooppalaisen osto-option tapauksessa Black-Scholes-yhtälö voidaan ratkaista analyyttisesti. Olkoon eurooppalaisen osto-option toteutushinta K ja päättymispäivä T. Jos kohde-etuudesta ei makseta osinkoa ajalla [0, T ] ja riskitön korko on r niin osto-option arvo on C(S, t) = SN(d 1 ) Ke r(t t) N(d ), missä d = ln[ S K N(x) = 1 π x d 1 = ln[ S K e y / dy σ ] + (r + σ T t σ ] + (r σ = d 1 σ T t, T t (Myyntioptiolle pätee P (S, t) = Ke r(t t) N( d ) SN( d 1 )) Johdannaisen delta kuvaa sen arvon herkkyyttä kohde-etuuden hinnan muutoksille: = f(s, t) S f(s, t) S f(s, t) ( S) Esim. C(S, t) = SN(d 1 ) Ke r(t t) N(d ) = C(S, t) S = N(d 1 )
1. (L13.3) Investointipankkien meklarit käyttävät Black-Scholes-kaavaa käänteisesti laskemalla toisten meklarien volatiliteettiestimaatteja optioiden hinnoista (nk. implisiittinen volatiliteetti). Oletetaan, että eurooppalainen osto-optio kohdistuu osakkeeseen, joka ei maksa osinkoja ja jonka toteutushinta on 35 euroa, preemio.15 euroa ja päättymispäivä 7 viikon päästä. Riskitön korkokanta on 7% ja osakkeen kurssi on 36.1 euroa. Mikä on osakkeen implisiittinen volatiliteetti? Ratkaisu: Ideana on siis hakea sellainen volatiliteetti σ, että eurooppalaisen osto-option Black-Scholes-kaava antaa tulokseksi C =.15. Tässä tapauksessa Black-Scholes-kaava on seuraavanlainen: C(S, t) = SN(d 1 ) Ke r(t t) N(d ) missä parametreilla on arvot d = ln[ S K d 1 = ln[ S K σ ] + (r + σ T t σ ] + (r σ = d 1 σ T t, T t K = 35 T = 7 5 = 0.1346 t = 0 (nykyhetki) r vuosi = 7% S = 36.1 Volatiliteetin σ arvo voidaan etsiä esim. Excelin Goal Seek-toiminnolla (Tools->Goal Seek) asettamalla vaatimus C =.15. Saadaan tulokseksi σ = 5.10% d 1 = 0.4905 d = 0.3984 C =.1500
. (L13.4) N(d):n Taylor-kehitelmän ensimmäisen asteen termi on 1 + d sπ. Johda tätä käyttäen eurooppalaisen osto-option arvo, kun osakkeen kurssi on option toteutushinnan nykyarvossa, s.o. S = Ke rt. Näytä erityisesti, että C 0.4Sσ T. Osoita myös, että 1 + 0.σ T. Oletetaan, että osakkeen kurssi on 6 euroa ja vuotuinen volatiliteetti 0%. Riskitön korkokanta on 10%. Määritä edellä mainittuja approksimaatioita käyttäen sellaisen 5 kuukauden eurooppalaisen osto-option arvo, jonka toteutushinta on 60 euroa. Ratkaisu: Tiedetään, että standardisoidun normaalijakauman kertymäfunktion ensimmäisen asteen approksimaatio on N(d) 1 + d π Jälleen eurooppalaisen osto-option Black-Scholes kaava on C(S, t) = SN(d 1 ) Ke r(t t) N(d ) d = ln[ S K Sijoitetaan tähän N(d):n approksimaatio d 1 = ln[ S K σ ] + (r + σ T t σ ] + (r σ = d 1 σ T t. T t ( 1 C(S, t) = S + d ) ( 1 1 Ke r(t t) π + d ) π Oletetaan, että t = 0 eli ollaan nykyhetkessä. Tiedetään lisäksi, että S = Ke rt K = Se rt joten saadaan ( 1 C(S, t) = S + d ) ( 1 1 S π + d ) ( ) ( d1 d σ ) T = S = S π π π Koska 1 π 0.4 saadaan C(S, t) 0.4Sσ T
Lasketaan seuraavaksi deltan approksimaatio = N(d 1 ). Soveltamalla tähän N(d):n approksimaatiota ja S:n alkuarvoa saadaan 1 + d 1 π = 1 Ke rt ln[ K + σ ] + (r + )T σt π = 1 + rt + rt + σ T σt π = 1 + σ T π 1 + 0.σ T Nyt lasketaan approksimaatio 5kk osto-option arvolle. Parametrit ovat: S = 6 σ = 0% r vuosi = 10% T = 5 1 = 0.4167 K = 60 Nyt ensimmäistä approksimaatiota ei voi käyttää, koska osakkeen kurssi ei ole option toteutushinnan nykyarvossa eli S Ke rt S alku = Ke rt = 60e 0.10 5 1 57.551 6 = S Ideana on nyt hyödyntää :n määritelmää, mikä on option hinnan muutos osakkeen hinnan suhteen. Option arvo muussa kuin toteutushinnan nykyarvossa voidaan siis arvioida :aa hyväksi käyttäen. Option arvo toteutushinnan nykyarvossa, kun osakkeen muut parametrit ennallaan Option arvo S:ssä saadaan seuraavasti C(S alku ) 0.4S alku σ T =.97 C(S) C(S alku ) + C(S alku ) = C(S alku ) + (S S alku ) 1 + 0.σ T = 0.56 C(S) = 5.311
3. (L13.6) Osoita, että delta, gamma Γ ja theta Θ ovat yhteydessä toisiinsa yhtälön Θ + rs + 1 σ S Γ = rp mukaisesti, missä P = P (S) on johdannaisen hinta. Ratkaisu: Black-Scholes-yhtälö: f t + f S rs + 1 Deltan, gamman Γ ja thetan Θ määritelmät ovat = f S Γ = f S f S σ S = rf Θ = f t Sijoittamalla nämä suoraan Black-Scholes-yhtälöön ja asettamalla f = P saadaan Θ + rs + 1 σ S Γ = rp (m.o.t.)
4. (L13.11) Maksa-myöhemmin-optiot ovat optioita, joiden preemiota ei tarvitse maksaa optiota ostettaessa. Päättymispäivänä option haltijan täytyy toteuttaa optio, jos sen tuotto on positiivinen, jolloin preemio maksetaan saadusta erotuksesta S K. Muussa tapauksessa optiota ei toteuteta, eikä preemiota makseta. Yhtiön YYY osakkeen kurssi on 1 euroa ja se noudattaa geometristä Brownin liikettä. Sen vuosittainen odotettu tuotto on 15% ja volatiliteetti 0%. Riskitön korkokanta on 10%. a) Määritä binomihilalla sellaisen YYY:n osakkeeseen kohdistuvan eurooppalaisen osto-option arvo, jonka päättymispäivä on 10 kuukauden päästä ja toteutushinta on 14 euroa. Perusperiodin pituus on kuukausi. b) Määritä samalla tavalla vastaavan maksa-myöhemmin-option preemio. c) Vertaa a)- ja b)-kohdan tuloksia. Muuttuuko option arvo? Jos muuttuu, niin miksi? Minkälaisessa tilanteessa omistaisit mieluummin tavallisen option ja milloin maksa-myöhemmin-option? Ratkaisu: Maksa-myhemmin optiot ovat siis optioita, joista saatavasta tuotosta vähennetään preemio p, mutta vain silloin jos alkuperäinen tuotto on positiivinen. Preemio valitaan siten, että option arvoksi tulee täsmälleen 0. Jos p on suurempi kuin jossain lopputilassa saatava tuotto, on maksa-myöhemmin optio tappiollinen. Parametrit tehtävänannosta: S = 1 µ = 15% σ = 0% r vuosi = 10% r kk = 0.83% dt = 1 = 0.0833(perusperiodin pituus) 1 Muodostetaan osakkeen hinnan kehitystä kuvaava hila. Odotettu tuottoa ei tarvita, koska ei-arbitraasiperiaatteen mukaisesti hilan ylöspäinsiirtymistodennäköisyys määräytyy muista parametreista! Näin saadaan osakkeen hinnan hilaksi: u = e σ t = 1.0594 d = e σ t = 0.9439 q = R d u d = 56% 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1.00 1.71 13.47 14.7 15.1 16.0 16.97 17.98 19.04 0.18 1.38 11.33 1.00 1.71 13.47 14.7 15.1 16.0 16.97 17.98 19.04 10.69 11.33 1.00 1.71 13.47 14.7 15.1 16.0 16.97 10.09 10.69 11.33 1.00 1.71 13.47 14.7 15.1 9.53 10.09 10.69 11.33 1.00 1.71 13.47 8.99 9.53 10.09 10.69 11.33 1.00 8.49 8.99 9.53 10.09 10.69 8.01 8.49 8.99 9.53 7.56 8.01 8.49 7.14 7.56 6.74
a) Eurooppalaisen osto-option arvo: Lasketaan eurooppalaisen osto-option arvo kuten aiemmin: Viimeisessä periodissa (eli, kun tehdään valinta toteutuksesta): C T = max{s T K, 0} Muut kuin viimeinen periodi: C = 1 R (qc u + (1 q)c d ) Toteutushinta K = 14 Tavallisen eurooppalaisen osto-option arvoksi saadaan: 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 0.53 0.76 1.08 1.49.0.67 3.44 4.3 5.8 6.9 7.38 0.5 0.38 0.57 0.85 1.3 1.75.40 3.0 4.09 5.04 0.09 0.15 0.4 0.38 0.61 0.95 1.45.13.97 0.0 0.03 0.06 0.10 0.19 0.34 0.6 1.1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 b) Maksa-myöhemmin-optio: Viimeisessä periodissa: C T = C T = { S T K p, S T K > 0 0, S T K 0 Muut kuin viimeinen periodi: C = 1 R (qc u + (1 q)c d ) Etsitään sellainen preemio p, että option arvoksi tulee 0. Koska optiosta ei nyt makseta mitään, sen arvon täytyy olla 0! Preemioksi saadaan esim. excelin Goal Seekin avulla p =.04 ja hila on: 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 0.00 0.04 0.13 0.9 0.55 0.95 1.54.33 3.7 4.7 5.33-0.05-0.06-0.06-0.04 0.04 0.3 0.59 1.19.07 3.00-0.04-0.07-0.10-0.14-0.19-0. -0.17 0.11 0.93-0.01-0.03-0.05-0.09-0.16-0.8-0.51-0.9 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
c) Preemion käsite on eri tavallisissa ja maksa-myöhemmin optioissa. Option arvo (alussa maksettava preemio) muuttuu, koska maksa-myöhemmin optiossa vaaditaan option arvon olevan 0. Maksa-myöhemmin option preemio on suurempi kuin tavallisen option, koska 1) preemio maksetaan myöhemmin ei sido pääomaa (diskonttaus) ) preemiota ei makseta, jos optiosta ei saada voittoa (S K 0)